向心加速度公式推导完整版—李朝辉
向心加速度公式推导的几种方法
【字体：A 】向心加速度公式推导向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算而产生的思维定势，认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，故其因此我们在教学中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速度有变化，故△v≠0，另一是速度变化的方向就是加速度的方向。
因此在教学中必须说清楚△v的方向。
教材中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了上述两点。
关于向心加速度公式的推导方法甚多，下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考。
1 矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。
由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，。
. .2 运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α.3 位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，4 类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。
圆周运动向心加速度公式推导(向心加速度公式的推导方法ppt)
圆周运动向心加速度公式推导（向心加速度公式的推导方法
ppt）
1、我没法画图，口述一下，你可以自己画了看看：在圆周上，取一小段圆弧AB，圆心为O，假设在A点速度为v1，在B 点速度为v2，那么v1,v2分别垂直于OA，OB,|v1|=|v2|=v。
2、把v2平移到跟v1起点相同的地方比较，可以发现v1跟
v2，以及v1,v2的差构成一个等腰三角形，顶角＝角AOB，那么不难看出，当角AOB很小的时候，底边无限接近垂直于
v1，所以加速度也垂直于v1。
3、至于加速度大小,还是从这个等腰三角形中看，底边大小＝2*v*sin(1/2角AOB)，角AOB无限小就成了2*v*1/2*角
AOB=v*角AOB，从A到B时间为r*角AOB/v,所以加速度为速度的改变乘以时间＝v1-v2/t=v^2/r。
4、推导中用到了正弦函数一个性质: x很小的时候，sin(x)越等于x。
5、在x越接近于0的时候，sin(x)/x越接近1。
这篇文章已经分享到这里了，希望对大家有帮助。
向心加速度公式的几种推导
向心加速度公式的几种推导向心加速度公式的几种推导向心加速度是物体在做匀速圆周运动时所受到的加速度，它与物体的速度和半径有关。
向心加速度的公式可以通过不同的推导方法得出。
本文将介绍几种常见的推导方法，解释向心加速度的概念和公式。
第一种推导方法是通过定义力的方向来推导。
在物体做匀速圆周运动时，它受到一个向心力的作用，该力的方向指向圆心。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与受力成正比。
因此，我们可以得到向心加速度的方向是指向圆心的。
根据定义，向心加速度的大小等于速度的平方除以半径，表示为a = v^2 / r，其中a是向心加速度，v是速度，r是半径。
第二种推导方法是利用速度的变化率来推导。
在匀速圆周运动中，物体的速度大小是恒定的，但其方向在不断变化。
为了描述速度的变化率，我们引入一个新的物理量，即角速度。
角速度表示单位时间内物体在圆周运动中所转过的角度。
根据等速圆周运动的性质，角速度与速度的大小之间存在一定的关系。
我们可以将速度的大小表示为v = ωr，其中v是速度，ω是角速度，r是半径。
由于角速度的单位是弧度/秒，所以速度的单位是米/秒。
然后，我们对速度对时间求导，得到加速度的大小。
根据导数的链式法则，加速度大小的推导公式为a = d(v)/dt = d(ωr)/dt = r(dω/dt)。
因为匀速圆周运动中角速度不变，所以dω/dt = 0，即加速度的大小为零。
但由于速度的方向在不断变化，所以加速度的方向是向心方向。
第三种推导方法是使用几何关系来推导。
考虑一个物体在半径为r的圆周上运动，它在1秒内沿圆周运动一周。
我们知道圆周的周长等于2πr，所以物体运动的距离为2πr。
另外，我们知道速度的定义为单位时间内所运动的距离。
所以，速度的大小等于运动的距离除以时间，即v = 2πr / 1 = 2πr。
根据速度的定义和向心加速度的定义，我们可以得到a = v^2 / r = (2πr)^2 / r = 4π^2r。
人教版必修2 5.5向心加速度公式的推导方法
关于向心加速度公式的推导方法（下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考）1、矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。
由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，.2 .运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a 至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α3、.位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，4、类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。
