(2020年整理)高中数学学业水平考试模拟试题一.doc

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山东省高二普通高中学业水平合格考试模拟数学试题(扫描版)

山东省普通高中学业水平合格考试模拟试题数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共20 小题，每小题3 分，共60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20D B A B A C C C C B C D D A A A C B D D921. 3 ； 22. 12； 23. ； 24. ； 25. 0 或2.42三、解答题：本大题共3 小题，共25 分.26.本小题满分8 分.证明：连接BD.因为底面ABCD为平行四边形，所以BO=OD . ………………………………………………………………………………2 分在PBD中，因为PE=ED，BO=OD，所以EO//PB……………………………………………………………………………………4 分又因为 PB平面PBC，EO平面PBC…………………………………………………….6 分所以EO//平面PBC…………………………………………………………………………….8 分27.本小题满分8 分解：（1）g(x) 2sin(2x) ……………………………………………………………………..2 分42（2）T ……………………………………………………………………………..4 分由2k2x2k 得242k x k3所以g x( )的单调递增区间为[k,k3],k Z ………………………………8 分8828.本小题满分9 分解：(1) 代入P(0,1)，log a 21，a2………………………………………………………………..1 分因为2x 0，所以2x 11.数学试题答案第 1 页共 2 页所以函数f (x) log2(2x1)的值域为(0,) . …………………………………………………………………2 分(2)因为log2(2x 1)2x m在x[1,0]恒成立. 令g(x) log2(2x 1)2x log2 ，下求g(x)在x[1,0]上的最小值。

2024年天津市河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学试题(含答案)

2024年河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．参考公式●柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．●锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．●球的体积公式，其中表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知全集，集合，，则集合（）（A ）（B ）（C ）（D ）（2）的值为（）（A（B ）（C（D ）（3）不等式的解集为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（4）命题“，”的否定是（）（A ），（B ），（C ），（D ），V Sh =柱体S h 13V Sh =锥体S h 34π3V R =球R {}0,1,2,3U ={}0,1A ={}1,2B =()U A B = ð{}2{}4{}1,3{}5,62πtan3()()2320x x --≥32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭322xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭322x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭x ∀∈Z 20x ≥x ∃∈Z 20x ≥x ∃∉Z 20x ≤x ∃∈Z 20x <x ∃∉Z 2x <（5）函数的定义域为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（6）如图所示，，，为的中点，则为（）（A）（B ）（C ）（D ）（7）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（8）已知，，则用，表示（）（A ）（B ）（C ）（D ）（9）已知圆锥的母线长为）（A ）（B ）（C ）（D ）（10）已知，则（）（A ）3（B （C）5（D （11）射击运动员甲、乙分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中恰有一人射中目标的概率是（）（A ）0.06（B ）0.16（C ）0.26（D ）0.72y =(]0,1()0,1()1,+∞()()0,11,+∞ AB a = AC b = M AB CM12a b+ 12a b- 12a b+ 12a b- ()0,1sin y x =3xy -=2y x=1y x=lg 3x =lg 5y =x y lg 452xy 3xy 2x y+2x y-π2π3π4π()i 12i z =-z =（12）为了得的图象，只需把，图象上所有点的（）（A ）纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变（B）纵坐标缩短到原来的，横坐标不变（C ）横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变（D ）横坐标缩短到原来的，纵坐标不变（13）函数的零点所在的区间为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（14）兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中，，三位游客所在位置如图所示，则的大小为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（15）某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是，数据的分组依次为：，，，，．已知活动时间在内的人数为300，则活动时间在内的人数为（）（A ）600（B ）800（C ）1000（D ）1200第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上）cos y x =x ∈R 1313()42x f x x =-+()1,2()2,3()3,4()4,523⨯A B C ABC ∠π6π4π35π12[]9,14[)9,10[)10,11[)11,12[)12,13[]13,14[)9,10[)11,12（16）函数的最大值为______．（17）据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取人，若青年旅客抽到60人，则______．（18）若复数，则______．（19）在中，，，的长度为______．（20）已知，，且，则的最小值为______．三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（21）（本小题满分8分）已知，是第二象限角．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值．（22）（本小题满分10分）已知向量，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与的夹角的余弦值．（23）（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．（24）（本小题满分12分）已知，函数．()()3sin 2f x x x =-∈R 5:2:3n n =2i z =+21z =-ABC △45A ∠=︒105C ∠=︒BC =AC 0a >0b >2a b =2b a+3sin 5α=αcos αtan απsin 3α⎛⎫-⎪⎝⎭()3,4a = ()1,b x = ()1,2c =a b ⊥b ()2c a b -∥2a b -aP ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 1PA AB ==M N PA PB MN ∥ABCD CD ⊥PAD PC PAD 0a >()()2,,f x ax bx c a b c =++∈R（Ⅰ）函数的图象经过点，且关于的不等式的解集为，求的解析式；（Ⅱ）若有两个零点，，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由；（Ⅲ）设，记为集合中元素的最大者与最小者之差，若对，恒成立，求实数的取值范围．2024年河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学答案第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案A D B C B B A C题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）答案CDCDABD第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上）（16）1；（17）200；（18）；（19）6；（20）2．三、解答题：（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（21）（本小题满分8分）解：（Ⅰ），是第二象限角，，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，．（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由，得，解得，()f x ()0,2-x ()0f x ≤[]1,2-()f x ()f x α()βαβ<()f x 4a -102a <≤()()22g x ax b x c =+-+(),αβ2b a =()h t (){}()11f x t x t t -≤≤+∈R (],1t ∀∈-∞-()2h t a a >-a 1i -3sin 5α= α4cos 5α∴==-sin 3tan cos 4ααα==-πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭a b ⊥340x +=34x =-，则．（Ⅱ）由题意，又，，解得，则，，，，即向量与（23）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）在中，，分别是，的中点，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）四边形是正方形，，又平面，，又，平面．解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面，为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成角．由题意，在中，，，，31,4b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭54b== ()21,42a b x -=-()2c a b -∥()121420x ∴⨯-⨯-=1x =()21,2a b -= 2a b -== 5a == ()2cos 2,2a b a a b a a b a-⋅∴-==-2a b -a PAB △M N PA PB MN AB ∴∥MN ⊄ABCD AB ⊂ABCD MN ∴∥ABCD ABCD AD CD ∴⊥PA ⊥ ABCD PA CD ∴⊥PA AD A = CD ∴⊥PAD CD ⊥PAD PD ∴PC PAD CPD ∠PC PAD Rt PCD △PD =1CD =PC ∴==，即直线与平面．（24）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数的图象经过点，，又关于的不等式的解集为，，为方程的两个实根，因此，解得所以的解析式为．（Ⅱ）解法一：，由题意得，即，令，解得，即，，对于任意，设，则，，又，，而，即，sinCD CPD PC ∴∠===PC PAD ()2f x ax bx c =++()0,2-()02f c ∴==- x ()0f x ≤[]1,2-1x ∴=-2x =220ax bx +-=()12,212,b a a ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩1,1,a b =⎧⎨=-⎩()f x ()22f x x x =--()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭ ∴2444ac b a a-=-22416b ac a -=()20f x ax bx c =++=42b ax a-±==22b a α=--22baβ=-+()12,,x x αβ∈12x x <()()()()1212122g x g x x x a x x b ⎡⎤-=-++-⎣⎦1222242b b x x a a β⎛⎫+<=-+=-+ ⎪⎝⎭102a <≤()12242420b a x x b a b a a ⎛⎫∴++-<++-=-≤ ⎪⎝⎭120x x -<()()()()12121220g x g x x x a x x b ⎡⎤-=-++->⎣⎦因此，函数在区间上是单调递减的．解法二：，由题意得，即，令，解得，即，，由，则函数图象的对称轴方程为，()()12g x g x >∴()g x (),αβ()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭∴2444ac b a a-=-22416b ac a -=()20f x ax bx c =++=42b ax a-±==22b a α=--22baβ=-+()()22g x ax b x c =+-+()g x 2122b bx a a a-=-=-。

重庆市普通高中2020级学生学业水平考试数学模-拟精彩试题

市普通高中2020级学生学业水平考试数学模拟试题（总分：100分时间120分钟）一、选择题（共15个小题，每小题3分，共45分）1．若集合{}13A x x =≤≤，集合{}2B x x =<，则A B = （）（A ）{}12x x ≤< （B ）{}12x x << （C ）{}3x x ≤ （D ）{}23x x <≤2．tan330︒=（）（A（B（C）（D） 3．已知lg2=a ，lg3=b ,则3lg 2=（）（A ）a -b （B ）b -a （C ）b a （D ）ab4．函数()sin()4f x x π=-的一条对称轴为（）（A ）4x π= （B ）2x π= （C ）4x π=- （D ）2x π=- 5．随机投掷1枚骰子，掷出的点数恰好是3的倍数的概率为（）（A ）12 （B ）13 （C ）15（D ）16 6．在等比数列{}n a 中，若32a =，则12345a a a a a =（）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）7．如果直线ax +2y +1=0与直线x +3y －2=0互相垂直，那么a 的值等于（）（A ）6 （B ）－32（C ）－5 （D ）－68．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是（）（A ）(,0)12π-（B ）(,0)6π- （C ）(,0)6π（D ）(,0)3π9．过P(4,-3)且在坐标轴上截距项等的直线有）（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条 10．为了得到函数x y 2sin 3=，R x ∈的图象，只需将函数)32sin(3π-=x y ，R x ∈的图象上所有的点（）（A ）向左平行移动3π个单位长度（B ）向右平行移动3π个单位长度（C ）向左平行移动6π个单位长度（D ）向右平行移动6π个单位长度11.若f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)=a (a ≠0)，则f (5)的值等于( ).（A ）5a （B ）－a （C ） a （D ）1－a 12．如图，D 是△ABC 的边AB 的三等分点，则向量CD 等于（）（A ）23CA AB + （B ）13CA AB + （C ）23CB AB + （D ）13CB AB +13．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 等于 ( )（A ）45 （B ）55 （C ）90 （D ）11014．若221xy+=，则x y +的取值围是( ).CADB15.以下命题（表示,m l 直线，α表示平面）正确的个数有（） ①若//,l m m α⊂，则//l α ；②若//,l m αα⊂，则//l m ③若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥④若,l m l α⊥⊥，则//m α。

江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01 (2)

