格点与面积
第十一讲 格点与面积
第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法1：矩形面积是4×3=12.直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.所以，所求四边形的面积是12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；1×1÷2=0.5；2×1=2.所以整个四边形的面积是：1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.图（B）面积为：3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-1=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.解法1：如图（b）所示，在△ABC内连接相邻的三个点成△DEF，再连接DC、EA、FB 后是△ABC可看成是由△DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到S △ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面积单位）.解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC的面积为10.解法3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S△ABE=3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即S△ADC=2.平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而△FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S△FBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）.例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.解：因为N=5；L=3：所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11（面积单位）.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD 的面积.解：因为N=9；L=4；所以S=2×N+L-2=2×9+4-2=20（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.习题十一解答1.①∵ L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵ L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2.①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=6；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+6-2=20（面积单位）.④∵ L=7； N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.。
格点和面积
格点和面积一提起格点，大家可能会想起六年级小学生小朋友们在数学课上所必修的知识，他们在课上学着如何用格点来找出叉乘的积，计算面积。
虽然这些看起来很简单，但它们背后却凝聚着历史悠久、科学伟大的文化精髓。
格点，中文叫做平面结构，可以简单地理解为：一个由矩形立方体拼凑而成的多维空间，用来表达数学函数或者相关的实际物理概念。
它将数学运算符号和实际空间结合起来，为我们提供了一种很直观的计算方式。
格点概念可以回溯到古希腊时期，大约在公元前6世纪，当时的希腊数学家们就曾提出过这一概念。
早在古希腊神话的时代，格点就被认为是几何学的基础。
当时，几何学家认为，由平面组成的格点是由基本的四个形状（正方形、长方形、直角三角形和正多边形）构成的。
格点的出现，使得几何学从抽象的论题变成了具体的论题，为定量研究奠定了基础。
随后，古希腊数学家希西家也发现，格点可以用来计算面积，进一步开发了格点面积计算方法。
格点面积计算方法是建立在叉乘的原理上的，它的思想很简单：将一个图形分解成由若干个相同大小的矩形组成，把每个矩形的长宽相乘，加和求得所有矩形的乘积，最后就得到了整个图形的面积。
这种方法比以前计算面积的方法要简便，准确得多，更能够满足实际应用的要求。
古希腊时期，格点和面积计算成为数学发展中一个重要而又核心的概念，它在先后影响了数学、物理、地学以及计算机科学等学科，在多种学科中起着非常重要的作用。
最近数百年以来，格点的应用越来越广泛，不仅在数学计算中大量使用，在计算机科学中也被广泛应用，在生物学、社会学等其他领域的应用也越来越多。
可以说，格点面积计算是一个历史悠久、富有伟大文化精髓的数学概念。
它为我们提供了一种极其直观、简易、极其有效的计算方法，帮助我们解决了许多实际问题，是中小学生学习数学的一个必修知识点，在今天仍然不可或缺。
格点法求面积的公式
面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。
格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。
格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。
1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。
这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。
2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。
高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。
第3讲 格点与面积
格点与面积
例1 下图是一个格点图，图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出他们的面积各是多少（如图所示阴影部分的小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少（单位：厘米）