现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即由图6可知，这个速度变化率其实就是端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故有比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.。
向心加速度ppt课件
绳与竖直方向成 θ 角，求小球做匀速圆周运动的向心加速度大小为多少？通
过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
O′
θ
L
FT
O
F
R
mg
新课入
解：小球的向心力由 FT 和 G 的合力提供
Fn = F = mgtan θ
Fn
an =
=
m
O′
θ L
FT
①
小球做圆周运动的半径 R = Lsin θ
②
O
把向心加速度公式的半径 an = R ω2和②代入①式，可得
cos θ=
lω2
R
F
mg
变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，是变加速运动
从决定式上推导匀速圆周运动的加速度大小
2
2
v
Fn m
r
Fn mr
2
4
Fn m 2 r
T
2
=
=
= r
根据
牛顿第二定律
F合 ma
v
an
r
a n r 2
4 2
an 2 r
合 =
= =
向心加速度
1.定义：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为
向心加速度
2.公式：
= =
3.方向：总是指向圆心，与速度方向始终垂直
4.作用：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
5.物理意义：描述速度方向变化的快慢
6.对于匀速圆周运动：匀速圆周运动加速度的大小不变，方向时刻改
向心加速度的计算公式
向心加速度的计算公式咱们来聊聊向心加速度的计算公式哈。
在物理学中，向心加速度可是个相当重要的概念呢。
那向心加速度到底是啥？简单来说，就是物体做圆周运动时，速度方向不断变化所产生的加速度。
向心加速度的计算公式是：$a_n = \frac{v^2}{r}$ ，这里的 $v$ 是线速度，$r$ 是圆周运动的半径。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上写下这个公式，然后开始解释每个字母的含义。
那个学生一脸懵地看着我，说：“老师，这看着就头疼。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢捋。
”我就拿一个生活中的例子给他讲。
我说：“你想象一下，你骑着自行车绕着一个圆形花坛转，骑得越快，是不是转弯的时候感觉越吃力？这就是因为速度快了，向心加速度就大啦。
”然后我又问他：“假如花坛的半径很小，你是不是也会觉得很难转弯？”他点了点头，好像有点明白了。
咱们接着说这个公式。
如果线速度增大，向心加速度就会增大。
这就好比你在操场上跑步，跑得越快，转弯时要改变方向就越费劲。
而半径越小，向心加速度越大。
就像你在一个很小的圈子里转，每转一点角度，方向改变得就更明显，需要更大的力来改变速度方向。
再比如说，游乐场里的旋转木马。
木马转得快，向心加速度就大。
而且木马离中心轴越远，也就是半径越大，感觉好像没那么晕，这是因为向心加速度相对小了些。
在实际的题目中，运用这个公式可不能马虎。
得先搞清楚题目给的条件，是线速度还是角速度，半径是多少。
有时候题目会故意绕弯子，给一些间接的条件，这就需要咱们动动脑筋，把需要的量都找出来。
有一次考试，有一道题是这样的：一个小球在光滑水平面上，被一根绳子拴着绕着一个固定点做圆周运动，已知绳子长度为 2 米，小球的线速度是5 米每秒，求向心加速度。
这道题其实就是直接套用公式，把数字带进去算就行。
可有些同学啊，一紧张就把公式给记错了，或者把数字带错了，结果丢了分。
学习向心加速度的计算公式，不仅是为了应对考试，更是为了理解我们生活中的很多现象。
高中物理人教版必修2 5.5向心加速度公式的推导方法
关于向心加速度公式的推导方法（下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考）1、矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。
由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，.2 .运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a 至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α3、.位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，4、类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。
现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即由图6可知，这个速度变化率其实就是端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故有比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.。