一、单选题二、多选题1. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若，，，则B．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则2. 甲、乙、丙做同一道题：已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，且满足，，，…．甲说：“”，乙说：“”，丙说：“”，如果三人说的均是正确的，以下判断正确的是（）A．B．C ．直线，不一定垂直D ．直线，为异面直线3.已知数列满足，若，则（）A．B．C ．1D ．24. 已知，，，则（）A．B．C．D．5. 下列说法正确的是（）A ．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8；B．已知一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为4；C ．具有线性相关关系的变量x ，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则；D ．若随机变量X服从正态分布，，则6. 在平行四边形中，下列结论错误的是（）A．B．C．D．7. 某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，激发青年一代的历史使命感和时代责任感，举办2022年“一二•九”文艺汇演，高三（1）班的大合唱“保卫黄河”的12位评委的打分如下：8.4，9.3，8.9，8.8，8.6，8.2，8.5，8.4，9.2，8.8，8.7，9.4，则这组数据的（）A ．极差为1B ．众数为8.4C ．80%分位数为8.9D ．第三四分位数为9.058. 已知函数f （x）＝，若，且，给出下列结论：①，②，③，④，其中所有正确命题的编号是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．②③④9. 已知非零实数，满足，则（）A．B．C．D．10. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（）江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01 (2)江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01 (2)三、填空题四、解答题A ．该校竞赛成绩的极差为70分B ．的值为0.005C ．该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D ．这组数据的第30百分位数为8111. 已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（）A ．该椭圆的焦距为6B ．的最小值为2C ．的值可以为D ．的值可以为12. 已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．函数在单调递增C ．函数在上的值域为D ．把函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象13.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.14. 已知向量，满足，且，则，夹角为__________．15. 对于实数a 和b ，定义运算“*”：设f （x ）=（2x-1）*（x-1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________16. 已知函数.(1)讨论的极值点的个数；(2)若函数有两个极值点，证明：.17. 如图，已知三棱柱中，侧面底面为等腰直角三角形，．(1)若O为的中点，求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．18.如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小．19. 2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备．如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米．(1)将表示成的函数，并写出的取值范围；(2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．20. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．(1)求证：AB∥EF；(2)求证：平面BCF⊥平面CDEF．21. 如图，在四棱锥中，平面，.(1)求二面角的正弦值；(2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离.。

2020年6月普通高中学业水平合格性考试数学试题 Word版含答案

2020年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题(考试时间:90分钟;满分:100分)参考公式：样本数据x1，x2，…，x 。

的标准差s =√1n [(x 1−x ̅)2+(x 2−x ̅)2+⋯+(x n −x ̅)2] ,其中x ̅为样本平均数锥体体积公式V=13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积公式S=4πR 2,球的体积公式V=43πR 3,其中R 为球的半径柱体体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高台体体积公式V =13(S ′+√S ′S +S)h ，其中S ＇，S 分别为上、下底面面积，h 为高第Ⅰ卷 (选择题45)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分.每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合A=｛3｝，B=｛1，2，3｝，则A ∩B=A.{1,2,3}B.{1,3}C.{3}D. φ2.右图是某圆锥的三视图，则该圆锥底面圆的半径长是A.1B.2C.3D. √103.若三个数1，3，a 成等比数列，则实数a=A.1B.3C.5D.94.一组数据3，4，4，4，5，6的众数为A.3B.4C.5D.65.如图，在正方形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A. 14B. 12C. 34 D.1 6.函数y=cosx 的最小正周期为A. π2B. πC. 3π2D. 2π 7.函数y= 1X−2的定义域为A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(-∞，2)U(2，+∞)D. R8.不等式2x+y-4≤0表示的平面区域是9.已知直线l 1:y =x-2，l 2:y=kx ，若l 1∥l 2，则实数k=A.-2B.-1C.0D.110.化简MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗10.不等式(x+2)(x-3)＜0的解集是A.｛x | x ＜-2，或x ＞3｝B. {x |-2<x<3｝C.｛−12 < x < 13｝D. ｛x|x <−12，或x ＞1312.化简tan(π+α)=A. sinαB.cos αC. –sinαD.tanα13.下列函数中，在(0，+∞)上单调递减的是A. y=x-3B.y= 2xC.y=x 2D.y=2x14.已知a=40.5，b=42，c=log 40.5，则a ，b ，c 的大小关系是Aa < b<c B .c<b<a Cc<a < b D a<c< b15.函数y={1, |x|＜2，log2|x|,|x|≥2的图象大致为第Ⅱ卷(非选择题55分)二、填空题(本大题有5小题，每小题3分，共15分)16.已知向量a=(0，2)，则2a= 。

江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01(3)

一、单选题二、多选题1. 设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A．B．C．D．2. 下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．3.已知函数，则（）A．B ．0C ．1D ．24. 设分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在一点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5. 已知是抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为6.若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则（）A ．18B ．17C ．16D ．156. 已知两曲线与，则下列结论正确的是（）A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标B．若，则两曲线只有一条公切线C ．若，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为D．若分别是两曲线上的点，则两点距离的最小值为17. 若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为A．B．C ．3D．8.已知直线和圆，则“”是“直线l 与圆C 相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（）A．若，则存在实数使得B．若，则C ．若，则在方向上的投影向量为D ．若存在实数使得，则10. 某人记录了某市2022年1月20日至29日的最低温度，分别为，，，，，，，，，（单位：℃），则关于该市这10天的日最低气温的说法中正确的是（）A．众数为B．中位数为C ．平均最低气温为－4.8℃D ．极差为611.如图，是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到，再连接的各边中点得到，…，如此继续下去，设的边长为，的面积为，则（）江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01(3)江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01(3)三、填空题四、解答题A．B．C．D．12.用符号表示不超过的最大整数，例如：，.设有3个不同的零点，，，则（）A ．是的一个零点B．C ．的取值范围是D ．若，则的范围是.13. 已知为正常数，，若存在，满足，则实数的取值范围是__________．14.已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.15. 若半径为R 的球O 是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______.16.已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若，求的取值范围．17. 某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：(1)求直方图中的值；(2)根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值；(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）18. 等比数列中，已知．（1）求数列的通项．（2）若等差数列，求数列前项和的最大值19. 在中，内角的对边分别为，，，的面积为．（1）求的值；（2）求的值．20. 已知函数在处取得极值.(1)求的值及函数的极值；(2)设有三个不同的零点，，，证明：.21. 从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，．(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；(2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率．①证明：；②求．。

2023年江苏省高中学业水平合格性考试数学模拟试卷一(含答案详解)

2023年1月江苏省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷A考试时间：75分钟；满分：100分一、单选题（共28题，每题3分，共84分）1．设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（） A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,92．设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，210x += D ．0x R ∃∈，210x +≠ 3．不等式2320x x --≥的解集是（）A ．213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或D ．213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 4．已知:02p x <<，:13q x -<<，则p 是q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分不必要条件5．已知2i z =-，则()i z z +=（） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +6．若集合{}21,A m =，集合{}2,4B =，若{}1,2,4A B ⋃=，则实数m 的取值集合为（）A ．{}2,2B ．{}2C ．{}2,2-D ．{}2,2,2,2--7．下列函数中与y x =是同一个函数的是（） A ．2()y x = B ．v u = C ．2y x D ．2n m n=8．已知2a =73b =62c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．函数()()3log 12f x x =--的零点为（） A ．10B ．9C ．（10，0）D ．（9，0）11．已知向量(1,2),(2,),()7,1a b m c =-==，若//a b ，则b c ⋅=（） A ．8B ．10C ．15D ．1812．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数据131x +，231x +，331x +，431x +，531x +的平均数和方差分别是（） A ．2，13B ．2，1C ．7，3D ．3，313．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．19-C D ．1914．函数3y ）A ．B ．C ．D ．15．《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径为4m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A ．6m 2B ．9m 2C ．12m 2D ．15m 216．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且3,AB AM =则CB =（） A ．32CM CA -B ．32CA CM -C ．32CM CA +D ．32CA CM +17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2222,b c a bc bc a +=+=，则ABC 的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形18．已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）：甲组：27、28、39、40、m 、50；乙组：24、n 、34、43、48、52.若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则mn等于（） A ．127B ．107 C ．43D ．7419．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（）A ．2425B ．725-C ．2425-D ．72520．如图直角'''O A B △是一个平面图形的直观图，斜边''4O B =，则原平面图形的面积是（）A ．B ．C ．4D 21．若tan 2θ=，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ-=-（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-22．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（）．A ．B ．2C ．2πD ．23．在△ABC 中，已知AC ＝3，BC ＝4，△C ＝30°，则△ABC 的面积为（） A ．1B ．2C ．3D ．424．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是112,,323，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（） A ．19B ．16C ．13D ．71825．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．53-B ．13-C ．13D ．5326．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B ，“第二次摸得黑球”记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是（） A ．A 与B ，A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立27．已知0,0a b >>，且9(2)(1)2--=a b ，则2+a b 的最小值为（）A ．3B ．8C ．4+D ．1028．函数()()(),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．()0,1a ∈B ．1,13a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．10,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．1,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭二、解答题（共2题，每题8分，共16分）29．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点.(1)求证：直线BD 1∥平面P AC ； (2)求异面直线BD 1与AP 所成角的大小.30．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在[]40,100内，按照[)40,50，[50,60)，…，[90,100]分组，得到如下频率分布直方图：(1)求图中a 的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）(3)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少。

