连续系统

左边界条件
右边界条件
u (0, t ) 0
u 0 x u ku EA x 2u u m 2 EA t x
u (l , t ) 0
u 0 x ku EA
u x
惯性载荷(m-集中质量) 杆对应于各阶固有频率 i 的主振型为
2u u m 2 EA t x
（4.3.9）式的解的形式是：
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
sin
得到
l
c
0
i
相应的振型函数
i l
E

i x l
(n 1, 2,3,)
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(b)所示。
(n 1, 2,3,)
4.3 轴的扭转振动 为求得轴扭转振动的运动方程， 可以采用与拉杆类似的方法， 从轴上截取一个微段作为 自由体，如图 4.3-1 所示。由微体的平衡，得到：
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
其中考虑轴的扭转刚度可能沿其轴线变化。 此方程也可用分离变量法来求解。为此，设
（4.3.3）
Fra Baidu bibliotek
( y, t ) ( y )T (t )
将它代入（4.3.3）式，得到：
（4.3.4）
( y ) 2T GJ T ( t ) I ( y ) ( y ) 0 y y t 2
由上式可解出不同的固有圆频率，故称之为频率方程。 例如 k 0 时相当于自由端，频率方程简化为
cos
可解出系统的各阶固有频率为
l
c
0
i
(2i 1) 2l
E

(i 1, 2,3,)
显然，固有频率有无限多个3，这是连续系统不同于离散系统的特征之一。与固有频率相应 的特征函数（也称振型函数）为：
u ( x,0) g ( x ) t i x f ( x) l i x g ( x) l
B sin
i 1 i i 1 i i

A sin
由三角函数正交性：
l i j i x j x 0 sin l sin l dx 2 0 i j
对于均匀杆件 A，E 是常数，故(4.2.3)式可写成
2u 1 2u x 2 c 2 t 2 c2 E /
(4.2.4)
(4.2.4)式是典型的波动方程，c 为波沿杆纵向的传播速度1。
1
工程中的许多问题，其运动微分方程都为一维波动方程，除了杆的纵向振动外，还有弦的横向振动，声音 的传播，轴的扭转振动等问题。
u dx ， x
由牛顿第二定律知
dm
2u N (N dx) N 2 t x
(4.2.2)
式中 dm 为微元 dx 的质量。若 为质量密度，则有
dm Adx
将上式代入(4.2.2)式，化简后得运动方程
A
2u u ( AE ) 2 t x x
(4.2.3)
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改写成：
( y ) ( y ) 0 a
u ( x, t ) (C1 sin
2
x
a
C2 cos
x
a
)(C3 sin t C4 cos t )
(4.2.8)
后面的推导将表明恰好是系统的振动频率。
杆作纵向振动的典型边界条件见表 4.2-1。其中，前两行为位移边界条件，后两行为静 力学边界条件。
表 4.2-1
端部状态 固定 自由 弹簧载荷(k-弹簧常数)
x
c
C2 cos
x
c
(4.2.7a)
式中积分常数 C1 ， C2 由边界条件决定。由(4.2.6b)式可解得振动的时间历程函数
Y (t ) C3 sin t C4 cos t
(4.2.7b)
积分常数 C3 ， C4 由初始条件决定。显然，振动的圆频率为 ，(4. 2.7a)式与(4.2.7b)式是通 过圆频率互相联系的。将(4.2.7)式代入(4.2.5)式，即得到(4.2.4)式的解为：
固支端：
（4.3.11a） （4.3.11b）
y 0 时， (0, t ) (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时， (l , t ) (l )T (t ) 0 ，即 (l ) 0
第四章 连续系统的振动
4.1 前言
在此之前，已经研究了多自由度离散系统的振动。实际上飞行器结构的质量元件和承 力结构元件都是连续分布的质量及刚度，所以这章开始讨论连续系统的振动问题。 弹性连续系统可以看作是由具有无限多质点相互作用的有弹性约束的系统，需要无限 多个坐标值才能确定系统在空间的位形。 从数学的角度讲， 连续体的振动是时间和空间坐标 的连续函数。 离散的多自由度系统与连续系统的这个差别， 使得描述运动状况的运动方程也 具有明显的差别，前者归结为常微分方程组，而后者归结为偏微分方程，因而在解法上增加 了难度。 尽管如此，这两类模型描述的都是振动现象，所以在很多方面有共同之处。在多自由度 系统振动分析中所形成的一系列概念， 在弹性体振动分析中都有相应的地位和发展。 例如弹 性体振动中系统固有频率的数目增加为无限多个， 而主振型的概念发展为固有振型函数， 而 且这些振型函数之间也存在关于分布质量与刚度的加权正交性； 在线性振动问题中， 叠加原 理以及建立在这一原理基础上的模态分析方法、 脉冲响应方法、 频率响应方法也同样适用于 弹性体的振动分析。 本章将通过杆及梁的振动问题来介绍分析弹性系统振动的一般原则， 主要介绍连续体运 动方程的建立过程及其振动的性质。 讨论的对象是理想弹性体的小变形问题， 它满足以下假 设条件：①材料是均匀、连续和各向同性的；②材料的应力－应变关系服从胡克定律；③变 形是微小的，允许使用线性的应变－位移关系。 应该指出， 弹性体振动问题涉及求解相应的偏微分方程组， 因而只有在一些简单情形下, 才能找到解析形式的精确解。而实际问题往往是复杂的，很少能归结为这些简单的情形。但 了解这些简单情形下精确解的特征，对于掌握复杂问题的物理本质却是很有帮助的。
图 4.2-2 解 由表 4.2-1 可知杆的边界条件为
左端:
x0
右端:
u (0, t ) 0 X (0) 0
xl
将上述边界条件代入(4.2.7a)式，得
EA
dX (l ) kX (l ) dx
C2 0 EA
有

