通信原理第2章(樊昌信第七版)

1 / 2 F F d
*


1 / 2 F d
2
22
定理2证明：
1 T0

T0/ 2
T 0 / 2
2 t jn f t cn e 0 dt f t dt T 0 T0 / 2 n 1 T /2 jn t Cn f t e dt n T0 T / 2
将时域周期型号转换为频域的频谱信号
17
非周期信号的傅立叶变换
F ( )
1 f (t ) 2

f (t )e j t dt
F ( )e j t d



幅度频谱：F ( ) 相位频谱： ( )
F () F () e j ( )
e at , x (t ) 0,
t0 else
，其中a > 0；说明此信号
x(t ) dt e
2 0

2 at
1 2 at dt e 2a

0
1 2a
因为x(t)的能量有限，此信号为能量信号。
11
[解析] 计算x(t)的总能量
t, 例：信号 x(t ) 0 ,
1
T0 / 2
0
0
0
又有
1 T0

T0/ 2
T 0 / 2
f t e
jn 0t
Cn
*Fra Baidu bibliotek
因此
1 T0

T0/ 2
T 0 / 2
f t dt
2
n
C C
n

* n

n
c

2
n
23
能量密度谱与功率密度谱
设f()为f(t)的能量谱密度，代表信号能量沿频率 轴的分布状况，设f()为功率谱密度，代表信号功 率沿频率轴的分布状况， 因此，对于能量信号和功率信号，其能量和功率 可分别由下式给出： 能量和功
T /2 2
T0 / 2
因此，周期信号不是能量型信号，其功率为

nT0 / 2
nT0 / 2
| x (t ) | 2 d t
n lim n nT 0
T0 / 2 1 2 | x ( t ) | d t lim | x ( t ) | dt T0 / 2 T / 2 n 0 T0 T0 / 2 2
f


d
f
就可得到
C
2
1 / 2


d
我们知道

cn
2
是n0分量的平均功率，利用冲
2
2
击函数的性质，有
Cn n d C
n 0

所以：
f ( ) 2 C n n 0
12
周期信号是功率型信号？
对任意周期为T0的周期信号，其能量为：
E lim
T
T /2
T / 2
| x(t ) | dt lim
2 n
n
nT0 / 2
nT0 / 2
T0 / 2
| x(t ) |2 dt
| x(t ) |2 dt
lim n
1 P lim T T 1 T / 2 | x(t ) | dt lim n nT 0
上(1Ω)消耗的功率（归一化功率）。
P = V / R = I R = V = I (W)
这样，电流的平方和电压的平方都等于功
2 2 2 2
率。
用s(t)代表时间t时刻的电流或电压，则s2(t)
代表瞬时功率，信号能量为：
E=
2 s (J) ò (t )dt
如果信号能量的值有限，则信号s(t)为能
三角函数形式： a0 n f (t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n 1
2 an T

T /2
T / 2
2 n f (t ) cos( t )dt , n 0,1, 2,... T
2 T /2 2 n bn f (t )sin( t )dt , n 1, 2,3,... T T /2 T
2 T
1 2 f ( ) lim FT ( ) T T

可见功率谱也是一个实偶函数，其平均功率也可以写成：
S 1 /
0

f
d
26
对于周期信号
1 / T
0 T0 / 2 T 0 / 2
f
n
2
t dt Cn


2
1 / 2


2
27
帕塞瓦尔定理物理意义和应用
帕塞瓦尔定理把一个信号的能量或功率的计算和 频谱函数或频谱联系起来了。 帕塞瓦尔定理给出一个很重要的概念，即能量信 号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能 量的连续和；而周期性功率信号的平均功率等于 各个频率分量单独贡献出来的功率之和。
小结
功率谱密度和能量谱密度都与振幅--频率特性 有关，而与相位--频率特性无关。因此，从功率 谱密度和能量谱密度中只能获得信号振幅的信息， 而得不到信号相位的信息。 28
瞬态信号:持续时间有限的信号 如 x(t ) e t A sin(2 f t )
5
§2.2 信号的分类与描述
非确知信号
噪声信号(平稳)
c) 非确知信号：不能用数学式描述，其幅值、相位 变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
噪声信号(非平稳)
6
能量信号与功率信号
在通信理论中，把功率定义为在单位电阻
例
已知f(t)的波形如图示
1。如果f(t)为电压，加在1欧姆的电 阻上，求消耗的能量； 2。求能量谱密度；
f(t)
解：1、 E f (t)dt
2 -
j t

/2
/2
dt
1 t
-τ/2
w 2、 F(w) f (t )e dt Sa 2 2 2 2 w f (w) F(w) Sa ( ) 2
16
指数形式：
f (t )
n
n
j n t C e n
2 / T 是角频率
j 2 n t T
1 cn T

T /2
T / 2
f (t )e
an dt a0 cn 2 an
bn , 2 , jbn , 2
n0 n0 n0
0
τ /2
29

【例2】试求周期性信号的功率谱密度。 该例中信号的频谱已知，它等于： V n Cn sin c T T 2 所以： P( f ) C ( f ) ( f nf0 ) n 得出
2 2
V 2 P( f ) C ( f ) ( f nf0 ) sin c n f0 ( f nf0 ) n n T
周期信号功率等于该信号一个周期内的平均功率。
13
时域描述与频域描述
14
信号的频域概念

实际上,一个信号是由多 种频率组成的. 如信号
基频
s(t ) (4 / ) sin(2 ft ) (1/ 3)sin(2 (3 f )t )
包含了两种频率 f 和 3f
15
周期函数的傅立叶级数
通信原理
1
通信原理
第2章 确知信号
2
确知信号与非确知信号
可以用明确数学关系式描述的信号称为确知 信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确知 信号。
信号 确定性信号 周期信号 简单周期信号 复杂周期信号 非周期信号 非确定性信号 平稳随机信号 非平稳随机信号 准周期信号 瞬态信号
3
§2.2 信号的分类与描述


2
能量和功 率计算的 第二种方 法：通过 频域函数。
21
帕什瓦尔定理的证明
证明：
jt dt f t 1 / 2 F d dt e f t jt 1 / 2 F f t e dt d 2
量信号。
7
§2.2 信号的分类与描述
在所分析的区间 (, ) , 能量为有限值 的信号称为能量信号，满足条件：



s (t ) dt
2
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
8
在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限 值。此时，研究信号的平均功率更为合适。 T /2 1 信号的平均功率： P= lim ò s 2 (t )dt T T - T /2
18
功率信号的频谱
周期性信号（功率信号）可以用指数 形式的傅里叶级数展开
s (t ) =
频谱函数
å
-
+
Cn e
j 2 p nt / T0
2p , w0 = T0
T0 / 2 -T0 / 2
1 C n = C (nf 0 ) = T0
ò
s ( t )e -
j 2 p nf0 t
dt
19
能量谱密度和功率谱密度
24
对于能量信号
E 1/ 2
因此能量谱为

1/ 2 d
f
2 f


| F | d
2
F
可以看出能量谱是一个实偶函数，所以有
E 1/

0
d
f
25
对于一般的功率信号
将 f(t) 截短成 fT(t),即fT(t)= f(t) , 0,
能量和功率计算的第 一种方法：通过时域 函数。
一个信号f(t)作用在1Ω电阻上，
其瞬时功率为： p=|f(t)|2

消耗的能量为： E f 2 (t )dt
1 lim 平 均 功 率 为： P T T

T /2
T / 2
f (t ) dt
2
20
帕什瓦尔定理
1、若f(t)是能量信号，且其傅里叶变换为F()，则有
| t | < T/2 其它 t
式中，T为有限值，所以 fT(t)是一能量信号
设 fT(t) FT()，根据帕什瓦尔定理

ET
fT t dt 1 / 2 | FT | d
2 2

1 S lim T T
因此功率谱

T /2
T / 2
f
2
t dt 1/ 2 lim | FT | / Td
E

f
2
t dt 1 / 2 | F |2d


2、若f(t)是周期性的功率信号，且其指数形式的傅 里付叶级数为 ： f (t )
n
c e
n
j 2nt /T 0
,
则下述关系式成立
S 1/ T 0
T0/2
T 0 / 2
f
2
t dt cn
1 T T T
lim

T
s (t )dt
2
一般持续时间无限的信号都属于功率信号:
9
信号分成两类：
能量信号：能量等于一个有限正值，
但平均功率为0.
功率信号：平均功率是一个有限值，
但能量为无限大。
10
例：信号
为能量信号或功率信号。 [解析] 计算x(t)的总能量
E

30
确知信号的时域性质

能量信号的自相关函数 定义：

性质： 自相关函数R()和时间t 无关，只和时间差 有关。 当 = 0时，R(0)等于信号的能量：
确知信号
a) 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号
简单周期信号
x(t ) x(t nT )
复杂周期信号
4
§2.2 信号的分类与描述
b) 非周期信号：再不会重复出现的信号。
准周期信号 : 由多个周期信号合成，但各信号频率不成
公倍数。如：x(t ) sin(t ) sin( 2t )
E 1/ 2
S 1/ 2

d f df
f f
f f



d f df
率计算的 第三种方 法：通过 谱密度函 数。
那么，f()和 f() 与信号的频谱函数 有什么样的关系呢？
t0 else
；说明此信号类型。
E

x(t ) dt
2
0
t t dt 3
2
3

2
计算x(t)的平均功率
T /2
0
1 1 (T / 2) T 2 P lim t dt lim lim T T 0 T T T 24 3
3
该 x(t) 的能量和平均功率皆为 ，因此此信号既非能量信 号也非功率信号。