2023-2024学年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟试题(一)数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟试题（一）数学模拟试题一、单项选择题（共28小题，每小题3分，共84分）在每小题给出的三个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，则M N ⋂＝（）A.{}2 B.{3,4}C.{2,3,4,5}【正确答案】B【分析】根据交集运算法则即可计算得出M N ⋂.【详解】由{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，利用交集运算可得{}3,4M N ⋂=.故选：B2.已知函数3()23f x x x =-+，那么(2)f 的值（）A.3B.5C.7【正确答案】C【分析】把2x =代入解析式即可求解.【详解】3(2)22237f =-⨯+=.故选：C3.下列函数是奇函数的是（）A.sin y x =B.cos y x= C.ln y x=【正确答案】A【分析】根据函数奇偶性定义判断.【详解】对()sin ,R f x x x =∈，()()sin f x x f x -=-=-，故()sin f x x =为奇函数，故A 正确；对()cos ,R g x x x =∈，()()cos g x x g x -==，故()cos g x x =为偶函数，故B 错误；对()()ln ,0,h x x x =∈+∞，因为定义域没有对称性，故()ln h x x =既不是奇函数也不是偶函数，故C 错误.故选：A4.22log l 00og 81-=（）A.70B.2log 70C.3【正确答案】C【分析】根据对数运算公式求解.【详解】2322228080108231log log log log 0log ====-.故选：C5.若实数a ，b ，c 满足a b >，0c <，则（）A.ac bc >B.ac bc< C.a c b c+<+【正确答案】B【分析】根据不等式性质判断.【详解】因为a b >，0c <，所以ac bc <，故A 错误，B 正确；根据不等式可加性知a c b c +>+，故C 错误.故选：B6.下列值域是[)0,∞+的是（）A.y x= B.1y x=C.y =【正确答案】C【分析】分别求出各函数的值域.【详解】对A ：y x =值域为R ，故A 错误；对B ：1y x=值域为(),0(0,)-∞⋃+∞，故B 错误；对C ：y =的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭－，在定义域上为增函数，故值域为[)0,∞+，故C 正确.故选：C.7.圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A.1:1B.1:2C.2:1【正确答案】A【分析】按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.【详解】设球的半径的r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ，圆柱的侧面积=22π24πr r r ⋅=，球的表面积为24πr ，其比例为1:1，故选：A.8.已知圆锥的体积是3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径是（）A. B.C.3【正确答案】B【分析】设底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据圆锥的体积公式可得29h r =，根据圆锥的侧面积公式可得2l r =，再结合h =即可求解.【详解】设底面半径为r ，高为h ，母线为l ，如图所示：则圆锥的体积21π3π3V r h ==，所以29r h =，即29h r=，又212π2π2S rl r =⋅=侧，则2l r =，又h ==39=，故r =.故选：B9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，12AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积是（）A.6B.9C.18【正确答案】A【分析】根据题意证得AC ⊥平面11BDD B ，得到四棱锥11A BB D D -的高为2h =，结合体积公式，即可求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，连接AC 交BD 于点O ，可得AC BD ⊥，又由1BB ⊥平面ABCD ，且AC ⊂面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为1BD BB B ⋂=，且1,BD BB ⊂平面11BDD B ，可得AC ⊥平面11BDD B ，所以四棱锥11A BB D D -的高为322h AO ==，所以11A BB D D -的体积11113226332BB D D V S h =⋅=⨯⨯=.故选：A.10.若实数a ，b 满足i i(1i)a b +=-，则a b +=（）A.2B.2- C.1【正确答案】A【分析】利用复数相等求出,a b 即可.【详解】因为i i(1i)1i a b +=-=+，所以1,1a b ==，所以2a b +=，故选：A.11.点(1,1)到直线3420x y +-=的距离是（）A.1B.2C.【正确答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】515d ===，故选：A12.已知圆C 的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O 和(3,3)A ，则圆的标准方程是（）A.()222(2)1x y -+-=B.()222(2)2x y -++=C.()222(2)2x y -+-=【正确答案】C【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.【详解】因为圆C 的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O 和(3,3)A ，所以圆心为(2,2)M ，直径为2R ==，所以圆的标准方程是()222(2)2x y -+-=.故选：C.13.直线:20+-=l x y 被圆22:9C x y +=截的的弦长为（）A. B. C.【正确答案】B【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理求出弦长.【详解】22:9C x y +=的圆心为()0,0，半径为3，则圆心到直线:20+-=l x y 的距离为d ==则:20+-=l x y 被圆22:9C x y +=截的的弦长为=故选：B14.王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（）组别数学小组写作小组体育小组音乐小组科技小组频率0.10.20.30.150.25A.10人B.9人C.8人【正确答案】A【分析】根据参加科技小组的频率，求出参加科技小组的人数.【详解】参加科技小组的频率0.25,则本班报名参加科技小组的人数是0.254010⨯=人.15.袋中有4个红球，5个白球，6个黄球，从中任取1个，则取出的球是白球的概率为（）A.13B.23C.12D.15【正确答案】A【分析】根据样本空间和样本点和古典概型的概率即可求解.【详解】在任取1个球的事件中，取记i A 为取的是第i 个红球，记i B 为取的是第i 个白球，记i C 为取的是第i 个黄球，记取出的球是白球的事件为M ，所以样本空间{}123412345123456Ω,,,,,,,,,,,,,,A A A A B B B B B C C C C C C =,取出的球是白球的事件{}12345,,,,M B B B B B =，则取出的球是白球的概率为51153=，故选：A.16.函数()cos 6f x x =的最小正周期是（）A.π2B.π3 C.π4【正确答案】B【分析】利用周期公式2πT ω=，即可得答案.【详解】∵函数()cos 6f x x =，∴2π2ππ63T ω===，故选：B.17.已知角α的终边位于第二象限，则点(sin ,cos )P αα位于（）A.第二象限B.第三象限C.第四象限【正确答案】C【分析】根据角的终边所在象限，确定其正弦值和余弦值的符号，即可得出结果.【详解】因为角α的终边在第二象限，则sin 0α>，cos 0α<，所以点P 在第四象限．18.在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，则AC =（）A.a b +B.a b-C.2a b+【正确答案】A【分析】根据向量加法的平行四边形法则求解.【详解】平行四边形ABCD 中，AC AB AD a b =+=+.故选：A19.已知向量(1,2)a = ，(3,4)b = ，则32a b -=r r（）A.(3,4)B.(3,2)C.(3,2)--【正确答案】C【分析】根据向量的坐标运算，准确运算，即可求解.【详解】由向量(1,2)a = ，(3,4)b =，根据向量的坐标运算，可得32(3,2)a b -=--r r .故选：C.20.已知角α是第一象限角，3cos 5α=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.310B.34310- C.310【正确答案】B【分析】利用两角和差公式和同角三角函数的基本关系即可【详解】3cos 5α=，且角α是第一象限角，4sin 5α∴==，πππ3143cos cos cos sin sin 333525210ααα-⎛⎫∴+=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭.故选：B.21.若3cos210cos 1αα+=则cos2cos αα+=（）A.49-B.﹣1C.109【正确答案】A【分析】利用二倍角公式解出cos α即可.【详解】23cos210cos 6cos 310cos 1,αααα+==-+23cos 5cos ,20αα+-=∴cos ,576α-±=且11cos α≤≤-，,57163cos α∴-+==且2cos ,25cos 3αα-=2410cos 1741,cos cos2cos 23cos 1cos cos 39ααααααα∴-+--=+==-=-+故选：A.22.在ABC 中，若21,3cos 3,BC AC C ===，则sin B =（）A.6B.5C.6【正确答案】A【分析】根据余弦定理求得c =，再根据正弦定理即可求解.【详解】由题意可得1,3BC a AC b ====，AB c =，由余弦定理可得2222222cos 1321363c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c ，又2cos ,(0,π)3C C =∈，可得sin 3C =，利用正弦定理可知sin sin b cB C =,所以53sin 3sin 6b CB c⨯===.故选：A.23.下列数列中等差数列的是（）A.31n a n =+B.31nn a =+ C.2log 1n a n =+【正确答案】A【分析】根据等差数列的定义依次分析即可.【详解】对于A ，13n n a a +-=，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B ，113323n n nn n a a ++-=-=⨯，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C ，()2221log log l 1og 1n n n a a n n n++-=+-=，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；故选：A24.已知等差数列{}n a 的公差为2，前5项之和为25，则2a =（）A.2B.3C.4【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质求解.【详解】在等差数列{}n a 中，()155355252a a S a +==＝，所以35a =，所以23523a a d =-=-=.故选：B25.已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为3，则5S =（）A.162B.486C.242【正确答案】C【分析】根据等比数列求和公式求解即可.【详解】依题意，知等比数列{}n a 的首项为2，公比为3，所以()5552133124213S ⨯-==-=-.故选：C.26.设a ，R b ∈，则“a b >”是“33a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件【正确答案】C【分析】根据()3f x x =单调性及充要条件的定义来判断即得．【详解】因为()3f x x =在R 上为增函数，则a b >可以推出33a b >，反之，若33a b >，则可推出a b >，所以“a b >”是“33a b >”的充分必要条件.故选：C.27.已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝4，则ab 的最大值是（）A.B.2C.4【正确答案】D【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】()211212422222a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭，等号成立条件是2a b =，即244a b b +==时取等号，即当且仅当2,1a b ==时取等号，所以ab 的最大值是4.故选：D .28.已知0.12a =，0.20.5b =，0.5log 1.1c =，则（）A.c<a<bB.c b a<< C.b a c<<【正确答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1进行比较即可.【详解】由已知0.12a =，0.20.20.210.522b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭∵指数函数()2xf x =在R 上单调递增，且值域为()0,∞+，∴()()()00.200.1f f f <-<<，∴0.200.102212-<<=<，即01b a<<<又∵对数函数()0.5log g x x =在区间()0,∞+单调递减，∴()()1.11g g <，即0.50.5log 1.1log 10<=，即0c <.综上所述，a ，b ，c 的大小关系为c b a <<.故选：B.二、判断题（共8个小题，每个题2分，共16分）判断下列各小题正误，正确的写正确，错误的写错误29.方向相同的两个向量是相等向量.（）【正确答案】×【分析】根据相等向量的定义即可判断.【详解】因为方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，所以方向相同的两个向量是相等向量是错误的.故×30.已知直线l //平面α，则直线l 平行平面内任意一条直线.（）【正确答案】错误【分析】根据线面的位置关系以及直线与平面平行的性质定理判定.【详解】已知直线l //平面α，根据线面平行的性质定理，直线l 平行于过直线l 的平面与平面α的形成的交线.故错误.31.已知点(1,3),(2,9)A B ，则直线AB 的斜率为6.（）【正确答案】正确【分析】根据直线的斜率公式，即可求解.【详解】由(1,3),(2,9)A B ，根据斜率公式，可得93621AB k -==-，所以是正确的.故正确32.方差反应了一组数据的离散程度.（）【正确答案】√【分析】根据方差的意义即可判断.【详解】根据方差的意义可知，方差反应了一组数据的离散程度，所以方差反应了一组数据的离散程度是正确的.故√33.掷一枚骰子，事件“双数朝上”的概率为12，则掷100次，刚好有50次双数朝上.（）【正确答案】错误【分析】根据概率的意义判断.【详解】掷一枚骰子，事件“双数朝上”的概率为12，当此试验重复多次后双数朝上”的概率稳定在12附近，它是一个随机事件，所以不能确定掷100次中双数朝上的次数.故错误34.对于函数1ln 1y x x =+-的定义域为{|1}x x ≠.（）【正确答案】×【分析】根据对数函数和分式函数的定义域即可求解.【详解】因为1ln 1y x x =+-而ln x 中的真数0x >，分式11x -中的1x ≠，所以1ln 1y x x =+-的定义域为{|0x x >且1}x ≠，故×.35.圆锥是以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周而成的曲面所围成的几何体.（）【正确答案】正确【分析】根据圆锥的定义判断.【详解】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥，故以上说法正确.故正确.36.函数y x =与函数2y =表示同一个函数.（）【正确答案】×【分析】利用函数的定义进行判断即可【详解】因为y x =的定义域为R ，而2y =的定义域为[)0+∞，，所以函数y x =与函数2y =不是同一个函数.故×。