例3 观察下面四个多边形，计算下列多边形的面积，并统计每个多边形四周的格点数和图形内的格点数
例4 下图中是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积？
例5 下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点，∵和∴构成的都是面积为1的等边三角形。
请你计算图中三角形的面积？
思考与练习
1.求下面各图形的面积
2.求下图中的各图形的面积
3.求下图中各图形的面积
4.下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择七个格点，要求其中任意三个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围成的面积尽可能大。
那么，所围图形的面积是多少平方厘米？
5.下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积
6.下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）
7.在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1）
8.如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB中点，N是CD 的中点，P是EF的中点。
问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？。
格点与面积_小学奥数知道点详解
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。
这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。
其中数格子的方法比较原始，很少用。
任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。
格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。
皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。
本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。
例1：求下面各图形的面积。
【解析】：图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。
格点和面积
格点和面积格点与面积是数学中重要的概念。
它的定义与应用都有着深远的影响。
本文将详细阐述格点与面积的定义，以及它们的作用和在实际生活中的应用。
格点定义格点是指将空间或面积等分割成小的方格，每个方格形成一个格点。
格点的大小一般以毫米为单位进行计算，例如，0.05mm*0.05mm 的格点就是一个毫米的四分之一。
换句话说，格点指的是将空间或面积分割成细小的四方形区域，每个四方形区域形成一个方格状，形成一个格点。
面积定义面积是指物体所占空间面积，是指一块物体上所覆盖的空间。
通常来说，面积是以平方米（m）或平方厘米（cm）为单位计算的。
它也可以以立方米（m）、立方厘米（cm）等体积单位计算。
格点与面积的作用格点与面积的作用是十分重要的。
格点可以用来测量和计算一个空间的大小，以及测量一个物体的形状。
它可以用来进行测量，用来分析物体之间的关系，以及进行三维模型的建模等。
同样，面积也是一个非常重要的概念，用来衡量物体的大小和形状。
面积可以用来计算物体的体积，测量两个物体之间的位置，以及测量地形面积的变化。
格点与面积的应用格点和面积在实际生活中有着广泛的应用，例如它们在建筑和土木工程方面有着应用。
建筑设计师可以使用格点来将建筑空间中的方格分割成细小的区域，以便精准控制建筑结构和尺寸，从而最大限度地发挥建筑物的优势。
此外，面积也可以用来计算建筑物的总面积，以便估计建筑物的实际成本。
此外，格点与面积在工业界也有重要的应用。
例如，在机械加工中，格点可以用来确定机体的几何尺寸，进而确定机体的外形及加工尺寸。
另外，在农业生产中，也可以利用面积的概念来计算农田的大小，并且可以根据面积的大小来估算物品的产量。
综上所述，格点与面积都是实用性十分重要的概念，它们在各种实际应用中发挥着重要作用，这些应用可以有效提高工作效率，提高生产力，从而改善我们的生活质量。
第十讲格点与面积
第十讲格点与面积同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！一、正方形格点问题：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.例1、判断以下图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形。
例2、如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：此题所给的图形都是规那么图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.法一：第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位)；第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位)；第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位)；第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3＋6)×4÷2=18(面积单位).注：如果两格点之间的距离是2，你能利用刚计算的结果说出相应面积么？分析：面积数值均扩大4倍。
法二：以上局部图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法〞或“扩展法〞分别转化成平置的长方形来求。
格点与面积
格点和面积【知识点与基本方法】这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。
见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1【典型例题】例1：计算下列各图的面积。
