五年级数学替换法解决问题——等量代换
用“等量替换法”巧解数学问题
并令əFəx=y+z+λ=0əFəy=x+z+λ=0əFəz=x+y+λ=0əFəλ=x+y+z-6=0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐解之得唯一解x=y=z=2，λ=-4因为F（x，y，z，λ）有最大值F（2，2，2，-4）=12所以∀x，y，z∈R+，F（x，y，z）=xy+yz=zx≤12当我们构造好函数F（x）后，求出在指定区间上的最大值M最小值m，则有m≤F（x）≤M.4利用积分的性质命题4：（柯西—施瓦茨不等式）设f（x），g（x）在[a，b]上均连续，则[ba∫f（x）g（x）dx]2≤b a∫f2（x）dx b a∫g2（x）dx例4：设f（x）在[0，1]上连续，试证1∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx＞1证明：因为f（x）在[0，1]上连续，所以e f（x），e-f（x）在[0，1]上连续，且恒为正于是（1∫e f（x）√e-f（x）√dx）2＜10∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx 即（1∫dx）2≤10∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx所以1∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx≥1.参考文献：[1]蔡兴光,郑列.高等数学应用与提高[M].北京:北京科学出版社, 2002.[2]何卫力.高等数学方法引导[M].北京:清华大学出版社,2004.等量替换法是数学解题中常用到的一种方法，通常当原有数学问题较为复杂，数量关系不够简单时用这种方法，可以使问题变得明了而简单化，易于解答或计算。
下面我们来看几个实例。
一、用“等量替换法”解答文字题例：甲乙两数的和是245，甲数的2倍与乙数的2倍之和是多少？分析：这道题的已知条件是：甲数+乙数=245，而问题的列式是：甲数×2+乙数×2，乍一看，要求得结果，就要分别知道甲是多少，乙是多少。
而甲，乙分别是多少？已知中并未告诉，也没办法去求。
我们不妨把问题的算式来个等量变换：甲数×2+乙数×2=（甲数+乙数）×2[乘法分配律]，这时用“245”来替换“甲数+乙数”就可以得出结果。
思维拓展第1讲《等量代换》(教案)五年级上册数学人教版
思维拓展第1讲《等量代换》教案一、教学目标1. 让学生理解等量代换的概念，知道什么是等量代换。
2. 培养学生运用等量代换方法解决问题的能力。
3. 培养学生观察、分析、推理和判断的能力。
二、教学内容1. 等量代换的概念。
2. 等量代换的方法。
3. 等量代换的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握等量代换的方法，能够运用等量代换解决问题。
2. 教学难点：如何引导学生观察、分析问题，找到等量关系，进行等量代换。
四、教学过程1. 导入新课利用图片或实物导入，让学生观察并发现等量关系，引出等量代换的概念。
2. 讲解等量代换的概念通过实例讲解等量代换的概念，让学生理解什么是等量代换。
3. 讲解等量代换的方法通过实例讲解等量代换的方法，让学生掌握如何进行等量代换。
4. 练习等量代换让学生进行课堂练习，巩固等量代换的方法。
5. 讲解等量代换的应用通过实例讲解等量代换在实际问题中的应用，让学生学会如何运用等量代换解决问题。
6. 总结与拓展对本节课所学内容进行总结，并进行拓展，让学生了解等量代换在其他领域的应用。
五、课后作业1. 让学生完成课后练习题，巩固等量代换的方法。
2. 让学生观察生活中存在的等量代换现象，进行记录和分析。
六、教学反思1. 教师要关注学生在课堂上的参与程度，及时调整教学策略，提高学生的学习兴趣。
2. 在讲解等量代换的应用时，教师要注重引导学生观察、分析问题，培养学生的解决问题的能力。
3. 教师要关注学生的学习反馈，及时解答学生的疑问，帮助学生掌握等量代换的方法。
通过本节课的教学，让学生掌握等量代换的方法，培养学生的观察、分析、推理和判断的能力，为今后的学习打下基础。
在以上提供的教案中，需要重点关注的细节是“教学过程”部分，特别是“讲解等量代换的方法”和“讲解等量代换的应用”。
这两个环节是学生理解和掌握等量代换概念的关键，也是培养学生解决问题能力的重要步骤。
下面将对这两个重点细节进行详细的补充和说明。
等量代换练习题五年级
等量代换练习题五年级在五年级数学学习中，等量代换是一个重要的概念，它是解决数学问题的关键步骤之一。
为了帮助五年级的学生更好地理解和掌握等量代换，下面我将为大家提供一些练习题，帮助大家熟练掌握这一概念。
1. 甲班有24名男生和16名女生，乙班有32名男生，男生人数一样，请问乙班有多少名女生？解析：由题意可知，甲班男生人数是固定的，为24人。
