高数第九章 隐函数求导
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。
1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。
4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。
高等数学第九章第五节 隐函数的求导公式
例5 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u，u，v 和v . x y x y
作业
P89. 1,2,3,10(1,2)
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y x
y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 ,
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导
数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u u( x, y)，v v( x, y)，它们满足条件
u0 u( x0 , y0 ),v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
隐函数的求导公式法
隐函数的求导公式法
隐函数是一类特殊的函数，其函数值由方程给出，而非显式地给出。
对于隐函数，我们需要使用求导公式法来求导。
首先，我们需要了解隐函数的定义。
如果在一个方程中，一个或多个变量被表示为其他变量的函数，那么这个方程就是隐函数。
例如，考虑方程 (F(x, y) = 0)，其中 (F) 是可微的。
我们可以使用隐函数求导公式来求 (y) 关于 (x) 的导数。
隐函数求导的一般步骤如下：
1.对方程 (F(x, y) = 0) 进行全微分，得到 (dF = 0)。
2.利用全微分的性质，将 (dF = 0) 改写为关于 (x) 和 (y) 的偏微分方
程组。
3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式。
4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数。
下面是一个具体的例子：
考虑隐函数 (F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0)。
1.对方程进行全微分，得到 (dF = 2x dx + 2y dy = 0)。
2.将 (dF = 0) 改写为偏微分方程组：(\begin{cases}2x dx + 2y dy = 0
\ dx = - \frac{2y}{2x} dy\end{cases})。
3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式：(y = \pm
\sqrt{1 - x^2})。
4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数：(y' =
\mp \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}})。
隐函数求导详细过程
隐函数求导详细过程对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
一、一个方程的情形=0 (1)求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有(2) 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。
现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式,其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得由于连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内，于是得如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。
解设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。
下面求这函数的一阶和二阶导数=，;=。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程()=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程()=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有=,=. (4) 这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于(, )≡0,将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得+=0, +=0。
高数下隐函数求导
第五节 隐函数的求导公式一、一个方程的情形隐函数存在定理1：设函数()y x F ,在),(000y x P 的某邻域内有 连续的偏导数，且()()0,,0,0000≠=y x F y x F y ，则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数()x f y =，他满足条件()00x f y =，并 且yx F F dx dy-= 说明：无妨设()x f y =，代入方程()0,=y x F 得()[]0,≡x f x F两边关于x 求导得：0≡+dxdy F F y x ，所以yx F F dx dy-=。
例1：设0sin 2=-+xy e y x确定了y 关于x 的函数，求22,dxyd dx dy 。
解：方法一、方程两边关于x 求导得yxy y e dx dy dx dy xy y e dx dy y x x cos 202cos 22--=⇒=--+⋅ 方法二、设()2sin ,xy e y y x F x -+=2y e F xx -=，xy y F y 2cos -=，yxy y e F F dx dy x y x cos 22--=-= 隐函数定理2：设函数()z y x F ,,在),,(0000z y x P 的某邻域内 有连续的偏导数，且()()0,,,0,,000000≠=z y x F z y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点()000,,z y x 的某一邻域内能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数()y x f y ,=，他 满足条件()000,y x f z =，并且z x F F x z -=∂∂ , zy F F y z-=∂∂说明：把()x f z =代入方程()0,,=z y x F 得()[]0,,,≡y x f y x F两边关于x 求偏导数：0≡∂∂++x z F F F z y x ，所以zx F F x z-=∂∂； 同理可得：zy F F y z-=∂∂。
高数9-5隐函数的求导方法
1
x y y x y
(1 y )( x y ) ( x y )(1 y ) y ( x y )2 2 2 2 y 2 xy 2( x y ) 2 ( x y) ( x y )3
两边再对 x 求导 (1 y) y ( x y ) y 1 y 1 ( y )2 x y y y x y x y
1.定理1 2.定理2
4/33
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 在点 P ( x0 , y0 ) 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0 则方程 的某邻域内可唯一确定一个 连续并有连续导数的函数 y = f (x) ,满足条件 Fx dy 并有 (隐函数求导公式) dx Fy
y F 1 f1 xyf 2 z . z f1 xzf 2 Fy
§9.5 隐函数的求导方法 一.一个方程的情形 二.方程组的情形
1.定理1 2.定理2
19/33
练习2:设
求
z f1 y z f 2 x 1 f1 x y f 2
z z z f1 1 f 2 y z x y z z( x, y ), x x x x x x x( y, z ), 1 f1 1 f 2 y z x y z z
【思考题】已知 x ( y ) ，其中 为可微函数，
z z z z y ? 求x x y
【思考题解答】
x y 1 记 F ( x , y , z ) ( ) , 则 Fx ， z z z x y ( y ) y 1 Fy ( ) , Fz 2 ( ) 2 , z z z z z y z ( ) Fy z z Fx z z , , Fz x y ( y ) x Fz x y ( y ) y z z
高等数学隐函数求导
（隐函数的显化）
例1. 求由方程
CONTENTS
在 x = 0 处的导数
01
解: 方程两边对 x 求导
02
得
03
因 x = 0 时 y = 0 , 故
04
确定的隐函数
05
例2. 求椭圆
在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即
的一阶导数 确定的隐函数 求由方程 练习： 二阶导数 解: 方程两边对 x 求导， 得
关系,
若上述参数方程中
二阶可导,
且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
,可得
例5
解
例6
解
所求切线方程为
?
