初一数学：利用不等式解决实际问题

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七年级 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题

利用不等式解决实际问题

一、利用不等式解决实际问题

利用一元一次不等式解决实际问题的基本步骤与利用一元一次方程解决实际问题的基本步骤类似，即：

第一步：审 认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，找出符合题目全部意义的不等关系，要抓住题目中的关键字眼，如：“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等；

第二步：设 设出适当的未知数，一般是直接设未知数，也可根据题目实际间接设未知数；

第三步：列 根据找出的不等关系，列出不等式；

第四步：解 解出所列的不等式；

第五步：答 检验答案是否符合题意，并写出答案。

在以上步骤中，审题是基础，根据不等关系列出不等式是关键，而根据题意找出不等关系是解题难点。

例题1 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条

2a b +元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）

A. a > b

B. a < b

C. a ＝b

D. 与a 和b 的大小无关 解析：分别表示出两次买鱼的钱和卖鱼的钱，根据“赔了钱”，列不等式，推导出a 与b 的关系。

答案：解：两次买鱼的钱为：3a ＋2b ，卖鱼的钱为：

552a b +。 根据题意，得：3a ＋2b ＞

552a b + 解得，a > b 。

所以选 A 。

点拨：“赔了钱”表明买鱼的钱大于卖鱼的钱，这是本题的不等关系。

例题2 为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表：

甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆）

45 30 租金（元/辆）

400 300

如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案。 解析：根据设租用甲种货车x 辆，则租用乙种6－x 辆，利用某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，以及每辆货车的载重量得出不等式求出即可，进而根据每辆车的运费求出最省钱方案。

答案：解：设租用甲种货车x 辆，则租用乙种6－x 辆，

根据题意得出：

45x ＋30（6－x ）≥240，

解得：x ≥4，

则租车方案为：甲4辆，乙2辆；甲5辆，乙1辆；甲6辆，乙0辆；

租车的总费用分别为：4×400＋2×300＝2200（元），5×400＋1×300＝2300（元）， 6×400＝2400（元）＞2300（不合题意舍去），

答：最省钱的租车方案是租用甲货车4辆，乙货车2辆。

点拨：此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知找出不等关系，列不等式求出所有方案是解题关键。

例题3 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x 元，其中x ＞100。

（

（2）当x 取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？

（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？

解析：（1）根据已知得出100＋（290－100）×90%以及50＋（290－50）×95%，进而得出答案，同理即可得出累计购物x 元的实际花费；

（2）根据题中已知条件，求出5095%(50)x +-，10090%(100)x +-相等，从而得出正确结论；

（3）根据5095%(50)x +-与10090%(100)x +-相比较，从而得出正确结论。 答案：解：（1）在甲商场：100＋90%×（290－100）＝271，

10090%(100)x +-；

在乙商场：50＋95%×（290－50）＝278，

5095%(50)x +-；

（2）根据题意得出：

10090%(100)x +-＝5095%(50)x +-，

解得：x ＝150，

∴当x ＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同。

（3）由10090%(100)x +-＜5095%(50)x +-，

解得：x ＞150，

10090%(100)x +-＞5095%(50)x +-，

解得：x ＜150，

∴当小红累计购物大于150元时，选择甲商场实际花费少；

当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少。

点拨：在解决实际问题时，要注意区分题目中体现的是相等关系还是不等关系：如果是相等关系（如本题中的（2）），就应列方程；如果是不等关系（如本题中的（3）），就应列不等式。

不等式及其解法在解决数学问题和实际问题时都有广泛的应用，比如利用不等式可以比较两个代数式的大小。

满分训练 已知A ＝2x 2＋3x ＋2，B ＝2x 2－4x －5，试比较A 与B 的大小。

解析：求出A 与B 的差，再根据x 的取值范围确定A 与B 的大小。

答案：A －B ＝（2x 2＋3x ＋2）－（2x 2－4x －5）

＝2x 2＋3x ＋2－2x 2＋4x ＋5

＝7x ＋7

①若7 x ＋7>0，则x >－1，即当x >－1时，A > B ；

②若7 x ＋7＝0，则x ＝－1，即当x ＝－1时，A ＝B ；

③若7 x ＋7<0，则x <－1，即当x <－1时，A < B 。

点拨：比较两个数（或整式）的大小，通常用“作差法”，即求出这两个数（或整式）的差，根据差的正负，确定大小.本例中差是一个代数式，其正负不确定，因此还要根据x 的取值范围进行分类讨论。

（答题时间：45分钟） 一、选择题

1. 若实数a ＞1，则实数M ＝a ，N ＝23a +，P ＝213

a +的大小关系是（ ） A. P ＞N ＞M B. M ＞N ＞P C. N ＞P ＞M

D. M ＞P ＞N 2. 设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）

A. ■、●、▲

B. ▲、■、●

C. ■、▲、●

D. ●、▲、■ 3. 已知实数x ，y ，m 2|3|0x x y m ++++=，且y 为负数，则m 的取值范围是（ ） A. m ＞6 B. m ＜6 C. m ＞－6 D. m ＜－6

﹡4. 某种出租车的收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）。某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（ ）

A. 5千米

B. 7千米

C. 8千米

D. 15千米