所以，乙班男生人数也应为24人。
乙班男生人数为32人，那么乙班女生人数为32-24=8人。
2. 甲班和乙班一共有48名学生，甲班比乙班多18名学生，请问乙班有多少名学生？解析：设乙班学生人数为x人，则甲班学生人数为x+18人。
根据题意可得出方程x+x+18=48。
解方程可以得到x=15。
所以，乙班学生人数为15人。
3. 一支队伍原有35名队员，其中男队员和女队员的比例是2:3。
后来有15名队员加入，其中男女队员的比例是1:2，请问此时该支队伍中男队员的人数是多少？解析：设男队员人数为2x，女队员人数为3x。
根据题意可得出方程2x/(3x+35+15) = 1/3。
解方程可以得到x=10。
所以，男队员人数为2x=2*10=20人。
4. 小明用了38元买了一本书和一支笔。
已知一本书比笔多花了18元，请问一支笔的价格是多少？解析：设一支笔的价格为x元，则一本书的价格为x+18元。
根据题意可得出方程x+(x+18)=38。
解方程可以得到x=10。
所以，一支笔的价格为10元。
5. 一袋玩具里有红球、蓝球和绿球，红球数一半比蓝球数多4个，蓝球数比绿球数少9个，红球、蓝球和绿球的总数是多少？解析：设红球数为x，蓝球数为y，绿球数为z。
根据题意可得出方程x=1/2y+4，y=z+9，x+y+z=总数。
通过解方程可以得到红球数x=20，蓝球数y=29，绿球数z=20+9=29。
所以，红球、蓝球和绿球的总数为20+29+29=78个。
通过以上练习题，希望大家能够更加熟练掌握等量代换的概念，并能够灵活运用到实际的数学问题中。
置换(代换)问题—2022-2023学年五年级数学思维拓展(解析)
2022-2023学年小学五年级思维拓展专题置换(代换)问题知识精讲专题简析：置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1.根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2.把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
典例分析【典例01】20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
【思路引导】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，那么，20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等。
132÷(25+30)=2.4元，即每千克梨2.4元。
知道了梨的单价，再求苹果的单价就方便了。
苹果的单价是：(132-2.4×30)÷20=3元。
【典例02】用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？【思路引导】因为大水泵2小时的抽水量等小水泵5小时的抽水量，所以，大水泵8小时的抽水量应该等于小水泵8÷2×5=20小时的抽水量。
因此，312立方米的水就相当于小水泵(6+20)小时的抽水量了。
小水泵每小时抽水是312÷(6+20)=12立方米，大水泵每小时抽水12×5÷2=30立方米。
【典例03】一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？【思路引导】把题中两组已知条件进行对比，甲少做(5-3)小时，乙就要多做(9-3)小时，也就是甲2小时的工作量和乙6小时的工作量相等，甲1小时的工作量和乙3小时的工作量相等。
五年级奥数专题 等量代换(学生版)
学科培优数学等量代换学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位等量代换。
用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。
“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替,它是数学中一种基本的思想方法,也是代数思想方法的基础.数学思想方法不仅有着广泛的应用,而且是今后进一步学习数学的基础。
知识梳理1本讲通过图形和文字形式锻炼学生的代数思想,在授课过程中,尽量用图形文字来表示数字,对高水平的学生可以尝试使用字母。
2.重点难点解析寻找等量关系3.竞赛考点挖掘较难等量代换和代数方法的综合4．英国某家报纸曾举办一项高额奖金的有奖征答活动。
题目是：在一个充气不足的热气球上,载着3位关系人类兴亡的科学家。
第一位是环保专家,他的研究可拯救无数人免于因环境污染而面临死亡的噩运。
第二位是原子专家,他有能力防止全球性的原子战争,使地球免于遭受灭亡的绝境。
第三位是粮食专家,他能在不毛之地运用专业知识成功地种植谷物,使几千万人脱离因饥荒而亡的命运。
此刻热气球即将坠毁,必须丢出一个人以减轻载重,使其余2人得以生存。
请问,该丢下哪一位科学家？问题刊出后,因为奖金的数额相当庞大,各地答复的信件如雪片飞来。
在这些答复的信中,每个人皆竭尽所能,甚至天马行空地阐述他们认为必须丢下哪位科学家的见解。
最后结果揭晓,巨额奖金得主是一个小男孩。
他的答案是——将最胖的那位科学家丢出去。
小男孩睿智而幽默的答案,是否给我们以足够的提醒：单纯的思考方式,往往比钻牛角尖更能获得良好的成功。
任何疑难问题的最好的解决方法,只有一种,就是能真正切合该问题所需求的,而非惑于问题本身的盲目探讨。
一位农场主巡视谷仓时,不慎将—只名贵的手表遗失在谷仓里。
他遍寻不获,便定下赏价,承诺谁能找到手表,就给他50美元。
人们在重赏之下,都卖力地四处翻找,可是谷仓内到处都是成堆的谷粒,要在这当中找寻—只小小的手表,谈何容易。
许多人一直忙到太阳下山,仍一无所获,只好放弃了50美元的诱惑而回家了。
等量代换ppt课件课件
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代数式中的等量代换技巧
掌握代数式中的等量代换技巧，如合并同类项、提取公因式、分式的通分等，能够提高代数运算的效率和准确性。
复杂图形中的等量代换
图形中的等量代换
在几何图形中，可以通过等量代换来 证明某些性质或关系。例如，在三角 形中，可以通过等量代换证明某些边 或角的关系。
图形中的等量代换技巧
掌握图形中的等量代换技巧，如利用 相似三角形的性质、利用平行四边形 的性质等，能够提高几何证明的效率 和准确性。
数表达式在替换后仍然相等。
图形中的等量代换
在几何图形中，等量代换通常是指通过替换图形中的某些部分，使其变为另一个等 面积或等周长的图形。
例如，在三角形中，可以通过等量代换将一个边替换为与其相邻的两段相等的小段， 从而形成一个新的三角形。
在进行图形中的等量代换时，需要注意保持图形的整体性质不变，如面积、周长等。
03
等量代换的方法与技巧
代数表达式中的等量代换方法
01
代数表达式中的等量代换
在代数表达式中，如果两个量相等，可以用一个量代替另一个量，从而
简化表达式。例如，在方程中，如果两个未知数相等，可以互相替换。
02 03
具体操作
在代数表达式中，如果两个量相等，可以将其中一个量用另一个量表示， 从而简化表达式。例如，如果$a = b$，则可以将$a$替换为$b$或将 $b$替换为$a$。
生活中的等量代换
在生活中，我们经常需要将一种物品或事物等价地替换成另一种物品或事物。例如，在购 物时，我们可以用一种物品的价格来估算另一种物品的价格。
具体操作
在生活中，如果两种物品或事物的价格相等或相似，可以用一种物品的价格来估算另一种 物品的价格。例如，在购物时，如果知道苹果的价格，可以用苹果的价格来估算梨的价格 。
五年级奥数第25讲-置换问题(教)
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：五年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题 第25讲-等量代换授课类型 T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标 1、学会分析题意并且熟练的找出题目中存在的量之间的关系；2、掌握置换问题的解题思路与方法。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1，根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法； 2，把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
例1、20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，求苹果和梨的单价。
【解析】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，则20千克苹果相当于25千克梨，这样就把两种数量转化为一种数量了，先计算梨的单价是：132÷（25＋30）＝2.4（元） 苹果的单价：（132-2.4×30）÷20=3（元）例2、3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1只小花猫等于3只鸭的重量，1只狗重9千克，1只猫与1只鸭各重多少千克？知识梳理典例分析P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、一个苹果和一个犁共重250克，一个苹果和一个桔子共重180克，一个梨和一个桔子共重230克，算一算，一个苹果，一个梨，一个桔子各重多少克？【解析】梨和桔子重230g + 一个苹果和一个梨共重250g =2梨和1苹果1桔子=480g因为苹果和桔子共重180g所以梨=（480-180）÷2=150g因为一个苹果和一个梨共重250g所以苹果=250-150=100g因为苹果和桔子共重180g所以桔子=180-100=80g因此：梨150g,苹果100g,桔子80g.2、6只鸡和8只羊共重78千克，已知5只鸡的重量和2只羊的重量相等。
《解决问题的策略-等量替换》教学课件ppt
学习卡2：假设把720毫升果汁全部倒入大杯，
一共可以倒满（ 3 ）个大杯。
720毫升
列式解答：
换来大杯：6÷3=2（个） 大杯个数：2+1=3（个） 大杯容量：720÷3＝240（毫升） 小杯容量：240÷3=80（毫升）
检验：
检验方法：
240＋ 80× 6＝720毫升
同时满足两个条件：
80÷240＝
学习卡1：假设把720毫升果汁全部倒入小杯， 一共可以倒满（ ）个小杯。
列式解答：
720毫升
检验：
学习卡2：假设把720毫升果汁全部倒入大杯， 一共可以倒满（ ）个大杯。
列式解答：
720毫升
检验：
学习卡1：假设把720毫升果汁全部倒入小杯，
一共可以倒满（ 9 ）个小杯。
720毫升
列式解答：
换来小杯：1×3=3(个） 共有小杯：6＋3=9(个） 小杯容量：720÷9＝80（毫升） 大杯容量：80×3＝240（毫升）
720 ÷ 3 = 240 （ml） 答：每个小杯的容量是240毫升。
小明把720毫升果汁倒入6个小 杯和1个大杯，正好都倒满。 小杯的容量是大杯的 1。小杯
3
和大杯的容量各是多少毫升？
720毫升
温馨提示1：自学课本68页例 1，小组讨论，理解：
“小杯的容量是大杯的
1 3”温馨提源自2：自学课本68 页，选择一种方法解决 这道题目，完成一种学 习卡，然后小组交流。
解决问题的策略
—— 等量替换
曹 冲 称 象
曹冲利用石头替换大象的策略
解决了生活中难题！
1.小明把720毫升果汁倒入9个同样的 小杯中，正好都倒满，每只小杯的容 量是多少毫升？
小学数学概念-等量代换
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4
举例（三）
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5
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6
1千克 1千克 1千克 1千克
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7
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8
1千克
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9
两个重量相等的物体可以互相代换
1千克 1千克 1千克 1千克
1千克
怎么代换呢？
?个
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1千克 1千克 1千克 1千克
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1千克 1千克 1千克
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1千克 1千克
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1千克
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1个西瓜的重量=16个苹果的重量
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11 11 千千 千千 克克 克克
11 11 千千 千 千 克克 克 克
1个西瓜的重量 = 16个苹果的重量
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总结
从以上这些例子中，我们发现了重量相等、 价钱相等… …这些相等的量之间都可以代换， 并且能解决生活中的许多问题。等量代换 是一种非常重要的数学思想方法，对我们 今后的学习有非常大的帮助！
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等量代换
明日之星小组
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1
定义
等量代换：用一种量（或一种量的一部分） 来代替和它相等的另一种量（或另一种量 的一部分）。
公式：a=b b=c
a=c
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2
举例（一）
和丙一样高。
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举例（二）
换成
一张10元 = 2张5元
换成
1瓶3元的可乐=3瓶1元的矿泉水
五年级奥数：第21讲 用等量代换求面积
五年级奥数：第21讲用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
五年级奥数第25讲等量代换(教师版)
五年级奥数第25讲等量代换（教师版）学会分析题意并且熟练的找出题目中存在的量之间的关系；掌握置换问题的解题思路与方法。
置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量,从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1,根据数量关系把两种数量转换成一种数量,从而找出解题方法；2,把两种数量假设为一种数量,从而找出解题方法。
例1、20千克苹果与30千克梨共计132元,2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等,求苹果和梨的单价。
【解析】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等,则20千克苹果相当于25千克梨,这样就把两种数量转化为一种数量了,先计算梨的单价是：132÷（25＋30）＝2.4（元）苹果的单价：（132-2.4×30）÷20=3（元）例2、3只小花猫的重量等于1只狗的重量,1只小花猫等于3只鸭的重量,1只狗重9千克,1只猫与1只鸭各重多少千克？【解析】抓住突破口,利用倒推逐步推理．3只猫等于1只狗的重量,1只狗重9千克,3只猫也就重9千克,933÷=（千克）,所以1只猫就等于3千克．1只猫等于3只鸭的重量,1只猫重3千克,3只鸭也就重3千克．331÷=（千克）,所以1只鸭等于1千克．教学目标知识梳理典例分析例3、一只小猴重4千克,一只小猴的重量等于两只小兔的重量,两只小兔的重量等于4只小猫的重量．一只小兔和一只小猫的重量共多少千克？【解析】一只小猴的重量等于两只兔子的重量,这样可以求出一只兔子的重量．而两只兔子的重量等于4只小猫的重量,可以求出一只小猫的重量．最后一只小兔和一只小猫的总重量就求出来了．一只兔子的重量：422÷=(千克）,一只小猫的重量：441÷=(千克),一只小兔和一只小猫的总重量：213+=(千克)例4、某菜站运来西红柿和黄瓜共重1660千克,已知运来的西红柿的重量比黄瓜重量的3倍少60千克,菜站运来的西红柿和黄瓜各多少千克？【解析】由题意可知：西红柿的重量=3×黄瓜的重量-60kg西红柿的重量+黄瓜的重量=1660kg3×黄瓜的重量+黄瓜的重量=1660kg+60kg因此：黄瓜的重量=1720÷4=430kg；西红柿的重量=1660-430=1230kg。
《等量代换》 知识清单
《等量代换》知识清单一、什么是等量代换等量代换是数学中一种基本的思想方法，指的是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。
简单来说，就是在等式中，如果两个量相等，那么可以用其中一个量去替换另一个量。
例如，如果我们知道 2 个苹果的重量等于 1 个西瓜的重量，那么当需要计算 4 个苹果的重量时，就可以通过等量代换，得出 4 个苹果的重量等于 2 个西瓜的重量。
等量代换的核心在于找到两个相等的量，并明确它们之间的替换关系。
二、等量代换的应用场景1、解决数学运算问题在加减法运算中，等量代换可以帮助我们简化计算。
比如，已知 A ＋ B ＝ 10，B ＝ 3，那么我们可以通过等量代换，将 B 的值代入第一个式子，得出 A ＋ 3 ＝ 10，从而计算出 A ＝ 7。
在乘法运算中，也经常用到等量代换。
例如，若 3×C ＝ 18，那么通过等量代换，可以得出 C ＝ 6。
2、几何图形中的应用在几何图形中，等量代换常用于求图形的面积、周长等。
比如，两个三角形等底等高，那么它们的面积相等。
如果已知一个三角形的面积和相关条件，就可以通过等量代换求出另一个与之等底等高三角形的面积。
3、实际生活中的运用在购物时，如果知道不同商品之间的价格等价关系，就可以通过等量代换来比较不同组合商品的价值。
在工程测量中，当无法直接测量某个长度或距离时，可以通过与已知长度或距离建立等量关系，从而间接得出所需测量的值。
三、等量代换的原则1、相等性原则进行等量代换的两个量必须是相等的，这是最基本的前提。
2、可替换性原则等量的量必须是在相同的条件和环境下可以相互替换的。
3、等量传递原则如果 A ＝ B，B ＝ C，那么 A ＝ C。
通过这种传递关系，可以进行多次等量代换。
四、等量代换的步骤1、观察与分析首先要仔细观察题目中给出的条件和关系，确定哪些量是相等的，以及它们之间的联系。
2、确定替换量根据观察和分析的结果，明确要进行替换的量。
《等量代换》 知识清单
《等量代换》知识清单一、什么是等量代换等量代换是数学中一种非常重要的思想方法。
简单来说，就是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量。
比如说，我们知道一个苹果的重量等于两个橘子的重量，而两个橘子的重量又等于三个草莓的重量。
那么通过这样的关系，我们就可以得出一个苹果的重量等于三个草莓的重量。
这就是等量代换的基本概念。
等量代换的核心在于“相等”这个概念。
只有当两种量在某种程度上是相等的，我们才能够进行代换。
二、等量代换的应用场景1、解决数学问题在数学的各种题型中，等量代换都有着广泛的应用。
例如，在求解方程时，如果方程中有多个未知数，我们可以通过已知的等量关系，将其中一个未知数用其他未知数表示出来，从而简化方程，便于求解。
又如，在几何图形中，当已知某些线段或角度之间的等量关系时，我们可以通过代换来求出未知的线段长度或角度大小。
2、日常生活中的应用等量代换不仅仅在数学课堂上有用，在日常生活中也随处可见。
比如，去超市购物，我们知道一瓶大瓶饮料的价格等于两瓶小瓶饮料的价格，那么在比较购买哪种更划算时，就可以运用等量代换的思想。
再比如，在装修房屋时，如果知道一块大瓷砖的面积等于两块小瓷砖的面积，那么在计算所需瓷砖数量时，也能用到等量代换。
三、等量代换的基本原理1、等式的性质等量代换的基础是等式的性质。
等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立。
2、等价关系等量代换所依据的是量与量之间的等价关系。
这种等价关系可能是通过测量、计算或者已知的定理、规律等确定的。
四、等量代换的步骤1、确定等量关系首先，需要仔细观察和分析题目中给出的各种量之间的关系，找出明确的等量关系。
2、选择代换对象根据等量关系，确定要进行代换的量。
通常选择比较容易代换且能够简化问题的量。
3、进行代换计算将选定的量用与之相等的量进行代换，然后进行相应的计算或推理。
4、检查结果完成代换和计算后，要检查结果是否符合题目要求，是否合理。
五年级等量代换练习题
五年级等量代换练习题1. 某班的男生和女生人数之比为3:4，男生人数比女生人数少20人，求班级男生和女生各有多少人？解：设男生人数为3x，女生人数为4x。
根据题意，有等量代换的关系：3x = 4x - 20将等式化简，得到：x = 20代入原式，可得男生人数为3x = 3*20 = 60人，女生人数为4x =4*20 = 80人。
答案：班级中男生人数为60人，女生人数为80人。
2. 一包邮票中，有1元、2元、5元的邮票，共7张，总面值28元。
已知1元邮票张数是2元邮票张数的2倍，那么1元邮票、2元邮票和5元邮票各有多少张？解：设1元邮票张数为x，2元邮票张数为2x，5元邮票张数为y。
根据题意，可以列出等式：1x + 2*2x + 5y = 28化简得到：5x + 5y = 28又已知1元邮票张数是2元邮票张数的2倍，即x = 2y将x = 2y代入等式，得到：5(2y) + 5y = 28化简得到：15y = 28解方程可得y = 28 / 15 = 1.87 ≈ 2代入原等式，可得x = 2y ≈ 2*2 = 4答案：1元邮票有4张，2元邮票有8张，5元邮票有2张。
3. 一个长方形的长比宽多1，长宽的和是90，求长和宽各是多少？解：设长方形的宽为x，因为长比宽多1，所以长为x+1。
根据题意，有等量代换的关系：2(x + x + 1) = 90化简得到：4x + 2 = 90解方程可得：4x = 88x = 22代入原等式，可得长为x+1 = 22+1 = 23答案：长方形的长为23，宽为22。
4. “买三送一，买五送三”的优惠活动，小明购买了一些商品，用了12张优惠券后，实际购买了36件商品。
请问小明购买了多少件商品？解：假设小明购买了x件商品。
根据题意，购买3件商品可以得到1张优惠券，购买5件商品可以得到3张优惠券。
假设小明购买了3A件和5B件商品，其中A和B为正整数。
根据等量代换，可以列出等式：3A + 5B - 12 = 36化简得到：3A + 5B = 48由此，我们可以列出以下等式：3A = 48 - 5BA = (48 - 5B)/3通过枚举B的值，我们可以得到 A 的值，同时需要保证 A 和 B 都是正整数。
小学数学《常规应用题的解题思路—等量代换法》ppt
巩固练习
1、一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3 只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪 的重量等于几只鸭的重量？ 2. 学校买来4张办公桌和9把椅子共用 504元，已知1张桌子和3把椅子的价钱 相等，求每张桌子，每把椅子各多少元？ 3、一支钢笔能换3支圆珠笔，4支圆珠笔 能换7支铅笔，那么4支钢笔能换（ ）支 铅笔
根据题意，我们列出算式：除数+被除数=126，这个算 式中含有“除数”和“被除数”两个未知数，根据被除数= 除数×商+余数，按题中的已知条件，商14，余数6，所以， 被除数=14×除数+6，我们应用等量代换法，把“14×除数 +6”去代换掉“除数+被除数=126”这个算式中的“被除数”， 得算式：除数+14×除数+6=126。这样，这个算式中就只有 “除数”这个未知数了。