例7. 设
, 且
求
已知
解:
练习:
解:
注意 :
对谁求导?
求
例8. 设由方程
确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故
1.隐函数求导法则
直接对方程两边求导
第二章
隐函数和参数方程求导
二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 ,
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
函数为隐函数 .
则称此
隐函数求导方法:
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
)
1
(ln
)
1
(ln
+
+
-
隐函数的求导方法课件
关系
隐函数和显函数可以相互转换，例如，将$x^2 + y^3 - 1 = 0$两边同时对$x$求导，就可以得到一个关于$y$和$x$的导数关系，这个导数关系可以看作是一个显函数。
在许多实际问题中，我们常常需要求隐函数的导数，例如在物理、工程、经济等领域中，常常需要用到隐函数的求导来解决问题。
隐函数的求导方法课件
隐函数求导概述隐函数求导方法隐函数求导的应用隐函数求导的注意事项隐函数求导的常见错误分析隐函数求导的习题与解析
目录
CONTENT
隐函数求导概述
01
如果对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应，那么我们说$y$是$x$的隐函数。
隐函数
$x^2 + y^3 - 1 = 0$是一个隐函数，因为对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应。
在求导之前，需要判断所给函数是否在定义域内可导。如果函数不可导，则无法进行求导。
03
考虑定义域的连续性和离散性
对于连续函数和离散函数的求导，需要考虑其定义域的特点。
01
确定函数的定义域
在求导之前，需要确定函数的定义域，以确保求导过程的有效性。
02
注意定义域的边界
在定义域的边界处，函数的导数可能不存在或表现出特殊性质，需要特别注意。
详细描述
总结词
对参数方程确定的曲线理解不准确也是求隐函数导数时常见的错误。
详细描述
参数方程确定的曲线在求导时需要特别注意。如果对参数方程的理解不准确，会导致求导结果错误。例如，在处理参数方程时，没有正确地将其转化为普通方程，或者在处理参数方程的变量替换时出现错误，都会导致求导结果不准确。
高中数学人教版隐函数求导公式课件
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3 设函数 F (x, y,u, v) , G(x, y,u, v)满足: ① 在点 P(x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内具有连续偏导数;
② F (x0 , y0 ,u0 , v0 ) 0, G(x0 , y0 ,u0 , v0 ) 0;
例2
设
x2 y2 z2 4z 0,
求
2z x2 .
例3 设 (u,v) 具有连续偏导数,证明由方程
(cx az,cy bz) 0 所确定的函数 z f (x, y) 满足
a z b z c. x y
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
➢研究问题
(显)函数组 (x, y) (u, v)
隐函数组
在什么条件下,方程组能够确定隐函数组. 连续性?
方程组确定的隐函数组有什么性质
可导性? …
对方程组确定的隐函数组如何求导.
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
u u(x, y) v v(x,0 f (x0, y0 );
② 在(x0,y0)的上述邻域内连续； ③ 在(x0,y0)的上述邻域内连续可导,且有
隐函数的求导公式共28页文档
并有连续
导数
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
02.10.2019
3
则 两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
02.10.2019
4
例1 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
解: 令 ① ②
则 连续 ,
③
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
2u 2v
1 1 v 2u 2x u x x 1 1 v u
2u 2v
将所给方程的两边对 y 求导.用同样方法在 J 2(v u) 0
的条件下可得
u y v ， v u y .
y v u y v u
02.10.2019
18
例 4 设 r(x, y) 和 (x, y) 由 x r cos ，y r sin 确定，
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
02.10.2019
10
解法2 设 则
利用公式
两边对 x 求偏导
02.10.2019
11
二、方程组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
由 F, G 的偏导数组成的行列式
称为F, G 的雅可比( Jacobi )行列式.