向心加速度公式推导完整版
1-cos 6 2向心加速度公式推导完整版一李朝辉整理向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算而产生山二0,于是有Q 二三二=C L 的思维定势，认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，故其At 因此我们在教学中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速慶有变化，故Av *0,另一是速度变化的方向就是加速度的方向•因此在教学中必须说清楚的方向。
教材 中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了上述两点。
关于向心加速厦公式的推导方 法甚多，下面提供几种有推导方法，供大家参考。
方法一：（课本上的方法）利用加速度的定艾推导（又称矢量合成法）：如图所示：设小球在很短的时间t 内从A 运动到B,在时间t 内速度变化为因为△ OAB^ABDC （可自己证一下），所以有：Zkv/v 二AB/R 当tTO 时，AB 二弧AB所以:厂弧AB/t, a=Av/1所以a=v 2 /R方法二：在矢量合成法中应用三角函数推导：如图所示，物体自半径为r 的圆周a 匀速率运动至b.所经时间为若物体在a. b 点 的速率为Va=Vb=V,则其速度的增#Av=Vb-Va=Vb+ （—Va ）,由平行四边形法则作出其矢量 图如图。
由余弦定理可得 v = + v 2 - 2v 2 cosJ1 - cos 8 0由三角公式可知加亏= ..e Av = 2vsin —— 20 g当 8 -*0时）sin —-=—乙 £ 于是有180 - 9另由图1可釦Q =-^可见当6T0时，a =90° ,即Av 的方向和vb 垂直，由于vb 方向为圆周切线方向， 故Av 的方向指向圆心.因Av 的方向即为加速皮的方向，可见匀速國周运动中加速慶的方向其大小为指向圆心，方法三：利用运动的合成与分解推导(简称运动合成法)由于惯性，小球有离开圆心沿切线运动的趋势，而细线的拉力却拉着小球向圆心运动.这样小球运动可分解成沿切线方向的匀速直线运动和沿半径方向的初速度为零的匀加速直线运动设在很短的时间t内，小球沿圆周从A到B,可分解为沿切线AC方向的匀速直线运动和沿AD方向初速度为零的匀加速直线运动•如图一:12AC= vt , AD=—at2由RtAADB^RtAEDB 可知：BD±AD • DE ,BD二AC（2=-3t2（2P丄畀）2 24由于时间E很短，即r趋近丁・0,所以-a2t2趋近于0.4故有：M R方法四：利用开普勒第三定律、万有引力定律和牛顿第二定律推导向心加速慶设：质量为m的人造地球卫星以速率v在半径为r的近圆轨道上绕地球运行，运行周期为T,地球质童为Mo根据开普勒第三定律订2 /卢=k (k为常量)根据万有引力定律：F=GMm/r2对于圆周运动的物体有：T=2n r/v根据牛顿第二定律:a=F/m联立上述冬式有：a二(GMk/4n2 ) X (v2 /r)所以：a^v2 /r方法五：曲率圆法由干曲线运动是变速运动•故肓定有加速度•质.也的舜时加速度定义为=lini3严1式中罟为一段肘间内的平均加速度、瞬时加速度是平均加速度在3-0时的极限，加速度方向肯定与速度方向不在同一直线.—般的曲线运动•为求在任一点的蜕时加速度•通常将具分解为法向加速度心.，与切向加速度如图7-1所上》示•设质点沿曲线运动■在八、B两点的翼时速度各为s与f 叭| \ 间隔时间4■速度增鞏为! 如•将H分解为法向分址 \ / /3与切向分址•法向分M 皿表示速度方向的变化・® 7-1切向分拭表示速厦大小的变化•则法向加速度心与切向加速度血分别为I •Vn 1 •u n^l\m-— td f= IlTB ——.先确定心.设-4是半径为"的圆周上一点「该風称曲线A点的曲率圆・p称曲率半径）•曲线AH近似为孩例上的＜.AB ,矢虽三角形HED与几何三角形向心加速度公式推导完整版一李朝輝整理相似•故有需=于•弐二于罟剧5 =皿毛=皿宁至=lim斗旦=—・AL" 丄/f “ 《X（ * P A■•仆• p P方向垂直干5 •抬向曲率圆圆心•故通常称法向加速度为向心加速度・，至干切向加速度•则与直线运动中一样•絆于速度大小的变化率.曲线运动的瞬时加速度是切向加速度与向心加速度的矢址和•方向与速度方向成。
向心加速度高中物理人教版(2019)必修二
CD
N
)
60°
A.A、B球受到的支持力之比为 :3
h
mg
B.A、B球的向心力之比为 :1
mg
2
v
2r
F
=
=
m
mω
C.A、B球运动的角速度之比为3:1 向 tanθ
r =
=
V=
/
D.A、B球运动的线速度之比为1:1
ω= /= /
课堂练习
【练习1】（多选）物体做圆周运动，关于向心加速度，
∆
一、a的定义式 a=
∆
二、向心加速度
h
三、转盘模型:
四、圆锥摆模型:
1.推导：
N
2.结论： h由ω唯一决定
3.倒圆锥摆：圆大:大线速小角速大周期
T
mg
mg
θ
【典例10】(多选)如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同
一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、
B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列
D.当= 时，a所受的摩擦力为kmg
C.=
)
【变式1】(多选)如图所示，质量为2m和m的小木块a和b(可视为质
点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木
