初等数学研究复习题

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初等代数复习题及答案

初等代数研究复习题及答案数科院包晓文（不对的地方欢迎指正）一、填空题1. 康托的基数理论给出的自然数加法的定义是:设A 、B 都是有限集，b B a A ==,，且=⋂B A φ,则称B A ⋂的基数为a 加上b 的和，记作b a +.这里a 叫做被加数，b 叫做加数，求和的运算叫做加法.2. 皮亚诺给出的自然数的公理化定义是:集合N 的元素叫做自然数，如果N 的元素间有一个基本关系“后继”，（用""+来表示），并满足下列公理： I.N ∈1；II. 对任何N a ∈，有唯一的N a ∈+； III. 对任何N a ∈，+a 不是1IV. 对任何N b a ∈,,若+a 与+b 相同，则a 等于b （记作b a =）； V. （归纳公理）若N M ⊆，且 o 1 M ∈102 对任意M a ∈,有M a ∈+,则N M =3. 自然数的最小数原理的内容是（N 任意一个非空子集中必有最小数.）.4. 第二数学归纳法的内容是: 设()n P 是关于自然数n 的命题，若o 1（奠基）()n P 在1=n 时成立；02（归纳）在()n P （k n ≤≤1，k 是任意自然数）成立的假定下，可以推出()1+k P 成立，则()n P 对一切自然数n 成立. 5.777的末两位数字是（ 07 ）．6.分母不大于7的正既约真分数的个数是（ 17 ）.7. 分数2925可以化为( 十进无限 )循环小数，其循环节的长度为（ 3 ）．8. 若(,)1,a b =则(,)ab a b +=（ 1 ）．9.(636,480)-=（ 12 ），[636,480]-=（25440）．10. 函数112+-=x x y 的值域是( ()()+∞⋃∞-,22, ).11. 函数22511x x y x x -+=-+值域是(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-37,3 ).12. 模m 的剩余类具有的性质是（至少写出两条）：定义如果N m ∈,集合},|{是任意整数t r mt x x K r+==，1,,1,0-=m r ，则称110,,,-m K K K 为模m 的剩余类. 剩余类具有下列比较明显的性质：1）模m 的剩余类110,,,-m K K K 都是Z 的非空子集； 2）每个整数必属于且只属于一个剩余类；3）两个整数属于同一个剩余类的充要条件是它们对模m 同余.13. 初等函数分为( 代数函数 )和(初等超越函数)两大类. 14. 超越方程包括 (指数方程，对数方程，三角方程和反三角方程)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧反三角方程三角方程对数方程指数方程超越方程无理方程有理方程代数方程方程15. 柯西不等式的内容是( ∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221).二、证明题1. 利用自然数的序数理论证明2510⨯=．证明 212=⨯42121222=+⨯=⨯=⨯+∴ 62222232=+⨯=⨯=⨯+ 82323242=+⨯=⨯=⨯+102424252=+⨯=⨯=⨯+2. 证明任意n 个相邻的整数都构成模n 的一个完全剩余系．证明设n a a a ,,,21 是相邻的n 个整数，任取i a ，j a （j i ≠），则1-≤-n a a ji依据题意，只需证明i a 与j a 不同余则可. 下面用反证法来证明假设()n a a j i mod =，即i a 与j a 同余则有r nq a i+=1，r nq a j +=2，由此21q q n a a j i -=-已知1-≤-n a a j i ，所以021=-q q ，即21q q =因此j ia a =，这与已知矛盾，故原命题成立。

初等数学研究(代数部分)期末复习题

初等数学研究（代数部分）期末复习题习题1.求适合{}1,2{1,2,3,4,5}A ⊆⊆的一切集合A ，以及他们基数的和。

解：:{1,2}{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}{1,2,3,4,5}A 它们的基数和为：2333444528+++++++=。

习题2.用自然数序数理论证明：（1）347+=，（2）3412⋅=证：（1）3433(33)(32)((32))((31))(((31)))(((4)))((5))(6)7''''''+=+=+=+=+''''''''''''=+=+====（2）313⋅=又3231313336'⋅=⋅=⋅+=+= 3332323639'⋅=⋅=⋅+=+=34333339312'∴⋅=⋅=⋅+=+=习题3.对任何自然数a ，证明：（1）2a a a ⋅=+，（2）2()a a a a ⋅=++证：有定3中的（1），1a a ⋅=，由（2），211a a a a a a'⋅=⋅=⋅+=+；同理，322()a a a a a a a '⋅=⋅=⋅+=++。

证毕习题4.设,m n N ∈，求证：（1）()m n m n ''''+=+ （2）()m n m n m ''⋅=⋅+ （3）()m n m m n n '''''⋅=+⋅+ 证：（1）m n n m ''+=+（交换律）∴()()m n n m n m ''''''+=+=+（性质（2））又n m m n ''''+=+（交换律）∴()m n m n ''''+=+；（2）()()m n m n m m n m '''⋅=⋅+=⋅+；（3）()()()()()m n m n m m n m m n m n m m n n m m n n'''''''''''⋅=⋅+=+⋅=+⋅+''''=+⋅+=+⋅+ 证毕习题5.证明()a b c a c b c -⋅=⋅-⋅证：设,a b x x N -=∈，则a x b =+原式变为证x c a c b c ⋅=⋅-⋅，即a c x c b c ⋅=⋅+⋅ 由乘法对加法的分配律()a c x b c x c b c ⋅=+⋅=⋅+⋅∴原式x c a c b c ⋅=⋅-⋅成立，即()a b c a c b c -⋅=⋅-⋅成立。

