高数第九章 隐函数求导

x 1 1y v 1 u J u x J y 0 u
目录
上页
下页
返回
结束
例5的应用: 计算极坐标变换
的反变换的导数 .
由于 所以
u v x r cos , y r sin r u 1 y x J v v r 1 y r x J u
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
目录
上页
下页
返回
结束
解法2
利用公式
设 则
F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z
Fx 2x , Fz 2z 4

x x Fx z z2 2 z x Fz
( cos y x ) F ( x, y ) sin y e x x y 1 0 x Fx e y, Fy cos y x
2
目录 上页 下页
3
x0 y0 y 1
返回
结束
导数的另一求法
— 利用隐函数求导 两边对 x 求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)


x y x
Fx ( ) Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy

Fx y Fy Fy y Fx
2 Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
目录
上页
下页
返回
结束
例1. 验证方程
在点(0,0)某邻域
并求
可确定一个单值可导隐函数
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
②
目录
上页
下页
返回
结束
注意 J 0, 从方程组②解得
x 1 v u 1 1y , x J 0 y J v v
x u x v 1 同理, ①式两边对 y 求导, 可得 u x v x u u 1 y v ②v 1 x y x, 0 v u y x J v x y J u
的某邻域内具有连续偏导数 ;
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz
Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
目录 上页 下页 返回 结束
则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
目录 上页 下页 返回 结束
2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 . 2 x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
目录 上页 下页 返回 结束
x Fx dy e y x 0 cos y x x 0, y 0 Fy dx x 0
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x

( e x y) (cos y x) (e x y ) ( sin y y 1)
( F , G) ③J P (u, v)
0,
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
目录
上页
下页
返回
结束
例3.
设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x) x F1 y F2 x F1 ( 2 F2 ( 2 )
目录 上页 下页 返回 结束
解法2 微分法.
对方程两边求微分:
x y F1 d( ) F2 d( ) 0 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) F2 ( )0 2 2 z z F1d x F2 d y xF1 y F2 dz z z2 z dz (F1d x F2 d y) x F1 y F2
目录 上页 下页 返回 结束
u u v v x u y v 0 , y u x v 1, 求 例4. 设 , , , . x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 y x y2 y x v xu yv u 1 u y xu yv 2 2 y x y2 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
目录 上页 下页 返回 结束
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
目录
上页
下页
返回
结束
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,
则还可求隐函数的
2
二阶导数 :
Fx dy dx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
Fx dy dx Fy
目录 上页 下页 返回
结束
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) ( F , G ) Fu Fv J x J ( u, x ) (u , v) Gu Gv Fu Fv 定理证明略. v 1 1 ( F , G ) Gu Gv 仅推导偏导 y J ( u , y ) Fu Fv 数公式如下： Gu Gv
Gu
上页
Gv
解的公式
目录
下页
返回
结束
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) u v Fx Fu Fv 1 F , G ) v (0 x x J u y v( u , y ) Gx Gu Gv 0 x x
目录 上页 下页 返回 结束
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
G( x, y, u, v) y y (u, v) 0
目录 上页 下页 返回 结束
则有
ຫໍສະໝຸດ Baidu
( F , G ) ( x, y ) J 0, ( u, v ) ( u, v )
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
① ①式两边对 x 求导, 得 x u x v 1 u x v x F ( x, y, u, v) x x (u, v) 0 y u y v 0 G( x, y, u, v) y y ( ,x ) v x u uv 0
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
目录 上页 下页 返回 结束
定理2 .
若函数 F ( x, y, z ) 满足:
z
z
F1 1 z
z y ( x2 ) F2 ( y2 ) F1
z z
z F2 1
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1d x F2d y) dz dx d y x F1 y F2 x x y Fz
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
称为F、G 的雅可比 行列式.
Fv Gv
雅可比 目录
上页
下页
返回
结束
定理3.
设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
目录 上页
(P85)
Fu Fx Gu G x Fu Fy Gu G y
下页 返回 结束
设方程组
F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 G ( x, y, u , v) 0
则
u v Fx Fu Fv 0 x x 两边对 x 求导得 Gx Gu u Gv v 0 x x u v 这是关于 , 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x x Fx Fv Gx Gv u Fu Fv 系数行列式 J 0 , 故得 Fu Fv x Gu Gv
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
x
① F e x y, Fy cos y x 连续 ; x ② F (0,0) 0 ;
③ Fy (0,0) 1 0 ,
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且
目录 上页 下页 返回 结束
例5.设函数
在点(u,v) 的某一
邻域内有连续的偏导数,且
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数.
解: 1) 令 F ( x, y, u, v) x x (u, v) 0
x r 1 y 1 r cos cos 2 x J r x y2
y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
第五节
第九章
隐函数的求导方法
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . C > 0 时, 不能确定隐函数 2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
目录 上页 下页 返回 结束