2018年高考数学—不等式专题

不等式

(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.

解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.

答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)

(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y

满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，

x ＋y －3≥0，x －3≤0，

则

z ＝x －2y 的最小值为

________.

解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5

(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，

x －2y －1≤0，x ≤1，

则z ＝2x

＋3y －5的最小值为_____.

解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，

当直线y ＝－23x ＋53＋z

3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.

(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，

x －2y ＋3≥0，x ≥0，

则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.

解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，

即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4

(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，

则2x ＋y 的最大值为(

)

A.0

B.3

C.4

D.5

解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，

令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4.

答案 C

(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，

2x －3y ≤9，x ≥0，

则x 2＋y 2的最大值是(

)

A.4

B.9

C.10

D.12

解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示， x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大.所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10. 答案 C

(2015·福建卷)若直线x a ＋y

b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A.2 B.3

C.4

D.5

解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1

b ＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )·

⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取

“＝”，故选C. 答案 C

(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )

A.7

B.8

C.9

D.10

解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2

b a ·4a

b ＝9，当且仅

当b ＝2a >0时取等号.故选C.答案 C

(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2

b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2

C.2 2

D.4

解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥2

2ab ＝22ab ，

当且仅当1a ＝2

b ，即b ＝2a 时，“＝”成立. 因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22，

所以ab 的最小值为22，故选C 答案 C