初等数学研究期末复习题：选择题与填空题1

初等数学研究期末复习题：选择题与填空题一．选择题1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )．A CB DA ．2B ．4C ． 6D ． 82．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．设A =22211148()34441004⨯++⋅⋅⋅+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．255．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b<<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．1826的结果是( )．A ．无理数B ．真分数C ．奇数D ．偶数7．设4r ≥，111a r r =-+，b =c =，则下列各式一定成立的是( )．A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345x x x x x ++++的未位数字是( )．A ．1B ．3C ．5D ．79．已知1m =1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )．A ．5-B ．5C ．9-D ．910．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )．A ．h <1B ．h =1C ．1<h <2D ．h >211．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP =QO ，则QC QA 的值为( )． A ．231- B ．23 C ．32+ D ．32+12．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．313．方程333652x x x y y -+=-+的整数解(,)x y 的个数是( )．A ．0B ．1C ．3D ．无穷多14．已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°15．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若AB =6，BC =5，EF =3，则线段BE 的长为( )．A ．185B ．4C ．215D ．24516．已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则223233x y x y -+- 2007-的值为( )．A ．2008-B ．2008C ．1-D ．117．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．318．若,a b 是两个正数，且1110a b b a--++=，则( )． A ．103a b <+≤ B ．113a b <+≤ C ．413a b <+≤ D ．423a b <+≤ 19．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为( )．A ．－13B ．－9C ．6D ． 020．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝( )．A ．72B ．10C ．105D ．73二．填空题21．在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-（m >0）与x 轴交于A ，B 两点．若A ，BD CB A Q O PQ P C O A B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OBOA -=，则m 的值等于． 22．已知D ，E 分别是△ABC 的边BC ，CA 上的点，且BD =4，DC =1，AE =5，EC =2．连结AD 和BE ，它们相交于点P ．过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q ，R ，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为．23．已知4021,,,x x x 都是正整数，且124058x x x ++⋅⋅⋅+=，若2221240x x x ++⋅⋅⋅+的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于．24．若实数x 、y 满足3333=13+43+6x y ＋，3333=15+45+6x y ＋，则x ＋y ＝__________． 25．已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为_________ ．26．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b =2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为．27．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数2(3)3y x a x =+-+的图像与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是．28．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．29．若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是．30．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且 1m n +≤．设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=_______.31．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，MAN ∠135=°，则四边形AMCN 的面积为．32．已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为AB =2，BC =CD =10，AD =6，过B 、D 两点作圆，与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BE BF -的值为．。

初等几何研究复习题

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。

已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。

证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。

∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F∴E ′与E 重合，证毕.习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。

知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。

解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ，则BF 是△DAC 的中位线。

∴BF 21AC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE21∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。

已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。

D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作DF ⊥ AC 延长线于F 。

求证：DE －DF 为常量。

证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。

初等数学研究期末考试题目答案

习题一5证明：当n=1时，的倍数。

是9181n 154n=-+ 假设当n=k 时的倍数。

是91k 154k-+则当n=k+1时的倍数。

是）（）（918k 451k 154411k 154k 1k +--+=-+++则对∀N n ∈，1n 154n -+是9的倍数. 6证明：当1n =时，141-=3-，n21n21-+=3-；则当1n =时成立。

假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)=k 21k21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)（21k 241）（+-） =k 21k 21-+（21k 241）（+-）=）（）（1k 211k 21k 21k 23+-++=++- 当1k n +=时成立。

7解：（1）01x 3x 132=---==+，则，αββα （2）3311=-=---ββαα，131313A n2n n 2n nn 2n 2n 2n ββααβαβα+--+-=-=∴+++++131311n 11n nn ）（）（-+-+---+-=βββαααβα133131n 1n nn ++-+-=βαβα；n 1n A A 3+=+（3）当n=1时，1013A 333=-=βα的倍数。