02.10.2019
16
例 3 求由方程组
x y u v 1,
x
2
y2
u2
v2
2,
隐函数的求导公式 共28页PPT资料
d2y dx2
x 0 3
7
定理2 若函数 F(x,y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0,y0,z0)0 ③ F z(x0,y0,z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
26.01.2020
8
则
F (x ,y ,f(x ,y )) 0
两边对 x 求偏导
F x Fz
0
z Fx x Fz
同样可得
26.01.2020
9
例2 设 x2y2z24z0,求 解法1 利用隐函数求导
2
x
z
2
.
2x2zz4z0 x x
再对 x 求导
26.01.2020
16
例 3 求由方程组
x y u v 1,
x
2
y2
u2
v2
2,
确定的函数 u(x, y)和v(x, y) 的偏导数 u ， u ， v 和 v . x y x y
分析： 此题可以直接用课本中的公式（6）求解，
但也可按照推导公式（6）的方法来求解. 下面用后一种方法求解.
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sy i e n x x y 1 0 ,y y ( x )
两边对 x 求导
y x 0
ex y cosyx
(0,0)
两边再对 x 求导
siyn (y)2co yy s
令 x = 0 , 注意此时 y0,y1
隐函数求导法则公式
隐函数求导法则公式
隐函数求导是微积分中的重要内容，它通过已知方程中的一些变
量关系，求出未知变量的导数。
在数学中，隐函数是一种函数，它的
自变量和因变量在方程中没有被以显式的方式表示。
在一些情况下，
我们可以通过隐函数求导法则来求出方程中的隐函数的导数，从而更
好地理解这个函数的变化规律。
隐函数求导法则是根据隐函数存在的假设来推导的。
这个假设是：在给定一定的条件下 (比如说连续性和可微性)，一个方程可以被看作
是具有隐函数的形式的。
然后，通过对这个隐函数进行求导，我们就
可以得到对应的导数。
隐函数求导法则有如下公式：
设有一个函数系统 F(x, y) = 0。
如果在它的一个点 M(x0, y0) 处：
(1) ∂F/∂y 不等于 0，则可以得到隐函数 y = f(x)，它在 M 点的导数为：
f’(x0) = - ∂F/∂x / ∂F/∂y。
(2) ∂F/∂x 不等于 0，则可以得到隐函数 x = g(y)，它在 M 点的导数为：
g’(y0) = - ∂F/∂y / ∂F/∂x。
以上两个公式的证明可以根据链式法则来得出。
在实际运用中，我们需要先找出方程中的隐函数，然后根据对应的公式来求导。
隐函数求导法则的应用非常广泛，它可以用于建立经济模型、物理模型和工程模型等。
同时，在生活中也有很多应用，比如考虑体重损失和增加之间的关系，我们可以通过隐函数的求导来推导出身体质量的变化规律。
总之，隐函数求导法则是微积分中的重要内容，它能够帮助我们更好地掌握函数的变化规律。
我们需要掌握公式的推导和应用，并将其应用到实际生活中。
隐函数求导学习课件
隐函数的求导公式
u x
v x
x y
xu x2
yv y2
,
v x
y x
yx
y
u
v y
yu xv x2 y2 ,
x
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv x2
yx2
yv y2
.
例：设 u x2 y2z2,其中 z f (x, y)由方程
x3 y3 z3 -3xyz 0确定，求
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
隐函数求导公式
隐函数求导公式隐函数求导是数学分析学中十分重要的一个内容，它是指求取拓展又称多元函数在任意变量上导数的过程。
隐函数求导公式是数学分析学课程中经常提及的一个概念，它用来解释多元函数在任意变量上的导数，是多元函数求导学习中必不可少的。
隐函数求导公式是一类多元函数求导方法，可以有效地计算多元函数在任意变量上的导数。
它是由哥本哈根大学教授L.C.Young于1896年提出的，由此可以看出，隐函数求导的概念具有很长的历史。
隐函数求导的方法一共有四种：基本公式、偏导数法、极限法和高等切线法。
以下是基本隐函数求导公式：设y=f(x1,x2,...,xn)，则其在任意变量xk上的导数为：(y)/(xk)=(f(x1,x2,...,xn))/(xk)=f/xk由此可见，导数的运算规则极其简单：先对所有的变量求偏导数，即把其它变量看做常数，再把求出的偏导数累加起来，便可得到在任意变量上的导数。
这就是隐函数求导的基本原理。
除此之外，偏导数法是求取隐函数导数的重要方法之一。
它的思想是：假设其它变量都为常数，关于一个变量求取其偏导数，使用应用问题可以更加具体地解释偏导数的概念和意义。
例如，设y=x^2+2x，求x的偏导数：(y)/(x)=(x^2+2x)/(x)=2x+2从这里可以看出，偏导数即可以描述函数在某一特定点处的性质，也可以表示函数在任意点上的变化率。
极限法是另外一种重要的求取隐函数导数的方法。
它的意思是：把不同变量的变化率的极限纳入计算，从而得到在任意变量上的导数。
极限法的应用范围并不局限于求取隐函数导数，同样也能用来求取某一函数的极限。
例如：设f(x)=x^2+2x，求lim(x→1) f(x)lim(x→1) f(x)=lim(x→1) (x^2+2x)=1+2=3最后，高等切线法是一种求取隐函数导数的高等数学方法，它是由柯西公式发展而来的。
柯西公式是一种将变量从函数定义域扩展到实数域的一种切线法，其中每条切线也就是一个变量与另一变量的函数，而柯西公式的核心就是求取函数在其变量上的导数。
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解法2 微分法.
对方程两边求微分:
x y F1 d( ) F2 d( ) 0 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) F2 ( )0 2 2 z z F1d x F2 d y xF1 y F2 dz z z2 z dz (F1d x F2 d y) x F1 y F2
的某邻域内具有连续偏导数 ;
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz
Fy z y Fz
z
z
F1 1 z
z y ( x2 ) F2 ( y2 ) F1
z z
z F2 1
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1d x F2d y) dz dx d y x F1 y F2 x x y Fz
第五节
第九章
隐函数的求导方法
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . C > 0 时, 不能确定隐函数 2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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x y x
Fx ( ) Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy
Fx y Fy Fy y Fx
2 Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
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例1. 验证方程
在点(0,0)某邻域
并求
可确定一个单值可导隐函数
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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解法2
利用公式
设 则
F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z
Fx 2x , Fz 2z 4
x x Fx z z2 2 z x Fz
G( x, y, u, v) y y (u, v) 0
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则有
( F , G ) ( x, y ) J 0, ( u, v ) ( u, v )
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
① ①式两边对 x 求导, 得 x u x v 1 u x v x F ( x, y, u, v) x x (u, v) 0 y u y v 0 G( x, y, u, v) y y ( ,x ) v x u uv 0
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x Fx dy e y x 0 cos y x x 0, y 0 Fy dx x 0
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x
( e x y) (cos y x) (e x y ) ( sin y y 1)
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
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例3.
设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x) x F1 y F2 x F1 ( 2 F2 ( 2 )
( F , G) ③J P (u, v)
0,
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
Fx dy dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,
则还可求隐函数的
2
二阶导数 :
Fx dy dx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
x r 1 y 1 r cos cos 2 x J r x y2
y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
②
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注意 J 0, 从方程组②解得
x 1 v u 1 1y , x J 0 y J v v
x u x v 1 同理, ①式两边对 y 求导, 可得 u x v x u u 1 y v ②v 1 x y x, 0 v u y x J v x y J u
x 1 1y v 1 u J u x J y 0 u
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例5的应用: 计算极坐标变换
的反变换的导数 .
由于 所以
u v x r cos , y r sin r u 1 y x J v v r 1 y r x J u
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
x
① F e x y, Fy cos y x 连续 ; x ② F (0,0) 0 ;
③ Fy (0,0) 1 0 ,
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且
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Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) ( F , G ) Fu Fv J x J ( u, x ) (u , v) Gu Gv Fu Fv 定理证明略. v 1 1 ( F , G ) Gu Gv 仅推导偏导 y J ( u , y ) Fu Fv 数公式如下： Gu Gv
( cos y x ) F ( x, y ) sin y e x x y 1 0 x Fx e y, Fy cos y x
2
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3
x0 y0 y 1
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导数的另一求法
— 利用隐函数求导 两边对 x 求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)
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例5.设函数
在点(u,v) 的某一
邻域内有连续的偏导数,且
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数.
解: 1) 令 F ( x, y, u, v) x x (u, v) 0
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u u v v x u y v 0 , y u x v 1, 求 例4. 设 , , , . x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 y x y2 y x v xu yv u 1 u y xu yv 2 2 y x y2 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
称为F、G 的雅可比 行列式.
Fv Gv
雅可比 目录
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定理3.
设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Gu
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Gv
解的公式
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u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )