第十二讲(2多元函数微分法)
(整理)多元函数微分学
模块十二 多元函数微分学※知识框架一、二重极限及连续 二、偏导数概念 三、可微与全微分 四、相互关系 五、方向导数与梯度※课程脚本：★引入：本章的标题是多元函数微分学，在前面我们介绍过一元函数微分，这里的‘多元’就是自变量为多个，而为了方便，我们一般研究的是二元函数，那么我们首先看看二元函数的概念，一． 二重极限及连续1、 二重极限 ●讲义内容【定义1】：设D 是平面上的一个点集，如果对于任意一点(),x y D ∈，变量z 按照一定的运算法则总有确定的值与之对应，则称z 关于变量,x y 的二元函数，记作(),z f x y =. ★讲解且过渡：给出二元函数定义后，下面不妨我们可以回忆下一元函数微分中的知识点，一块回忆下：一元函数()y f x =中自变量就一个“x ”，而二元函数显然就是自变量为两个，我们一般用,x y 来表示，当然也可以定义三元或者多元的函数，不过对于我们来说研究的对象大多是二元，其定义域也有一元函数时的区间变成了二元函数的平面区域，举个简单的二元函数例子：2z x y =，。
另外在一元函数中我们研究了极限、连续、可导。
可微等，其实这些可以延拓到二元函数中的，下面首先看看二元函数的极限问题，为了显示和一元函数的区别，我们称二元函数的极限为二重极限 ●讲义内容【定义2】：设(),z f x y =是D 上的一个函数，()00,x y D ∈，假设存在实数A ，使得0ε∀>，总0δ∃>，当0δ<时，有()0,f x y A ε<-<.则称当(),x y 趋近于()00,x y 时，函数(),fx y 的二重极限为A .记作()()00(,),lim,x y x y f x y A →=或()00lim ,x x y y f x y A →→=.★讲解且过渡：二重极限是一元函数极限的推广，它的定义要与一元函数的极限对比起来理解.例如，与一元函数一样，(),x y 在趋近于()00,x y 时，也不会等于()00,x y ，只会无限地接近；一元函数极限中x 趋近于0x 仅有两种方式——左或右，所以只要求左右极限存在且相等就能说明极限存在了；而二维平面上(),x y 趋近于()00,x y 的方式可以有无穷多种，另外在一元函数中极限存在的话是左右极限存在且相等，那么在二元函数中关于二重极限存在的内在要求是(),x y 沿任何路径趋近于()00,x y 的极限值都应该存在并且相等，换句话说如果能找到函数按照两种不同的路径逼近某一点的极限不一样，就可以断定函数在该点的极限不存在，其实这也是我们在具体做题的过程中判断极限不存在的思路，那么其他求极限的方法有哪些呢？其实这个时候也可以按照一元函数求极限的方法进行分析，大概有一下几种：1、四则运算。
多元函数微分法 PPT课件
x
y
z f [u( x, y), x, y]
z
x
y
z f u f , x u x x
两者的区别
变而对 x 的偏导数
z f u f . y u y y
把 z f (u, x, y) 中 的 u 及 y
把复合函数 z f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不 看作不变而对 x 的
的偏导数都存在,函数在 z f (u, v) 对应点 (u, v) 可微，则 复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)] 在点 ( x, y ) 处存在对 x 、 y 的偏导数,且
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z z u z v v 1 v vu x u ln u 1 y u y v y
xy(1 xy)
y
y 1
(1 xy) ln(1 xy)
y
xy (1 xy) [ ln(1 xy)] 1 xy
医用高等数学
推论:
”
医用高等数学
医用高等数学
第三节
多元函数微分法
一、复合函数微分法
二、隐函数微分法
医用高等数学
一、复合函数微分法
我们知道 : 如果函数u ( x )在点 x处可导 , 而 y f ( u)在 x点对应u处可导 , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导, 且其导数为
u
z
v
x
医用高等数学
全导数
例4-24 设 z e
u 2v
3 u sin x v x , 而 ， ,求
第十二讲(2多元函数微分法)
( 西交大 1989 )
u 证: 3 x x y 3 z 3 3x y z
利用轮换对称性可得
u u u 3( x y z
y zx x 3 y 3 z 3 3x y z
2
)
( x y z )( x 2 y 2 z 2 y z z x x y )
例 4. 设 u f ( x, y, z ) ,
y sin x ,
求
( P272 题 16 )
其中
都具有一阶连续偏导数 , 且
2 x 1 d x e y 2 d y 3dz 0
解 : 利用全微分法 , 有
u
x y z x x y x
du 1 e y cos x 2 ) f 3 f1 f 2 cos x ( 2 x1 dx 3
例如 , 设
4. 隐函数微分法
全微分法; 直接方法 ; 代公式法 . 例如 : 设函数 z = z (x,y) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
z z , . 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数 , 求 x y
方法 1: 全微分法 . 对方程两边求微分
F1 (d x d z ) F2 (d y d z) 0
阶混合偏导数 :
2
(P247 例 5)
z 2y f ( 2) y x
2y y f (1 ) f 2 2 x x x
2y
2
2y f x
y2 (3) z f ( x , ) x
2y 2y z 2 f 2 ( x x x y
2
1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件 ;
高数二多元函数微分学课件