是10 假设当n=k 时13A 3k3k 3k βα-=的倍数。

是10则当n=k+1时131313A 33k 33k 3k 33k 33k 31k 31k 31k 3）（）（）（）（）（βαβαβαββααβα-+-=⋅-⋅=-=+++k 333k3k 1013βαβα+-=则对∀N n ∈，n 3A 是10的倍数. 21 解：Z=72i 31）（++=+=++1)6isin 6(cos 17ππ)67isin 67(cos ππ+=i 21231--则|Z|=22263241)23-(12-=-=+；则.23arctan 2）（+-=πθ 22 解： |z|=1，，则令ααisin cos z +=∴1z z 2+-=)i sin -sin (2cos cos cos 22ααααα+-则u=222)21(cos 41cos 4cos 4|1z z |-=+-=+-ααα当3u ,1cos max =-=时α；当.0u ,21cos min ==时α 25解：由图像知20)-(-10)-3(-|OD |22=+=；则.312||||||max =+=+=AD OD Z .112||||||min =-=-=BD OD Z,24060180)(arg .30,21sin max =+=∴=∴=Z αα.180)(arg min =Z 习题二1解：设这个多项式为)1()(10-+=x a a x f )4)(2)(1(2)(1(32---+--+x x x a x x a ）.然后将已知点依次代入：;10,10)1(00-=∴=-=a a f ;9,1)2(110=∴+=-=a a a f ;14,63101)4(2210=∴++==a a a a f ;2,21812124218)5(33210=∴=+++==a a a a a f因此，)1(910)(-+-=x x f )4)(2)(1(22)(1(14---+--+x x x x x ）7523--=x x 即.32)3(=f2解：d x c x b x a x x f +-+-+-+-=-)2()2()2()2()2(234令2=x 得165=d ;令0=x 得;8624,165248169=+-+-+-=c b a c b a 即令1=x 得.119=+-c b a 令3=x 得.269=++c b a 则165,180,75,14====d c b a即165)2(180)2(75)2(14)2()2(234+-+-+-+-=-x x x x x f =.5432234+-+-x x x x7解:(1)法一:原式为对称式,但显然原式没有一个因式,又由于原式为四次式,则设有一个二次对称式的因式=+++444)(y x y x ])([22nxy y x m ++])([22lxy y x k ++则;1;2====l k n m 444)(y x y x +++=222)(2xy y x ++ 法二:22222222444]2)[(2)()(xy y x y x y x y x y x +++-+=+++ =2222222222)(22)(4)(2xy y x y x y x xy y x ++=++++ (2) 2222222)1(122)()1(++++=++++x x x x x x x x2222)1()1()1(21++=++++=x x x x x x(3) 原式为对称式,当)(z y x +-=时原式为零,故z y x ++为原式的一个因式,又由于原式为三次式,则还有另一个二次对称式的因式.设=++++xyz y x x z z y ))()(((z y x ++))()([222yz xz xy n z y x m +++++]令120,1,1=+===n m z y x 得,令;131,1,1-=-=-=-=n m z y x 得则).)((),,(.1,0yz xz xy z y x z y x f n m ++++=∴==(4)原式为轮换式,当y x =时原式为零,故))()((x z z y y x ---为原式的一个因式,又由于原式为四次式,则还有另一个一次对称式的因式.设=++++xyz y x x z z y ))()((k ))()((x z z y y x ---(z y x ++)令.2,1260,2,1-=∴-====k k z y x 得则=++++xyz y x x z z y ))()((-2))()((x z z y y x ---(z y x ++) 8解:（1）))((15x x 6x x 22234l nx x k mx x ++++=+-+- =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=++-=+15161kl nk m l l m n k n m ；设;5,3==l k 则.2,1-==n m则).52)(3(15x x 6x x 22234+-++=+-+-x x x x（2）=++++21x 29x 20x 7x 234))((22l nx x k mx x ++++ =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+2129207kl nk m l l m n k n m ；设;7,3==l k 则.5,2==n m则=++++21x 29x 20x 7x 234).75)(32(22++++x x x x9解：（1））5()3()152)(3(45x 21x x 2223+-=-+-=+--x x x x x （2）)6792)(1(6x 13x 2x 72x 23234-++-=+--+x x x x=)2)(12)(3)(1(+-+-x x x x（3）原式为轮换式,当y x -=时原式为零,故))()((x z z y y x +++为原式的一个因式,.设=-+++++xyz 4y)z(x z)y(x z)x(y 222))()((x z z y y x k +++ 令.10,1,1====k z y x 得则=-+++++xyz 4y)z(x z)y(x z)x(y 222))()((x z z y y x +++ （4）)2)(12]()6)(4[(4x -24)14x 24)(x 11x (x 222+++++=++++x x x x x=-24x 242)(12()2)(12)(6)(4(x x x x x x x x -+++++++）=)2410()2)(12)(6)(4(2+++++++x x x x x x x =)2415)(6)(4(2++++x x x x10解：（1）]6016)[(60164(x 3x -12)10)(x 6)(x 5)(x (x 4222x x x x +++++=++++）=-23x 222236016(4)60164(x x x x x x -+++++）=]6016(2][3)6016[2(x 22x x x x x -+++++） =）120312)(12035(2x 22++++x x x )426535(+-=x )8)(152)(426535(++--x x x （2）7x 44x 27x 2x 234+---))((22l nx x k mx x ++++= =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=++-=+744272kl nk m l l m n k n m ；设;1,7==l k 则.7,5-==n m则7x 44x 27x 2x 234+---)17)(75(22+-++=x x x x)2537)2537)(75(2--+-++=x x x x （ 16解;（1）5432534)2()2()2()2(2-x A 2)-(x 6x 2x x 2-+-+-+-+=-+-x Ex D x C x B 设通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.22,54,42,15,2=====E D C B A则.)2(22)2(54)2(42)2(152-x 22)-(x 6x 2x x 25432534-+-+-+-+=-+-x x x x（2）2222221)x (13-x A 1)x -3)(x -(x 16x 4x 5+-+++-++=++-x EDx x x c Bx 通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.3,2,2,1,1-=-=-=-==E D C B A则.1)x (32123-x 11)x -3)(x -(x 16x 4x 5222222+---++---+=++-x x x x x 22 解:;471,71,3xx 222121=+=+∴=+-xx x x 则.18)11(x x (21212323=+-+=+--x x xx 即.52347218x3x x 2x 2223-23=++=++++-28. (1) =72cos7cos0cos ππ++)73-cos(73cos πππ++)7-cos()72-cos(ππππ++=1 (2) =）（ 1tg 1+）（ 2tg 1+）（ 3tg 1+)]145(tg 1[ -+ =）（1tg 1+）（2tg 1+）（3tg 1+)1tan 11tan 11(+-+ =2）（ 2tg 1+）（ 3tg 1+)43tan 1( +=222 (3) =++2)240cos 1(++2)280cos 1( ++2)2120cos 1( 2)2160cos 1( + =+++++++280cos 1)160cos 120cos 80cos 40(cos 24[412160cos 1 ++++2240cos 1 ]2320cos 1+=++++++280cos )160cos 120cos 80cos 40(cos 26[412160cos ++2240cos ]2320cos=]40cos 2120cos 80cos )20cos 2180cos 40(cos 412[81+--+--++=]25)20cos 80cos 40(cos 512[81--++=1619)20cos 20cos 2120cos 2(8516523=-+- 。