2019-2020年高中数学学业水平考试模拟测试卷5套打包下载含解析答案

高中学业水平考试模拟测试卷(一)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合N＝{1，3，5}，则M∩N 等于()A．{2}B．{2，3}C．{1，3} D．{1，2，3，4，5}解析：M∩N＝{1，2，3，4}∩{1，3，5}＝{1，3}，故选C.答案：C2．函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为()A．{x|x>－3} B．{x|x>0} C．{x|x>3} D．{x|x≥3}解析：由x－3>0得x>3，则定义域为{x|x>3}．故选C.答案：C3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2>0，所以B为假命题．故选B.答案：B4．设i是虚数单位，若复数z＝5(1＋i)i，则z的共轭复数为() A．－5＋5i B．－5－5i C．5－5i D．5＋5i解析：由复数z ＝5(1＋i)i ＝－5＋5i, 得z 的共轭复数为－5－5i.故选B.答案：B5．已知平面向量a ＝(0，－1)，b ＝(2，2)，|λa ＋b |＝2，则λ的值为( )A ．1＋ 2 B.2－1 C ．2 D ．1解析：λa ＋b ＝(2，2－λ)，那么4＋(2－λ)2＝4，解得，λ＝2.故选C.答案：C6．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5解析：线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，k AB ＝1－23－1＝－12，所以垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝2，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝2(x －2) ⇒ 4x －2y －5＝0.故选B.答案：B7．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台解析：(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱．(2)三视图复原的几何体是四棱锥．(3)三视图复原的几何体是圆锥．(4)三视图复原的几何体是圆台．所以(1)(2)(3)(4)的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．故选C.答案：C8．已知f (x )＝x ＋1x－2(x >0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：由x >0，可得1x >0, 即有f (x )＝x ＋1x－2≥2 x ·1x －2＝2－2＝0, 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，取得最小值0. 答案：B9．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是( )A ．(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B ．(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C ．(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D ．(1)(2)都用分层抽样法解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C.答案：C10．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．2∶3∶1D ．1∶3∶2 解析：在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1, 可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.故选D. 答案：D11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么{a n }的前7项和S 7＝( )A ．22B ．24C ．26D ．28解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12, 所以3a 4＝a 3＋a 4＋a 5＝12，解得a 4＝4，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＝28.故选D.答案：D12．抛物线y ＝14x 2的焦点到准线的距离是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：方程化为标准方程为x 2＝4y .所以2p ＝4，p ＝2.所以焦点到准线的距离为2.故选C.答案：C13.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos 2 π12－sin 2 π12＝cos π6＝32.故选D. 答案：D14．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：因为三视图均为边长为2的正方形，所以几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12＝4π.故选C.答案：C15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－10，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则S n 取最小值时，n 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：在数列{a n }中，由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3(n ∈N *), 所以数列{a n }是公差为3的等差数列．又a 1＝－10，所以数列{a n }是公差为3的递增等差数列．由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋3(n －1)＝3n －13≥0，解得n ≥133. 因为n ∈N *，所以数列{a n }中从第五项开始为正值．所以当n ＝4时，S n 取最小值．故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．若点(2，1)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)关于y ＝x 对称的图象上，则a ＝________．解析：因为点(2，1)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)关于y ＝x 对称的图象上，所以点(1，2)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上，所以2＝a 1，解得a ＝2.答案：217．已知f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋(m ＋1)的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________(用区间表示)．解析：依题意Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)＝(m ＋1)(m －3)<0⇒－1<m <3, 故m 的取值范围用区间表示为(－1，3)．答案：(－1，3)18．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________．解析：因为x ＝－2<0，所以f (－2)＝10－2＝1100>0, 所以f (10－2)＝lg10－2＝－2，即f (f (－2))＝－2.答案：－2 19．已知4x ＋9y＝1，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值是________．解析：因为4x ＋9y ＝1，且x >0，y >0, 所以x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋2 4y x ·9x y ＝25，当且仅当4y x ＝9x y，即x ＝10且y ＝15时取等号．答案：25三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ·cos B －b ＝2a .(1)求角C 的大小；(2)设角A 的平分线交BC 于D ，且AD ＝3，若b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由已知及余弦定理得2c ×a 2＋c 2－b 22ac＝2a ＋b, 整理得a 2＋b 2－c 2＝－ab, 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3，即角C 的大小为2π3. (2)由(1)知C ＝2π3，依题意画出图形．在△ADC 中，AC ＝b ＝2，AD ＝3，由正弦定理得sin ∠CDA ＝AC ×sin C AD ＝23×32＝22，又△ADC 中，C ＝2π3，所以∠CDA ＝π4，故∠CAD ＝π－2π3－π4＝π12. 因为AD 是角∠CAB 的平分线，所以∠CAB ＝π6，所以△ABC 为等腰三角形，且BC ＝AC ＝ 2.所以△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ·sin 2π3＝12×2×2×32＝32. 21．已知圆C 经过A (3，2)、B (1，6)两点，且圆心在直线y ＝2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 经过点P (－1，3)且与圆C 相切，求直线l 的方程．解：(1)方法1：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0), 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（6－b ）2＝r 2，b ＝2a ，解得a ＝2，b ＝4，r 2＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5. 方法2：因为A (3，2)、B (1，6)，所以线段AB 中点D 的坐标为(2，4), 直线AB 的斜率k AB ＝6－21－3＝－2，因此直线AB 的垂直平分线l '的方程是y －4＝12(x －2)，即x －2y ＋6＝0. 圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧x －2y ＋6＝0，y ＝2x ，的解．解此方程组，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，即圆心C 的坐标为(2，4)．圆C 的半径长r ＝|AC |＝（3－2）2＋（2－4）2＝ 5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5.(2) 由于直线l 经过点P (－1，3),当直线l 的斜率不存在时，x ＝－1与圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝5相离，不合题意．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y －3＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋3＝0.因为直线l 与圆C 相切，且圆C 的圆心为(2，4)，半径为5，所以有|2k －4＋k ＋3|k 2＋1＝ 5.解得k ＝2或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －3＝2(x ＋1)或y －3＝－12(x ＋1), 即2x －y ＋5＝0或x ＋2y －5＝0.高中学业水平考试模拟测试卷(二)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1}解析：因为集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}, 所以M ∪N ＝{－1，0，1，2}．答案：A2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件；150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．故选B. 答案：B3．已知a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ⊥b ，则y 的值为( )A ．－12B ．－3C ．3D ．12 解析：因为a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ⊥b,所以a ·b ＝0，即4×6＋2y ＝0，解得y ＝－12.故选A. 答案：A4．若a |b |；②1a >1b ；③a b ＋b a >2；④a 2|b |，故正确；对于②，若a 0，b a >0，根据基本不等式即可得到a b ＋ba >2，故正确；对于④，若a b 2，故不正确．故选C.答案：C5．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213解析：因为α是第二象限角，sin α＝513，所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.故选B. 答案：B6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：因为y ＝x －1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B ，D ；又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C.故选A.答案：A7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0，表示的平面区域是( )解析：由题意可知，(0，0)在x －3y ＋6＝0的下方，满足x －3y ＋6≥0；(0，0)在直线x －y ＋2＝0的下方，不满足x －y ＋2<0. 故选B.答案：B8．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下，A.120B.14C.12D.710解析：根据题意，样本在(10，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14, 所求的频率为P ＝1420＝710.故选D.答案：D9．cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝( ) A.12B ．－32C ．cos 50° D.32解析：cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝cos 40°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝cos(40°－10°)＝32.答案：D10．函数y ＝log 2(x 2－3x ＋2)的递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：由x 2－3x ＋2>0，得x <1或x >2，又y ＝log 2(x 2－3x ＋2)的底数是2，所以在(－∞，1)上递减．故选A.答案：A11．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为( )A.23B.12C.14D.16解析：记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b 、c 、d ，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、 cd 共6种，符合条件的情况为ab 共1种，故概率为16，选D.答案：D12．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象沿x 轴向左平移m (m ＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m 的最小值为( )A.7π16B.15π16C.7π8D.π16解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象向左平移m 个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π8，因为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π8为奇函数，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋π8＝0. 所以2m ＋π8＝k π，k ∈Z ，即有m ＝k π2－π16，k ∈Z ，所以正数m 的最小值为7π16.答案：A13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±12x D ．y ＝±2x解析：由双曲线的离心率为3，则e ＝ca ＝3，即c ＝3a,b ＝c 2－a 2＝3a 2－a 2＝2a ，由双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x, 得其渐近线方程为y ＝±2x .故选D.答案：D14．函数f (x )＝log 2x ＋x －2的零点所在的区间是( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：函数f (x )＝log 2x ＋x －2的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (1)＝0＋1－2<0，f (2)＝1＋2－2>0，故函数f (x )＝log 2x ＋x －2的零点所在的区间是(1，2)．故选B. 答案：B15．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB→＋μAD →，则λ＋μ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，与AD 垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，那么AD →＝(1，0)，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，－2)，那么⎩⎨⎧λ＋μ＝2，2λ＝－2，解得λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A.答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________．解析：当x －1＝0，即x ＝1时，y ＝2.所以函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(1，2)．答案：(1，2)17．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6＝________．解析：由等差数列的通项公式可得，a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝9，a 1＋d ＝3，所以a 1＝2，d ＝1，所以a 1a 6＝2×7＝14.答案：1418．某学院A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则该学院C 专业应抽取________名学生．解析：抽样比为1∶10，而C 学院的学生有 1 200－380－420＝400(名)，所以按抽样比抽取40名．答案：4019．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则∠A 的度数为________．解析：根据正弦定理可得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ⇔sin(B ＋C )＝sin 2A ，而sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝sin 2A ，所以sin A ＝1，所以∠A ＝90°.答案：90°三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a . 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.21．已知函数f (x )＝1＋1x －x α(α∈R)，且f (3)＝－53.(1)求α的值； (2)求函数f (x )的零点；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性，并给予证明．解：(1)由f (3)＝－53，得1＋13－3α＝－53，解得α＝1.(2)由(1)，得f (x )＝1＋1x －x .令f (x )＝0，即1＋1x －x ＝0，也就是x 2－x －1x ＝0，解得x ＝1±52.经检验，x ＝1±52是1＋1x －x ＝0的根，所以函数f (x )的零点为1±52.(3)函数f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是减函数．证明如下：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－x 2＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x 2＋1. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是减函数．高中学业水平考试模拟测试卷(三)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}解析：x 2－x ＝0⇒x (x －1)＝0⇒N ＝{0，1}，所以M ∩N ＝{0，1}．答案：B2．已知等比数列{a n }的公比为2，则a 4a 2值为( )A.14B.12C ．2D ．4解析：a 4a 2＝q 2＝4.答案：D3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32C ．±32D ．1解析：命题“存在x 0∈R ，x 20－1＝0”的否定为“对任意的x ∈R ，x 2－1≠0”．答案：D4．直线l 过点(1，－2)，且与直线2x ＋3y －1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．2x ＋3y ＋4＝0B ．2x ＋3y －8＝0C ．3x －2y －7＝0D ．3x －2y －1＝0解析：设直线l ：3x －2y ＋c ＝0，因为(1，－2)在直线上，所以3－2×(－2)＋c ＝0，解得c ＝－7，即直线l 的方程为3x －2y －7＝0.答案：C5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为k ＝tan α＝－3，所以α＝π－π3＝2π3，故选C.答案：C6．已知复数z 满足z i ＝2＋i ，i 是虚数单位，则|z |＝( ) A.2B. 3C ．2D. 5解析：由题意得z ＝2＋ii ＝1－2i ，所以|z |＝ 5. 答案：D7．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：y ＝cos 2x →y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12.故选C.答案：C8．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：A ．一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A 正确； B ．由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B 正确； C ．由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C 正确；D ．由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 不正确．故选D.9．函数f (x )＝x 3－2的零点所在的区间是( ) A ．(－2，0) B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)解析：因为f (1)＝13－2＝－1<0，f (2)＝23－2＝6>0.所以零点所在的区间为(1，2)．答案：C10．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝6，则前4项的和S 4等于( ) A ．8B ．10C ．12D ．14解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 2＋(4－2)d ⇒d ＝6－22＝2，a 1＝a 2－d ＝2－2＝0，所以S 4＝4（a 1＋a 4）2＝2(0＋6)＝12.故选C.答案：C11．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．6B ．9C ．18D ．36解析：由题意可知，几何体是以正视图为底面的三棱柱，其底面面积S ＝12×4×52－42＝6，高是3，所以它的体积为V ＝Sh ＝18.故选C.12．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2，0)，则m 的值为( )A.12B ．1或3C.1＋22D.2－12解析：因为双曲线的焦点为(2，0)，在x 轴上且c ＝2，所以m ＋3＋m ＝c 2＝4，所以m ＝12.答案：A13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0，x －3y ＋2≤0，3x －y －2≥0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．－10B ．－6C ．－1D ．0解析：由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)，平移直线y ＝12x －z2，由图象可知，当直线y ＝12x －z 2过点B 时，直线y ＝12x －z2的截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧x ＋y －6＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，即B (2，4)．代入目标函数z ＝x －2y ，得z ＝2－8＝－6，所以目标函数z ＝x －2y 的最小值是－6.故选B. 答案：B14.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C15．小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b (a >b >0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v ，则( )A ．v ＝a ＋b 2B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．b <v <ab解析：设甲地到乙地的距离为s .则他往返甲、乙两地的平均速度为v ＝2ss a ＋s b ＝2aba ＋b ，因为a >b >0，所以2aa ＋b>1，所以v ＝2aba ＋b >b .v ＝2aba ＋b <2ab2ab ＝ab .所以b <v <ab .故选D. 答案：D二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝________．解析：S 4＝1－241－2＝15.答案：1517．若函数f (x )＝log a (x ＋m )＋1(a >0且a ≠1)恒过定点(2，n )，则m ＋n 的值为________．解析：f (x )＝log a (x ＋m )＋1过定点(2，n )，则log a (2＋m )＋1＝n 恒成立，所以⎩⎨⎧2＋m ＝1，1＝n ，⇒⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝1，所以m ＋n ＝0.答案：018．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.答案：1919．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的方程为______________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点(－5，4)代入得25a 2＋16b 2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，所以a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0.