2018年高考数学—不等式专题
2018年北京市高考数学理14专题十四不等式选讲
2018年北京市高考数学理14专题十四不等式选讲第一篇：2018年北京市高考数学理 14专题十四不等式选讲第十四篇：不等式选讲解答题1.【2018全国一卷23】已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.2.【2018全国二卷23】设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|．（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a 的取值范围．3.【2018全国三卷23】设函数f(x)=2x+1+x-1．（1）画出y=f(x)的图像；+∞)，f(x)≤ax+b，求a+b的最小值．（2）当x∈[0，4.【2018江苏卷21D】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．参考答案解答题⎧-2,x≤-1,⎪ 1.解：（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)=⎨2x,-1<x<1，⎪2,x≥1.⎩故不等式f(x)>1的解集为{x|x>}．（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；若a>0，|ax-1|<1的解集为0<x<综上，a的取值范围为(0,2]．1222，所以≥1，故0<a≤2．aa⎧2x+4,x≤-1,⎪2.解：（1）当a=1时，f(x)=⎨2,-1<x≤2，⎪-2x+6,x>2.⎩可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2，所以a的取值范围是(-∞,-6][2,+∞)．1⎧-3x,x<-,⎪2⎪1⎪3.解：（1）f(x)=⎨x+2,-≤x<1,y=f(x)的图像如图所示．2⎪⎪3x,x≥1.⎪⎩（2）由（1）知，y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立，因此a+b的最小值为5．4.证明：由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2．因为x+2y+2z=6，所以x2+y2+z2≥4，当且仅当xyz244==时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，122333所以x2+y2+z2的最小值为4．第二篇：专题：不等式选讲专题：不等式选讲1、已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).（Ⅰ）当a=5时，求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围。
最新2018年高考数学(理)一轮课件：专题7-不等式(80页)
考点35 不等式的性质及应用
Hale Waihona Puke 考点35不等式的性质及应用
考法1 不等式的性质及应用
考法2 利用不等式的性质证明不等关系
考点35 不等式的性质及应用
考点35
考法1 不等式的性质及应用
1.应用不等式的性质解题的常见类型及方法 （1）不等式性质与充要条件、求取值范围、证 明与推导不等式综合的问题，应注意观察从已知 不等式到目标不等式的变化,它是如何变形的,这 些变形是否符合不等式的性质； （2）若比较大小的两式是指数或对数模型,注意 运用函数单调性解题； （3）恰当运用赋值法和排除法探究解答选择题、 填空题.
2.已知一元二次不等式的解集确定参数
考点36 常见不等式的解法
考点36
考法3 解一元二次不等式
【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的联系非常紧密,要注意相 互转化.要注意二次项系数的正负号,若二次项系数为正,对应的二次函数的图象开 口向上,再结合图象观察处于x轴上方与下方的横坐标的取值范围,分别为不等式 大于0和小于0的解集（图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解）； 若二次项系数为负,一般先将其系数由负转化为正,再根据前面介绍的方法求解.
考点36 常见不等式的解法
考点36
考法4 解分式不等式、绝对值不等式
1.解分式不等式 解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式.
考点36 常见不等式的解法
考点36
考法4 解分式不等式、绝对值不等式
2.解绝对值不等式
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴 上两点之间的距离求解； (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的 图象，利用函数图象求解； (6)含两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝 对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
最新-2018年高考数学真题汇编 8：不等式 理 精品
2018高考真题分类汇编：不等式1.【2018高考真题重庆理2】不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【答案】A2.【2018高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0.A.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b B.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b C.若2a-2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a-2a=a b-3b ，则a ＜b 【答案】A3.【2018高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元【答案】C.4.【2018高考真题山东理5】已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【答案】A5.【2018高考真题辽宁理8】设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D【解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大，最大值为55，故选D【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。
该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。
高三数学-2018--第六章不等式02018 精品
第六章不等式1．（2018年安徽卷）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件1．解：命题:p a b =是命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件，故选B 。
2．（2018年陕西卷）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （B ） （Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）23．( 2018年重庆卷)若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( D ) （A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-24． ( 2018年重庆卷)设a ＞0,n ≠1,函数f (x )=a lg (x 2-2n +1) 有最大值.则不等式log n (x 2-5x +7) ＞0的解集为_(2,3)__.5. （2018年上海春卷）不等式0121>+-x x 的解集是 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1 .6. （2018年上海春卷）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则 （结论用数学式子表示）.)1(2121n m na a a m a a a nm <≤+++≤+++ 和)1(2121n m na a a m n a a a nn m m <≤+++≥-+++++7. （2018年上海春卷）若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( C )（A ）ba 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >. 8．（2018年天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 20 吨．9．（2018年江苏卷）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 ▲ 9．解：211log (6)3068x x x x++≤⇔<++≤ ()2220168101816033x x x x x x x x x ><++≤⇒-≤⇒=<≤++<⇒--<<-+当x 0时,当x 0时,综上：{}331x x x --<<-+= 点评：本题主要考查对数不等式的解法10．（2018年江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 10．解：因为()()||||||a b a c b c a c b c -=---≤-+-，所以（A ）恒成立； 在（B ）两侧同时乘以2,a 得()()()()()()2434332*********a a a a a a a a a a a a +≥+⇐-+-≥⇐---≥⇐-++≥所以（B ）恒成立；（C ）中，当a>b 时，恒成立，a<b 时，不成立； （D≤恒成立，故选（C ） 点评：本题主要考查不等式的相关知识11．（2018年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ D ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a11．解：故选D12．（2018年江西卷）若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是（ C ） A ．0 B. –2 C.-52D.-3 12．解：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－ 若a 2－≥12，即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒ 11bxb 001x xb a 11ax x a 00x x 1x 0x x bx 1011bx x x 1ax 01b a x x 0a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪⇔⇔⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩＋＋－－－或－（＋）－或（－）或－52≤x ≤－1 若a 2－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0若0≤a 2－≤12，即－1≤a ≤0，则应有f （a 2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0 综上，有－52≤a 故选C 13．（2018年北京卷）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A)（A ）1()f x x=（B ）()||f x x =（C ）()2x f x =（D ）2()f x x =14．（2018年北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 ( C )（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >>15．（2018年上海卷）三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 a ≤10 ． 16．（2018年上海卷）若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有[答]（ A ）（A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M ．17． （ 2018年浙江卷）“a ＞b ＞c ”是“ab ＜222b a +”的 （A ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件18．（ 2018年浙江卷）对a,b ∈R,记max|a,b |=⎩⎨⎧≥ba b ba a ＜,,函数f （x ）＝max||x+1|,|x-2||(x ∈R)的最小值是 3/2 .19． (2018年山东卷）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (C) (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）20．（ 2018年浙江卷）设f(x)=3ax 0.2=++++c b a c bx b若,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(Ⅰ)a ＞0且-2＜ba＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 16.略。