常规应用题的解题思路 —等量代换法
知识要点
所谓“等量代换法”，是指一个量用与它相等的量去代替， 也就是针对算式中的某一个未知数，用与它相等的量去代换 它，从而“消去”这个未知数，使这个算式中只含有一个未 知数，使算式变得简单，很快算出答案。
例如，一道有余数的除法，商是14，余数是6，已知被 除数和除数的和为126，那么，被除数和除数分别是多少？
【变式题1】
甲、乙两个书架上共有Байду номын сангаас84本书，甲 书架上的书比乙书架上的书少88本。 两个书架上各有多少本书？
【例2】
3双皮鞋和7双运动鞋共值1122元，一双皮鞋的钱数与5双运 动鞋的钱数相同。求每双皮鞋、运动鞋各值多少钱？
【思路点拨】解：因为1双皮鞋与5双运动鞋的钱数相同，所 以3双皮鞋的钱数与5×3=15（双）运动鞋的钱数一样多。
【例1】
小学奥数经典解题技巧：等量代换法(附例题)
“等量代换”法：两个完全相等的量，可以相互代换。
解决数学问题，常常可以用到这类思考方法。
例1：已知：△+○=24，○=△+△+△，求△=?○=?解析：将两个等式编号：△+○=24 (1)○=△+△+△ (2)将(1)式中的○用(2)式中的3个△代替得△+△+△+△+=24∴△=24÷4=6，又○=6+6+6=18.例2：已知：(见下图)求：一个□等于几个○解析：由已知的天平图改写成等式：2×△=6×○ (1)3×□=3×△ (2)由(1)式得：△=3×○ (3)由(2)式得：□=△ (4)将(3)式代入(4)式得：□=3×○，即一个□等于3个○.例3：已知：(见下图)求：最大的球的重量是多少克?解析：由图(1)得：3●=2●+48，所以●=48(克).由图(2)得：3○=2●，即：3○=2×48，所以○=2×48÷3=32(克).由图(3)得：○=4○=4×32=128(克).例4：一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍.问买30支活动铅笔的钱能买几支钢笔?解析：方法1：列出下列等式：1支钢笔=5支铅笔 (1)改写30支铅笔=6×5支铅笔 (2)把(1)式代入(2)式得：30支铅笔=6×1支钢笔=6支钢笔.方法2：用字母x代表1支钢笔的价钱，用字母y代表1支铅笔的价钱，依题意可列出等式：x=5y因为30y=6×5y用x代替5y得30y=6x.说明：x=1×x省略了1和“×”号即表示1个x;5y=5×y，省略了“×”号，即表示5个y.例5：已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量.问多少个李子的重量等于1个桃子的重量?解析：由题意列等式：13李=2苹+1桃 (1)4李+1苹=1桃 (2)把(2)式代入(1)式得：13李=2苹+4李+1苹即 9李=3苹;即 3李=1苹 (3)把(3)式代入(2)式得4李+3李=1桃即 7李=1桃即 7个李子重量等于1个桃子的重量.例6：如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量.问这条鱼有多少公斤重?解析：依题意列出下列等式：尾=4 (1)头=尾+身÷2 (2)身=头+尾(3)由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等所以把(2)式两边同乘以2得：2头=2尾+身 (4)把(3)式代入(4)式得：2头=2尾+头+尾即：头=3尾=3×4=12(公斤)身=头+尾=12+4=16(公斤)全鱼=头+身+尾=12+16+4=32(公斤).训练：1、看下图，右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡.解析：1只小兔的重量等于6只鸟的重量，右边要放6只鸟，跷跷板才能保持平衡.2、水果兄弟们也组成了各种不同的图文算式，它们各代表一个数，你能猜出它们各代表几吗？解析：这是一个很基础的题，通过这个题的练习，可让学生初步掌握代换的方法，为后面的学习打下基础.（1）因为，所以，又因为3+3+3=9，所以=3.（2）根据，想12+8=20，那么可以推出，因为4+4=8，所以可以得出一个=4.（3）因为，，这样我们可以得出=5+5+5+5=20.（4）根据得，观察算式，就相当于没加也没减还得0，这样我们就可以得出=25.3、你能根据下面的三个算式，算出●、▲、■各代表什么数吗？解析：根据第一个算式11-4=●，我们可以得出●=7；把●=7代入到第二个算式●-5=▲，可得7-5=▲，这样可以得出▲=2，最后根据第三个算式我们就能得出■=7+2=9.4、和是一对好朋友，它们各代表一个数，你知道它们是几吗？解析：从第一个算式可以看出西瓜比菠萝大6，而菠萝加上西瓜又得12，我们把10以内符合要求的数分组列举：10和4，9和3，8和2，7和1，发现只有9+3=12符合要求，所以西瓜=9，菠萝=3.。