c
cos
l
c
k sin
l
c
tg
l
c
l
c EA kl
d GJ ( y) 2 I ( y) 0 dy
(t ) 2T (t ) 0 T
（4.3.6）
（4.3.7）
显然，此处 只能是正实数。因而， （4.3.7）式的解的形式是：
2
T (t ) A sin t B cos t
其中， A 与 B 是待定常数。
c 2 d 2 X ( x) 1 d 2Y (t ) X ( x) dx 2 Y (t ) dt 2
因上式左边仅是 x 的函数，右边仅是 t 的函数，要使上式对任意的 x，t 都成立，只有两者都 等于同一常数才可。用 a 表示该常数，有
d 2 X ( x) a 2 X ( x) 0 dx 2 c d 2Y (t ) aY (t ) 0 dt 2
u ( x, t ) X i ( x)Yi (t ) ( Ai sin i t Bi cos i t ) sin
杆的自由振动为各阶主振型的叠加
i x l
u( x, t ) ( Ai sin i t Bi cos i t ) sin
i 1

i x l
其中， Ai , Bi 由初始条件确定。 假设初始条件为： u ( x, 0) f ( x) ； 则有
( y, t ) ( y, t ) I ( y )
（4.3.2）
( y, t ) 代表扭转角加速度。 其中， I ( y ) 代表单位长度的梁对扭转轴的转动惯量；
将（4.3.2）式代入（4.3. 1b ）式中，并引用扭角与力矩 M 的关系式，得到扭转自由振 动的微分方程：
2 [GJ ( y ) ] I ( y ) 2 0 y y t
一维波动方程可用分离变量法求解，设描述振动的函数 u ( x, t ) 可以分解为空间函数和 时间函数的乘积，即：
u ( x, t ) X ( x)Y (t )
(4.2.5)
式中 X ( x) 只是 x 的函数，称为特征函数或振型函数，它描述了振动的形态；而 Y (t ) 只是时 间 t 的函数，描述了各点的振动规律。将(4.2.5)式代入(4.2.4)式得
4.2 杆的纵向振动 考察受轴向激励的均质等截面细长直杆，如图 4..2-1(a)所示。杆长为 l，密度为，横 截面积为 A，弹性模量为 E。这里采用的研究方法和结构静力学完全类似：在杆轴上位于 x 处截取一个微段 dx，画出示力图，写出平衡方程式。唯一区别在于计入惯性力的影响，以
及用时间 t 标记所观察的时刻，因为所研究的对象是随时间变化的。例如，在杆上距原点 x 处在 t 时刻产生纵向位移 u ( x, t ) ，它是位置 x 与时间 t 的函数。
或者写成：
( y ) 2T GJ y y t 2 I ( y ) ( y ) T (t )
（4.3.5）
由于 ( y ) 与 T (t ) 是两个彼此独立的函数，上式欲成立则等式两边的结果必定为常数，用
2 表示之，那么，由（4.3.5）式得到：
这两个式子都是二阶常系数线性常微分方程，有标准形式的解答：取 a= ，把它们改写
2
为2
d 2 X ( x) 2 2 X ( x) 0 dx 2 c d 2Y (t ) 2Y (t ) 0 2 dt
由(4.2.6a)式可解得振型函数
(4.2.6a)
(4.2.6b)
X ( x) C1 sin
图 4.2-1
所截取的微段如图 4..2-1(b)所示。按照平面假设，振动过程中横截面始终保持为平面， 也不考虑杆的纵向伸缩引起的横向变形。 由于轴向力的作用， 微段 dx 的两端点在 x 及 x+dx 处的轴向位移分别为 u 及 u 对应于这两点的内力分别为 N 和 N
N dx 。由胡克定律知 x N u (4.2.1) E A x
图 4.3-1
M
M M ( y, t )dy 0 y
（4.3. 1a ）
或者写为
M ( y, t ) 0 y
其中：
（4.3. 1b ）
M GJ
( y, t ) ——弹性内力矩； y
GJ ——轴的扭转刚度；
( y, t ) ——梁的扭角.
轴做扭转自由振动时，微元 dy 段上只有惯性力矩，即
l
可知：
Ai
1 2 l i x g ( x) sin dx i l 0 l
Bi
2 l i x f ( x) sin dx l 0 l
例 4.2-1 长为 l 的等截面直杆，如图 4.2-2 所示。左端固定，而右端通过刚度为 k 的弹簧固 定，试求系统的轴向振动固有特性。
l u k x