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解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。
(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。
（4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。
（5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。
格点与面积公式
格点与面积公式数学是一门美妙的学科，它以精密的符号和准确的逻辑构成了一幅绚丽的画卷。
格点与面积公式便是其中的亮点之一，它们可以让我们对平面几何的结构和形式进行深入的探究。
在接下来的文章中，我们将对这两个概念进行详细的介绍和解析。
一、格点格点是平面上的一个十字交叉点，它的坐标通常用整数来表示。
我们可以将平面上的许多点组成一个格点图形，其中每个小正方形都是一个单独的格点。
这样的图形拥有明显的规则性和对称性，从而更容易被我们处理和分析。
在许多数学问题中，格点的定位和计算是非常重要的。
例如，在计算多边形内部的点数时，我们需要使用格点计数法，在寻找最短路径时，也需要用到最短路算法中的格点概念。
二、面积公式面积公式是平面几何中最基础和最重要的概念之一。
在不同的情境下，我们有多种面积公式可以使用。
其中最常见的有以下几种：1. 三角形面积公式： S = 1/2 * b * h，其中b为底边长，h为高。
2. 矩形面积公式：S = a * b，其中a和b分别为矩形的两条相邻边长。
3. 梯形面积公式：S = (a + b) * h / 2，其中a和b为梯形的两个底边长，h为高。
4. 圆的面积公式：S = π * r^2，其中π为圆周率，r为半径。
这些面积公式在我们日常生活和学术研究中都经常运用，它们是对平面几何形体面积的基本刻画和描述。
三、格点与面积公式的关系格点与面积公式可以相互结合，从而给我们带来更多的数学启示和理解。
例如，在计算一个多边形内部格点数时，我们既可以使用格点计数法，也可以根据多边形的面积和边界轮廓来计算。
此外，格点与面积公式也常常应用于数学竞赛中的难度较高的题目。
在解决这些问题时，我们需要有系统的数学思维和灵活的运算能力，从而才能得出正确的结论。
总之，格点与面积公式是平面几何中极具特色和魅力的概念，它们为我们开启了一扇通向无限数学世界的大门。
希望读者可以在这些概念的引领下，不断深入探究，开拓思维，从而更好地理解和应用数学知识。
第10讲-格点与面积
图10-1图10-24第十讲：几何问题（五）——格点与面积一、训练目标知识传递：基本图形的面积计算。
能力强化： 观察能力、分析能力、转化能力。
思想方法：图形思想、分析思想、转化思想、公式思想。
二、知识与方法归纳解答比较复杂的关于长方形、正方形的周长和面积的计算问题时，不能生搬硬套公式，需要运用移位、合并、分解、转化等解题技巧。
因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中至关重要。
三、典型例题例1.如图10-1所示，一块长方形草地，长215米，宽75米，中间有两条道路，一条是长方形的，一条是平行四边形的，宽都是5米。
问草地部门的面积是多少？解：例2.如图10-3所示，求面积（单位：厘米）。
[用三种方法来解]解：图10-3体验训练1.如图10-2所示，一块长方形草地，长100米，宽80米，中间有一条宽4米的道路，求草地（阴影部分）的面积。
解：例3.如图10-5所示，一块菜地长18米，宽10，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块。
每一块地的面积是多少？[两种方法来解]解：图10-5例4.如图10-7所示，5个相同的小长方形拼成的一个大长方形，大长方形的周长是44厘米。
求大长方形的面积。
解：图10-7体验训练2 .如图10-6所示，一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有两道红条（阴影部分），红条宽2厘米。
问这条手帕白色部分的面积是多少？解：图10-6例5.如图10-9所示，一个正方形的花坛，四周有1米宽的水泥路，水泥路的总面积是12平方米。
问：中间花坛的面积是多少平方米？解：图10-9例6.如图10-11所示，正方形的边长为12厘米，长方形的顶点恰好分别把正方形四条边都分成了两段，其中长的一段是短的一段的2倍。
这个长方形的面积是多少？解：图10-11﹡例7.把长2厘米、宽1厘米的长方形摆成如图13—4的形状，求该图形的周长。
解：四、内化训练1.一张长5分米、宽4分米的长方形纸板，从四个角上各裁去一个边长为1分米的正方形，所剩部分的周长是多少分米？解：2.如图13—10所示的多边形，它的周长是多少厘米？解：3.用15个边长2厘米的小正方形摆成如图13—11的形状，求它的周长。
格点与面积
方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，
②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．
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1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?
【分析与解】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L -1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
3.求下列各个格点多边形的面积.
4、如果每个小正方形的面积是1平方厘米，那么下图中五角星的面积是多少平方厘米？
5、用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?
1.______(面积单位).
3、下图中的每个正方形的面积都是1，那么图中这只狗所占的图形的面积是多少？
4.将图中的图形分割成面积相等的三块.
5、如下图（a），计算这个格点多边形的面积
6、如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.
1、求下图中格点多边形的面积（每相邻四个点围成的小方格的面积为1平方厘米）。
2.右图中,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形ABCD的面积.