圆心到直线l 的距离为12，圆的半径为3，所以弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34.21．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 5＝8，a 6－a 3＝3. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若b n ＝1S n＋3·2n －2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 6－a 3＝3得数列{a n }的公差d ＝a 6－a 33＝1，由a 2＋a 5＝8，得2a 1＋5d ＝8，解得a 1＝32，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （n ＋2）2.(2)由(1)可得1S n ＝2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2，所以b n ＝1S n ＋3·2n －2＝1n －1n ＋2＋3·2n －2.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2＋32(1＋2＋…＋2n －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －(13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2)＋32×2n－12－1＝32－1n ＋1－1n ＋2＋32×(2n －1)＝3·2n －1－1n ＋1－1n ＋2.高中学业水平考试模拟测试卷(四)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合P ＝{1，2}，Q ＝{2，3}，全集U ＝{1，2，3}，则∁U (P ∩Q )等于( )A ．{3}B ．{2，3}C ．{2}D ．{1，3}解析：因为全集U ＝{1，2，3}，集合P ＝{1，2}，Q ＝{2，3}，所以P ∩Q ＝{2}，所以∁U (P ∩Q )＝{1，3}，故选D. 答案：D2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋11＝0的圆心和半径分别是( ) A ．(2，－3)； 2 B ．(2，－3)；2 C ．(－2，3)；1D ．(－2，3)； 2解析：圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋11＝0的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝2，据此可知圆心坐标为(2，－3)，圆的半径为2，故选A.答案：A3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32C ．±32D ．1解析：因为3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，所以(3a ＋2b )·(ka －b )＝0，所以3ka 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0，因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以12k －18＝0，k ＝32.答案：B4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝( )A.13 B.223C ．－13D ．－223解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝x ＋1＋1x －2，则f (x )的定义域是( )A ．[－1，2)B ．[－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[－1，2)∪(2，＋∞)解析：根据题意得⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －2≠0，解得x ≥－1且x ≠2，故f (x )的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)，故选D.答案：D6．若双曲线x 2a －y 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，则正实数a 的值为( )A ．9B ．3C.13D.19解析：双曲线x 2a －y 2＝1的渐近线方程为y ＝±xa ，由题意可得1a ＝3，解得a ＝19，故选D.答案：D7．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程为( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y ＋1＝0D ．2x －3y －1＝0解析：因为2x －3y ＋4＝0的斜率k ＝23，所以直线l 的斜率k ′＝－32，由点斜式可得l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0，故选A.答案：A8．已知AB →＝(1，－1，0)，C (0，1，－2)，若CD →＝2AB →，则点D 的坐标为( )A ．(－2，3，－2)B ．(2，－3，2)C ．(－2，1，2)D ．(2，－1，－2)解析：设点D 的坐标为(x ，y ，z )，又C (0，1，－2)，所以CD→＝(x ，y －1，z ＋2)，因为AB→＝(1，－1，0)，CD →＝2AB →，所以(x ，y －1，z ＋2)＝(2，－2，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，z ＝－2，则点D 的坐标为(2，－1，－2)．故选D.答案：D9．已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由α⊥β，m ∥β，可得m ⊥α或m ∥α或m 与α既不垂直也不平行，故充分性不成立；由α⊥β，m ⊥α可得m ∥β，故必要性成立，故选B.答案：B10．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经怎样平移后，所得的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移φ个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π3的图象，因为该图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称，所以2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋2φ＋π3＝k π(k ∈Z)，则φ＝k π2－π12(k ∈Z)，当k ＝0时，φ＝－π12，故应将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π12个单位，选B. 答案：B11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若C ＝π3，c＝7，b ＝3a ，则△ABC 的面积为( )A.2－34B.334C. 2D.2＋34解析：已知C ＝π3，c ＝7，b ＝3a ，所以由余弦定理可得7＝a 2＋b 2－ab ＝a 2＋9a 2－3a 2＝7a 2，解得a ＝1，则b ＝3，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.故选B.答案：B12．函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：因为y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，所以排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝32>0，故排除选项B ；当x →＋∞时，y →0，故排除选项D ，故选C.答案：C13．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则z ＝x 2＋y 2的最大值是( )A.10B ．4C ．9D ．10解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，的可行域，如图中阴影部分所示，因为A (0，－3)，C (0，2)，所以|OA |>|OC |.联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得B (3，－1)．因为x 2＋y 2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，且|OB |2＝9＋1＝10，所以z ＝x 2＋y 2的最大值是10.故选D.答案：D14．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，公差d 不等于零，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 3>0B ．a 1d >0，dS 3<0C ．a 1d <0，dS 3>0D ．a 1d <0，dS 3<0解析：由a 2，a 3，a 6成等比数列，可得a 23＝a 2a 6，则(a 1＋2d )2＝(a 1＋d)(a1＋5d)，即2a1d＋d2＝0，因为公差d不等于零，所以a1d<0，2a1＋d＝0，所以dS3＝d(3a1＋3d)＝32d2>0.故选C.答案：C15．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为()A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，点A，B，C 重合为点M，得到三棱锥M-DEF，如图．因为I、J分别为BE、DE 的中点，所以IJ∥侧棱MD，故GH与IJ所成的角等于侧棱MD与GH 所成的角．因为∠AHG＝60°，即∠MHG＝60°，所以GH与IJ所成的角的度数为60°，故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则公比q ＝______，数列{a n }的前4项的和为_______．解析：公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，所以a 32＝－18，解得a 2＝－12，a 3＝－12q ，a 4＝－12q 2，又a 2，a 4，a 3成等差数列，故2a 4＝a 2＋a 3，解得q ＝－12，a 1＝1，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q可得S 4＝58.答案：－12 5817．设函数f (x )(x ∈R)满足|f (x )－x 2|≤14，|f (x )＋1－x 2|≤34，则f (1)＝________．解析：由|f (x )－x 2|≤14，得－14≤f (x )－x 2≤14.由|f (x )＋1－x 2|≤34，得－34≤f (x )－x 2＋1≤34，即－74≤f (x )－x 2≤－14，所以f (x )－x 2＝－14，则f (1)－1＝－14，故f (1)＝34.答案：3418．若半径为10的球面上有A 、B 、C 三点，且AB ＝83，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为________．解析：在△ABC 中，AB ＝83，∠ACB ＝60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为83sin 60°＝16，即半径为8，又球心在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，故球心到平面ABC 的距离、球的半径及三角形外接圆的半径构成了一个直角三角形，设球面距为d ，则有d 2＝102－82＝36，解得d ＝6.故球心O 到平面ABC 的距离为6.答案：619．已知动点P 是边长为2的正方形ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦，且MN ＝2，则PM →·PN →的取值范围是________．解析：如图，取MN 的中点H ，连接PH ，则PM →＝PH →＋12NM →＝PH →－12MN →，PN →＝PH →＋12MN →.因为MN ＝2，所以PM →·PN →＝PH →2－14MN →2＝PH →2－12≥－12，当且仅当点P ，H 重合时取到最小值．当P ，H 不重合时，连接PO ，OH ，易得OH ＝22，则PH →2＝(PO →＋OH →)2＝PO →2＋2PO →·OH→＋OH →2＝PO →2＋12－2|PO →||OH →|·cos ∠POH ＝PO →2＋12－2|PO →|·cos ∠POH ≤PO →2＋12＋2|PO →|≤32＋2，当且仅当P ，O ，H 三点共线，且P 在A ，B ，C ，D 其中某一点处时取到等号，所以PM →·PN→＝PH →2－12≤2＋1，故PM →·PN →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2＋1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2＋1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的面积为23，c ＝23，求△ABC 的周长．解：(1)由sin 2 A ＋sin 2 B －sin 2 C ＝sin A sin B 及正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3.由△ABC 的面积为23得12ab ·32＝23，解得ab ＝8，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab ×12＝(a ＋b )2－3ab ＝12，所以(a ＋b )2＝36，a ＋b ＝6，故△ABC 的周长为6＋2 3.21．如图，直线l 与椭圆C ：x 24＋y 22＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝2，点N 关于原点O 的对称点为P .(1)若直线MP 的斜率为－12，求此时直线MN 的斜率k 的值；(2)求点P 到直线MN 的距离的最大值．解：(1)设直线MP 的斜率为k ′，点M (x ，y )，N (s ，t )，则P (－s ，－t )，k ′＝－12，且x 24＋y 22＝1，s 24＋t 22＝1，所以y 2＝2－x 22，t 2＝2－s22.又k ′·k ＝y ＋t x ＋s ·y －t x －s ＝y 2－t 2x 2－s 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2－x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－s 22x 2－s 2＝－12.且k ′＝－12，所以k ＝1.(2)当直线MN 的斜率k 存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，则Δ＝8(4k 2－m 2＋2)>0， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－41＋2k2，由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·8（4k 2－m 2＋2）1＋2k2＝2，化简得m 2＝（2k 2＋1）（2k 2＋3）2k 2＋2. 设点O 到直线MN 的距离为d ，则P 到MN 的距离为2d ，又d ＝|m |1＋k2，则4d 2＝4（2k 2＋1）（2k 2＋3）（2k 2＋2）（k 2＋1）＝ 2（4k 4＋8k 2＋3）k 4＋2k 2＋1＝8－2（k 2＋1）2<8，所以0<2d <2 2.当直线MN 的斜率不存在时，则M (－2，1)，N (－2，－1)，则P (2，1)，此时点P 到直线MN 的距离为2 2. 综上，点P 到直线MN 的距离的最大值为2 2.高中学业水平考试模拟测试卷(五)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( ) A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5}解析：A ∪B ＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，故选D. 答案：D2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 2x 2>2得，x 2>4，解得x <－2或x >2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．故选A.答案：A3．角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝( )A ．－43B.43C ．－34D.34解析：因为角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35＝y16＋y 2，所以y ＝－3，则tan θ＝y4＝－34，故选C.答案：C4．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A ．8桶B ．9桶C ．10桶D ．11桶解析：易得第一层有4桶，第二层最少有3桶，第三层最少有2桶，所以至少共有9桶，故选B.答案：B5．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( )A ．45B ．75C ．180D ．360解析：由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5＝5a 5＝450，得到a 5＝90，则a 2＋a 8＝2a 5＝180.故选C.答案：C6．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则m 的值为( )A ．－8B ．0C ．2D ．10解析：因为直线2x ＋y ＋1＝0的斜率等于－2，且过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，所以k AB ＝－2，所以4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8，故选A.答案：A7．已知向量a ＝(3，0)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝( )A ．2B ．－2C.32D ．－32解析：由a ＝(3，0)，b ＝(0，－1)，得a －2b ＝(3，2)，若(a －2b )⊥c ，则(a －2b )·c ＝0，所以3k ＋23＝0，所以k ＝－2，故选B.答案：B8．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β 解析：由α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，知：在A 中，若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β或l ⊂β，故A 错误；在B 中，若l ∥α，α∥β，则l ∥β或l ⊂β，故B 错误；在C 中，若l ⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l ⊥β，故C 正确；在D 中，若l ∥α，α⊥β，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故D 错误，故选C.答案：C9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝0，a 2＋c 2－b 2－ac ＝0，c ＝2，则a ＝( )A. 3 B ．1C.12D.32解析：因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即C 为直角，因为a 2＋c 2－b 2－ac ＝0，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，B ＝π3，因此a ＝c cos π3＝1.故选B.答案：B10．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝2n ＋1＋λ，则λ的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4解析：根据题意，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝4＋λ，当n ≥2时，a n＝S n －S n －1＝2n －1.因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝1，故4＋λ2＝1，解得λ＝－2.故选C.答案：C11．若以双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点和点(1，2)为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于( )A.12B ．1C. 2D ．2解析：由题意，双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为(－c ，0)、(c ，0)，因为两焦点和点(1，2)为顶点的三角形为直角三角形，所以(1－c ，2)·(1＋c ，2)＝0，所以1－c 2＋2＝0，所以c ＝3，因为a ＝2，所以b ＝1.故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：由题意得g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，当k ＝0时，得x ＝π3，所以函数g (x )图象的一条对称轴方程为x ＝π3.故选C.答案：C13．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段BC 的中点，点M 是直线BD 1上异于B ，D 1的点，则平面DEM 可能经过下列点中的( )A ．AB ．C 1C ．A 1D ．C解析：连接A 1D ，A 1E ，因为A 1D 1∥BE ，所以A 1，D 1，B ，E 四点共面．设A 1E ∩BD 1＝M ，显然平面DEM 与平面A 1DE 重合，从而平面DEM 经过点A 1.故答案为C.答案：C14．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，则3x －y 的最小值为()A ．4B ．6C ．12D ．16解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，作出可行域如图，联立⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，解得A (2，2)，令z ＝3x －y ，化为y ＝3x －z ，由图可知，当直线y ＝3x －z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为4.故选A.答案：A15．若正数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最大值为( )A.13B.38C.37D ．1解析：由x ＋4y －xy ＝0可得x ＋4y ＝xy ，左右两边同时除以xy 得1y ＋4x ＝1，求3x ＋y的最大值，即求x ＋y 3＝x 3＋y 3的最小值，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 3×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋4x ＝x 3y ＋4y 3x ＋13＋43≥2x 3y ×4y 3x ＋13＋43＝3，当且仅当x 3y ＝4y3x 时取等号，所以3x ＋y的最大值为13.所以选A. 答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1的定义域是________．解析：要使函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，即⎩⎨⎧x ≤1，x ≥－3，解得－3≤x ≤1，故函数的定义域为[－3，1]．答案：[－3，1]17．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的半径为________，表面积为________．解析：设长方体的外接球的半径为R ，则长方体的体对角线长就等于外接球的直径，即2R ＝12＋（3）2＋22，解得R ＝2，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝8π.答案：2 8π18．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________．解析：因为圆心在y ＝－2x 上，所以可设圆心坐标为(a ，－2a )，又因为圆过A (2，－1)，且圆C 和直线x ＋y ＝1相切，所以（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2，解得a ＝1，所以圆半径r ＝|1－2－1|2＝2，圆心坐标为(1，－2)，所以圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝219．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋m ，若函数f (x )有5个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，函数f (x )是奇函数，f (x )有5个零点，其中x ＝0是1个，只需x >0时有2个零点即可，当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋m ，转化为函数y ＝－m 和f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象交点个数即可，画出函数的图象，如图所示．结合图象可知只需12<－m <1，即－1<m <－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)已知c ＝2，AC 边上的高BD ＝3217，求△ABC 的面积S 的值．解：(1)因为(2c －a )cos B －b cos A ＝0，所以由正弦定理得(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0，所以2sin C cos B －sin(A ＋B )＝0，因为A ＋B ＝π－C 且sin C ≠0，所以2sin C cos B －sin C ＝0，即cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S ＝12ac sin ∠ABC ＝12BD ·b ，代入c ，BD ＝3217，sin ∠ABC ＝32，得b ＝73a ，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos ∠ABC ＝a 2＋4－2a .代入b ＝73a ，得a 2－9a ＋18＝0，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝7，或⎩⎨⎧a ＝6，b ＝27，又因为△ABC 是锐角三角形，所以a 2<c 2＋b 2，所以a ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝12×2×3×32＝332.21．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其右顶点是A (2，0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于两点M ，N (M ，N 不同于点A )，若AM →·AN →＝0，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．(1)解：因为椭圆C 的右顶点是A (2，0)，离心率为12，所以a ＝2，c a ＝12，所以c ＝1，则b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当直线MN 斜率不存在时，设MN ：x ＝m ，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得：|y |＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24，|MN |＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24. 设直线MN 与x 轴交于点B ，则|MB |＝|AB |，即3⎝⎛⎭⎪⎫1－m 24＝2－m ，所以m ＝27或m ＝2(舍)，。

2024年天津市高中数学学业水平合格考试卷试题(含答案)

2024年高中学业水平合格性考试模拟练习数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间90分钟．参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．球的体积公式24π3V R =，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0,1,2,3U =，集合{}0,1,2M =，{}0,2,3N =，则U M N = ð（）．A ．∅B ．{}1C ．{}2,3D ．{}0,1,22．命题“R x ∃∈，()12f x <≤”的否定形式是（）．A ．R x ∀∈，()12f x <≤B ．R x ∃∈，()12f x <≤C ．R x ∃∈，()1f x ≤或()2f x >D ．R x ∀∈，()1f x ≤或()2f x >3．复数1i1i+-等于（）．A ．1B ．1-C ．i D ．i-4．不等式()()120x x --≥的解集为（）．A ．{|}12x x ≤≤B ．}1{|2x x x ≤≥或C ．{}2|1x x <<D ．}1{|2x x x <>或5．坐标平面内点P 的坐标为()sin 5,cos5，则点P 位于第（）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四6．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不够8环的概率为（）．A ．0.9B ．0.6C ．0.4D ．0.37．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）．A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位8．在△ABC 中，π3A =，3BC =，AB =，则C =（）．A ．π6B ．π4或3π4C ．3π4D ．π49．若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，l α⊥，则“l m ⊥”是“m α∥”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．下列函数中，周期为π且为偶函数的是（）．A ．sin(22πy x =-B ．cos(2)2πy x =--3）C ．sin(2πy x =+D ．cos()2πy x =+11．三个数3log 2a =，21log 4b =，0.512c -⎛⎫= ⎪⎝⎭之间的大小关系为（）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．b c a<<12．一个圆柱的底面直径和高都等于球O 的直径，则球O 与该圆柱的体积之比为（）．A ．18B ．16C ．12D ．2313．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，点E 满足13EC AC = ，则DE =（）．A ．2133a b-B ．2133a b- C ．1233a b- D ．1233a b- 14．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（）．A ．23B ．36C ．2121D ．4212115．函数()22log 43xf x a x a =+⋅+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，则实数a 的取值范围是（）．A ．12a <-B ．32a <-C ．3122a -<<-D ．34a <-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上。

高中数学学业水平考试模拟试题

高中数学学业水平考试模拟试题高中学业水平考试数学模拟题一一、选择题：1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,5,7,9}，则AB等于（）A。

{1,2,3,4,5}B。

{2,5,7,9}C。

{2,5}D。

{1,2,3,4,5,7,9}2.若函数f(x)=x+3，则f(6)等于（）A。

3B。

6C。

9D。

123.直线A。

(-4,2)B。

(4,-2)C。

(-2,4)D。

(2,-4)4.两个球的体积之比为8:27，那么这两个球的表面积之比为（）A。

2:3B。

4:9C。

8:27D。

22:335.已知函数f(x)=sinx*cosx，则f(x)是（）A。

奇函数B。

偶函数C。

非奇非偶函数D。

既是奇函数又是偶函数6.向量a=(1,-2)，b=(2,1)，则（）A。

a//bB。

a⊥bC。

a与b的夹角为60°D。

a与b的夹角为30°7.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是（）A。

15B。

30C。

31D。

648.阅读下面的流程图，若输入的a，b，c分别是5，2，6，则输出的a，b，c分别是（）A。

6,5,2B。

5,2,6C。

2,5,6D。

6,2,59.已知函数f(x)=x-2x+b在区间(2,4)内有唯一零点，则b的取值范围是（）A。

RB。

(-∞,0)C。

(-8,+∞)D。

(-8,0)10.在△ABC中，已知∠A=120°，b=1，c=2，则a等于（）A。

3B。

5+√3C。

7D。

5-√3二、填空题：11.某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查。

已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师人数为50人。

12.(3)³的值是27.13.已知m>0，n>0，且m+n=4，则mn的最大值是4.14.若幂函数y=f(x)的图像经过点(9,1)，则f(25)的值是1/25.15.已知f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数，log4(2) = 1/2，则f(log4(2))的值为0.当$x>0$时，函数$f(x)$的图像如下图所示，因此$f(x)$的值域为$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$。

江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01

一、单选题1. 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角以为始边，OP 为终边，若，则P所在的圆弧是A．B．C．D．2. 已知，则是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知点P 是抛物线上的动点，过点P 向y 轴作垂线，垂足记为N ，动点M满足最小值为3，则点M 的轨迹长度为（）A．B．C．D．4. 西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都．图为唐长安（西安古称）城示意图，城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围．下列说法错误的是（）A ．从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条．B ．甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若二人选择互不影响，则二人从同一城门进城的概率为．C ．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色（街道忽略），要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法．D．若将街道看成直线，则图中矩形区域中共有不同矩形150个．5. 声音通过空气的振动所产生的压强叫做声压强，简称声压，声压的单位为帕斯卡()，把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01二、多选题示声音强弱的数值叫声压级，声压级以符号表示，单位为分贝()，在空气中，声压级的计算公式为(声压级)，其中为待测声压的有效值，为参考声压，在空气中，一般参考声压取，据此估计，声压为的声压级为（）A．B．C．D．6. 若，则（）A．B．C．D．7. 二项式的展开式中含项的系数为（）A ．35B ．70C ．140D ．2808. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 已知为等差数列，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n 是（）A ．2021B ．4044C ．4043D ．404210.设直线，为直线上动点，则的最小值为（）A．B．C．D．11. 音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（）A．B．C．D．12. 已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O 的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O 的表面积为（）A．B．C．D．13. 已知向量，，则（）A．B．C．D．14. 近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）的销量已跃居全球首位，同时我国也加大了新能源汽车公共充电桩的建设，以解决新能源汽车的充电困境.下面是我国2021年9月至2022年8月这一年来公共充电桩累计数量统计图，则针对这12个月的数据，下列说法正确的是（）三、填空题四、填空题五、解答题A ．这12个月以来，我国公共充电桩累计数量一直保持增长态势B ．这12个月我国公共充电桩累计数量的中位数低于123万台C ．这12个月我国公共充电桩的月平均累计数量超过115万台D ．2022年6月我国公共充电桩累计数量的同比增长率最大15. 已知函数，则（）A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到B．在上单调递增C ．在内有2个零点D ．在上的最大值为16. 已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（）A．B ．复数在复平面内对应的点位于第四象限C．D ．为纯虚数17.的展开式中的系数为________用数字填写答案18. 若抛物线上的点到焦点的距离是点A 到y 轴距离的2倍，则___________.19. 在中，若、、成等比数列，则角的最大值为________20. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，已知的面积等于10，，则___________，a 的值为___________.21. 已知函数，当_____时，的最小值为_____22.已知，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．23. 随着温度降低，各种流行病毒快速传播.为了增强员工预防某病毒的意识，某单位决定先对员工进行病毒检测，为了提高检测效率，决定六、解答题七、解答题八、解答题九、解答题将员工分为若干组，对每一组员工的血液样本进行混检（混检就是将若干个人被采集的血液样本放到一个采集管中（采集之前会对这些人做好信息登记））.检测结果为阴性时，混检样本均视为阴性，代表这些人都未感染：如果出现阳性，相关部门会立即对该混检管的所有受试者暂时单独隔离，并重新采集该混检管的所有受试者的血液样本进行一一复检，直至确定其中的阳性.已知某单位共有N 人，决定n 人为一组进行混检，(1)若，每人被病毒感染的概率均为，记检测的总管数为X ，求X 的分布列：(2)若.每人被病毒感染的概率均为0.1，记检测的总管数为Z ，求Z 的期望.24. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.(1)作出（不要求写作法）；(2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由；(3)若，求平面与平面的夹角的余弦值.25. 设，函数.(1)求a的值，使得为奇函数；(2)求证：时，函数在R 上单调递减.26.已知数列的前n项和为，且，，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.27. 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为，甲与丙比赛，甲赢的概率为，其中．(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金3.6万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X 万元，求X 的数学期望的取值范围．28. 已知中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，且（1）求角C ；（2）若，求的最大值.。

重庆市普通高中2020级学生学业水平考试数学模-拟试题

2
a
b
4.
函数f x
_sin(x)的一条对称轴为()
(A )
x._
(B)x…(C)
x __
(D):
x __
4
4
2
4
2
(
)
枚骰子，掷出的点数恰好是
3的倍数的概率为
5.随机投掷1
(A)1
2
、，if八
8.函数y =sin2x+—
V6丿
I
L.
J
1
」」
I
1F i
L
1^.
n
F*—1
15.以下命题(表示m,I直线，表示平面)正确的个数有()
①若I //m, m；=氐，则III.；②若I //-, m:则I//m
③若l,m|翌匕曙，则I m④若I」二，mj_I，则mII。
A、0个B、1个C、2个D、3个
二、填空题(共4道小题，每小题3分，共12分)
16•cos75°cos15°sin2550sin1650的值是
rrr r
17.若向量a =(1, x), b =(2,1), ab，则x的值为
18.函数f(X)1的定义域为
log」(2x七1)
2
0
20.若非负数x, y满足约束条件则xy的最大值为
&子2y兰4
三、解答题(共5小题，共40分)
21.(本小题满分10分)已知直线I过点(1,2)且与直线m:x 2y1£平行。
(1)求直线I的方程；(2)求圆C:(x1)2•(y1)2-2的圆心C到直线I的距离
(1)设bn=an1一2an,求证｛ bn｝是等比数列
a
(2)设Cn__nn，求证｛ Cn｝是等差数列

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设集合{1A =，3，5}，{2B =，3}，则(A B = )A ．{3}B ．{1，5}C ．(1，2，5){1⋂，2，5}D ．{1，2，3，5}2．（3分）函数1()cos()26f x x π=+的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3．（3分）函数()(4)f x ln x =-的定义域是( ) A ．[1，4)B ．(1，4]C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是减函数的是( ) A ．3y x =-B ．1y x=C ．||y x =D ．21y x=5．（3分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线20x y l +-=互相垂直，则直线l 的方程为()A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=6．（3分）已知函数322,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，则(1)f f -+（1）(= )A ．0B ．1C ．32D ．27．（3分）已知向量a 与b 的夹角为3π，且||3a =，||4b =，则(a b = ) A．B．C．D ．68．（3分）某工厂抽取100件产品测其重量（单位：)kg ．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5)，[40，5，41)，[41，41，5)，[41，5，42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41)内的产品件数为( )A ．30B ．40C ．60D ．809．（3分）sin 110︒cos40cos70sin 40(︒-︒︒= ) A ．12B 3C ．12-D ．3 10．（3分）在平行四边形ABCD 中，(AB BD AC +-= ) A ．DCB ．BAC ．BCD ．BD11．（3分）某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ7yx a =+，则实数ˆ(a = ) x3 4 5 6 y25304045 A ．3B ．3.5C ．4D ．10.512．（3分）下列结论正确的是( ) A ．若a b <，则33a b ，则22a b < C ．若a b <，则22a b <D ．若a b >，则lna lnb >13．（3分）圆心为(1,3)M ，且与直线3460x y --=相切的圆的方程是( ) A ．22(1)(3)9x y -+-= B ．22(1)(3)3x y -+-= C ．22(1)(3)9x y +++=D ．22(1)(3)3x y +++=14．（3分）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A ．事件“都是红色卡片”是随机事件B ．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C ．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D ．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15．（3分）若直线(1)210a x y --+=与直线10x ay -+=垂直，则实数(a = ) A ．1-或2B ．1-C ．13D ．316．（3分）将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移12π个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．sin(3)4y x π=-B ．sin(3)12y x π=-C ．1sin()34y x π=-D ．1sin()312y x π=-17．（3分）3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A ．14B ．23C ．12D ．3418．（3分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列判断正确的是( )A ．11A D C C ⊥B ．1BD AD ⊥C ．1AD AC ⊥D ．1BD AC ⊥19．（3分）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则()A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线20．（3分）在三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥的外接球体的体积为( ) A ．92πB ．272πC ．9πD ．36π二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．21．（3分）某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为．22．（3分）已知α为第二象限角，若3sin 5α=，则tan α的值为． 23．（3分）已知圆锥底面半径为1，高为3，则该圆锥的侧面积为．24．（3分）已知函数2()f x x x a =++在区间(0,1)内有零点，则实数a 的取值范围为． 25．（3分）若P 是圆221:(4)(5)9C x y -+-=上一动点，Q 是圆222:(2)(3)4C x y +++=上一动点，则||PQ 的最小值是．三、解答题：本题共3小题，共25分．26．（9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：//EF 面PAD ．27．（8分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且6a =，1cos 3B =．（1）若3sin 5A =，求b 的值；（2）若2c =，求b 的值及ABC ∆的面积S ．28．（8分）已知函数3()log (91)()x f x ax a R =++∈为偶函数．（1）求a 的值；（2）当[0x ∈，)+∞时，不等式()0f x b -恒成立，求实数b 的取值范围．2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷参考答案与试题解析一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设集合{1A =，3，5}，{2B =，3}，则(A B = )A ．{3}B ．{1，5}C ．(1，2，5){1⋂，2，5}D ．{1，2，3，5}【解答】解：{1A =，3，5}，{2B =，3}，{1AB ∴=，2，3，5}．故选：D ．2．（3分）函数1()cos()26f x x π=+的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【解答】解：由三角函数的周期公式得2412T ππ==，故选：D ．3．（3分）函数()(4)f x ln x =-的定义域是( ) A ．[1，4)B ．(1，4]C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【解答】解：函数()(4)f x ln x =-， ∴1040x x -⎧⎨->⎩，解得14x <；∴函数()f x 的定义域是[1，4)．故选：A ．4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是减函数的是( ) A ．3y x =-B ．1y x=C ．||y x =D ．21y x =【解答】解：由幂函数的性质可知，3y x =-，1y x=为奇函数，不符合题意，||y x =为偶函数且在(0,)+∞上单调递增，不符号题意，21y x =为偶函数且在(0,)+∞上单调递减，符合题意．故选：D ．5．（3分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线20x y l +-=互相垂直，则直线l 的方程为()A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=【解答】解：根据直线l 与直线20x y l +-=互相垂直，设直线l 为20x y m -+=，又l 过点(2,1)P -，22(1)0m ∴-⨯-+=，解得4m =-，∴直线l 的方程为240x y --=．故选：B ．6．（3分）已知函数322,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，则(1)f f -+（1）(= )A ．0B ．1C ．32D ．2【解答】解：函数322,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，11(1)22f -∴-==， f （1）3211==， (1)f f ∴-+（1）13122=+=．故选：C ．7．（3分）已知向量a 与b 的夹角为3π，且||3a =，||4b =，则(a b = ) A．B．C．D ．6【解答】解：向量a 与b 的夹角为3π，且||3a =，||4b =， ∴1||||cos34632a b a b π==⨯⨯=．故选：D ．8．（3分）某工厂抽取100件产品测其重量（单位：)kg ．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5)，[40，5，41)，[41，41，5)，[41，5，42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41)内的产品件数为( )A ．30B ．40C ．60D ．80【解答】解：由频率分布直方图得：重量在[40，41)内的频率为：(0.10.7)0.50.4+⨯=． ∴重量在[40，41)内的产品件数为0.410040⨯=．故选：B ．9．（3分）sin 110︒cos40cos70sin 40(︒-︒︒= ) A ．12B 3C ．12-D ．3 【解答】解：sin 110︒cos40cos70sin40︒-︒︒ sin =70︒cos40cos70sin40︒-︒︒ sin =(7040)︒-︒1sin302=︒=．故选：A ．10．（3分）在平行四边形ABCD 中，(AB BD AC +-= ) A ．DCB ．BAC ．BCD ．BD【解答】解：在平行四边形ABCD 中， AB BD AC AB BD CA CD BA +-=++==．故选：B ．11．（3分）某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ7yx a =+，则实数ˆ(a = ) x3 4 5 6 y25304045 A ．3 B ．3.5C ．4D ．10.5【解答】解：3456 4.54x +++==，25304045354y +++==， ∴样本点的中心坐标为(4.5,35)，代入ˆˆ7yx a =+，得ˆ357 4.5a =⨯+，即ˆ 3.5a =．故选：B ．12．（3分）下列结论正确的是( ) A ．若a b <，则33a b ，则22a b < C ．若a b <，则22a b <D ．若a b >，则lna lnb >【解答】解：A ．a b <，可得33a b <，正确；B ．a b >，可得22a b >，因此B 不正确；C ．a b <，2a 与2b 大小关系不确定，因此不正确；D ．由a b >，无法得出lna lnb >，因此不正确．故选：A ．13．（3分）圆心为(1,3)M ，且与直线3460x y --=相切的圆的方程是( ) A ．22(1)(3)9x y -+-= B ．22(1)(3)3x y -+-= C ．22(1)(3)9x y +++=D ．22(1)(3)3x y +++=【解答】解：由题意可知，圆的半径|3126|35r --==，故所求的圆的方程为22(1)(3)9x y -+-=．故选：A ．14．（3分）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A ．事件“都是红色卡片”是随机事件B ．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C ．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D ．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【解答】解：袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确；在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确；在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确．故选：C ．15．（3分）若直线(1)210a x y --+=与直线10x ay -+=垂直，则实数(a = ) A ．1-或2B ．1-C ．13D ．3【解答】解：根据题意，若直线(1)210a x y --+=与直线10x ay -+=垂直，必有(1)20a a -+=，解可得13a =；故选：C ．16．（3分）将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移12π个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．sin(3)4y x π=-B ．sin(3)12y x π=-C ．1sin()34y x π=-D ．1sin()312y x π=-【解答】解：将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），可得sin3y x =的图象；再将得到的图象向右平移12π个单位，得到的图象对应的函数解析式为sin3()sin(3)124y x x ππ=-=-，故选：A ．17．（3分）3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A ．14B ．23C ．12D ．34【解答】解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有328=种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有322826-=-=种情况， ∴所求概率为6384=．故选：D ．18．（3分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列判断正确的是( )A ．11A D C C ⊥B ．1BD AD ⊥C ．1AD AC ⊥ D ．1BD AC ⊥【解答】解：因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥；1BDDD D =；BD ⊆平面11DD B B ，1DD ⊆平面11DD B B ，AC ∴⊥平面11DD B B ； 1BD ⊆平面11DD B B ； 1AC BD ∴⊥；即D 对．故选：D ．19．（3分）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则()A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线【解答】解：向量a ，b 不共线，2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-， ∴(37)(45)2BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=， ∴//BD AB ，A ∴，B ，D 三点共线．故选：B ．20．（3分）在三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥的外接球体的体积为( )A ．92πB ．272πC ．9πD ．36π【解答】解：由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB =，2PC =将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则22221223R ++=所以32R =，所以外接球的体积34932V R ππ==，故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．21．（3分）某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为 8 ．【解答】解：某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，∴这支田径队共有453681+=人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本， ∴每个个体被抽到的概率是182819=，女运动员36人，∴女运动员要抽取23689⨯=人，故答案为：8．22．（3分）已知α为第二象限角，若3sin 5α=，则tan α的值为 34- ．【解答】解：α为第二象限角3sin 5α=， 4cos 5α∴=-，则sin 3tan cos 4ααα==-，故答案为：34-．23．（3分）已知圆锥底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 2π ．【解答】解：由已知可得1r =，h =2l ==． ∴圆锥的侧面积2S rl ππ==．故答案为：2π．24．（3分）已知函数2()f x x x a =++在区间(0,1)内有零点，则实数a 的取值范围为 (2,0)- ．【解答】解：函数2()f x x x a =++在区间(0,1)内有零点，(0)f a =，f （1）2a =+，由零点存在性定理得(0)f f （1）(2)0a a =+<，得20a -<<，经验证2a =-，0a =均不成立，故答案为：(2,0)-25．（3分）若P 是圆221:(4)(5)9C x y -+-=上一动点，Q 是圆222:(2)(3)4C x y +++=上一动点，则||PQ 的最小值是 5 ．【解答】解：圆221:(4)(5)9C x y -+-=的圆心1(4,5)C ，半径3r =，圆222:(2)(3)4C x y +++=的圆心2(2,3)C --，半径2r =，12||1023d C C r R ===>+=+，所以两圆的位置关系是外离，又P 在圆1C 上，Q 在圆2C 上，则||PQ 的最小值为()10(23)5d r R -+=-+=，故答案为：5．三、解答题：本题共3小题，共25分．26．（9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：//EF 面PAD ．【解答】证明：取PD 的中点G ，连接FG 、AG ．因为PF CF =，PG DG =，所以//FG CD ，且12FG CD =．又因为四边形ABCD 是平行四边形，且E 是AB 的中点．所以//AE CD ，且12AE CD =．所以//FG AE ，且FG AE =，所以四边形EFGA 是平行四边形，所以//EF AG ．又因为EF ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ．27．（8分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且6a =，1cos 3B =．（1）若3sin 5A =，求b 的值；（2）若2c =，求b 的值及ABC ∆的面积S ．【解答】解：（1）由1cos 3B =可得22sin B = 由正弦定理可得，sin sin a b A B =，所以226sin 233sin 35a Bb A ===，（2）由余弦定理可得，22221364cos 32226a c b b B ac +-+-===⨯⨯，解可得，b =11sin 6222S ac B ==⨯⨯=． 28．（8分）已知函数3()log (91)()x f x ax a R =++∈为偶函数．（1）求a 的值；（2）当[0x ∈，)+∞时，不等式()0f x b -恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意可知()()f x f x =-，即33log (91)log (91)x xax ax -++=-++，整理得391log 291x x ax -+=-+，即3292x ax log x -==，解得1a =-；（2）由（1）可得3()log (91)x f x x =++，因为()0f x b -对[0x ∈，)+∞恒成立，即3log (91)x x b ++对[0x ∈，)+∞恒成立，因为函数3()log (91)x g x x =++在[0，)+∞上是增函数，所以3()(0)log 2min g x g ==，则3log 2b ．。

2023年辽宁省沈阳市普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题

2023年辽宁省普通高中学生学业水平考试沈阳市模拟试卷(一)数学(本试卷分I、II两卷，满分100分，考试时间90分钟)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码粘贴在答题卡规定的位置。

2．答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效：考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第I卷选择题(共36分)一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={－1，0，1，2}，N={－2，－1，0，2，3}，则M∩N=() A．{－1，0} B．{－1，0，2}C．{0，2} D．{－2，－1，0，1，2，3}2．cos⁡(7π4)=()A．0 B．−12C．√22D．13．下列函数为奇函数的是()A．y=−x 2x B．y=x2+ln|x| C．y=√x D．y=1|x|4．已知数学考试中，李伟成绩高于80分的概率为0．25，不低于60分且不高于80分的概率为0．5，则李伟不低于60分的概率为()A．14B．12C．23D．345．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，其中a=4，c=6，cosA=则sinC=()A．5√213B．1526C．513D．5√2266．已知tanα=2，tanβ=3，则tan(2α+β)的值为()A．－1 B．1 C．－13D．137．过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为()A．4 B．6 C．203D．1638．已知函数f(x)=2x2－4x+3，则f(x)在[－1，1]上的最大值为()A．9 B．8 C．3 D．－19．如图，D是AB上靠近B的四等分点，E是AC上靠近A的四等分点，F是DE的中点，设A．3a⃗4−b⃗4B．3a4+b⃗4C．3a⃗8+b⃗8D．3a8−b⃗810．已知函数f(x)=2sin(x+π4)+1的最大值和最小值分别为()A．3，1 B．3，－1 C．－3，－1 D．－3，1 11．已知z=(1+2i)(3－i)，则－对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．已知函数f(x)={a−x，x<1lnx−1，x≥1有两个零点，则实数a的取值范围是()A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1第Ⅱ卷非选择题(共64分)二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程。

2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学模拟试题A ．()e ln xf x x =⋅C ．()e ln xf x x=+()0,πα∈A ．．．．．已知函数()e 2x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩的方程()f x a =有两解，．1ea =B ea =D ．如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱C D ''的中点，过,,A D BC '''分别交于点A ．存在点H ，使得AE ⊥B ．线段D G '的长度的最大值是C ．当点F 与点C 重合时，多面体D ．点D 到截面AEF 的距离的最大值是19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为20．已知函数()12e2x f x x x -=+-，则使得四、解答题（本大题共3小题，共21．已知函数()22cos sin 2f x x x ⎛=+ ⎝(1)求AA '的长；(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角23．已知函数()(2f x x x =+(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；16．BD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解【详解】为原点，DC 为y 轴，DA 为x 轴，DD )()()('2,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,2E D D ()()'2,1,2,,2,2,AE D H p =-=- 点不在线段BC 上，错误；平面//ABCD 平面''''A B C D ，GE AH 、GE ，此时1m =，88,5489x DO ==-+梯形AFEG 的高()22252⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭四棱锥D AFEG -的体积D AFEG V -由②③式可知，当42255m ==⨯时，故选：BD.23．(1)单调递减区间为10,⎛ ⎝(2)(][),31,-∞-⋃+∞【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；（2）不妨令12x x <，则(f。