条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数
《多元函数的微积分》课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
多元函数微分公式法
多元函数微分公式法1.偏导数的定义考虑一个具有两个自变量的多元函数$f(x,y)$，其中$x$和$y$分别代表两个自变量。
在其中一点$(x_0,y_0)$处，偏导数$\frac{\partialf}{\partial x}$表示函数$f(x,y)$对于变量$x$的变化率。
类似地，偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}$表示函数$f(x,y)$对于变量$y$的变化率。
偏导数的定义如下：$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$$$\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$2.全微分的定义全微分表示函数$f(x,y)$在其中一点$(x_0,y_0)$附近的微小变化。
全微分记作$df$，它可以看作是函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的局部线性近似。
全微分的定义如下：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partialf}{\partial y}dy$$其中$dx$和$dy$分别代表自变量$x$和$y$的微小变化量。
3.多元函数微分公式$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + ... + \frac{\partial f}{\partialx_n}dx_n$$或者写成更紧凑的形式：$$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$$这个公式描述了函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在其中一点$(x_1,x_2,...,x_n)$处的微小变化。
第十二章 多元函数的微分学 (24 时 )
第十二章 多元函数的微分学 (24 时 )教学目的与要求1熟练掌握求偏导数、特别是求多元复合函数的偏导数的运算； 2理解全微分的概念及意义； 3掌握求高阶偏导数的方法；4 理解方向导数和梯度的概念并能求方向导数和梯度；5理解一阶全微分方程的形式不变性；6 能将简单的二元函数展开成Taylor 公式或马克劳林公式，并知道两公式的意义；7 理解隐函数的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；8 知道函数组)(22R R 在一点的邻域存在反函数组的条件；9 会求隐函数（组）的偏导数和高阶导数。
10 会求空间曲线的切线方程和法平面方程、空间曲面的法线和切平面方程； 11会求二元函数的局部极值和最大（小）值，并能解决一些简单的应用问题。
12 掌握取条件极值的必要条件的证法，并会应用Lagrange 乘数法求条件极值； 13 能将实际中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。
教学重点1多元复合函数的偏导数及全微分的求法；2 方向导数和梯度的概念并能求方向导数和梯度；3 空间曲线的切线方程和法平面方程、空间曲面的法线和切平面方程；4二元函数的局部极值和最大（小）值的求法；5应用Lagrange 乘数法求条件极值；6 将实际中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。
教学难点1多元复合函数的偏导数及全微分的求法；2简单的二元函数展开成Taylor 公式或马克劳林公式的求法；3 应用函数的最值解决一些简单的应用问题。
4 隐函数（组）的偏导数§ 1 偏导数与全微分 ( 4 时 )教学目的：1熟练掌握求偏导数、特别是求多元复合函数的偏导数的运算； 2理解全微分的概念及意义； 3掌握求高阶偏导数的方法4 理解方向导数和梯度的概念并能求方向导数和梯度教学过程 1 偏导数1.1偏导数的定义及几何意义P135----136由一元函数引入. ))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.1.2 求偏导数:例1、2、3 、4 （P 137—138） 例2 求下列函数的偏导数（1）),(y x f =)12sin()32(2+++y x x（2）),(y x f = 1)1ln(2+++y x x .（3）),(y x f =22yx y x ++.并求) 1 , 2 (-x f .（4）),(y x f =1223ln )2(22222++++-+x y y x x xy . 求) , 2 (y f y 和) 1 , 2 (y f . 解 ) , 2 (y f y =y y y f 4)2() , 2 (2='=',) 1 , 2 (y f =4), 2 (1='=y y f .例3 .0 , 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)s i n c o s (lim),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)s i n c o s (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x ,) 0 , 0 (y f ||lim)0,0(),0(lim 200y y y y f y f y y →→=-= 不存在 .2 方向导数2.1 定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义 . l 为从点0P 出发的射线。
多元函数微分法(2)
例7 设 u f (x, y, z), (x2, ey , z) 0, y sin x,
( f , 具有一阶连续偏导数)，且 0, 求 du .
z
dx
解
du f f dy f dz , dx x y dx z dx
显然
dy cos x, dx
求 dz , 对 ( x2,e y , z) 0 两边求 x 的导数,得
x2 1 ( y)2
x
yy
xy
y
x
y x y . yx
例3：设F ( xy, x ) 0,求 dy .
y
dx
解(1)
F1( xy,
x )( y y
xy)
F2
y xy y2
0
y
F1 y xF2
3
F2 y xy 2 F1
.
解(2) 设G( x, y) F ( xy, x )
y
1
x
Gx F1 y F2 y
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数
的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
第十二章 多元函数的微分学
华中科技大学数学系汤燕斌
第十二章 多元函数的微分学
28
〖教学内容〗本章介绍偏导数和全微分的概念、运算、性质、求导方法和几何应用，二元函数的泰勒公式。 隐函数的概念，隐函数存在定理的各种表述，隐函数存在的判别法。多元函数极值和条件极值的概念；极值 必要条件、充分条件：求条件极值的拉格朗日乘法。 〖教学要求〗掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多 元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。 〖教学安排〗 §1 偏导数与全微分 §2 多元复合函数的求导法则 §3 Taylor 公式 §4 隐函数 §5 偏导数在几何中的应用 §6 无条件极值 §7 条件极值问题与 Lagrange 乘数法
定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件,而不是充分条件.
⎧
例
1
考查函数
f
(x,
y)
=
⎪ ⎨
xy ,
x2 + y2
⎪⎩0 ,
x2 + y2 ≠ 0,
在原点的可微性.
x2 + y2 = 0
2
《数学分析》教案 ----多元函数的微分学
华中科技大学数学系汤燕斌
解
f x (0,0)
=
∂f ∂y
| = ( x0 , y0 )
lim
∆x→0
f (x0 , y0
+ ∆y) − ∆y
f (x0 , y0 )
注: 1) 偏导数 f x (x0 , y0 ) 或 f y (x0 , y0 ) 存在，函数 z = f (x, y)
高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件
其余类推
fxy( x,
y)
lim
y0
fx(x, y
y) y
fx(x, y)
(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1，求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2 y2 3 y3 y, x
x2 y2 sin x2 y2 ( x2 y2 )3 2
y0
换元,化为一元 函数的极限
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【阅读与练习】 求下列极限
5/51
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0
(2) 【复合函数求导链式法则】
①z
u
v
t t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
x z z u z v y x u x v x
②z
v
x z z u z v
y y u y v y
③ z f (u, x, y)
u x z f f u
y x x u x
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
10/51
4. 【偏导数的几何意义】 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
高等数学讲义——多元函数微分法
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数 z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f (x, y)在(x, y)处连续;
xy
yx
例4 证明u
1
满足拉普拉斯方程
x2 y2 z2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
证明:
u
1
(x2
y2
z
2
)
3 2
2x
x 2
x
3
(x2 y2 z2)2
2u x 2
(x2
1 y2
3
z2)2
x[ 3 (x2 2
y2
5
z2) 2
2x]
2x2 y2 z2
5
(x2 y2 z2)2
F f xy (x 3x, y 4y)xy 0 3 , 4 1
f yx (x 2x, y 4y) f xy (x 3x, y 4y)
由于f xy , f yx连续, 令x 0, y 0得 : f xy (x, y) f yx (x, y)
二. 全微分
1. 概念
x
(3)u z yx
z 6x2 y 2 ex y
(2) z x
1
1
y2 x2
(
y) x2
x2
y
y2
;
z x y x2 y2
(3) u z y x ln z y x ln y; u z y x ln z xy x1;