块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为
g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角
速度，在滑动前下列说法正确的是(
A.b一定比a先开始滑动
ABC)
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.= 是b开始滑动的临界角速度
D.当= 时，a所受的摩擦力为kmg
向心力向心加速度公式
向心力与向心加速度公式1. 引言在物理学中，我们经常研究物体在圆周运动中所受的力，这个力称为向心力，它的大小与物体的质量和向心加速度有关。
向心力与向心加速度之间存在直接的关系，并且这种关系可以通过一个简单的公式来描述。
本文将介绍向心力的概念及其与向心加速度的关系。
2. 向心力的定义和原理向心力是指物体在做圆周运动时，指向圆心的力的方向。
它是保持物体在圆周运动中向圆心方向运动的力，没有向心力物体就会离开圆周运动，朝向外侧飞出。
向心力的大小与物体的质量、角速度和圆周半径有关。
3. 向心力的公式向心力的大小可以通过以下公式计算：F = m * a_c其中，F表示向心力的大小，m表示物体的质量，a_c表示向心加速度。
4. 向心加速度的定义和计算向心力与向心加速度之间存在直接的关系，向心加速度是指物体在圆周运动过程中向圆心方向的加速度。
向心加速度的大小可以通过以下公式计算：a_c = v^2 / r其中，a_c表示向心加速度，v表示物体的速度，r表示圆周半径。
5. 推导向心力与向心加速度的关系现在我们来推导向心力与向心加速度的关系。
根据牛顿第二定律，向心力可以表示为质量乘以向心加速度：F = m * a_c由上述向心加速度的公式可知a_c = v^2 / r将向心加速度的表达式代入向心力的公式中：F = m * (v^2 / r)化简上式可得：F = m * v^2 / r即为向心力与向心加速度之间的关系式。
6. 示例假设有一个半径为2米的圆周运动，其质量为3千克，速度为4米/秒，现在我们来计算向心力和向心加速度。
首先，根据向心力的公式，我们可以计算得到：F = m * a_c= 3 * (4^2 / 2)= 24 N接下来，根据向心加速度的公式，我们可以计算得到：a_c = v^2 / r= 4^2 / 2= 8 m/s^2所以该圆周运动下所受的向心力为24牛顿，向心加速度为8米/秒^2。
7. 总结本文介绍了向心力与向心加速度的概念和原理，并给出了它们之间的关系公式。
高中物理 5.5向心加速度课件 新人教版必修2
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1
5 向心加速度
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2
[课标定位] 1.理解向心加速度的概念.2.掌握向心加速度的 公式，能用公式进行有关的计算.3.了解向心加速度公式的推导 方法．
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3
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4
[自主梳理] 一、速度的变化量 1．速度是矢量，速度的变化量也是矢量，既有大小，又有 方向，其运算规律符合__________定则． 2．同一直线上速度与速度的变化量的关系 (1)当物体做加速运动时，末速度v2________初速度v1，速 度是增加的，速度的变化量Δv与速度的方向________，如下图 所示．
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19
(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变 化吗？若变化，变化的原因是什么？
(2)分析地球受到什么力的作用？这个力沿什么方向？小球 受到几个力的作用，合力沿什么方向？
(3)根据牛顿第二定律，分析地球和小球的加速度方向变化 吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
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11
(4)根据a＝vr2知加速度a与半径r成反比．(
)
(5)根据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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12
[解析] (1)匀速圆周运动的加速度总是指向圆心，所以其
方向不断变化．
(2)匀速圆周运动的加速度的方向时刻发生变化，加速度时
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7
二、匀速圆周运动的向心加速度 1．定义 任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向________，这 个加速度叫做向心加速度．
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8
2．方向 向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，跟该点的线速 度方向________，向心加速度的方向时刻在改变． 3．大小 an＝vr2，根据v＝rω可得an＝rω2.