格点面积公式推导过程
格点面积公式推导过程
格点面积公式推导过程可以通过以下参考内容来进行说明。
首先，我们需要了解什么是格点。
在平面几何中，格点指的是平面上由整数坐标所确定的点，即坐标为(x, y)，其中x和y 都是整数。
可以将一个格点看作是一个正方形的顶点。
接下来，我们来推导格点面积公式。
1. 将一个格点看作是一个正方形的顶点，根据正方形的性质，格点的面积等于正方形的面积。
2. 一个正方形的边长等于两个顶点的横坐标或纵坐标之差的绝对值。
因为格点的坐标是整数，所以一个格点的横坐标和纵坐标之差也是整数。
3. 正方形的面积等于边长的平方。
根据步骤2，正方形的边长是两个整数之差的绝对值，所以正方形的面积等于两个整数之差的绝对值的平方。
4. 因为在平面几何中，我们已经知道两个整数之差的绝对值的平方等于两个整数的平方之差。
即，|a-b|^2 = a^2 - 2ab + b^2。
5. 将步骤4中的公式代入步骤3中，得到正方形的面积为a^2 - 2ab + b^2。
6. 因为格点的面积等于正方形的面积，所以格点的面积也等于
a^2 - 2ab + b^2。
最终，我们得到了格点的面积公式为a^2 - 2ab + b^2。
通过以上的推导过程，我们可以得到格点面积公式。
这个公式可以用来计算格点的面积，可以在进行多边形相关问题的计算中发挥重要作用。
四年级奥数---格点与面积 (学生版)
格点与面积一、知识要点（1）基本概念1、格点：在方格纸（平面）上，纵横两组平行线垂直相交的交点称为格点。
2、格点与多边形：以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形。
3、面积单位：以格点为顶点围成的小正方形称为面积单位。
（格点多边形面积的大小，与格点数有关，格点越多，面积越大。
）（2）常用技巧利用格点求图形的面积。
一是，直接将图形分成若干个面积单位，再通过计算有多少个面积单位求图形的面积。
二是，将复杂的图形转化成长、正方形来求。
（3） 格点图形面积的计算方法1、格点多边形的面积＝图内格点数＋周界上的格点数的一半－112L S N =+- 2、三角形格点多边形面积＝图内格点数的2倍＋周界上格点数－222S N L =+-二、例题精讲【例1】根据下组图填表（1） （2） （3）图形号 1 2 3周界格点数图内格点数面积（单位）【例2】求下图格点多边形的面积。
（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1 的等边三角形）【例3】下图中每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例4】如下图所示，在圆周上有5个钉，在这5个钉中，任取三个钉用皮筋可套出一个三角形，问以钉1为顶点的三角形有多少个？【例5】如图ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC长3厘米，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？【例6】如下图中小猫图的面积是多少？••••••••••••••••••••••••••••••••••••【例7】下图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积是1，试计算四边形的面积。
•••••••••••••••••••••【例8】思考题小刚和小强比赛，用一条长36米的绳子在格点上看谁围出的面积最大，你知道他们是怎样围的吗？（每块土地的长宽均为1米）三、课后作业【作业1】右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)。
五年级秋季提高班8次课 格点与面积(已改模板)
M05秋B0081格点与面积月 日 姓 名【知识要点】1．格点的意义2．面积单位的意义 面积相等的每个小正方形称为面积单位，例如图1-1中带阴影的小方格就是一个面积单位。
3．利用格点求面积利用格点求面积通常用到“扩展法”或“割补法”，扩展法通常将所求图形扩展为规则图形利用规则图形的面积减去所求图形以外的面积。
“割补法通常是把图形通过割补” 常是把图形通过割补变为规则图形从而求得解。