2018年高考数学总复习不等式选讲
第三节不等式选讲(选修4-5)考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式与其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法与数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（1）；（2）；（3）.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）；（2）；（3）.（变形后为充要条件）3.作差比较法二、含绝对值的不等式（1）；（2）（3）零点分段讨论三、基本不等式（1）（当且仅当等号成立条件为）（2）（当且仅当等号成立条件为）；（当且仅当时等号成立）（3）柯西不等式（当且仅当时取等号）①几何意义：②推广：.当且仅当向量与向量共线时等号成立.四、不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.题型归纳即思路提示题型201 含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：；；.有时去绝对值也可根据来去绝对值.例16.14 在实数范围内，不等式的解集为 .解析由于，即，即，所以，所以.所以不等式的解集为.变式1 不等式的解集是（）A. B. C. D.变式2 已知函数.（1）证明：；（2）求不等式的解集.二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题例16.15 （2012辽宁理24）已知,不等式的解集为.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.解析（1）由得，又的解集为，所以当时，不合题意.当时，得.(2)记，则，所以，因此，即的取值范围是.变式1 （2012新课标理24）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.变式 2 (2013重庆理16) 若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .变式 3 (2013全国新课标I理24) 已知函数,.(1)当时，求不等式的解集；(2)设，且当时，，求的取值范围.三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 .解析不等式有解，则，故实数的取值范围是.变式1 (2012陕西理15)若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .变式2 已知，关于的方程有实根，求的取值范围.四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例16.17 （2013福建理23）设不等式的解集为，且 .(1)求的值；(2)求函数的最小值.分析先根据不等式的情况求出字母取值，在利用不等式求解最值.解析（1）因为且，所以，且，解得.又，所以.(2)因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.变式1 设函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的值.变式2 (2013辽宁理24) 已知函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2) 已知关于的不等式的解集为，求的值.变式 3 (2012山东理13) 若不等式的解集为，则实数= .题型202 不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商，与与进行比较，得到大小关系.例16.18 已知均为正实数，且，求证：.分析比较与的大小可通过作差法.解析.因为，，所以,,.故.所以.评注作差比较的基本步骤为：（1）作差.（2）变形.（3）判断符号.变式 1 已知，且,. 求证：.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为，另一端为所作辅助函数.（2）求并验证在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为或已知符号，作比较即得所证.例16.19 已知，求证：.分析属于在某区间上成立的不等式，通过移项使得一端为，另一端为所作的辅助函数，利用函数的单调性证明.解析原不等式等价于.令，.令，则，故在上是减函数，所以当时，，故. 故，所以在上是增函数.又，所以当时，成立.于是成立.变式1 证明：当时，.三、综合法与分析法思路提示字母分别表示一组不等式，其中为已知不等式，为待证不等式.若有，综合法是由前进式地推导，分析法是由倒退式地分析到.用分析法时，必须步步可逆.1.综合法（由因到果）例16.20 证明：.分析观察到与是负数，被开方数分别为，显然满足，这样可以考虑将分子有理化.解析，，，故，即.评注类似的问题可以总结为d的形式或者更广泛的形式.变式1 设，求证：.2.分析法（由果索因）例16.21 设，求证：.分析利用分析法将证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口.解析要证明，只要证，即证.因为，所以.故原不等式成立.评注在证明不等式时，经常用分析法探寻证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程步步可逆.变式1 若，且，求证：.四、反证法思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16.22 已知为不小于的正数，求证：不可能同时大于.分析假设三式都大于，经过推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论的正确性.解析假设三式都大于，即，有①同理②③三式相加得，矛盾，故原命题成立.评注对于从正面证明不易着手，但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便.这也体现了数学中“正难则反”的思想.变式1 已知，,求证：.五、放缩法思路提示预证，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得或，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.例16.23 已知正数满足，求证：.分析采用“添项”放缩法解析①同理②③①+②+③得.评注放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：，所以.变式1 证明：.例16.24 求证：.分析采用“分母”放缩法证明.解析由题意，，则，.所以原不等式成立.例16.25 设，且满足，问取何值时，以为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析由幂函数性质可知，，要构成三角形，只需，故，即证明，只需证明，即. ①由，且，由指数函数单调递减可知，要使得式①成立，只需.因此可知，要成立.只需成立.当时，，三角形为直角三角形；当时，即，此时三角形为钝角三角形；当时，即，此时三角形为锐角三角形.六、三角换元法思路提示若，等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.例16.26 设实数满足，，求证：.分析由，联想到三角换元.解析令，，.当，即时，取得最大值，证毕.评注三角换元在不等式证明以与求函数的最值、解析几何中参数的范围与最值方面有着极大的作用，常常可化难为易.变式1 设，，求证：.七、构造法思路提示一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数.（2）构造辅助数列.（3）构造几何图形.例16.27 设，，若，求证：.分析构造一次函数证明.解析即.若视为未知数，并用代替，即证明时，.即证.设,即证时，.而是关于的一次函数，且，，因此当时，成立，从而原不等式成立.评注本题也可利用如下解法：，，即证，，即证，即，由，得，故成立.例16.28 已知为三角形的三边长，求证：.分析不等式左右两边的个式子具有相同的结构形式，故考虑构造函数.解析，，说明函数在上单调递增，又为三角形的三边长，故，则.变式1 证明：.变式2 已知且，，求证：.例16.29 证明：当且时，有.分析本题通过构造辅助数列证明.解析构造数列，因为，所以数列为单调递减数列.所以，即.评注本题将看作参数构造辅助数列，判断数列的单调性从而证明结论.例16.30 设，求证：.分析根据已知式的形式特征联想勾股定理，构造几何图形证明.解析如图16-34所示，构造正方形，设，则，则.变式 1 设，求证：.八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式与向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1.二维形式的柯西不等式设，.等号成立图.证明设，由，得，又，即，，故等号成立即.2.一般形式的柯西不等式设与为任意实数，则，当且仅当（规定时，）时等号成立.证法一：当全为时，命题显然成立.否则，考查关于的二次函数，显然恒成立.注意到，而恒成立，且，故的判别式不大于零，即，整理后得.证法二：向量的内积证法.令，，为与的夹角.因为，且，所以，即，等号成立或平行.柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.例16.31 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.解析①因为，等价于.由有解，得，且其解集为.又的解集为，故.②由①知，又，由柯西不等式得.变式 1 已知，，求证：.变式2 已知，.求证：.例16.32 设实数满足，求证：.解析由柯西不等式，.所以，所以.评注有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等.变式1 已知,且，求证：.变式 2 已知正实数满足，求证：.最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式的解集是（）A. B. C. D.2.设，则（）A. 都不大于B. 都不小于C. 至少有一个不大于D. 至少有一个不小于3.若，，则的大小关系是（）A. B. C. D. 由的取值决定4.用数学归纳法证明某不等式，左边，“从到”应将左边加上（）A. B. C. D.5. 的最大值为（）A. B. C. D.6.若正数满足，则①的取值范围是；②的取值范围是 .7.在实数范围内，不等式的解集为 .8.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .9.已知,.求证：.10.已知函数.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若的解集包含，求的取值范围.11. 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.12.已知函数.设数列满足，，数列满足，.（1）用数学归纳法证明：；（2）证明：.。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(不等式)
取得最大值， zmax 3 2 2 0 6 .