向心加速度公式的推导 向心加速度公式6个公式
向心加速度公式的推导向心加速度公式6个公式向心加速度公式的推导：向心加速度公式：a向=v^2/r=ω^2r=(4π^2r)/(T^2)=4π^2f^2r=vω=F向/m。
由牛顿第二定律，力的作用会使物体产生一个加速度。
合外力提供向心力，向心力产生的加速度就是向心加速度。
定义质点作曲线运动时，指向瞬时曲率中心的加速度就是向心加速度。
向心加速度是反映圆周运动速度变化方向的物理量。
向心加速度只是改变了速度的方向，而不是速度的大小。
根据牛顿第二定律，力的作用会使物体产生加速度。
合力提供向心力，向心力产生的加速度就是向心加速度。
可能是实际加速度，也可能是物体实际加速度的分数加速度。
向心加速度是反映圆周运动速度变化方向的物理量。
向心加速度只是改变了速度的方向，而不是速度的大小。
物理意义首先，向心加速度就是加速度;其次，加速度描述的是速度变化的快慢，这里的速度包括大小和方向。
在直线运动中，速度方向是不变的，因此我们着重讨论速度大小变化的快慢;在曲线运动中，速度的大小和方向同时变化，则加速度的概念在此得到充分体现;在匀速圆周运动中，速度(即线速度)是恒定的，所以只需要讨论速度方向的变化。
所以向心加速度(在非匀速圆周运动中，向心加速度是加速度沿指向圆心方向的分量)描述的是线速度方向的变化，因为速度是恒定的。
另外，在匀速圆周运动中，角速度是恒定的。
向心加速度公式6个公式：向心加速度的公式：an=Fn/m=4π²R/T²=4π²f²R=v²/R=ω²R=vω。
向心加速度公式an=Fn/m=4π²R/T²=4π²f²R=v²/R=ω²R=vω上式中，an表示向心加速度，Fn表示向心力，m表示物体质量，v表示物体圆周运动的线速度(切向速度)，ω表示物体圆周运动的角速度，T表示物体圆周运动的周期，f表示物体圆周运动的频率，R表示物体圆周运动的半径。
6.3向心加速度-2023-2024学年高一物理同步精讲课件(人教版2019必修第二册)
∴
Δv
=
AB
v
r
v
∴ Δv = r AB
Δv
v
∴ an = Δt = r
AB
Δt
当△t 很小很小时，AB=AB=Δl
∴
Δl
AB
AB
= Δt =
=v
an = r·v = r = ω2r = vω
练一练：
例2 如图所示，在长为l的细绳下端拴一个
质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球
① 同轴转动：角速度 ω 相同
当ω一定时，an与r成正比
② 同缘传动：线速度 v 相同
a
当v一定时，an与r成反比
o
v一定
ω一定
r
练一练：
例1 如图所示，一半径为R的球体绕轴O1O2以角速度ω匀速
转动，A、B为球体上两点。下列说法中正确的是（
A. A、B两点具有相同的角速度
B. A、B两点具有相同的线速度
这个加速度称为向心加速度
2、符号：an
3、方向：始终指向圆心（与向心力方向相同）
4、物理意义：描述速度方向变化的快慢
（向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小）
5、说明：匀速圆周运动加速度的大小不变，方向时刻改变，
所以匀速圆周运动不是匀变速运动，是变加速运动
6、公式：
5、向心加速度与半径的关系
思考：向心加速度an与半径r究竟成正比还是成反比?
C. A、B两点具有相同的向心加速度
D. A、B两点的向心加速度方向都指向球心
A ）
二 向心加速度的推导过程
物体从A点经时间Δt沿圆周匀速率运动到B点，转过的角
度为Δθ，将vA平移至B点，如图所示，因为vA与OA垂直，vB与OB
向心加速度公式的推导方法
向心加速度公式的推导方法向心加速度公式的推导方法1、矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为va=vb=v，则其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。
由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和vb垂直，由于vb方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，.2 .运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α3、.位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速4、类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。
现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即由图6可知，这个速度变化率其实就是端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.。
向心加速度公式的推导方法
向心加速度公式的推导方法
要推导向心加速度的公式，可以运用牛顿第二定律和圆周运动的相关知识来进行推导。
以下是一种常见的推导方法：
推导步骤如下：
步骤一：假设有一个物体在做匀速圆周运动，其速度大小为v，质量为m。
步骤二：由于物体做匀速圆周运动，因此存在一个向心力Fc使得物体向圆心做加速运动。
步骤三：根据牛顿第二定律，向心力Fc等于物体的质量m乘以向心加速度ac，即Fc = mac。
步骤四：由于在圆周运动中物体的加速度方向与速度方向垂直（向心加速度与速度垂直），因此可以将圆周运动分解为一个径向分量和一个切向分量。
步骤五：将向心力Fc分解为一个径向力Fr和一个切向力Ft。
步骤六：根据牛顿第二定律，径向力Fr等于物体的质量m乘以径向的加速度ar，即
Fr = mar。
由于在圆周运动中径向加速度ar等于零，所以径向力Fr等于零。
步骤七：由于在圆周运动中切向速度的大小与半径成正比（v = ωr，其中ω为角速度，r为半径），所以切向加速度at等于半径r乘以角加速度α，即at = rα。
步骤八：根据牛顿第二定律，切向力Ft等于物体的质量m乘以切向加速度at，即Ft = mat。
由于物体做匀速圆周运动，即角速度ω为常数，因此角加速度为零，所以切向力Ft等于零。
步骤九：因此，向心力Fc等于零径向力Fr和零切向力Ft之和，即Fc = Fr + Ft = 0 + 0 = 0。
步骤十：根据步骤三，Fc = mac，可以得到向心加速度ac等于零。
结论：所以，在匀速圆周运动下，物体的向心加速度ac等于零。
这就是推导向心加速度公式的一个常见方法。
5-5向心加速度
例1：如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向 心加速度随半径变化的图象， 心加速度随半径变化的图象，表示质点P的图 象是双曲线， 象是双曲线，表示质点Q的图象是过原点的一 条直线，由图象可知( 条直线，由图象可知( A ) A．质点P的线速度大小不变 B．质点P的角速度大小不变 C．质点Q的角速度随半径变化 D．质点Q的线速度大小不变
例3：目前，滑板运动受到青少年的喜 目前， 如图，某滑板运动员恰好从B 爱，如图，某滑板运动员恰好从B点进 入半径为r=2.0m 1/4圆弧 r=2.0m的 圆弧， 入半径为r=2.0m的1/4圆弧，该圆弧轨 道在C点与水平轨道相接，运动员在C 道在C点与水平轨道相接，运动员在C点 的速度为10m/s 球他到达C点前、 10m/s， 的速度为10m/s，球他到达C点前、后瞬 间的加速度大小（不计各种阻力） 间的加速度大小（不计各种阻力）
C
4.如图，A,B,C三点分别是地球表面上北纬 4.如图，A,B,C三点分别是地球表面上北纬 如图 300、南纬600 600和赤道上的点已知地球半径 300、南纬600和赤道上的点已知地球半径 自传角速度， R，自传角速度，求： 1)A,B两点线速度的大小 两点线速度的大小？ （1)A,B两点线速度的大小？ (2)A,B,C三点向心加速度之比 三点向心加速度之比？ (2)A,B,C三点向心加速度之比？
v2 4π 2 r an = = rω 2 = vω = = 4π 2 rf r T2
2
= 4π 2 rn 2
理解（ ）对匀速圆运动a 理解（1）对匀速圆运动 n指的是合加速度 （2）对变速圆运动，可分解为切线方向 ）对变速圆运动， 加速度at和法线方向加速度an(向心加速度 加速度 和法线方向加速度 向心加速度) 向心加速度 一定时a与 成反比 （3）v一定时 与r成反比 ） 一定时 w一定时 与r成正比 一定时a与 成正比 一定时
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向心加速度公式推导完整版—李朝辉整理向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算而产生的思维
定势，认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，故其因此我们在教学
中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速度有变化，故△v≠0，另一是速度变化的方向就是加速度的方向。
因此在教学中必须说清楚△v的方向。
教材中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了上述两点。
关于向心加速度公式的推导方法甚多，下面提供几种有推导方法，供大家参考。
方法一：（课本上的方法）利用加速度的定义推导（又称矢量合成法）：
如图所示：设小球在很短的时间t内从A运动到B,在时间t内速度变化为△v,
因为△OAB∽△BDC（可自己证一下）,所以有：△v/v=AB/R
当t→0时,AB=弧AB
所以：v=弧AB/t,a=△v/t
所以a=v2/R
方法二：在矢量合成法中应用三角函数推导：
如图所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率
为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图。
由余弦定
理可得
可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，。
方法三：利用运动的合成与分解推导（简称运动合成法）
由于惯性, 小球有离开圆心沿切线运动的趋势, 而细线的拉力却拉着小球向圆心运动.这样小球运动可分解成沿切线方向的匀速直线运动和沿半径方向的初速度为零的匀加速直线运动
设在很短的时间t内, 小球沿圆周从A到B,可分解为沿切线AC方向的匀速直线运动和沿AD方向初速度为零的匀加速直线运动.如图一：
方法四：利用开普勒第三定律、万有引力定律和牛顿第二定律推导向心加速度
设：质量为m的人造地球卫星以速率v在半径为r的近圆轨道上绕地球运行, 运行周期为T,地球质量为M.
根据开普勒第三定律：T2/r3=k（k为常量）
根据万有引力定律：F=GMm/r2
对于圆周运动的物体有：T=2πr/v
根据牛顿第二定律：a=F/m
联立上述各式有：a=（GMk/4π2）×（v2/r）
所以：a∝v2/r
方法五：曲率圆法
方法六：类比法：
设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t
趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率
（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。
现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即
由图6可知，这个速度变化率其实就是端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故有
比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.。