初等数学研究期末复习：解答题doc

初等数学研究期末复习题：解答题代数部分1．已知函数f (n )的定义域和值域都是N ，且(1)f (2)=2；(2)对m 、n ∈N ，有f (mn )=f (m )f (n )；(3)m >n ⇒f (m ) >f (n )．求证：对任意n ∈N ，有f (n )= n ．2．用跳跃归纳法证明：任一正方形可剖分成个数多于5个的正方形．3．对任意自然数n ，设sincosnnnρθθ=+，若1sin cos ρθθ=+是有理数，试证n ρ是有理数．4．证明：当n >2时，n 与n !之间至少存在一个质数．5．设a 、b ∈Z ，证明：在a ，b ，a +b ，a －b 中必有一个是3的倍数．6．已知,k n N∈，n a 表示12kkkn++⋅⋅⋅+的个位数字，求证：120.n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是有理数．7．证明：实数集是不可数集． 8．设α是无理数，求证：3(1)α+与3(1)α-不能同为有理数．9．设(1)n N n ∈>，求证：111s in 2n n k k nnπ--==∏．10．已知cos cos cos sin sin sin 0αβγαβγ++=++=，求证：co s 2co s 2co s 2sin 2sin 2sin 20αβγαβγ++=++=．11．圆内接六边形ABCDEF 的三条边AB ，CD ，EF ，都等于该圆的半径，求证：另三边BC ，DE ，F A 的中点P ，Q ，R 构成一个正三角形．12．设1z i +≤，求z和arg z 的最大值与最小值．13．已知,,a b c R∈且0a b c ++=，求证：555222333523abcabcab c ++++++=．14．分解因式：5555()x y z xyz++---．15．已知(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 都是多项式，且432()1F x xx xx =++++，5525()()()()()P x x Q x x R x F x S x ++=⋅，求证：1x-是(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 的一个公因式．16．确定正整数k 值，使432()22f x xx k xk x =--+-能分解成整系数因式．17．已知a b c b cc aa b++=---，求证：222()()()a bc b c c a a b ++=---．18．已知1xyz=，2xy z ++=，22216xyz++=，求111222x y zy z xz x y+++++的值．1920．已知1224lo g 18,lo g54ab ==，求证：5()1a b a b +-=．21．实数,x y 满足2220xy x +-=，求22xy-的值域．22．求下列函数的值域：(1)yx =-(2)y=23．求函数22331221x x yxx ++=++的值域．24．证明sin cos y x x=+的最小正周期是2π．25．证明2sin yx=不是周期函数．26．证明：函数sin y x=是超越函数．27．已知()(y f x x =∈R )的图像关于点0(,)a y 和直线()xb a b =≠都对称，求证：()f x 是周期函数．28．求函数229(,)()f m n m n n =-+⎛⎫⎪⎝⎭的最小值．29．解方程：222916(3)xxx +=-．30．解方程：2660x x ---=．31(x a +=∈R )．32．解方程：3233110x x x --+=．33．解方程：3120x x --=．34．解方程：432420x x xx +---=．35．解方程：7654322513135210xxx x x x x +----++=．36．解方程组3355x yy x ==⎧⎨⎩．37．解方程组123x x y y y y z z z zx x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．. 38．解方程组222333333x y z x y z x y z ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．39．已知：22221,1(,,,,,2)a b kab c dkcd a b c d k R k +-=+-=∈<，求证：2a c b d -≤．40．已知01(1,2,,)i x i n ≤≤=⋅⋅⋅，121nSx x x =+++⋅⋅⋅+，求证：121212(1)(1)(1)1nn nx x x x x x S x S x S x ++⋅⋅⋅++--⋅⋅⋅-≤---．41．已知0(1,2,,)i x i n >=⋅⋅⋅，求证：12121212()nnx x x x x x nnn x x x x x x ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅．42．设,,0x y z ≥且1x y z ++=，求证：7227y z zx x y x y z ++-≤．43．解关于x 的不等式组：22(1)020x a x a x -++>-<⎧⎨⎩．441<+．45．解关于x 的不等式：2x a x ++<．46．已知数列{}n a 的前n 项和(1033)2n n n S -=，(1)求通项n a ；(2)求n S 的最大值．47．求和231234122222nn nnn S -+=+++⋅⋅⋅++．48．已知数列{}n a 中，设10a =，121n n n a a nn++=+，求通项公式n a ．49．已知数列{}n a 中，11a =，21a =，12n n n a a a --=+(3)n ≥，求通项公式na ．50．已知数列{}n a 中，11a =,27a =，且124461nn n a a a n --=-++，求通项公式n a ．几何部分1．已知：在⊿ABC 中，BE 平分∠ABC 而交AC 边于E ，CF 平分∠ACB 而交AB 边于F ，且BE =CF ．求证：AB =AC ．2．设E 是正方形ABCD 内一点，且∠ECD =∠EDC =15°．求证：⊿EAB 是正三角形． 3．AD 是⊙ABC 的直径，过点D 作圆的切线，交CB 的延长线于P ，连PO 并延长交AB 、AC 于M 、N ．