五年级数学等量代换
五年级数学等量代换一、等量代换的概念。
1. 定义。
- 在数学中，等量代换是指一个量用与它相等的量去代替。
例如，如果我们知道a = b，b = c，那么就可以得出a = c。
这就像用一个东西去替换另一个和它价值相等的东西一样。
2. 简单示例。
- 假如1个苹果的重量等于2个桔子的重量，1个桔子的重量等于3颗葡萄的重量。
那么1个苹果的重量就等于2×3 = 6颗葡萄的重量。
这里我们把桔子这个中间量，利用它与苹果和葡萄的等量关系，进行了代换。
二、在等式中的应用。
1. 等式性质与等量代换。
- 在等式中，如果a=b，那么在一个包含a的算式中，可以用b来代替a，反之亦然。
- 例如：已知x + 3=5，又知道y=x + 3，那么根据等量代换就可以得出y = 5。
2. 解方程组中的等量代换。
- 在简单的方程组中，等量代换是一种重要的解题方法。
- 例如：x + y=10 x = 4 + y- 我们可以把第二个方程x = 4 + y代入第一个方程中，得到(4 + y)+y = 10。
- 然后先计算括号内的式子4 + 2y=10，接着2y = 10 - 4，2y = 6，解得y = 3。
- 再把y = 3代入x = 4 + y中，得到x = 4+3 = 7。
三、在几何图形中的应用（如果有涉及到）1. 面积等量代换。
- 比如在一个长方形和一个平行四边形中，如果长方形的长和平行四边形的底相等，长方形的宽和平行四边形的高相等。
- 因为长方形的面积公式S =长×宽，平行四边形的面积公式S =底×高，那么根据等量代换，这个长方形和平行四边形的面积相等。
2. 体积等量代换（可能会在拓展内容中）- 例如一个正方体和一个长方体，如果正方体的棱长与长方体的长、宽、高都相等。
- 正方体的体积公式V =棱长×棱长×棱长，长方体的体积公式V =长×宽×高，根据等量代换可知它们的体积相等。
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10橘+15苹=110元 3橘=1苹
45橘
110÷（15÷1×3＋10）＝2元
45橘=15苹
2×3÷1＝6元/（110－10×2）÷15＝6元
买2束百合花和12枝玫瑰花 共付了42元，已知一束百合花和 8枝玫瑰花的价钱相等。一束百 合花和一枝玫瑰花各多少元？
一辆卡车正好装满了12箱苹 果和25箱桔子，搬下3箱苹果后， 空下的地方正好能放5箱桔子。 这辆卡车如果全部装桔子能比全 部装苹果多装几箱？
王老师买笔奖励给三好学 生，他所带的钱正好可以买4支 圆珠笔和5支钢笔，或者可以买 3支钢笔和10支圆珠笔。如果王 老师已经买了1支钢笔，那么剩 下的钱还可以买多少支圆珠笔？
2百合+12玫瑰=42元 1百合=8玫瑰 16玫瑰
2百合=16玫瑰
快、慢两车先后从相距864千 米的两地相向而行，快车行12小 时，慢车行4小时后，两车在途中 相遇，已知快车6小时行的路程与 慢车7小时行的路程相等。求快、 慢两车的速度各是多少？
体育老师买回4个篮球和5个 排球，一共用去185元，已知一 个篮球比一个排球贵8元。篮球 与排球的单价各是多少元？
某工程队有甲、乙两台挖土 机，甲先挖4小时，然后甲和乙 一起挖10小时，总共挖土600立 方米，已知甲比乙每小时多挖土 6立方米。求甲、乙每小时各挖 土多少立方米？
小明去买同一种笔和同一种 橡皮，所带的钱能买8支笔和4块 橡皮，或者能买6支笔和12块橡 皮。如果小明将带的钱全部买笔， 他能买多少支？
已知2支钢笔的价钱和3支圆 珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比 一支钢笔便宜6元。两种笔的单 价各是多少元？
师徒二人加工同样多的零件， 师傅用了3小时，徒弟用了5小时， 已知师傅每小时比徒弟多加工6 个零件。师徒二人每小时各加工 多少个零件？
小米和小华带了同样多的钱， 小米买了3个足球、小华买了10 根跳绳后，两人剩下的钱正好相 等，已知一个足球的钱比两根跳 绳的钱还多11.2元。求足球和跳 绳的单价各是多少？
商店运来7箱苹果，每箱质 量相同，从每箱中取出12千克， 余下的质量正好跟原来3箱的质 量相等。商店共运来苹果多少千 克？
一辆卡车最多能载40袋大米 和40袋面粉，或者最多能载10袋 大米和100袋面粉。现在车上已 载有20袋大米，5 小时后再由小水泵抽3小时可以抽完； 或者用小水泵抽9小时后再由大水泵 抽也是3小时可以抽完。那么大水泵 先抽1小时后再由小水泵来抽，要用 多长时间能抽完？
一个笼子能容纳18只同样大 的兔子和9只同样大的鸡，或者 容纳14只同样大的兔子和15只同 样大的鸡。如果用这个笼子来全 部装这样的兔子，能装多少只？
妈妈去水果店买苹果和梨，带 的钱可以买苹果6千克和梨16千克， 或者可以买苹果9千克和梨12千克。 如果全部的钱只买苹果或只买梨各 可以买多少千克？