2020年秋人教版七年级数学上思维特训(三)有答案：定义新运算
第一次月考重难点特训(二)之新定义下实数运算压轴题(原卷版)
【重难点题型】1．（20234．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）对于任意实数x ，x 均能写成其整数部分[]x 与小数部分{}x 的和，其中[]x 称为x 的整数部分，表示不超过x 的最大整数，{}x 称为x 的小数部分，即[]{}x x x =+.比如[]{}1.7 1.7 1.710.7=+=+，[]1.71=，{}1.70.7=，[]{}1.7 1.7 1.720.3-=-+-=-+，[]1.72-=-，{}1.70.3-=，则下列结论正确的有（ ）①1233ìü-=íýîþ；②{}01x <…；③若{}20.3x -=，则 2.3x =；④{}{}{}1x y x y +=++对一切实数x 、y 均成立；⑤方程{}11x x ìü+=íýîþ无解．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．（2022秋·全国·七年级期末）a 不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2022a =（ ）A ．13B ．34C ．4D ．13-6．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）已知{}min ,,a b c 表示取三个数中最小的那个数．例如：当2x =-时，()(){}23min 2,2,28---=-，当{}21min,,16x x x =时，则x 的值为（ ）A ．116B ．18C ．14D ．127．（2021·全国·九年级专题练习）从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,k S =L ，且将{},K k k M a b =与{},K k k M b a =视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{}(),,1,1i j j M a b i j i S j S =¹££££都有i i j j a b a b +¹+，则S 的最大值（ ）A ．10B ．6C ．5D ．48．（2022秋·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，⋯，则100!98!的值为（ ）A ．9900B ．99！C ．5049D ．29．（2022秋·全国·八年级专题练习）观察下列等式：111122=-´，1112323=-´，1113434=-´，…111(1)1n n n n =-++将以上等式相加得到111111122334(1)1n n n ++++=-´´´++L ．用上述方法计算：111113355799101++++´´´´L 其结果为（ ）A ．50101B ．49101C ．100101D ．9910110．（2020春·浙江宁波·七年级统考期末）任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s×t （s ，t 是正整数，且s≤t ），如果p×q 在n 的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最优分解，并规定：F （n ）＝p q ．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F （24）＝46＝23．给出下列关于F （n ）的说法：①F （6）＝23；②F （16）＝1；③F （n 2﹣n ）＝1﹣1n；④若n 是一个完全平方数，F （n ）＝1．其中说法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）一个两位数m 的十位上的数字是a ，个位上的数字是b ，我们把十位上的数字a 与个位上的数字b 的和叫做这个两位数m 的“衍生数”，记作()f m ，即()f m a b =+．如()52527f =+=．现有2个两位数x 和y ，且满足100x y +=，则()()f x f y +=______．12．（2022秋·河南驻马店·八年级校考阶段练习）对于任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[]44=，31éù=ëû．现对72进行如下操作：72第一次728éù=ëû第二次82éù=ëû第三次21éù=ëû，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是______．13．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ³时．112,()33k k k k x x T T T a ---æöæö=+-ç÷ç÷èøèø表示非负实数a的整数部分，例如(3.5)3,(0.8)0T T ==．按此方案，第2021棵树种植在点2021x 处，则2021x =_______．14．（2022秋·八年级单元测试）若记[]x 表示任意实数的整数部分例如：[]3.5352éù==ëû，， L ，则123420192020éùéùéùéùéùéù-+-++-ëûëûëûëûëûëûL （其中“+”“-”依次相间）的值为___________15．（2022秋·八年级课时练习）对于正数x 规定1()1f x x=+，例如：11115(3),()11345615f f ====++，则f (2020)＋f (2019)＋……＋f (2)＋f (1)＋1111()()()()2320192020f f f f ++¼++＝___________16．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）对于正整数n ，定义2,10()(),10n n F n f n n ì<=í³î其中()f n 表示n 的首位数字､末位数字的平方和．例如：2(6)636F ==，2(123)(123)1F f ==2310+=．规定1()()F n F n =，()1()()k k F n F F n +=．例如：1(123)(123)10F F ==，()21(123)(123)F F F =(10)1F ==．按此定义2021(4)F =_____．17．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）对于一个各个数位均不为零的四位数M ，若M 的千位与百位组成的两位数能被它的个位和十位数字之和整除，则称M 是“整除数”．例如：M ：9176：∵()917691137¸+=¸=，∴9176是“整除数”．又如：M ：6726：∵()672667883¸+=¸=¼，∴6726不是“整除数”(1)判断7923，8457是否是“整除数”，并说明理由；(2)四位数100010010M a b c d =+++（1,,,9a b c d ££，a b ³，且a ，b ，c ，d 均为整数）是“整除数”，且108a b c d +=+，记()()()10511a cb d F M -+--=，当()F M 为整数时，求出所有满足条件的M ．18．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）若一个四位数m 的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字与个位数字的和．则称这个四位数m 为“扬帆数”．将“扬帆数”m 的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数m ¢，并记()99m m F m ¢-=．例如：1335m =．∵()13235+´=+，∴1335是“扬帆数”，此时()1335351313352299F -==-；又如：2345m =，∵()23245+´¹+，∴2345不是“扬帆数”．(1)判断1437，3578是否是“扬帆数”，说明理由；如果是，求出对应的()F m 的值；(2)若四位数100010010m a b c d =+++（19a b c d £££££，a b c d ,,,为整数），且()F m 能被8整除，求出所有满足条件的“扬帆数”m ．19．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）若整数a 能被9整除，那么称整数a 为“长久数”．例如，因为27能被9整除，所以27是“长久数”．(1)判断324和64是否为“长久数”？请说明理由；(2)已知三位正整数t 的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为1(19x y £££，其中x ，y 为自然数），交换其十位上的数字和百位上的数字得到新数()s s t ¹，如果s 加上t 的和是“长久数”，求所有符合条件的三位正整数t ．20．（2022秋·北京海淀·七年级统考期末）对于由若干不相等的整数组成的数组P 和有理数k ，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段AB ，使得将数组P 中的每一个数乘以k 之后，计算的结果都能够用线段AB 上的某个点来表示，就称k 为数组P 的收纳系数．例如，对于数组P ：1，2，3，因为11133´=，12233´=，1313´=，取A 为原点，B 为表示数1的点，那么(1)若24(8)0a b ++-=，则M 对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）．①A 是M 的“正比点”；②A 是M 的“反比点”；③B 是M 的“正比点”；④B 是M 的“反比点”；(2)若0ab ＞，且M 是A 的“正比点”，求ab的值；(3)若0ab ＜，且M 既是A ，B 其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出ab的值．23．（2022秋·北京西城·七年级北京四中校考期中）将n 个0或1排列在一起组成了一个数组，记为()12,,n A t t t =L ，其中，12,,,n t t t ×××都取0或1，称A 是一个n 元完美数组（2n ³且n 为整数）．例如：()0,1，()1,1都是2元完美数组，()0,0,1,1，()10,0,1，都是4元完美数组，但()3,2不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x 和y ，()x y x y x y =+--*，新运算2：对于任意两个n 元完美数组()12,,,n M x x x =L 和()12,,,n N y y y =L ， ()112212n n M N x y x y x y Ä=++×××+***，例如：对于3元完美数组()1,1,1M =和()0,0,1N =，有()100212M N Ä=++=．(1)在()0,0,0，()2,0,1，()1,1,1,1，()1,1,0中是3元完美数组的有：______；(2)设()()1,0,1,1,1,1A B ==，则A B Ä=______；(3)已知完美数组()1,1,1,0M =求出所有4元完美数组N ，使得2M N Ä=；m ，n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：()()()h m n h m h n +=×，请根据这种新运算解决以下问题：(1)若()11h =-，则()2h =______；()2019h =______；(2)若()7128h =，求()2h ，()8h 的值；(3)若()()442h h =，求()2h 的值．28．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算()()()()343341372i i i i -++=++-+=+；()()()21212221213i i i i i i i -´+=´+-´-=+-+=-；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：3i =__________，4i =_________；(2)计算：()()145i i -´-；(3)计算：232017...i i i i ++++．29．（2022春·重庆大渡口·八年级统考期末）对于任意个四位正数x ，若x 的各位数字都不为0，且十位数字与个位数字不相符，千位数字与百位数字不相等，那么称这个数为“多彩数”．将一个“多彩数”a 的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()a F ，例如，“多彩数”1234a =，去掉其中任意一位数后得到四个新三位数分别为：234，134，124，123，这四个三位数之和为234134124123615+++=，6153205¸=，所以()1234205F =．(1)计算()1564F 和()6321F ；(2)若“多彩数”890010b m n =++（19m ££，19n ≤≤，m ，n 都是正整数），()b F 也是“多彩数”且()b F 能被8整除，求b 的值．30．（2022春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）材料一：一个两位自然数m ，满足各位数字之和小于或等于9，各位数字互不相同且均不为0，称为“尚美数”．将m 的各个数位上的数字相加所得的数放在m 的前面，得到一个新数m ¢，将m 的各个数位上的数字相加所得的数放在m 的后面，得到一个新数m ¢¢，记()18m m T m ¢¢¢-=．例如：52m =时，752m ¢=，527m ¢¢=，()7525272552182T -==．材料二：若一个数M 等于另一个整数N 的平方，则称这个数是完全平方数．(1)直接判断：46______（填“是”或“不是”）“尚美数”，并直接写出：()27T =______；(2)已知两个“尚美数”()1018,16m a b a b =+££££，()1018,28n x y x y =+££££，若()T m 是一个完全平方数，且()2895m T n y +-=，规定m P n =，求P 的最小值．。
七上数学每日一练：定义新运算练习题及答案_2020年解答题版
七上数学每日一练：定义新运算练习题及答案_2020年解答题版
答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析2020年七上数学：数与式_代数式_
定义新运算练习题1.
(2019朝阳.七上期末)
（规定）
．
（理解）例如：
．（应用）先化简，再求值：
，其中 ， ．
考点： 定义新运算;利用整式的加减运算化简求值;
2.
(2018松原.七上期末) 用“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 和b ，规定a ⊕b=2a+b ，如1⊕3=2×1+3=5
（1） 求2⊕（﹣
2）的值；
（2） 若[（ ）⊕（﹣3）]⊕ =a+4，求a 的值．
考点： 定义新运算;3.
(2018上杭
.七上期中) 若
“ ”是一种新的运算符号，并且规定
．例如： ，求 的值．
考点： 定义新运算;4.
(2020重庆.七上期中) ①已知﹣5x y ﹣（a ﹣5）x ﹣6是关于x 、y
的八次三项式，求a ﹣2a+1的值．
②对于有理数a 、b 定义一种运算： ，计算 的值．
考点： 定义新运算;多项式的项和次数;5.
(2020开州.七上期中) 对a ，b 定义运算“☆”如下：a ☆b=
，已知3☆x=75, 则有理数x 的值。
考点： 定义新运算;2020
年七上数学：数与式_代数式_
定义新运算练习题答案
1.答案：
2.答案：3|a|2
3.答案：
4.答案：
5.答案：。
七年级数学-上册有理数定义新运算思维开放题(含答案)
七年级数学-上册有理数定义新运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题。
1．定义一种新运算()2ab a b =+⨯，计算()35-的值为（ ） A ．7 B ．4- C ．1 D ．42．定义a b ∨表示a 、b 两数中较大的一个，a b ∧表示a 、b 两数中较小的一个，则(5052)(4951)-∨-∨-∧的结果是（ ）A ．50-B ．52-C ．49-D ．513．对于整数a ，b ，c ，d 定义运算a a d cb bcd =-，则2354的值等于（ ） A ．7 B ．7- C ．2 D ．2-4．对于有理数a 、b 定义一种新运算“⊙”，规定a ⊙b =|a +b |+|a -b |，则（2-）⊙3的值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．25．现定义运算“⊙”对于任意两个整数，a ⊙b =a +b -1，则1⊙(3⊙5)的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．若a ，b 都是有理数，定义一种新运算“☆”，规定()()a b a b -+-☆＝，则()24-☆ 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣67．七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：2a b ab a ⊕=+．则1(3)42⎛⎫-⊕-⊕= ⎪⎝⎭（ ）． A ．13- B ．6 C ．24 D ．308．现定义运算：对于任意有理数a 、b ，都有23a b a b ⊗=-，如：2131338⊗=-⨯=-，则()523-⊗-⊗的值为（ ）A ．20B ．25C ．38D ．40 9．定义运算11b a b a ⊗=+，比如11523236⊗=+=，下面给出了关于这种运算的几个结论：⊙()1236⊗-=；⊙此运算中的字母均不能取零；⊙a b b a ⊗=⊗；⊙()a b c a c b c ⊗+=⊗+⊗，其中正确是（ ）A ．⊙⊙⊙B ．⊙⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙二、填空题10．定义一种新运算：*a b a b b+=，请你根据这一运算规则计算：2*(3)-=___________； 11．定义一种新运算⊙，即(2)3m n m n ∆=+⨯-，根据规定求6(3)∆-=_____．12．对有理数,a b ，定义运算★如下，+a b b a a b=★，则48-=★________． 13．定义一种新运算“K 运算”，对有理数a ，b ，规定：()2(1)12(1)a b ab a aKb ab ba b ab ⎧-+>⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩，其中“K 运算”的运算顺序为：同级运算，依次从左至右进行（可类比有理数的四则运算顺序），则()()231129353K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的运算结果是_________． 14．新定义一种运算：22a b a b =-，例如：2(1)3(1)23165-=--⨯=-=-，则(2)(1)--=_______．三、解答题15．现定义一种新运算：a b ab a b ⊗=+-，如13=13+131⊗⨯-=．(1)求()256⎡⎤⎣-⎦⊗⊗；(2)新定义的运算满足交换律吗？试以()43-⊗和()34⊗-举例说明．16．对于任意有理数a 、b ，定义一种新运算“⊕”，规则如下：()a b ab a b ⊕=+-，例如()3232327⊕=⨯+-=，求()543-⊕⊕⎡⎤⎣⎦．17．用“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定22a b b ab =+★，如：214421424=+⨯⨯=★．求(4)3-★的值．18．定义新运算：对于任意有理数a ，b ．都有()a b a a b b ⊕=--．等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：()353(35)5=325=11⊕=⨯--⨯---(1)求()32⊕-的值；(2)求2(1)4⊕-⊕的值．19．在数轴上有A 、B 两点，点B 表示的数为b ．对点A 给出如下定义：当0b ≥时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当0b <时，将点A 向左移动b 个单位长度，得到点P ．称点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”．如图，点A 表示的数为1-．(1)在图中画出当6b =时，点A 关于点B 的“伴侣点”P ；(2)当点P 表示的数为6-，若点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”，则点B 表示的数 ；(3)点A 从数轴上表示1-的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．⊙点B 表示的数为 （用含t 的式子表示）；⊙是否存在t ，使得此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．20．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：2a b c a b c a b c --+++⊗⊗=，例如()()-123-123-12352--+++⊗⊗==． (1)计算：()()4-28⊗⊗+；(2)计算：()113-73⎛⎫⊗⊗+ ⎪⎝⎭； (3)已知 67-，57-，，17-，0，19，29，，89这十五个数中．从中任取三个数作为 a ，b ，c 的值，进行“a b c ⊗⊗”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ．参考答案：1．D【分析】根据新定义运算的运算法则列式进行计算即可．【详解】解：⊙()2a b a b =+⨯，⊙()()3535222 4.-=-+⨯=⨯=故选D ．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，理解新定义的含义是解本题的关键．2．C【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：根据题中的新定义得：(5052)(4951)-∨-∨-∧(50)(49)=-∨-49=-．故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的比较大小，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．B【分析】根据a bd c =ac ﹣bd ，可以计算出所求式子的值．【详解】解：⊙a bd c =ac ﹣bd ， ⊙2354＝2×4﹣3×5＝8﹣15＝﹣7，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．A【分析】利用题中的新定义的运算法则、有理数的加减运算法则、化简绝对值的知识即可解答．【详解】解：由题意得：（-2）⊙3=|（-2）+3|+|（-2）-3|=1+5=6．故选A ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，理解新定义运算则和有理数混合运算法则是解本题的关键．5．A【分析】根据新定义运算代入，即可求解．【详解】解：根据题意得：3⊙5=3+5-1=7，⊙1⊙(3⊙5)= 1⊙7=1+7-1=7．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，理解新定义运算是解题的关键．6．B【分析】把相应的值代入新运算中，然后根据有理数的加减运算法则进行求解即可．【详解】解：()24-☆＝()()24+---＝24-＝﹣2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算法则、新定义运算法则等知识点，正确理解新定义的运算是解答本题的关键．7．C 【分析】根据新定义先计算142-⊕，再计算()(3)10-⊕-即可求解． 【详解】解：⊙2a b ab a ⊕=+． ⊙11442(4)281022-⊕=-⨯+⨯-=--=- ⊙1(3)42⎛⎫-⊕-⊕ ⎪⎝⎭ ()(3)10=-⊕-3(10)2(3)=-⨯-+⨯-306=-=24．故选：C ．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．8．D【分析】根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算；【详解】解：()523-⊗-⊗，()2=5233⎡⎤-⊗--⨯⎣⎦， ()=55-⊗-，()()2=535--⨯-， =40，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及新定义，正确理解新定义，能根据新定义的意思列出算式是解题的关键．9．B【分析】根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．【详解】⊙()23⊗-=1123-=16，⊙正确； ⊙⊙11b a b a ⊗=+，⊙0a ≠且0b ≠，⊙⊙正确； ⊙⊙11b a b a ⊗=+，11b a b a⊗=+， ⊙a b b a ⊗=⊗，⊙⊙正确；⊙⊙()a b c ⊗+=11a b c++ ，a c b c ⊗+⊗= 1111121a c b c a c b +++=++， ⊙a b c a c b c ⊗+≠⊗+⊗（），⊙⊙错误．综上，正确的结论为⊙⊙⊙，故选B ．【点睛】本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键．10．13【分析】代入新定义运算，即可求解．【详解】解：根据题意得：()2312*333--==-． 故答案为：13 【点睛】本题考查了新定义下的有理数混合运算，理解新运算的定义是解题关键．11．27【分析】根据新定义列出算式6(3)(62)3(3)∆-=+⨯--，再进一步计算即可．【详解】解：6(3)∆-(62)3(3)=+⨯--833=⨯+243=+27=，故答案为：27．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则．12．8- 【分析】根据新定义运算的法则先列式4848,48-⨯-=-+★再计算即可． 【详解】解：⊙+a b b a a b =★， ⊙4832488,484-⨯--===--+★ 故答案为：8.-【点睛】本题考查的是新定义运算，掌握“有理数的加减乘除混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 13．2059##7229【分析】根据()231211,213533⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()231254129935393K K K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再由2541001001932727⎛⎫⨯-=-=> ⎪⎝⎭，可得2546299939K K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，然后根据629626219-⨯=-=>，即可求解．【详解】解：⊙()231211,213533⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊙21235525313353539K -⎛⎫-=-=⨯= ⎪⎝⎭，()112422223333K ⎛⎫⎛⎫--=--⨯-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⊙()()231254129935393K K K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⊙2541001001932727⎛⎫⨯-=-=> ⎪⎝⎭， ⊙25425450126229393999K ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊙2546299939K K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ⊙629626219-⨯=-=>， ⊙626212420592999999K ⎛⎫-=-⨯-+=+= ⎪⎝⎭， 即()()2312051293539K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故答案为：2059【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键．14．6【分析】根据新定义的运算求解即可．【详解】解：根据新定义，可得2(2)(1)(2)2(1)426--=--⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数运算，理解新定义下运算是解题关键．15．(1)125-(2)不满足交换律，举例见解析【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得答案；（2）不满足，分别计算()43-⊗和()34⊗-说明即可．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：()256⎡⎤⎣-⎦⊗⊗()25256=-⨯--⊗()176=-⊗176176=-⨯--125=-；（2）新定义的运算不满足交换律，例如：()43434319-⊗=-⨯--=-；()()()34343412345⊗-=⨯-+--=-++=-，⊙195-≠-，⊙()()4334-⊗≠⊗-，则不满足交换律．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．119-【分析】根据公式直接计算即可．【详解】解：()543-⊕⊕⎡⎤⎣⎦()()54543=-⨯+--⊕⎡⎤⎣⎦293=-⊕()293293=-⨯+--119=-【点睛】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解公式及所求式子中对应的a 与b 的值是解题的关键．17．−15【分析】根据新定义列式计算即可．【详解】解：2(4)332(4)3-=+⨯-⨯★924=-15=-【点睛】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解答本题的关键．18．(1)17；(2)17．【分析】（1）利用题中的新定义化简，计算即可求出值；（2）利用题中的新定义化简，计算即可求出值．【详解】（1）解：由题意可知：()323(32)217⊕-=⨯++=．（2）解：()2(1)=221+1=7-⨯+⊕，()74=7744=17⨯--⊕．【点睛】本题考查新定义问题，掌握有理数的混合运算法则，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键．19．(1)画图见解析(2)5-(3)⊙82t -；⊙存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合【分析】（1）当6b =时，0b ≥，将点A 向右移动2个单位长度，由此求出点P 表示的数，并作图即可；（2）根据点A 和点P 表示的数可知，点P 是由点A 向左平移5个单位得到的，据此求解即可；（3）⊙根据点B 的运动方向和运动速度即可求解；⊙运动的时间为t 秒时，点A 表示的数为1t -+，点B 表示的数为82t -，分为点B 在原点右侧和原点左侧两种情况讨论即可．【详解】（1）解：当6b =时，0b ≥，将点A 向右移动2个单位长度，此时点P 表示的数为：121-+=，作图如下：（2）解：⊙点P 表示的数为6-，点A 表示的数为1-，第11页，共12页⊙点P 是点A 向左移动5个单位长度得到的， ⊙5b =且0b <，⊙=5b -，⊙点B 表示的数为5-，故答案为：5-；（3）解：⊙点B 从数轴上表示8的位置出发，以每秒2个单位的速度向左运动t 秒，则点B 表示的数为82t -， 故答案为：82t -；⊙解：存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合，理由如下：运动的时间为t 秒时，点A 表示的数为1t -+，点B 表示的数为82t -，分两种情况：当04t <≤时，820t -≥，此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 表示的数为：121t t -++=+，由于0t >，故10t +>，不可能与原点重合；当4t >时，820t -<，此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 表示的数为：()1821281287t t t t t t t -+--=-+--=-+-+=-，⊙当7t =时，点P 与原点重合，综上，存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合．【点睛】本题考查了绝对值的化简，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题以及有理数的加减法，注意分类讨论．20．(1)6(2)3 (3)67-【分析】（1）直接代入公式计算即可；（2）直接代入公式计算即可；（3）分析a b c --为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可．【详解】（1）原式=()()4284282---++-+=6；（2）原式=()()11113737332---++-+第12页，共12页 =()19113-7332+++=3；（3）当a b c --为非负数时，a b c ⊗⊗=2a b c a b c a --+++=， ⊙当6-7a =时，abc ⊗⊗的最小值为6-7； 当a b c --为负数时，a b c ⊗⊗=-2a b c a b c b c +++++=+， ⊙当b c +的值最小时，a b c ⊗⊗的值最小；⊙a b c --为负数，⊙＜a b c +，由于a 最小取6-7， ⊙67b c +-＞， 综上可得，a b c ⊗⊗的最小值为6-7． 【点睛】本题考查了正负数的运算、绝对值运算、代数式的求值等，解题关键是正确代入数值计算，求最小值时应进行分类讨论。
人教版七年级数学上思维特训(三)含答案：定义新运算
思维特训(三) 定义新运算方法点津·定义新运算是一种特别设计的、人为的、临时的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如：*，▲，★，◎，Δ，◆，■等来表示的一种运算．其解题方法是：(1)理解新定义的算式含义；(2)严格按照新定义的计算程序，将数值代入，将其转化为常规的加减乘除乘方运算，然后计算得结果．典题精练·类型一定义新运算——运算类1．定义一种新运算※，观察下列式子：1※3＝1×3＋3＝6；3※2＝3×2＋2＝8；3※5＝3×5＋5＝20；5※3＝5×3＋3＝18.(1)填一填：2※4＝________，a※b＝________；(2)请你依照上述运算方法，求(－3※7)※2的值．2．定义一种关于“⊙”的新运算，观察下列式子：1⊙3＝1×4＋3＝7；3⊙(－1)＝3×4＋(－1)＝11；5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4＋(－3)＝13.(1)填空：5⊙(－6)＝________；(2)请你判断：当a ≠b 时，a ⊙b______b ⊙a(填“＝”或“≠”)，并说明理由．3．用[x]表示不超过x 的整数中的最大整数，例如：[2.23]＝2，[－3.24]＝－4.计算下列各式：(1)[3.5]＋[－3]； (2)[－7.25]＋[－13]．类型二 定义新运算——探究类4．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a#b#c ＝|a －b －c|＋a ＋b ＋c 2.如：(－1)#2#3＝|－1－2－3|＋（－1）＋2＋32＝5.(1)计算：4#(－2)#(－5)＝________．(2)计算：3#(－7)#113＝________．(3)在－67，－57，…，－17，0，19，29，…，89这15个数中： ①任取三个数作为a ，b ，c 的值，进行“a#b#c ”运算，求所有计算结果中的最小值； ②若将这15个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c ”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，求五个结果之和的最大值．详解详析1．解：(1)根据题意，得2※4＝2×4＋4＝8＋4＝12，a ※b ＝a ×b ＋b .(2)根据题意，得(－3※7)※2＝(－21＋7)※2＝(－14)※2＝－28＋2＝－26.2．解：(1)14(2)当a ≠b 时，a ⊙b ≠b ⊙a .理由：依题意，得a ⊙b ＝4×a ＋b ，b ⊙a ＝4×b ＋a .因为a ≠b ，所以4×a ＋b ≠4×b ＋a ，即a ⊙b ≠b ⊙a .3．解：(1)[3.5]＋[－3]＝3－3＝0.(2)[－7.25]＋[－13]＝(－8)＋(－1)＝－9.4．解：(1)原式＝|4＋2＋5|＋4－2－52＝4. (2)原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋7－113＋3－7＋1132＝3.(3)当a ≤b ＋c 时，a #b #c ＝b ＋c ；当a >b ＋c 时，a #b #c ＝a .①当a ＝b ＋c 时，a #b #c 的值最小，令b ＝－57，c ＝－17，则原式＝－57－17＝－67. ②因为当a ＝－67，b ