第十二讲(2多元函数微分法)

zx )
x y z
x3 y3 z3 3x yz
(x y z)( x2 y2 z 2 yz z x x y )
例4. 设 u f (x, y, z) ,
y sin x ,
其中 都具有一阶连续偏导数 , 且
求
解: 利用全微分法 , 有
在边界
与
上
f (x, y) 0
y
在边界
,即
上,
o
x
令
,得
为该边界上的极小值点 , 极小值 f (4,2) 64 经比较 f 在 D 上的最大值为 f (2,1) 4 f (x, y) x2 y(4 x 最y小) 值 f (4,2) 64
z f (u) (v)
其中 为任意二阶可微函数 .
z

P253 例12
g(u与) 此题类似
.
Байду номын сангаас
u
说明：设 z

f
(x, y) 满足方程
2z 6 x2

2z xy

2z y 2
0,
证明变换


x 2y x 3y
解: x 2y
可将方程化简为 2 z 0.

x

1 5
(3

2 )
x 3y
y

1 5
(


)
z f (x, y)
z


z x

x


z y

y


3 5
f1
1 5
f2
2z

(
3 5
f1
1 5
f2)


接5.
2z


(
3 5
f1
1 5
f2)



3( 5
f11
圆锥面上过点 M 的母线的方向向量为
且
故 与 夹角 的余弦为
cos s1 s2
s1 s2

2z2
2 = 常数
3z2 2z2
6
故本题结论成立 。
例9.设函数F 可微,试证曲面
的
所有切平面通过一定点 . (上交大1998)
证: 对曲面方程两边取微分, 得
F1
F2
x
再证“充分
性令” .
则 z f (x, y)
因
z x

f1
f2 (
a) b
这说明 f 与 x 无关, 仅是 t 的函数 , 即
(上交大 1989 )
思考题: P272 题20
0
例7. 设 f ( x , y , z ) 为 n 次齐次函数 , 试证
( x y z )2 f (x, y, z) n (n 1) f (x, y, z)
二、多元函数微分法的应用方法指导
1. 偏导数的几何应用 ( P256-P257 )
(1)
空间曲线的切线和法平面

参数方程情形
一般方程情形
• 光滑曲线
在 时对应
点
处的方向向量为
• 光滑曲线 向量为
在点
处的方向
x
yz
(2) 空间曲面的切平面和法线
隐式方程情形

显式方程情形
• 光滑曲面
在点
自变量个数 = 变量总个数 – 独立方程个数
自变量及因变量根据问题所求确定 ,其关系 可通过作树状图分析
3. 复合函数求导法则 ( 链式法则 )
分段用乘 , 分叉用加 ; 单路全导 , 叉路偏导 .
例如 , 设 z f (x,u, v) , u (x) , v (x) , 则
dz f f du f dv d x x u d x v d x
x y z
(上交大 1986 )
证: 已知
两边对 t 求导, 得 x f1 y f 2 z f 3 n t n1 f
再对 t 求导, 得
y (x f21 y f22 z f23 )
令 t = 1 ,得
z (x f31 y f32 z f33 )
2x y f21 2yz f23 2xz f13
即得所证.
例8. 证明曲线
与圆锥面
的各条母线相交的角度相同 .
解: M (x, y, z) , 则该点切线方向向量为
a et (cos t sin t), a et (cos t sin t), a et
例5.设变换
转化为 2 z
u v


0
x x

2 a
y y
可把方程
6
2z x2

, 求常数 a . ( 考研1996,
2z x y
P272
2z y2
题18 )
0
uv
代入原方程 , 得
2z u v
2z 0
v2
依题意应有
,得 a=3.
说明: 由变换后的方程易求得 :
a
例10. 求二元函数
在由直线
轴和 轴所围闭区域 D 上的极
值、最大值与最小值 . (95考研)
解: 令
y
得驻点: (4, 0), (2,1) 及 x 0 (0 y 6)
在区域内的驻点 (2,1) 处
o
x
6
4
8
充分条件
,又
(2,1) 是极大值点 , 极大值 f (2,1) 4
f (1,1) 1,
f x
(1,1) 2,
f y
(1,1) 3,
例3. 设
证明:
u u u 3 x y z xyz
( 西交大1989 )
证: u x x3 y3 z3 3x yz
利用轮换对称性可得
u u u 3( y2
求常数 a . ( 考研1996, P272 题18 )
解: z x 2z 2z x2 u 2
z y
2z
v2
z
uv
x yx y
2z y2

2z 4
u 2
2a
a2 2z v2
2z
2z
2
xy
u 2
2z a
v2 代入原方程
方法 2: 直接法. 方程两边对 x 求导, 得
F1 (1
z x
)

F2

z x

0
z F1 ,
x F1 F2
方程两边对 y 求导, 得
F1
(

z y
)

F2

(1
z y
)

0
z F2 y F1 F2
设函数 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
方程 ,分析其特点
n

(x
1 a)F2
(y
b)
F1
(z

c)F2
,
(x
a)F1, (x a)F2

设切平面上的动点坐标为( X ,Y, Z ) , 则得切平面方程:
[ ( y b) F1 (z c)F2]( X x) (x a) F1 (Y y)
z
xuv
f1 f2 (x) f3 (x)
又如 , 设 z f (x, y,u) , u (x, y) , 则
z x

f1
f 31
xx z
xyu
z y

f 2

f 3 2
注意:
f1

z x
xy
4. 隐函数微分法 全微分法; 直接方法 ; 代公式法 .
( P272 题16 )

2
x1
d
x

e
y
2
d
y


3
d
z

0
u
xy z
xy
消去 dy , dz
x
du dx

f1
f2
cos
x

1
3
( 2x1 e y
cos x2
)
f3
x
说明: 若用直接方法 , 注意
练习
设 f (u) 可微, 且
f(1 1) 11 , yx zx
三. 实例分析
例1. 设函数 f的二阶偏导数连续, 分别求下列函数的二
阶混合偏导数 :
(2) z f (x y2 ) ;
x
解: (1) z x f ( y2 ) 2 y
y
xx
2y f
2y3 x2
f
(P247 例5)
(2) z f 2 y
y
x


2y x2
f
2y x
(1
y2 x2
)
f

2 y f x
(3)
z

f
(x ,
y2 )
x
2z x y


2 x
y
2
f2

2y x
(
)
例2 设函数
在点
处可微 , 且
f (1,1) 1,
f x
(1,1)

2,
f y
(1,1)

3,
(x) f ( x, f ( x, x )),
处的法线
方向向量为
• 光滑曲面
在点
处的法线
方向向量为
2. 多元函数极值和最值应用 ( P257-P260 ) (1) 多元函数极值的必要条件和充分条件 • 条件极值的求法
方法1 升元法
拉格朗日乘数法
方法2 消元法
将条件代入目标函数
(3) 解最值问题的步骤 1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件; 2) 构造拉格朗日函数,利用极值必要条件列方程; 3) 解方程组求出驻点(稳定点); 4) 根据问题的实际意义判断驻点是否为所求最值点 .
d z ( y b) F1 (z c)F2 d x F1 d y
(x a)F2
F2
故曲面在点 (x,y,z) 处切平面的法向量为
n


zx
,
zy
,
1


(
y

b) F1 (z c)F2 , F1 , 1
(x a)F思2 路: 求出切F2平面

dz
F1 F1 F2
dx
F2 F1 F2
dy
z x

F1 F1 F2
,
z F2 y F1 F2
设函数 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数, 求 z , z . x y
x


f12
y

)

1 5
(
f21
x


f22
y )


1 (6 5
f11

f12

f22 )
6
2z x2

2z xy

2z y2

0
2z 0

例6. 试证可微函数
是
的函数的充要条件为
证: 先证“必要性”.
设
则
b z ba
例如: 设函数 z = z (x,y) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数 , 求 z , z .
x y
方法 1: 全微分法. 对方程两边求微分
F1 (d x d z ) F2 (d y d z) 0
求
( 2001考研题）
解: (x) f ( x, f ( x, x ))
(1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1
3 2 (x) d
dx
x 1
32(x) f1(x, f (x, x))
x1
3 2 3(2 3) 51
所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数, 求 z , z . x y
方法 3: 代公式法. 令
(x, y, z) F(x z , y z) 则 x F1 , y F2 , z F1 F2 ,
z x F1 x z F1 F2 z y F2 y z F1 F2
第十二讲（2）
多元函数微分法 及其应用
一、多元函数微分法方法指导
1. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法
先代后求 先求后代 利用定义
求高阶偏导数的方法
逐阶求导法
(当高阶混合偏导数连续时,与求导顺序无关, 应选择简便的求导顺序)
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2. 复合函数结构 显式结构 隐式结构
求
x2 z y2 z x y
( 京1996 竞赛题 )
提示: 利用全微分法 , 有
d z z2 (1 f ) d x z2 f d y
x2
y2
z x
z y
代入原式 , 得 z2
例5. 设变换 转化为
可把方程 6 2 z 2 z 2 z 0 x2 x y y 2
平行.
证 令F (x, y, z) ax f (by cz) z
nn则取 A曲A(面ab,在(bbab任cf,f一((bb点cyy,处bc)c的zz)),法则b向ccff量(b(:byycczz))1)b 0,
即 nA 所以,所有的切平面均与 常向量(b , c,b) 平行.
(x a) F2(Z z) 0 显然 , 当 X a , Y b , Z c 时, 满足上述方程 , 这说明切平面通过定点 (a,b,c) .
说明: P261 例2 与此题类似
练习 证明曲面z ax f (by cz). ( f (u)可微a 0,
b、c均为常数) 的所有切平面都与一常向量