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5．（2018
天津文、理）已知 a，b∈R，且
a–3b+6=0，则
2a+
1 8b
的最小值为__________．
5．【答案】 1 4
【解析】由 a 3b 6
0 可知 a
3b
6
，且 2a
1 8b
2a
2 3b
，因为对于任意
y y
4，
则目标函数
1，
z
3x
5
y
的最大值为
y 0，
（）
（A）6 （B）19 （C）21 （D）45
2．【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标
函数在点
A
处取得最大值，联立直线方程：
x y x
5 y 1
，可得点
A
的坐标为
A
2,
3
，
据此可知目标函数的最大值为 zmax 3x 5 y 3 2 5 3 21 ．故选 C．
二、填空
1．（2018 北京文）能说明“若 a b ，则 1 1 ”为假命题的一组 a ， b 的值依次为_________． ab
1．【答案】1， 1 （答案不唯一）
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【解析】使“若 a b ，则 1 1 ”为假命题，则“若 a b ，则 1 1 ”为真命题即可，只需取 a 1，b 1
x ，2x
0 恒成立，结
合均值不等式的结论可得： 2a 23b 2 2a 23b 2 26 1 ． 4
当且仅当
2a
23b
a 3b 6
2018年高考数学分类汇编：不等式
E 单元不等式E1 不等式的概念与性质 E2 绝对值不等式的解法 E3 一元二次不等式的解法 E4 简单的一元高次不等式的解法E5 简单的线性规划问题14.E5【2018·全国卷Ⅰ】 若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为 . 14.【答案】6【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线y=-32x+z2经过点A （2，0）时，z 最大，所以z max =3×2+2×0=6.14.E5【2018·全国卷Ⅱ】若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z=x+y 的最大值为 . 14.【答案】9【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线y x z =-+过点A （5，4）时，直线的纵截距z 最大，所以max 549z =+=.15.E5【2018·全国卷Ⅲ】 若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则13z x y =+的最大值是 .15.3 【解析】 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图易知目标函数在点A （2，3）处取得最大值，最大值为2+13×3=3.12.E5【2018·浙江卷】 若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z=x+3y 的最小值是 ，最大值是 . 12.【答案】2-；8【解析】 作出如图中阴影部分所示的可行域，易知A （2，2），B （4，-2），C （1，1），目标函数表示斜率为-13的一组平行直线.由图可知，当直线x+3y-z=0经过点A 时，z 取得最大值，最大值为2+3×2=8；当直线x+3y-z=0经过点B 时，z 取得最小值，最小值为()4322+⨯-=-.13.E5【2018·北京卷】 若x ，y 满足x+1≤y ≤2x ，则2y-x 的最小值是 .13.3 【解析】 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，联立{y =x +1，y =2x ，得交点坐标为（1，2），由图可知，当目标函数z=2y-x 过点（1，2）时，z 有最小值，z min =2×2-1=3.E6 2a b+≤13.E6【2018·天津卷】已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则123ab+的最小值为 . 【解题提示】运用基本不等式求解. 【答案】14【解析】由已知得36a b -=-，由基本不等式得1122284a b +≥==（当且仅当a=-3b=-3时取等号）.E7 不等式的证明方法E8 不等式的综合应用 E9 单元综合8.E9【2018·北京卷】 设集合A={（x ，y ）|x-y ≥1，ax+y>4，x-ay ≤2}，则（ ） A.对任意实数a ,(2,1)∈A B.对任意实数a ,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A8.D 【解析】当a=0时，A 为空集，排除A ；当a=2时，（2，1）∈A ，排除B ；当a=32时，作出可行域如图中阴影部分所示，由x y 13x y 42-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得P （2，1），又∵ax+y>4，取不到边界值，∴（2，1）∉A.故选D.1.【2018·北京通州区期末】 已知a ，b ∈R ，a>b>0，则下列不等式一定成立的是（ ） A . 1a >1b B . tan a>tan b C . |log 2a|>|log 2b| D . a ·2-b >b ·2-a1.D 【解析】 对于A ，a>b>0，则1a <1b ，故不成立；对于B ，不妨设a=3π4>b=π4>0，则tan 3π4=-1，tan π4=1，故不成立；对于C ，不妨设a=2，b=14，则|log 2a |=1，|log 2b |=2，故不成立.故选D . 2.【2018·唐山五校联考】 已知不等式x 2-bx-a ≥0的解集是{x|x ≤2或x ≥3}，则不等式ax 2-bx-1>0的解集是（ ） A .{x|2<x<3} B .{x |-12<x <-13} C .{x |13<x <12} D .{x |x <13或x <12}2.B 【解析】 ∵不等式x 2-bx-a ≥0的解集是{x|x ≤2或x ≥3}，∴x 2-bx-a=0的解是x 1=2和x 2=3，∴{2+3=b ，2×3=-a ，解得{a =-6，b =5，则不等式ax 2-bx-1>0即为-6x 2-5x-1>0，解得{x |-12<x <-13}. 3.【2018·遵义联考】 已知O 是坐标原点，点A （-1，1），若点M （x ，y ）为平面区域{x +y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 3.【0，2】【解析】设z=OA⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ =-x+y.在直角坐标系内作出可行域如图所示.由图可知，当直线z=-x+y 经过可行域内点C （0，2）时，z 有最大值，即（OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ ）max =-0+2=2；当直线z=-x+y 经过可行域内点A （1，1）时，z 有最小值，即（OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ ）min =-1+1=0.所以OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为【0，2】.4. 【2018·衡水一中月考】 若x ，y 都是正数，且x+y=3，则4x+1+1y+1的最小值为 .4.95 【解析】 设m=x+1，n=y+1.∵x+y=3，∴{x =m -1，y =n -1，则m+n=5，∴4x+1+1y+1=4m +1n =(4m +1n )(m 5+n5)=45+4n 5m +m5n +15≥1+2√4n 5m·m 5n =95，当且仅当m=103，n=53，即x=73，y=23时取等号.。
2018年高考真题理科数学分类汇编专题4数列与不等式
专题4数列与不等式（2018全国1卷）4. 设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.（2018北京卷）4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.（2018全国1卷）13. 若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.（2018全国2卷）14. 若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】9【解析】分析：先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法.详解：作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.（2018天津卷）2. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.（2018天津卷）4. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2018北京卷）12. 若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．【答案】3【解析】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.详解：作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.（2018天津卷）13. 已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． （2018江苏卷）13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.（2018浙江卷）12.若x ，y 满足约束条件，则z =x +3y 的最小值是________________________，最大值是_____________________ 12.答案：2- 8解答：不等式组所表示的平面区域如图所示，当42x y ì=ïïíï=-ïî时，3z x y =+取最小值，最小值为2-；当22x y ì=ïïíï=ïî时，3z x y =+取最大值，最大值为8.（2018全国1卷）14. 记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 详解：根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. （2018北京卷）9. 设是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则的通项公式为__________．【答案】【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 详解：点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. （2018浙江卷）10已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( )A . a 1<a 3，a 2<a 4B . a 1>a 3，a 2<a 4C . a 1<a 3，a 2>a 4D . a 1>a 3，a 2>a 410.答案：B解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-，得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤，212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<. ∴13a a >，24a a <.（2018江苏卷）14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.（2018全国2卷）17. 记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）a n=2n–9，（2）S n=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（2018全国3卷）17. 等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或（2）【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。
最新-【数学】2018年高考数学试题精编：62不等式的证
第六章 不等式二 不等式的证明【考点阐述】不等式的证明．【考试要求】（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．【考题分类】【考题分类】（一）选择题（共1题）1.（上海春卷16）已知)1,0(,21∈a a ，记1,2121-+==a a N a a M ，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．N M <B ．N M >C ．N M =D ．不确定答案：B解析：由1212121(1)(1)0M N a a a a a a -=--+=-->，故M N >，选B.（二）解答题（共2题） 1.（江苏卷21④）已知实数a,b ≥0，求证：)b a (ab b a 2233+≥+[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。
满分10分。
（方法一）证明：332222()()()a b ab a b a a a b b b b a +-+=-+- 55()[()()]a b a b =--2432234()[()()()()()()()()]a b a a b a b a b b =-++++因为实数a 、b ≥0，2432234()0,[()()()()()()()()]0a b a a b a b a b b -≥++++≥ 所以上式≥0。
即有3322()a b ab a b +≥+。
（方法二）证明：由a 、b 是非负实数，作差得332222()()()a b ab a b a a a b b b b a +-+=-+-55()[()()]a b a b =--当a b ≥时，a b ≥，从而55()()a b ≥，得55()[()()]0a b a b --≥； 当a b <时，a b <，从而55()()a b <，得55()[()()]0a b a b --<； 所以3322()a b ab a b +≥+。
2.（辽宁卷理24文24）已知cba,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cbacba，并确定cba,,为何值时，等号成立。
2018--2020年高考数学试题分类汇编不等式选讲附答案详解
2018-2020年高考数学试题分类汇编不等式选讲1、（2018年高考全国卷1文理科第23题）（10分）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，由f（x）＞1，∴或，解得x＞，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜，∴a＜∵＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．2、（2018年高考全国卷II文理科第23题）[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≤4，∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，∴|a+2|≤4，即﹣4≤a+2≤4，解得﹣6≤a≤2，故a的取值范围[﹣6，2]．3、（2018年高考全国卷III文理科第23题）[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，则f（x）=对应的图象为：画出y=f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值为5．4、（2018年高考江苏卷第24题）[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z=6，求x 2+y 2+z 2的最小值．【解答】解：由柯西不等式得（x 2+y 2+z 2）（12+22+22）≥（x +2y +2z ）2， ∵x +2y +2z=6，∴x 2+y 2+z 2≥4 是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x 2+y 2+z 2的最小值为45、（2019全国III 卷文理科）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. （2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．6、（2019全国II 卷文理科）[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.7、（2019全国I 卷文理科）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥. 8、（2019江苏卷21C ）C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或. 9、（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 答案：（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 解析：（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．解：（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示： 由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 10、（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 答案：（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.解析：（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 解：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.11、（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ． 答案：（1）证明见解析（2）证明见解析.解析：（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 解：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .12、（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 答案：22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果解：因为1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
2018年高考理科数学平不等式100题(含答案解析)
2018年高考理科数学不等式100题（含答案解析）1.已知实数x ，y 满足约束条件，则z=的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．2.圆x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣1=0上存在两点关于直线ax ﹣2by+1=0（a ＞0，b ＞0）对称，则+的最小值为（ ） A ．3+2B ．9C ．16D ．183.设实数x ，y 满足约束条件，则z=x 2+y 2的最小值为（ ）A ．B ．10C ．8D ．54.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x ﹣2y 的最小值为（ ）A ．B ．﹣3C ．0D ．15.已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为（A ）-1 （B ）13（C ）1 （D ）3 6.已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B =（A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭7.若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（ ）．A ．32-B ．32C ．23-D ．238.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是( )A ．29 000元B ．31 000元C ．38 000元D ．45 000元 9.设集合{}|(1)(2)0A x x x =+-<，集合{}|13B x x =<<，则AB =（ ）． A ．{}|13x x -<< B ．{}|11x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x << 10.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+-k x 01y 3x 01y x ，若z=3x ﹣y 的最大值为3，则实数k 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．311. 若集合A={x|02x 5x ≤-+}，B={x||x|＜3}，则集合 A ∪B 为（ ） A ．{x|﹣5＜x ＜3} B ．{x|﹣3＜x ＜2}C ．{x|﹣5≤x ＜3}D ．{x|﹣3＜x≤2}12.若x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+y 的最大值为2，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 13.已知集合A={x||x|＞1}，B={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A∩B=（ ） A ．（﹣1，1） B ．R C ．（1，3] D ．（﹣1，3]14.由直线x ﹣y+1=0，x+y ﹣5=0和x ﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-1x 05y x 01y x B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-1x 05y x 01y x C ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-1x 05y x 01y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≤+-1x 05y x 01y x 15.已知x ＞0，y ＞0，且3x+2y=xy ，若2x+3y ＞t 2+5t+1恒成立，则实数t 的取值范围（ ）A ．（﹣∞，﹣8）∪（3，+∞）B ．（﹣8，3）C ．（﹣∞，﹣8）D ．（3，+∞） 16.已知x ，y 满足不等式组，则z=﹣3x ﹣y 的最小值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣7 C ．﹣6 D ．﹣8 17.已知集合M={x|（x+1）（x ﹣4）＜0}，N={x|x|＜3}则M ∩N=（ ） A ．（﹣3，﹣1） B ．（﹣1，3） C ．（3，4） D ．（﹣1，4）18.设x ，y 满足约束条件，则z=3x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．11 19.设集合M={x|x 2＜x}，N={x||x|＜1}，则（ ） A ．M ∩N=∅ B ．M ∪N=MC ．M ∩N=MD ．M ∪N=R20.已知全集U=R ，集合A={x|3≤x ＜7}，B={x|x 2﹣7x+10＜0}，则∁R （A ∩B ）=（ ） A ．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B ．（﹣∞，3）∪[5，+∞） C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．（﹣∞，3]∪（5，+∞）21.关于实数x ，y 的不等式组所表示的平面区域记为M ，不等式（x ﹣4）2+（y ﹣3）2≤1所表示的区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．22.设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-2x 02y x 0y x ，则（x+1）2+y 2的最小值为（ ）A ．1B ． 29C ．5D ．9 23.设集合A={x|x 2﹣4x ＜0}，B={x|log 2x ＞1}，则A ∩B=（ ） A ．（2，4） B ．（0，2） C ．（1，4） D ．（0，4） 24.已知x ＞0，y ＞0，且4x+y=xy ，则x+y 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．12 D ．16 25.设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥+≤-0y 2y x 2y x 所表示的区域为M ，函数y=﹣2x 1-的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（ ） A ． π2B ．4π C ． 8πD ． 16π 26.若实数x ，y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+01y x 401x 01y x 则目标函数z=3x 1y ++的最大值为（ ）A ．41B ．32C ．23D ．2 27.已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|x14-＞0}，则M∩N=（ ）A ．{x|﹣1≤x ＜1}B ．{x|x ＞1}C ．{x|﹣1＜x ＜1}D ．{x|x≥﹣1}28.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-03y x 301y x 01y x 则目标函数z=4x+y 的最大值为（ ）A ．4B ．11C ．12D ．14 29.设集合A={x|x 2﹣x ﹣6＞0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B=（ ） A ．（﹣2，1] B ．（﹣3，﹣2] C ．[﹣3，﹣2）D ．（﹣∞，1]∪（3，+∞）30.已知集合A={x|2x 1x -+＜0}，集合B=N ，则A∩B=（ ） A ．{﹣1，0，1} B ．{1} C ．{0，1}D ．{﹣1，0}31.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．3 32.设集合A={x||x ﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x ∈[0，2]}，则A ∩B=（ ） A ．[0，2] B ．（1，3） C ．[1，3） D ．（1，4）33.设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x ∈Z|x 2﹣5x+4＜0}，则∁U （A ∪B ）=（ ） A ．{0，1，2，3} B ．{5} C ．{1，2，4} D ．{0，4，5}34.设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥≥-x 2y 2x y 0y 2x ，则z=2x+y 的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．310D ．3835. 由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．36.已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|2x＞4}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∩∁R B=R D．A∩B=∅37.设m=﹣，n=﹣，p=﹣，则m，n，p的大小顺序为（）A．m＞p＞n B．p＞n＞m C．n＞m＞p D．m＞n＞p38.若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．239.已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x＜4}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，0）C．[﹣1，3] D．（3，4）40.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）A．B． C．D．41.设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3] C．D．42.设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁U B）∩A=（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．[0，3）D．（0，3）43.若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b ，则函数z=2ax+by 在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 44.设点P （x ，y ）在不等式组表示的平面区域上，则z=的最小值为（ ） A ．1 B ． C ．2 D ．45.设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x 2+2x ﹣3＜0}，则A ∩B=（ ） A ．{﹣1} B ．{﹣1，0} C ．{﹣1，0，1} D ．{﹣2，﹣1，0}46.已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B =（ ）． A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-47.已知全集U =R ，集合{}1A x y x ==-，{}220B x x x =-<，则A B =（ ）．A ．{}0x x >B ．{}0x x ≥C ．{}01x x <<D ．{}12x x <≤48.记不等式组表示的平面区域为D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则当∠APB 的最大时，cos ∠APB 为（ ） A ． B ．C ．D ．49.已知全集U=R ，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x 2+3x ＜0}，则 （∁U A ）∩B 等于（ ） A ．{x|﹣3＜x ＜0} B ．{x|﹣1≤x ＜0}C ．{x|x ＜﹣1}D ．{x|﹣1＜x ＜0}50.若a=20.5，b=log π3，c=ln ，则（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}52.函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．453.已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 54.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．655.已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}56.已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，•的值为（）A．2 B．C．D．357.设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（ ） A ．B ．C ．2D ．59.设全集U=R ，集合，则集合A∩（∁U B ）=（ ）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ＜﹣3}C ．{x|﹣3＜x ≤﹣1}D ．{x|﹣1＜x ＜0} 60. 已知集合，则A∩B=（ ）A ．（1，+∞）B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D ．[0，1] 61.已知a ＞0，b ＞0，且2a+b=4，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．4 62.已知集合A=x|x 2﹣2x ﹣3＞0}，集合B={x|0＜x ＜4}，则（∁R A ）∩B=（ ） A ．（0，3] B ．[﹣1，0） C ．[﹣1，3] D ．（3，4）63.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-0y 03y x 30y 2x 3表示的平面区域的面积是（ ）A ．1B ．23C ．2D ．25 64.已知y x ,均为非负实数，且满足⎩⎨⎧≤+≤+241y x y x ，则y x z 2+=的最大值为（ ）A ．1B ．21C ．35D ．2 65.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（ ） A ．ad ＞bc B ．ad ＜bcC ．ac ＞bdD ．ac ＜bd66.已知集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．68.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的取值范围为__________．69.已知实数x 、y 满足1|1|y y x ⎧⎨-⎩≤≥，则2x y +的最大值是__________． 70.已知O 是坐标原点，点1()2,A -，若点(,)M x y 为平面区域101010x y y x y -⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤++++，上的一个动点，设2z x y =-+，则z 的最大值为____________．71.已知点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为__________．72.某科技小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数．（ii ）女学生人数多余教师人数．（iii ）教师人数的两倍多余男学生人数．①若教师人数为5，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．73.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，*x ∈N ）的关系为21825y x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．74.不等式|2x ﹣1|+|2x+9|＞10的解集为 ．若x ＞0，y ＞0，x+4y+2xy=7，则x+2y 的最小值是 ． 76. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a+b=2，则2c 52c ab c b ac -+-+的最小值为 ． 77. 设不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥4y x 0y x 1x 表示的平面区域为M ，若直线y=kx ﹣2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是 ．78.若实数x ，y 满足 xy+3x=3(0＜x ＜21)，则3y 1x 3-+的最小值为 ． 79.已知角 α，β满足22ππ-<α-β<， 0＜α+β＜π，则3α－β的取值范围是 ． 80.已知函数f （x ）=（x 2+ax+b ）e x ，当b ＜1时，函数f （x ）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则2a 2b -+的取值范围是 ． 81.设函数f （x ）=|x ﹣a|+x 9（a ∈R ），若当x ∈（0，+∞）时，不等式f （x ）≥4恒成立，则的取值范围是 ．82.已知实数a ，b 满足：a≥21，b ∈R ，且a+|b|≤1，则a 21+b 的取值范围是 ． 83.已知a ＞b ＞0，那么a 2+)b a (b 1-的最小值为 ． 84.若（ax 2+）6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2+b 2的最小值为 ．85. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01y x 02y 2x 02y x 2，则z=（a 2+1）x ﹣3（a 2+1）y 的最小值是﹣20，则实数a= ． 86. 若实数x ，y 满足不等式组，则z=2|x|+y 的最大植为 ．87.已知不等式组则z=的最大值为 ． 88.设P （x ，y ）为函数y=x 2﹣1图象上一动点，记，则当m 最小时，点P 的坐标为 ．89.若变量x ，y 满足约束条件，且z=2x+y 的最小值为﹣6，则k= ． 90.已知函数，若正实数a ，b 满足f （4a ）+f （b ﹣9）=0，则的最小值为 ．91. 已知实数x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤--02y 03x 01y x ，则 4x 2y --的最大值为 ． 92.已知log 2x+log 2y=1，则x+y 的最小值为 ．93.点M （x ，y ）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x ﹣y+m ≥0总成立，则m 的取值范围是 ．94.设x ，y 满足约束条件，若y=zx+z+3，则实数z 的取值范围为 ．95.a ，b 为正数，给出下列命题：①若a 2﹣b 2=1，则a ﹣b ＜1； ②若﹣=1，则a ﹣b ＜1；③e a ﹣e b =1，则a ﹣b ＜1；④若lna ﹣lnb=1，则a ﹣b ＜1．期中真命题的有 ．96.设正实数y x ,满足1=+y x ，则xy y x ++22的取值范围为97. 已知实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03y 05y x 0y x ，若不等式m （x 2+y 2）≤（x+y ）2恒成立，则实数m的最大值是 ．98.设数列{}n a 的首项1()a a a =∈R ，且13,34,3n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-+⎩≤时，1m =，2，3，．Ⅰ若01a <<，求2a ，3a ，4a ，5a ．Ⅱ若04n a <<，证明：104n a +<<．ⅡⅠ若02a <≤，求所有的正整数k ，使得对于任意*n ∈N ，均有n k n a a +=成立． 99.某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（1）把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数．（2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？100.设全集是实数集R ，A={x|2x 2﹣7x+3≤0}，B={x|x 2+a ＜0}．（1）当a=﹣4时，求A ∩B 和A ∪B ；（2）若（∁R A ）∩B=B ，求实数a 的取值范围．答案1.A【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：则z==3﹣，则z的几何意义是区域内的点到定点M（﹣1，﹣1）的斜率的最小值的相反数与3的和，由图象可知区域边界点A（1.5，2）连接的直线斜率最小为，所以z的最大值为3﹣=；故选：A．2.D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax﹣2by+1=0必过圆心（﹣2，1），所以a+b=．所以+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，当且仅当=，即2a=b时取等号，故选D．3.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．4.A【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：y x O，由，解得A （，），由z=x ﹣2y 得：y=x ﹣z ，平移直线y=x ，结合图象直线过A （，）时，z 最小，z 的最小值是：﹣， 故选：A ． 5.C【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为54(1,0),(1,2),(,)33，把三个点分别代入z x y =-检验得：当1,0x y ==时，z 取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A ：误把z -的最大值当成z x y =-的最大值；错选B ：误把z 的最小值当成z x y =-的最大值；错选C ：误把z -的最小值当成z x y =-的最大值.6.D【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为1{|}2A x x =≥，{|11}B x x =-≤≤，所以1{|1}2AB x x =≤，故选D.【错选原因】错选A ：误求成A B ；错选B ：集合B 解错，解成{}11或B x x x =≤-≥；错选C ：集合A 解错，解成1{|}2A x x =≤.7.A如图，取4z =得直线方程24y x =-+，分别画出3y x =+，0y =以及24y x =-+， 由图可知，当3y kx =+过点(2,0)时，2y x z =-+通过点(2,0)时截距最大，即z 取得最大值，代入得023k =+，解得32k =-． 故选A ．8.C9.A∵{}|12A x x =-<<，{}|13B x x =<<，{}|13A B x x =-<<．故选A ．10.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到a 的值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，则由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，为3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在x=k，解得k=1，故选：B．11.C【考点】并集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，再由并集的含义即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故选：C．12.A【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组的图象，利用目标函数z=x+y的最大值为2，求出交点坐标，代入3x﹣y﹣a=0即可．【解答】解：先作出不等式组的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得，即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3x﹣y﹣a=0上，∴3﹣1﹣a=0，则a=2，故选：A．13.C【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]．故选：C．14.A【考点】简单线性规划．【分析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．15.B【考点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用“1”的代换化简2x+3y转化为（2x+3y）（）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x+3y＞t2+5t+1求得2x+3y的最小值，进而求得t的范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，可得： =1，∴2x+3y=（2x+3y）（）=13+≥13+2=25．当且仅当x=y=5时取等号．∵2x+3y＞t2+5t+1恒成立，∴t2+5t+1＜25，求得﹣8＜t＜3．故选：B．16.B【考点】简单线性规划．【分析】由已知不等式组画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：已知不等式组表示的可行域如图：由z=﹣3x﹣y变形为y=﹣3x﹣z，当此直线经过图中的C时，在y轴的截距最大，z最小，由得到C（2，1），所以z的最小值为﹣3×2﹣1=﹣7；故选B．17.B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合M、N，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x|（x+1）（x﹣4）＜0}={x|﹣1＜x＜4}，N={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}∴M∩N={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：B．18.D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：z=3x﹣2y得y=x﹣，平移y=x﹣，当y=x﹣经过可行域的A时，z取得最大值，由，解得A（5，2）．此时z的最大值为：3×5﹣2×2=11．故选：D．19.C【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】解x2＜x可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＜1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【解答】解：x2＜x⇔0＜x＜1，则集合M={x|0＜x＜1}，|x|＜1⇔﹣1＜x＜1，则集合N={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=M，故选C．20.B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．【解答】解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪[5，+∞）．故答案选B．【点评】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系．21.A【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，分别求出对应的面积，即可得到结果．【解答】解：关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为=8，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，且满足不等式组，面积为，∴在M内随机取一点，则该点取自N的概率为=，故选A．22.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点A（﹣1，0）的距离的平方，由图象知A到直线x+y﹣2=0的距离最小，此时距离d==，则距离的平方d2=（）2=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点间的距离公式是解决本题的关键．23.A【考点】1E ：交集及其运算．【专题】37 ：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合．【分析】化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ．【解答】解：集合A={x|x 2﹣4x ＜0}={x|0＜x ＜4}，B={x|log 2x ＞1}={x|x ＞2}，则A ∩B={x|2＜x ＜4}=（2，4）．故选：A ．24.B 414141,()()59+=+=++=++≥x y x y x y y x y x y x，当且仅当3,6==x y 时取等号.故选B.25.B【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率．【解答】解：作出图形如图所示：则区域M为△ABC，区域N为单位圆的下半圆，点O到直线x+y=﹣和直线x﹣y=的距离均为=1，故半圆与AB，BC相切．∴向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为P===．故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．26.C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点之间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．27.A【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}，N={x|＞0}={x|x＜1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．28.B【考点】简单线性规划．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时Z最大，由，解得，即A（2，3），代入z=4x+y得最大值为z=4×2+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．29.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，再由集合的交集运算即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），B={x|﹣3≤x≤1}=[﹣3，1]，则A∩B=[﹣3，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题．30.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B=N，则A∩B={0，1}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．31.B【考点】7F：基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．32.C【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C33.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4，5}，∴∁∪（A∪B）={0，4，5}．故选D．34.A【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解z的最大值即可．【解答】解：约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z=2x+y过点A时，目标函数取得最大值．由，解得A（4，2），则z=2x+y的最大值为10．故选：A．【点评】本题考查线性规划的应用，考查数形结合思想以及计算能力．35.D【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．36.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，B，再判断集合之间的关系．【解答】解：由x2﹣3x+2＜0即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，故A=（1，2），由2x＞4=22，解得x＞2，故B=（2，+∞），∴A∩B=∅，故选：D37.D【考点】不等关系与不等式．【分析】不妨设m＞n，由此得出m＞n，同理得出n＞p，即可得出m、n、p的大小顺序．【解答】解：∵m=﹣＞0，n=﹣＞0，p=﹣＞0，不妨设m＞n，则﹣＞﹣，∴11﹣2＞13﹣2，∴＞1+，∴42＞31+2，∴11＞2，∴121＞120，∴m＞n，同理n＞p；∴m、n、p的大小顺序是m＞n＞p．故选：D．38.C【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．39.A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，集合B={x|0＜x＜4}，∴∁R A={x|﹣1≤x≤3}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．故选：A．40.B【考点】几何概型．【分析】根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）在R上有零点，则满足判别式△=4b﹣4a2≥0，即b＞a2区域的面积S==18，由，解得x=2，y=4，即（2，4），则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S===，∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为，故选：B．41.D【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2x﹣3≤0}={x|x≤}，∴A∪B={x|x或x≥3}=（﹣∞，]∪[3，+∞）．故选：D．42.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∴C U B=（﹣1，3），∴（C U B）∩A=（0，3），故选：D【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．43.D【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．故选：D．44.D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z==则z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离，由图象知D到直线2x﹣y=0的距离最小，此时d==，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用以及距离的求解，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．45.B【分析】分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x 2+2x ﹣3＜0}={x|（x ﹣1）（x+3）＜0}={x|﹣3＜x ＜1}，∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜0}={﹣1，0}．故选：B ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．46.C{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<，{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23AB x x =<<．故选C ．47.A ∵{}1A x x =≥，{}02B x x =<<，∴{}0AB x x =>，选择A ．48.D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB 最大时点P 的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D ，如图所示， 要使∠APB 最大，则∠OPB 最大，∵sin ∠OPB==， ∴只要OP 最小即可．则P 到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP 垂直直线3x+4y ﹣10=0，此时|OP|===2，|OA|=1， 设∠APB=α，则∠APO=，即sin ==， 此时cosα=1﹣2sin 2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos ∠APB=．故选：D ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．49.B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合A、B，求出∁U A，再计算∁U A）∩B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x+1＜0}={x|x＜﹣1}，∴∁U A={x|x≥﹣1}，又B={x|x2+3x＜0}={x|﹣3＜x＜0}，（∁U A）∩B={x|﹣1≤x＜0}．故选：B．50.C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5，＞1，0＜b=logπ3＜1，c=ln＜0，∴a＞b＞c．故选：C．51.A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），然后利用集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），∴A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}，故选：A．52.C【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式化简求解即可．【解答】解：函数y=2x+≥2=2，当且仅当x=时，等号成立．故选：C．53.B【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．54.B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，得到c≥，a＞0，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若函数f（x）在R上是单调递增函数，则，解得：c≥，a＞0，故≥=≥=，当且仅当3a=2b﹣3a即b=3a时“=”成立，此时的最小值是==4，故选：B．【点评】本题考查了求函数的单调性问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．55.D【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：x2﹣x﹣2＜0，即为（x﹣2）（x+1）＜0，解的﹣1＜x＜2，即A={x|﹣1＜x＜2}，又A={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．56.B【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•==．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．57.B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．58.B【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q=2，再由，求出m+n=6，由此利用均值定理能求出结果．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，∴，整理，得q2﹣q﹣2=0，又q＞0，解得，q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴，整理，得2m+n﹣2=16，即m+n=6，∴，当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又m+n=6，所以只有当m=4，n=2时，取得最小值是．故选：B．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用．59.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出集合A，∁U B，从而求出其交集．【解答】解：由＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A={x|﹣3＜x＜0}，∵B={x|x≤﹣1}，∴∁U B={x|x＞﹣1}，∴A∩（∁U B）={x|﹣1＜x＜0}，故选：D60.A【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．61.B【考点】7F：基本不等式．【分析】由4=2a+b可求ab的范围，进而可求的最小值【解答】解：∵a＞0，b＞0，且4=2a+b∴ab≤2∴∴的最小值为故选B62.A【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A=x|x 2﹣2x ﹣3＞0}={x|x ＜﹣1或x ＞3}，集合B={x|0＜x ＜4}，∴∁R A={x|﹣1≤x ≤3}，∴（∁R A ）∩B={x|0＜x ≤3}=（0，3]．故选：A ．63.B【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，再由三角形的面积公式求解． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得B （2，3），∴平面区域的面积S=． 故选：B ．64.D试题分析：如下图所示，阴影部分为),(y x 表示的可行域.。
最新-2018年高考数学试题分项版解析专题18 不等式(教师版) 理 精品
2018年高考试题分项版解析数学（理科）专题18 不等式（教师版）一、选择题:1. (2018年高考广东卷理科5)已知变量x ，y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为（ ）A.12B.11C.3D.-13. (2012年高考福建卷理科5)下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+4. (2018年高考福建卷理科9)若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ．21 B ．1 C ．23D ．25. (2018年高考辽宁卷理科8)设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为（ ）(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 556.(2018年高考辽宁卷理科12)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ） (A)21xe x x ++ (211)124x x <-+(C)21cos 12x x -…(D)21ln(1)8x x x +-…7．(2018年高考江西卷理科8)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，508．(2018年高考湖南卷理科8)已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为 （ ）A ． B.9. (2018年高考四川卷理科9)某公司生产甲、乙两种桶装产品。
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案7-不等式
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案7-不等式一、选择题（共5小题；共25分）1. 设变量x，y满足约束条件x+y≤5,2x−y≤4,−x+y≤1,y≥0,则目标函数z=3x+5y的最大值为 A. 6B. 19C. 21D. 452. 设x∈R，则“x3>8”是“ x >2”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设x∈R，则“x−12<12”是“x3<1”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设集合A=x,y x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2，则 A. 对任意实数a，2,1∈AB. 对任意实数a，2,1∉AC. 当且仅当a<0时，2,1∉AD. 当且仅当a≤32时，2,1∉A5. 已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln a1+a2+a3．若a1>1，则A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4二、填空题（共7小题；共35分）6. 若变量x，y满足约束条件2x+y+3≥0,x−2y+4≥0,x−2≤0,则z=x+13y的最大值是．7. 若x，y满足约束条件x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0,则z=3x+2y的最大值为．8. 若x，y满足约束条件x−y≥0,2x+y≤6,x+y≥2,则z=x+3y的最小值是，最大值是．9. 已知a,b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18的最小值为．10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120∘，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．11. 若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是．12. 已知a∈R，函数f x=x2+2x+a−2,x≤0−x2+2x−2a,x>0．若对任意x∈−3,+∞，f x≤ x 恒成立，则a的取值范围是．三、解答题（共2小题；共26分）13. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当 S 中 x % 0<x <100 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f x = 30,0<x ≤302x +1800x −90,30<x <100（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g x 的表达式；讨论 g x 的单调性，并说明其实际意义．14. 设 a n 是首项为 a 1，公差为 d 的等差数列， b n 是首项为 b 1，公比为 q 的等比数列．（1）设 a 1=0，b 1=1，q =2，若 a n −b n ≤b 1 对 n =1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a 1=b 1>0，m ∈N ∗，q ∈ 1, 2m，证明：存在 d ∈R ，使得 a n −b n ≤b 1 对n =2,3,⋯,m +1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b 1，m ，q 表示）．答案第一部分1. C2. A3. A4. D5. B第二部分 6. 37. 68. −2，89. 1410. 911. 312. 18,2第三部分13. （1） 由题意 2x +1800x −90>40，因为 30<x <100，解得 45<x <100．（2） 当 0<x ≤30 时，g x =30⋅x %+40 1−x % =40−x 10; 当 30<x <100 时，g x = 2x +1800−90 ⋅x %+40 1−x % =x 2−13x +58, 所以 g x = 40−x 10,0<x ≤30x 250−1310x +58,30<x <100． 当 0<x <32.5 时，g x 单调递减；当 32.5≤x <100 时，g x 单调递增．说明当 S 中有少于 32.5% 的成员自驾时，通勤时间人均递减；当自驾成员大于 32.5% 时，人均通勤时间递增；当自驾成员为 32.5% 时，人均通勤时间最少．14. （1） 由条件知：a n = n −1 d ，b n =2n−1．因为 a n −b n ≤b 1 对 n =1,2,3,4 均成立，即 n −1 d −2n−1 ≤1 对 n =1,2,3,4 均成立，即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得73≤d≤52．因此，d的取值范围为73,52．（2）由条件知：a n=b1+n−1d，b n=b1q n−1．若存在d，使得a n−b n ≤b1n=2,3,⋯,m+1成立，即b1+n−1d−b1q n−1 ≤b1n=2,3,⋯,m+1，即当n=2,3,⋯,m+1时，d满足q n−1−2n−1b1≤d≤q n−1n−1b1．因为q∈1,2m，则1<q n−1≤q m≤2，从而q n−1−2n−1b1≤0，q n−1n−1b1>0，对n=2,3,⋯,m+1均成立．因此，取d=0时，a n−b n ≤b1对n=2,3,⋯,m+1均成立．下面讨论数列q n−1−2n−1的最大值和数列q n−1n−1的最小值（n=2,3,⋯,m+1）．①当2≤n≤m时，q n−2n−q n−1−2n−1=nq n−q n−nq n−1+2n n−1=n q n−q n−1−q n+2n n−1，当1<q≤21时，有q n≤q m≤2，从而n q n−q n−1−q n+2>0 .因此，当2≤n≤m+1时，数列q n−1−2n−1单调递增，故数列q n−1−2n−1的最大值为q m−2m．②设f x=2x1−x，当x>0时，fʹx=ln2−1−x ln22x<0，所以f x单调递减，从而f x<f0=1．当2≤n≤m时，q nnq n−1=q n−1n≤21n1−1n=f1n<1，因此，当2≤n≤m+1时，数列q n−1n−1单调递减，故数列q n−1n−1的最小值为q mm．因此，d的取值范围为b1q m−2m ,b1q mm．。
(完整版)数学不等式高考真题
1.(2018•卷Ⅱ）设函数(1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围2。
（2013•辽宁)已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1(1）当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣｜x﹣4｜的解集；(2)已知关于x的不等式｜f(2x+a)﹣2f(x）|≤2的解集｛x｜1≤x≤2}，求a的值．3.（2017•新课标Ⅲ)［选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=｜x+1|﹣|x﹣2｜．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围．4.（2017•新课标Ⅱ)［选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ)（a+b）（a5+b5)≥4；(Ⅱ）a+b≤2．5。
（2017•新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=﹣x2+ax+4,g（x）=|x+1｜+|x﹣1｜．（10分）（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x)的解集;(2）若不等式f(x）≥g（x）的解集包含［﹣1，1］,求a的取值范围．6.(2017•新课标Ⅱ)［选修4—5：不等式选讲］已知a＞0，b＞0，a3+b3=2,证明：（Ⅰ）(a+b）(a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．7。
（2018•卷Ⅰ）已知（1）当时，求不等式的解集(2)若时，不等式成立，求的取值范围8.（2018•卷Ⅰ）已知f（x)=|x+1|—|ax-1｜(1)当a=1时,求不等式f(x)〉1的解集（2）若x∈（0，1）时不等式f(x）〉x成立,求a的取值范围9。
（2017•新课标Ⅲ)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2｜．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．10。
（2014•新课标II）设函数f（x)=｜x+ |+｜x﹣a|(a＞0)．（1）证明：f（x）≥2;（2）若f(3）＜5，求a的取值范围．11。
最新-2018年高考数学一轮经典例题 不等式解法 理 精品
2018年高考数学（理）一轮经典例题——不等式解法例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
2018年高考数学—不等式专题
不等式(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y得到－5. 答案 －5(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x＋3y －5的最小值为_____.解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为()A.0B.3C.4D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4.答案 C(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.12 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示， x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大.所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.答案 C(2015·福建卷)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A.7B.8C.9D.10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C.答案 C(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b，即b＝2a时，“＝”成立.因为1a ＋2b＝ab，所以ab≥22ab，即ab≥22，所以ab的最小值为22，故选C 答案 C。
2018高考数学(理)(全国通用) 第七章 不等式 Word版含解析
第七章 不等式第一节 不等式的性质与不等式的解法题型75 不等式的性质——暂无 题型76 比较数（式）的大小1.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析 由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-.2.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<解析 由题意知1a >，01b <<，所以12ab<，()22log log 1a b +>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+.故选B. 评注 本题也可采用特殊值法，如13,3a b ==，易得结论.题型77 一元一次不等式与一元二次不等式的解法 题型78 分式不等式的解法——暂无第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型79 二元一次不等式组表示的平面区域 题型80 求解目标函数的取值范围或最值1.（2017天津理2）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为（ ）. A.23 B.1 C.32D.3 解析 变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图所示，目标函数z x y =+经过可行域的点A 时，目标函数取得最大值，由03x y =⎧⎨=⎩，可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为3.故选D.32.(2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）. A.1 B. 3 C.5 D.9解析作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x zy -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A，故max 369z =+=.故选D.3.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .解析不等式组21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图所示，由32z x y =-，得322zy x =-，求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大， 由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得点A 的坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-.4.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（ ）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9解析 目标区域如图所示，当直线2y =x +z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-． 故选A.(6,35.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．解析 由题意，作出可行域如图所示.目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-的纵截距越大，z 值越小．由图可知z 在()1,1A 处取得最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．6.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（ ）.A. 0B. 2C.5D.6解析 由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5y=-x 27.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（ ）.A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞ 解析 如图所示，22x zy =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值， 故[)4,z ∈+∞．故选D ．题型81 求解目标函数中参数的取值范围——暂无 题型82 简单线性规划问题的实际运用第三节 基本不等式及其应用题型83 利用基本不等式求函数的最值1.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x x x x⨯+=+240=…，当且仅当36004x x=，即30x =时取等号．故填30． 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析 设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…， 解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立； 当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型84 利用基本不等式证明不等式——暂无a。
2018高考数学(理)专题突破—不等式