求证：OM =ON ．4．设AB 是⊙O 的弦，M 是AB 的中点，过M 任作两弦CD 、EF ，记P 、Q 依次为AB 与CF 、ED 的交点．求证：PM =MQ ．5．在锐角⊿ABC 中，过各顶点作其外接圆的切线，A 、C 处的两切线分别交B 处的切线于M 、N ，BD ⊥AC 于D ．求证：BD 平分∠MDN ．6．已知：AD 是⊿ABC 的高，P 是AD 上任一点，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于E 、F ．求证：DA 平分∠EDF ．7．在⊿ABC 中，AB =AC ，D 是BC 上的一点，E 是AD 上的一点，且∠BED =2∠CED =∠A ．求证：BD =2CD ．8．在⊿ABC 中，若D 、E 在BC 上，且∠BAD =∠CAE ．求证：22B E A B E CB D CD CA ⋅=．9．已知：正⊿ABC 的边长为1，等腰DBC 的顶角∠BDC =120°，以D 为顶点任作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连MN ．求证：⊿AMN 的周长等于2．10．已知：R 、r 分别是⊿ABC 的外接圆和内切圆的半径，I 是内心，AI 的延长线交外接圆于D ．求证：2AI ID Rr ⋅=．11．菱形ABCD 的内切圆切各边于E 、F 、G 、H ，在弧EF 与弧GH 上分别作此圆的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q ．求证：MQ //NP ．12．在⊿ABC 中，已知AB =AC ，AD 、BE 是高，且交于H ，E F ⊥BC 于F ，M 是AH 的中点，延长AD 到G ，使DG =EF ．求证：BM ⊥BG ．13．已知：⊿ABC 内接于⊙O ，L 、M 和N 分别为弧BC 、弧CA 和弧AB 的中点，连结NM 、LM 分别交AB 、BC 于D 、E ，I 是⊿ABC 的内心．求证：D 、I 、E 三点共线．14．由圆内接四边形各边中点向对边引垂线，证明这四垂线共点．15．证明：三角形三边的中点，三高之足，垂心与各顶点所连线段的中点，这九点共圆．16．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条内角平分线长分别为a b c t t t 、、，求证：()2a b c t t t a b c ++≤++．17．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ．求证：222222()()()abca b b c c a ++≥+-+-+-．18．在四边形ABCD 中，⊿ABD 、⊿BCD 、⊿ABC 的面积比是3︰4︰1，点M 、N 分别在线段AC 、CD 上，且B 、M 、N 三点共线，AM ︰AC =CN ︰CD ．求证：M 、N 分别是AC 、CD 的中点． 19．已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于其内一点，且OA =OC ，OD =3OB ，在AC 、CD 上各取一点M 、N ，使AM ︰AC =CN ︰CD =︰3．求证：B 、M 、N 三点共线．20．P 为⊿ABC 的BC 边上任一点，作PE //AB 交AC 于E ，PF //AC 交AB 于F ，设1A B CS =．求证：B P F C P E A F P E S S S 、、至少有一个不小于49．21．已知凸五边形ABCDE 中，每一顶点与其相邻的两顶点所成的三角形的面积都是1．求A B C D E S ．22．⊿PQR 与⊿P ′Q ′R ′是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 是它们的公共部分，若记AB =a 1，BC =b 1，CD = a 2，DE = b 2，EF = a 3，F A = b 3．求证：222222123123a a ab b b ++=++．23．设I 是⊿ABC 的内心，AI 、BI 、CI 分别交对边于A ′、B ′、C ′，记12Aα=∠，12Bβ=∠，12Cγ=∠．求证：(1)1(1ta n ta n )2A I A A βγ=+'，1(1ta n ta n )2B I B B γα=+'，1(1ta n ta n )2C I C C αβ=+'；(2)18427A IB IC I A A B B C C ⋅⋅<≤'''⋅⋅．24．证明：任意四边形的面积不大于对边乘积之和的一半．25．设一直角∠MON ，试在OM 、ON 边上及角内各求一点A 、B 、C ，使得BC +CA =l (定长)，且四边形ACBO 的面积最大．26．已知点A 为平面上两半径不等的⊙O 1 和⊙O 2的一个交点，外公切线P 1P 2的切点P 1、P 2，另一条外公切线Q 1Q 2的切点Q 1、Q 2，M 1、M 2分别为P 1Q 1、P 2Q 2的中点．求证： ∠O 1A O 2=∠M 1A M 2．27．在等腰⊿ABC 中，顶角∠ACB =80°，过A 、B 引两直线在⊿ABC 内交于一点O ，若∠OAB =10°，∠ABO =20°．求证：∠ACO =60°．28．设E 、F 分别是⊿ABC 的AB 、AC 上的点，BE =CF ．求证：EF <BC ．29．设P 是平行四边形ABCD 内一点，使∠P AB =∠PCB ．求证：∠PBA =∠PDA ． 30．在⊿ABC 中，点D 是AB 的中点，E 、F 分别在边AC 、BC 上，证明：⊿DEF 的面积不大于⊿ADE 与⊿BDF 的面积之和．31．四边形ABCD 内接于圆，另一直径在AB 上的半圆与其他三边都相切．求证： A D B C A B +=．32．设P 是正⊿ABC 内任一点，且P A a =，P B b =，P C c =，试用a 、b 、c 表示⊿ABC 的面积．33．求证：三角形的外心、垂心、重心共线．34．三个全等的圆有一个公共点O ，且都在一个已知三角形内，每一个圆都与三角形的两边相切．求证：这个三角形的内心、外心与点O 共线．35．已知四边形ABCD 的任一组对角之和为θ．求证：222()()()2c o s A C B D A B C D A D B C A B B C C D A D θ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅．。

初等数学研究第一章到第十三章全部答案

习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10）答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。

而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。

（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。

数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。

（2）构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。

a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈' 又由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。

（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有（P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。

《初等数学研究》复习资料

《初等数学研究》复习资料一、简答题1. 不定方程13x y z w +++=的正整数解的解数.2. 把多项式3222x x x -++表示成(+2)x 的幂的多项式的形式. 3. 不定方程1231023x x x x ++++=的非负整数解的解数.4. 6本不同的书放在书架上．现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置．有多少种摆法5. 函数2sin cos 37xy x =+的最小正周期. 6. 求函数2y =.二、计算和证明题1. 已知梯形ABCD 的上、下底的长分别为,a b ，点E 、F 分别在腰AB 和CD 上，EF ∥AD ，且EF将梯形ABCD 分成上下面积相等的梯形，试证明EF =． 2.证明托勒密（Ptolomy ）不等式凸四边形两组对边乘积之和不小于它的两条对角线乘积．3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，则该三角形的面积为S =，其中2a b cp ++=． 4. 已知圆内接凸四边形ABCD 的边长依次为,,,a b c d ，设2a b c dp +++=，求证该四边形的面积为S =．5. 已知(0)204(1)(2)(3)222f f f f ====，，求三次多项式()f x 的解析式.6. 解方程：432625122560x x x x -+++=．三、探究题1.已知点P 为正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PD ，试探求正方形ABCD 的面积．2.设32()3620f x x x x =+++=的三个根为α，β，γ，试求以2αβγα+-，2βγαβ+-，2γαβγ+-为根的三次方程．3.已知ABC ∆内任意一点P 在BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F ，试问P 于何处时，BC CA ABPD PE PF++取得最小值． 4.已知ABC ∆所在平面上的任意一点P ，试问P 位于何位置时，它到三边距离的积（即PD PE PF ⋅⋅）取得最小值，其中D 、E 、F 分别为相应垂足．参考答案一、简答题1. 不定方程13x y z w +++=的正整数解的解数.2. 把多项式3222x x x -++表示成(+2)x 的幂的多项式的形式.3. 不定方程1231023x x x x ++++=的非负整数解的解数.4. 6本不同的书放在书架上．现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置．有多少种摆法5.函数2sin cos37xy x=+的最小正周期.6.求函数22261xyx+=+的最小值.二、计算和证明题1.已知梯形ABCD的上、下底的长分别为,a b，点E、F分别在腰AB和CD上，EF∥AD，且EF将梯形ABCD分成上下面积相等的梯形，试证明EF=222a b+．2.证明托勒密（Ptolomy）不等式凸四边形两组对边乘积之和不小于它的两条对角线乘积．3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，则该三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---，其中2a b cp ++=．4.已知圆内接凸四边形ABCD 的边长依次为,,,a b c d ，设2a b c dp +++=，求证该四边形的面积为()()()()S p a p b p c p d =----．2. 解方程：432625122560x x x x -+++=．三、探究题1.已知点P 为正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PD =6，试探求正方形ABCD 的面积．6 21CP3. 已知(0)204(1)(2)(3)222f f f f ====，，求三次多项式()f x 的解析式.2. 设32()3620f x x x x =+++=的三个根为α，β，γ，试求以2αβγα+-，2βγαβ+-，2γαβγ+-为根的三次方程．3. 已知ABC ∆内任意一点P 在BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F ，试问P 于何处时，BC CA ABPD PE PF++取得最小值．4. 已知ABC ∆所在平面上的任意一点P ，试问P 位于何位置时，它到三边距离的积（即PD PE PF ⋅⋅）取得最小值，其中D 、E 、F 分别为相应垂足．。

初等数学研究题库

选择题一．函数与方程1.（全国新课标卷，第9题）已知0ω>，函数()sin 4f x x πω=+（）在(,)2ππ单调递增，则ω的取值范围是（）A.1524⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,22.（全国新课标卷，第10题）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致为（）3.（全国大纲卷，第9题）已知125ln ,log 2,x y z eπ-===，则（）A.x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y z x <<4.（全国大纲卷，第10题)已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =（）A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1 5.（湖南，第8题）已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+，1l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点A ,B ,2l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点C ,D .J 记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ,b .当m 变化时，ba的最小值为（） A.162 B.82 C.384 D.3446.(江西，第2题）下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数为（） A.1sin y x =B.ln x y x =C.xy xe = D.sin x y x= 7.(江西，第3题）若函数21,1()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =（）A.lg101B.2C.1D. 08.（福建，第7题）设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是（）A.()D x 的值域为{}0,1B.()D x 是偶函数C.()D x 不是周期函数D.()D x 不是单调函数9.（福建，第9题）若函数2xy =的图象上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（） A.12 B,1 C.32D.2 10.（福建，第10题）函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意[]12,,x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+，则称()f x 在[],a b 上具有性质P .设()f x 在[]1,3上具有性质P ，现给出如下命题： ①()f x 在[]1,3上的图象是连续不断的；②2()f x 在1,3⎡⎤⎣⎦上具有性质P ；③若()f x 在2x =处取得最大值1，则[]()1,1,3f x x =∈； ④对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有[]123412341()()()()()44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号是（）A.①②B.①③C.②④D.③④11.(广东，第4题）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.(2)y ln x =+B.1y x =-+C.1()2xy = D.1y x x=+12.（陕西，第2题）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.1y x =+B.3y x =- C.1y x=D.y x x = 13.（湖北，第3题）已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为（） A.25π B.43 C.32 D.2π14.（湖北，第7题）定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a 仍是等比数列.则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义()(),00,-∞+∞ 上的如下函数：①2()f x x =；②()2xf x =；③()f x x =；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（） A.①② B.③④ C.①③ D.②④15.（湖北，第9题）函数2()cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为（）A.4B.5C.6D.716.(天津，第4题）函数3()22xf x x =+-在区间()0,1内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.317.(四川，第3题）函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限（）A.不存在B.等于6C.等于3D.等于0 18.(四川，第5题）函数()10,1xy a a a a=->≠的图象可能是（）y-1 O x1119.(山东，第3题）设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数”是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 20.(山东，第8题）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，()2()2f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =.则(1)(2)(3)(2012)f f f f ++++=（）A.335B.338C.1678D.2012 21.(山东，第12题）设函数1()f x x=，()2(),,0g x ax bx a b R a =+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是（）A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B.当0a <时，12120,0x x y y +>+<C.当0a >时，12120,0x x y y +<+<D.当0a >时，12120,0x x y y +>+>22.（辽宁，第11题）设函数()()f x x R ∈满足()(),()(2)f x f x f x f x -==-，且当[]0,1x ∈时，3()f x x =.又函数()cos()g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（）A.5B.6C.7D.823.（辽宁，第12题)若[)0,x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（） A.21xe x x ≤++ B.21111241x x x≤-++1O 1 xB.y y x1O 1 A.1O 1 xC.y xD.y1O 1C.21cos 12x x ≥-D.21ln(1)8x x x +≥- 24.（重庆，第5题）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根，则()tan +αβ的值为（） A.-3 B.-1 C.1 D.325.（重庆，第7题）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[]0,1上的增函数”是“()f x 为[]3,4上的减函数”的（） A.既不充分也不必要条件 B.充分也不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件26.（重庆，第8题）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数'(1)()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（） A.函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f B.函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f C.函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - D.函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f27.（安徽，第2题）下列函数中，不满足(2)f x 等于2()f x 的是（）A.()f x x =B.()f x x x =- C ()1f x x =+. D.()f x x =- 28.（浙江，第9题）设0,0a b >> （）A.若2223aba b +=+，则a b > B.若2223aba b +=+，则a b < C.若2223aba b -=-，则a b > D.若2223aba b -=-，则a b <二．数列1.（全国新课标卷，第5题）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=（）A.7B.5C.-5D.-72.(全国大纲卷，第5题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,555,15a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（） -2 yx2 1 OA.100101 B.99101 C.99100 D.1011003.(江西，第6题)观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，···，则1010a b +=（） A.28 B.76 C.123 D.1994.(福建，第2题)等差数列{}n a 中，15410,7a a a +==，则数列{}n a 的公差为（） A.1 B.2 C.3 D.45.(辽宁，第6题)在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =( ) A.58 B.88 C.143 D.1766.(上海，第18题)设121sin ,25n n n n a S a a a n π==+++ ，在12100,,S S S 中，正数的个数是（）A.25B.50C.75D.1007.(重庆，第1题)在等差数列{}n a 中，241,5a a ==，则n a 的前5项和5S =（） A.7 B.15 C.20 D.258.(安徽，第4题)公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =（）A.4B.5C.6D.79.(浙江，第7题)设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（）A.若0d <，则数列{}n S 有最大项B.若数列{}n S 有最大项，则0d <C.若数列{}n S 是递增数列，则对任意n N *∈，均有0n S > D.若对任意n N *∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列三．不等式1.（北京，第1题）已知集合{}|320A x R x =∈+>，{}|(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( )A.(),1-∞-B.21,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C.2,33⎛⎫-⎪⎝⎭D.()3,+∞ 2.(福建，第5题)下列不等式一定成立的是（ )A.()21lg lg 04x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭ B.()1sin 2,sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C. ()212x x x R +≥∈ D.()2111x R x >∈+ 3.(湖北，第5题)设a Z ∈,且013a ≤<，若200251a +能被13整除，则a =（）A.0B.1C.11D.124.(湖北，第6题)设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++（）A.14 B. 13 C. 12 D. 345. (重庆，第2题)不等式1021x x -≤+的解集为（）A.1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D.[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦四．排列与组合1.（全国新课标卷，第2题）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1个名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） A.12种 B.10种 C.9种 D.8种2.(全国大纲卷，第11题)将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（） A.12种 B.18种 C.24种 D.36种3.(全国大纲卷，第12题)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==,动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（）A.16B.14C.12D.10 4.(北京，第6题)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A.24B.18C.12D.65.(陕西，第8题)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（个人输赢局次的不同视为不同情形）共有（） A.10种 B.15种 C.20种 D.30种6.（天津，第5题）在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的二项系数为（）A.10B.-10C.40D.-40 7.(四川，第1题)()71x +的展开式中2x 的系数是（）A.42B.35C.28D.218.(山东，第11题)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（） A.232 B.252 C.472 D.4849.(辽宁，第5题)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A.33!⨯B.()333!⨯ C.()43! D. 9!10.(重庆，第4题)312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A.3516 B.358 C.354D.105 11.(安徽，第7题)()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（）A.-3B.-2C.2D.312.(浙江，第6题）若从1,2,3,,9 这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A.60种B.63种C.65种D.66种填空题一、函数与方程1. (全国大纲卷，第14题)当函数()π20cos 3sin <≤-=x x x y 取得最大值时，=x ______2. （北京卷，第14题）已知()()().22)(,32-=++-=xx g m x m x m x f 若同时满足条件：①R x ∈∀，()0<x f 或()0<x g ；②()0)()(,4,<-∞-∈∃x g x f x .则m 的取值范围是__3.（湖北卷，第13题）回文数是指从左往右读与从右往左读都一样的正整数。

(完整版)初等数学研究(补充版)

初等数学研究1.（P383例4）在△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE,正△ACD,如图,连接DE 交AB 于F.求证：EF=FD 。

证明：作EH ⊥AB 交AB 于H 点。

∵∠CAD=60°，∠BAC=30° ∴∠EHF=∠DAF=90° 设BC=a ，则AC=EH=3a又∵∠EFH=∠DFA （对顶角） ∴△EFH ≌△DFA （AAS) ∴EF=FD2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心，O 是外心。

OD ⊥BC 于D 。

如图,求证：AH=2OD 。

证明:取AB 、H 的中点M 、N ，连接OM ，MN,DN则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM ∴四边形MNDO 是平行四边形。

∴OD=MN=12AH即AH=2OD 3。

（P423例21)在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ，使MK ∥AC ，ML ∥BC;设BL 、MK 交于P ，AK 、ML 交于Q 。

如图，求证：PQ ∥AB 。

证明:∵ML ∥BC MK ∥AC ∴KP BP PMPL= BM KQ MAQA= BP BM PL MA=∴KP BP BM KQPM PL MA QA===因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB4。

(P430例26）设A 、B 为平面上的二定点，C 为平面位于直线AB 同侧的一动点,各以AC 、AB 为边，在△ABC 之外作正方形CADI 、CBEJ,如图。

求证：无论C 点取在直线AB 同侧的任何位置，DE 的中点M 的位置不变。

证明:自D 、E 、C 和M 分别作AB 的垂线，设其垂足依次为G 、H 、K 和N.∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90° ∴△ADG ≌△CAK （AAS ） ∴AG=CK DG=AK同理: CK=BH EH=BK ∴AG=BH∵N 平方HG （MN 是梯形中位线) ∴N 平分AB∵EH+DG=BK+AK=AB∴MN=12(EH+DG ）=12AB又∵MN ⊥AB ∴DE 的中点M 是定点.5.（P437例28)在任一三角形中，外心、垂心和重心共线. 证明：∵G 为三角形重心 ∴AG=2DG又由P395例6知AH=2DO 又∵OD ∥AH∴∠1=∠2∴△DOG ∽△AHG ∴∠OGD=∠HGA∴H 、G 、O 三点共线 6。

初等数学研究复习资料

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1、△ABC 是一个等腰三角形，AB=AC，M 是 BC 的中点；O 是 AM 的延长线上的一点，使
得 OB⊥AB；Q 是线段 BC 上不同于 B 和 C 的任意一点，E 在直线 AB 上，F 在直线 AC 上，
使得 E，Q，F 是不同的和共线的．求证：（Ⅰ）若 OQ⊥EF，则 QE=QF；（Ⅱ）若 QE=QF，
51、用 1、2、3、4、5 可以构成多少个各相邻数字恰好相差 1 的 n 位数？
52、对任意给定的正整数 n(n
≥
2) ，数列{bk } 满足 b1
= 1，且
bk +1 bk
=
k −n k +1
(k
= 1,2,⋯, n −1) .
（1
）求
b1 + b2 + … + bn
；（
2）记
an
1 = b1 + b2 + ⋯ + bn
+ a1
+⋯+
a1
+ a2
amn +⋯ + am−1
≥
(
m
−
1 )
n−3
m
p n−1 ．
44、设a,b,c ∈ R+，且abc = 1，n ∈ N + ,证明：
(a n
−1+
1 bn
)(b n
−1+
1 cn
)(c n
−1+
1 an
)
≤ 1(当n
=
1时为第41届IMO试题)
45、设正数数列 a0 , a1, a2 ,⋯ 满足 a0 = a1 = 1, 且 an • an−2 − an−1 • an−2 = 2an−1, n = 2,3,⋯.

初等数学研究(1)

2.对自然数证明乘法单调性：设a，b，c∈N则（1）若a＝b，则ac＝bc（2）若a＜b，则ac＜bc（3）若a＞b，则ac＞bc证明：（1）设命题能成立的所有c组成的集合M.∵a·1=b·1∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= (bc) ′﹤＝﹥ac + 1 = bc + 1 重复以上过程a次，可得到ac + a = bc + a = bc + b即a(c+1) = b(c+1)∴c∈M由归纳公理知M = N.所以命题对任意自然数c成立(2)若a < b,则有k∈N,使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bcac + kc = bc﹤＝﹥ac < bc(3)依据(2)由对逆性可得。

7.设α=(3+13) / 2 , β=( 3-13) / 2 , An= (αn-βn)/ 13(n=1,2,…..).(1) 以α,β为根作一元二次方程;(2) 证明A n+2=3A n+1+A n;(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数；解：(1) α+ β=3, α β=-1,∴由韦达定理得以α,β为根作一元二次方程为：X2-3X-1=0(2) 证：3A n+1+A n=3(αn+1-βn+1)/13+(αn-βn)/13=( α+ β) (αn+1-βn+1) /13+(αn-βn)/13= (αn+2 -βn+2 - α βn+1 + β αn+1 + αn- βn)/13= (αn+2 -βn+2)/13=A n+2(3) 证：①当n=1时，有A3 =10，则10| A3。

②假设当n=k时，有10| A3k则当n=k+1时，A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1=10 A 3k+1 +3 A3k10|10 A 3k+1 , 10| 3A3。

∴ 10|10 A 3k+3由①②得，对∀n∈N*,有10| A3n。

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习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一•腰的屮点。

已知：如图，梯形ABCD 中,AD〃BC, AB二AD+BC,E 是DC屮点求证：ZDAB与ZABC的平分线必经过E点。

证明（同一法）:设ZDAB A/ZABC的角平分线交于U点，只需证E，点与E点重合。

・・・AD〃BC・,.ZDAB+ZABC=180°VZ1 = Z2, Z3=Z4,AZ2+Z3=90°・・・ZAE‘ B=90°作RtAABE z的斜边AB ±的中线FE,,则FE' =1AB=AF=BF2AZ2=ZAE/ F, Z3=ZBE^ FAZ1=Z2=ZAE, E:.E f F〃AD〃BC连结EF,则EF为梯形ABCD的屮位线,E F〃AD〃BC:.E f F与EF共线•・・FE，=1AB=1(AD+BC), FE 二丄(AD+BC)2 2 2・・・E'F二EF・・・E‘与E重合,证毕.习题2.A是等腰三角形ABC的顶点，将其腰AB延长至D,狡BD=AB。

知CD=10厘米求AB边上中线的长。

解：过B作BF〃AC交CD于F, 则BF是ADAC的中位线。

// 1・・・BF= -AC2・•・ ZFBC=ZACB乂ZACB=ZABC, AB=ACAZFBC=ZABC, BF二丄AB=BE2A AEBC^AFBC (SAS)・・・CE二CF二丄CD二丄X 10=5cm2 2即AABC屮边上的屮线CE的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离Z差为常量。

已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC°D为BC延长线上一点，过D作DE丄AB 于E,作DU AC延长线于F。

求证：DE—DF为常量。

证明：作AABC的边AB上的高CH,再作CG丄DE于G,则四边形CHEG为矩形。

VZ3+ZB=90° , Z4+Z2=90° , ZB=ZACB=Z2AZ3=Z4又CD为公共边。