【典型例题】例1 请在下面的格点中画出面积为4个面积单位的锐角三角形、6个面积单位的图形。
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格点与面积
第四讲格点与面积
【例1】图1中是用橡皮筋钉在钉板上围成的几个图形，每两个相邻点之间
分析图1中每相邻点之间的距离都是1厘米，相邻四个点围成的小方格面积就是1平方厘米，相邻三个点围成的小三角形面积就是0.5平方厘米。
解进行分割（图2）。
（1）的面积是6平方厘米，（2）的面积是12平方厘米，（3）的面积是3平方厘米，（4）的面积是9平方厘米，（5）的面积是5.5平方厘米。
说明图2中的图形，都是以格点为顶点的多边形，称为格点多变形，格点多边形的面积越大（小），它所包含的格点（包括边界上的）就越多（少）。
【例2】计算图3（1）中三角形的面积。
图3
分析图中三角形是斜着的，先将它扩展成长方形，如图3（2），这个长方形由4个三角形组成，分别求出：①、②、③3个三角形的面积，再用长方形面积减去这3个三角形的面积和，即可求出原三角形的面积。
解三角形①的面积：3X24-2=3
三角形②的面积：2X24-2=2
三角形③的面积：4X14-2=2 长方形面积：4X3=12
三角形④的面积:12-3-2-2=5
【例3】图4中每两个相邻点之间的距离都是1厘米，求出各个图形的面积,
图4
分析按照例1的分析方法，进行分裂。
解A的面积是2平方厘米，B的面积是4. 5平方厘米，C的面积是5. 5平方厘米，D的面积是7平方厘米，E的面积是2平方厘米。
填表:
n c r vv-fl B } 分析 现在小方格的面积是2,即比例2扩大了两倍，可以用例2的公式，也可 以直接计算，先把图4分割，如图6,然后数一数三角形的个数。
图6
解A 的面积是5平方厘米，B 的面积是10平方厘米，C 的面积是12平方厘米,
寻找规律: 图形 A : 4-2+1-1=2 图形 B : 9-2+1-1=4.5 图形 C: 9-2+2-1=5.5 图形 D: 10 - 2+3-1=7 图形 E : 6-2+0-1=2 于是，图形的面积与格点数有如下关系: 图形的面积=边上点数十2+内部点数-1 【例4】 图5中每相邻三个点围成的面积是1平方厘米，求各图的面积。
填好 F 表，最好总结出一般规律。
图形 边上点数 内部点数 面积 A B C D E 图5
D的面积是18平方厘米。
填表：
寻找规律：
图形A: (7 - 2+0-1 )X 2=5
图形B: (10 十2+1-1) X 2=10
图形C: (10 十2+2-1) X 2=12
图形D: (12-2+4-1) X 2=18
于是，图形的面积与格点数有如下关系：
图形的面积=(边上点数十2+内部点数-1 )X 2 说明与例3的公式相比，现在的面积扩大了两倍
练习：
★ 1.计算下图的面积。
图1 图2
★ 3.求下图中图形的面积。
（1格表示1平方厘米。
）
★ 5.图中有28个点，其中每相邻的三个点或“•••”所形成的三角形都是面积为1平方厘米的等边三角形，试计算五边形ABCDE勺面积。
★★ 6.图中的每个小正方形的面积都是2平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
1
(\K
★ 4.求下面各图的面积。
（1格表示1平方厘
D
★★
7.图是某海岸一个灯塔的平面图，假设四个格点“工”组成的小正方形
面积为单位面积，试求此海岸的面积。
★★ 8.求下列格点多边形的面积。
（每相邻三个点」•”或“•••”构成面积为1的等边三角形）
★★ 9.图中的每个小正方形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
★★★ 10.如图，求下面格点多边形的面积。
（相邻四个点围成的小方格的面积为3平方分米）
(1)(2)
★★★ 11.图中的每个正方形的面积都是1,那么图中这只狗所占的面积是多少？
★ ★★ 12.图中的图形是一个礼盒平面图，求它的面积。
★★★ 13.如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米。
小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为______________ 平方厘米。