不等式【考点梳理】1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx ＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.(2)简单分式不等式的解法.f（x）①>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).g（x）f（x）②≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.g（x）(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.2.几个不等式(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b).⎛a＋b⎫2(2)ab≤ 2⎪(a，b∈R).⎝⎭(3)a2＋b2a＋b2ab2≥2≥ab≥a＋b(a>0，b>0).(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立).3.利用基本不等式求最值(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值).12(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值4s(简记为：和定，积有最大值).4.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.【题型突破】题型一、不等式的性质及解法【例1】(1)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为()A.{x |x >2或x <－2}C.{x |x <0或x >4} B.{x |－2<x <2}D.{x |0<x <4}1(2)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.1⎤⎡【答案】(1)C (2)⎢－1，2⎥⎣⎦【解析】(1)∵f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，∴(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，则(2a －b )x ＝0恒成立.因此2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2).又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.1(2)f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e x ≥3x 2－2＋2为单调递增函数.1又f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x －e x ＝－(x 3－2x ＋e x －e x)＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a )，1∴2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤2，1⎤⎡故实数a 的取值范围是⎢－1，2⎥.⎣⎦【类题通法】1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化.(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.【对点训练】1e x ·e x ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )(1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________.(2)已知不等式21≥5|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立，则a 的取值范围是________.x －1【答案】(1)R (2)[－1，2]【解析】(1)因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，2⎧g （－2）＝x ＋2x ＋1≥0，由题意可知⎨解之得x ∈R .2⎩g （2）＝x －2x ＋1≥0，22(2)设y ＝，y ′＝－<0，x －1（x －1）2故y ＝222在x ∈[2，6]上单调递减，则y min ＝＝5，x －16－121故不等式≥5|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立等价于x －12⎧a －a －2≤0，122⎨5|a －a |≤5恒成立，化简得⎩a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1，2].题型二、基本不等式及其应用x y 【例2】(1)若直线a ＋b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.⎛1⎫x (2)已知函数f (x )＝2＋ 2⎪，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，⎝⎭x 则实数m 的最大值为________.【答案】(1)8(2)4x y 【解析】(1)∵直线a ＋b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，12∴a ＋b ＝1(a >0，且b >0)，⎛12⎫则2a ＋b ＝(2a ＋b ) a ＋b ⎪⎝⎭b 4a ＝4＋a ＋b ≥4＋2b 4a a ·b＝8.b 4a 当且仅当a ＝b ，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立.因此2a ＋b 的最小值为8.(2)由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，（f （x ））2＋4∴m ≤对于x ∈R 恒成立.f （x ）（f （x ））2＋44又＝f (x )＋≥2f （x ）f （x ）∴m ≤4，故实数m 的最大值为4.【类题通法】1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.【对点训练】32(1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则x ＋y 的最小值是()5A.38B.3 C.8 D.24（f （0））2＋44f （x ）·＝4，且＝4，f （x ）f （0）12(2)若实数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则ab 的最小值为()A.2 B.2 C.22 D.4【答案】(1)C (2)C【解析】(1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝3.∵x ＞0，y ＞0，32⎛32⎫1∴x ＋y ＝ x ＋y ⎪·3(2x ＋3y )⎝⎭9y 4x ⎫11⎛＝3 6＋6＋x ＋y ⎪≥3(12＋2×6)＝8.⎝⎭当且仅当3y ＝2x 时取等号.12(2)依题意知a >0，b >0，则a ＋b ≥2222ab ＝ab ，12当且仅当a ＝b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.12∵a ＋b ＝ab ，∴ab ≥22，即ab ≥22，ab∴ab 的最小值为2 2.题型三、简单的线性规划问题⎧x ＋2y －2≥0，【例3】(1)设变量x ，y 满足约束条件⎨则目标函数z ＝x ＋y 的最大x ≤0，⎩y ≤3，值为()2A.3 B.13C.2 D.32x ＋y ≥0，⎧x ＋2y ≤1，(2)设x ，y 满足约束条件⎨2x ＋y ≥－1，则z ＝3x －2y 的最小值为________.⎩x －y ≤0，【答案】(1)D (2)－5【解析】(1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，3z 3z 由z ＝3x －2y 得y ＝2x －2，求z 的最小值，即求直线y ＝2x －2的纵截距的最大值，⎧2x ＋y ＝－1，3z 当直线y ＝2x －2过图中点A 时，纵截距最大，由⎨解得A 点坐标为⎩x ＋2y ＝1(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.⎧2x －y －4≥0，y ＋1【例4】已知实数x ，y 满足⎨x －2y －2≤0，则z ＝的取值范围是________.x ＋2⎩y ≤6，⎡1⎤【答案】⎢4，1⎥⎣⎦【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，⎧2x －y －4＝0，联立⎨得A (2，0).⎩x －2y －2＝0，⎧y ＝6，联立⎨得点B (5，6).⎩2x －y －4＝0，y ＋1z ＝的几何意义为可行域内的动点与定点P (－2，－1)连线的斜率，x ＋2y ＋11⎡1⎤∵k P A ＝，k PB ＝1，∴z ＝的取值范围为⎢4，1⎥.4⎣⎦x ＋2⎧x －y －2≤0，【例5】已知x ，y 满足约束条件⎨ax ＋y ≥4，目标函数z ＝2x －3y 的最大值是⎩x －2y ＋3≥0，2，则实数a ＝()1A.2 B.13C.2 D.4【答案】A【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵目标函数z ＝2x －3y 的最大值是2，由图象知z ＝2x －3y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2.⎧x －y －2＝0，由⎨解得A (4，2)，⎩2x －3y ＝2，同时A (4，2)也在直线ax ＋y －4＝0上，1∴4a ＝2，则a ＝2.【类题通法】1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【对点训练】⎧x －y ＋3≤0，(1)已知x ，y 满足约束条件⎨3x ＋y ＋5≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值是(⎩x ＋3≥0，A.0B.2C.5D.6)2x－y＋2≥0，5(2)若实数x，y 满足2x＋y－6≤0，且z＝mx －y(m <2)的最小值为－2，则m 等0≤y≤3，于()5A.45B.－6 C.11D.3【答案】(1)C (2)C【解析】(1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z＝x＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，y＝3，5z＝mx －y(m <2)的最小值为－2，可知目标函数的最优解过点A，由2x－y＋2＝0，1解得A 2，3，5m ∴－2＝2－3，解得m ＝1.。
2018年北京市高考数学理 14专题十四 不等式选讲
第十四篇：不等式选讲解答题1.【2018全国一卷23】已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.2.【2018全国二卷23】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．3.【2018全国三卷23】设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4.【2018江苏卷21D 】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．参考答案解答题1.解： （1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]． 2.解：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．3.解：（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．4.证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．。
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不等式
(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.
解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.
答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)
(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y
满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，
x ＋y －3≥0，x －3≤0，
则
z ＝x －2y 的最小值为
________.
解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5
(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，
x －2y －1≤0，x ≤1，
则z ＝2x
＋3y －5的最小值为_____.
解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，
当直线y ＝－23x ＋53＋z
3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，
x －2y ＋3≥0，x ≥0，
则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，
即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4
(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，
则2x ＋y 的最大值为(
)
A.0
B.3
C.4
D.5
解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，
令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4.
答案 C
(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，
2x －3y ≤9，x ≥0，
则x 2＋y 2的最大值是(
)
A.4
B.9
C.10
D.12
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示， x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大.所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10. 答案 C
(2015·福建卷)若直线x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A.2 B.3
C.4
D.5
解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1
b ＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )·
⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取
“＝”，故选C. 答案 C
(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2
b a ·4a
b ＝9，当且仅
当b ＝2a >0时取等号.故选C.答案 C
(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2
C.2 2
D.4
解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥2
2ab ＝22ab ，
当且仅当1a ＝2
b ，即b ＝2a 时，“＝”成立. 因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22，
所以ab 的最小值为22，故选C 答案 C。