x
y
u y x z y x 1 z
多元函数微分法
ϕ′(t0 )(x − x0 )+ψ′ (t0 ) ( y − y0 ) +ω′ (t0 )(z − z0 ) = 0
F(x, y, z) = 0 2) 一般式情况. 空间光滑曲线 Γ : G(x, y, z) = 0dx M dx M 求导
三、多元函数微分法的应用 在几何中的应用 1.在几何中的应用 在几何中的 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 梯度和方向导数 2. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题 • 最小二乘法 3. 在微分方程变形等中的应用
多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用
一、 基本概念 1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律
会计算分段函数 分段点的极限、 分段点的极限、 偏导数和连续性
• 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 函数连续 函数可微 偏导数连续 函数可导
隐函数求导公式
定理1. 设函数 定理1. 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F(x0 , y0 ) = 0; ③ Fy (x0 , y0 ) ≠ 0 则方程 导数 的某邻域内 某邻域内可唯一确定一个 某邻域内 并有连续 单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
Fx dy =− dx Fy
Fy ∂z =− ∂y Fz
设方程组
F(x, y, u, v) = 0 有隐函数组 G(x, y, u, v) = 0
则
∂u ∂v Fx + F ⋅ + Fv ⋅ = 0 u ∂x ∂x 两边对 x 求导得 Gx+ Gu⋅ ∂u + Gv ⋅ ∂v = 0 ∂x ∂x ∂u ∂v 这 关 是 于 , 的 性 程 , 线 方 组 ∂x ∂x ∂u ∂v F ⋅ + Fv ⋅ u = −Fx ∂x ∂x ∂u ∂v Gu ⋅ + Gv ⋅ = −Gx ∂x ∂x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证 令F (x, y, z) ax f (by cz) z
nn则取 A曲A(面ab,在(bbab任cf,f一((bb点cyy,处bc)c的zz)),法则b向ccff量(b(:byycczz))1)b 0,
即 nA 所以,所有的切平面均与 常向量(b , c,b) 平行.
zx )
x y z
x3 y3 z3 3x yz
(x y z)( x2 y2 z 2 yz z x x y )
例4. 设 u f (x, y, z) ,
y sin x ,
其中 都具有一阶连续偏导数 , 且
求
解: 利用全微分法 , 有
z f (u) (v)
其中 为任意二阶可微函数 .
z
P253 例12
g(u与) 此题类似
.
u
说明：设 z
f
(x, y) 满足方程
2z 6 x2
2z xy
2z y 2
0,
证明变换
x 2y x 3y
解: x 2y
可将方程化简为 2 z 0.
x
再证“充分
性令” .
则 z f (x, y)
因
z x
f1
f2 (
a) b
这说明 f 与 x 无关, 仅是 t 的函数 , 即
(上交大 1989 )
思考题: P272 题20
0
例7. 设 f ( x , y , z ) 为 n 次齐次函数 , 试证
( x y z )2 f (x, y, z) n (n 1) f (x, y, z)
自变量个数 = 变量总个数 – 独立方程个数
自变量及因变量根据问题所求确定 ,其关系 可通过作树状图分析
3. 复合函数求导法则 ( 链式法则 )
分段用乘 , 分叉用加 ; 单路全导 , 叉路偏导 .
例如 , 设 z f (x,u, v) , u (x) , v (x) , 则
dz f f du f dv d x x u d x v d x
三. 实例分析
例1. 设函数 f的二阶偏导数连续, 分别求下列函数的二
阶混合偏导数 :
(2) z f (x y2 ) ;
x
解: (1) z x f ( y2 ) 2 y
y
xx
2y f
2y3 x2
f
(P247 例5)
(2) z f 2 y
x y z
(上交大 1986 )
证: 已知
两边对 t 求导, 得 x f1 y f 2 z f 3 n t n1 f
再对 t 求导, 得
y (x f21 y f22 z f23 )
令 t = 1 ,得
z (x f31 y f32 z f33 )
处的法线
方向向量为
• 光滑曲面
在点
处的法线
方向向量为
2. 多元函数极值和最值应用 ( P257-P260 ) (1) 多元函数极值的必要条件和充分条件 • 条件极值的求法
方法1 升元法
拉格朗日乘数法
方法2 消元法
将条件代入目标函数
(3) 解最值问题的步骤 1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件; 2) 构造拉格朗日函数,利用极值必要条件列方程; 3) 解方程组求出驻点(稳定点); 4) 根据问题的实际意义判断驻点是否为所求最值点 .
所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数, 求 z , z . x y
方法 3: 代公式法. 令
(x, y, z) F(x z , y z) 则 x F1 , y F2 , z F1 F2 ,
z x F1 x z F1 F2 z y F2 y z F1 F2
x
1 5
(3
2 )
x 3y
y
1 5
(
)
z f (x, y)
z
z x
x
z y
y
3 5
f1
1 5
f2
2z
(
3 5
f1
1 5
f2)
接5.
2z
(
3 5
f1
1 5
f2)
3( 5
f11
求常数 a . ( 考研1996, P272 题18 )
解: z x 2z 2z x2 u 2
z y
2z
v2
z
uv
x yx y
2z y2
2z 4
u 2
2a
a2 2z v2
2z
2z
2
xy
u 2
2z a
v2 代入原方程
( P272 题16 )
2
x1
d
x
e
y
2
d
y
3
d
z
0
u
xy z
xy
消去 dy , dz
x
du dx
f1
f2
cos
x
1
3
( 2x1 e y
cos x2
)
f3
x
说明: 若用直接方法 , 注意
练习
设 f (u) 可微, 且
f(1 1) 11 , yx zx
二、多元函数微分法的应用方法指导
1. 偏导数的几何应用 ( P256-P257 )
(1)
空间曲线的切线和法平面
参数方程情形
一般方程情形
• 光滑曲线
在 时对应
点
处的方向向量为
• 光滑曲线 向量为
在点
处的方向
x
yz
(2) 空间曲面的切平面和法线
隐式方程情形
显式方程情形
• 光滑曲面
在点
在边界
与
上
f (x, y) 0
y
在边界
,即
上,
o
x
令
,得
为该边界上的极小值点 , 极小值 f (4,2) 64 经比较 f 在 D 上的最大值为 f (2,1) 4 f (x, y) x2 y(4 x 最y小) 值 f (4,2) 64
求
x2 z y2 z x y
( 京1996 竞赛题 )
提示: 利用全微分法 , 有
d z z2 (1 f ) d x z2 f d y
x2
y2
z x
Hale Waihona Puke z y代入原式 , 得 z2
例5. 设变换 转化为
可把方程 6 2 z 2 z 2 z 0 x2 x y y 2
圆锥面上过点 M 的母线的方向向量为
且
故 与 夹角 的余弦为
cos s1 s2
s1 s2
2z2
2 = 常数
3z2 2z2
6
故本题结论成立 。
例9.设函数F 可微,试证曲面
的
所有切平面通过一定点 . (上交大1998)
证: 对曲面方程两边取微分, 得
F1
F2
y
x
2y x2
f
2y x
(1
y2 x2
)
f
2 y f x
(3)
z
f
(x ,
y2 )
x
2z x y
2 x
y
2
f2
2y x
(
)
例2 设函数
在点
处可微 , 且
f (1,1) 1,
f x
(1,1)
2,
f y
(1,1)
3,
(x) f ( x, f ( x, x )),
第十二讲（2）
多元函数微分法 及其应用
一、多元函数微分法方法指导
1. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法
先代后求 先求后代 利用定义
求高阶偏导数的方法
逐阶求导法
(当高阶混合偏导数连续时,与求导顺序无关, 应选择简便的求导顺序)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 复合函数结构 显式结构 隐式结构
例5.设变换
转化为 2 z
u v
0
x x
2 a
y y
可把方程
6
2z x2
, 求常数 a . ( 考研1996,
2z x y
P272
2z y2
题18 )
0
uv
代入原方程 , 得
2z u v
2z 0
v2
依题意应有
,得 a=3.
说明: 由变换后的方程易求得 :
dz
F1 F1 F2
dx
F2 F1 F2
dy
z x
F1 F1 F2
,
z F2 y F1 F2
设函数 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数, 求 z , z . x y
a
例10. 求二元函数
在由直线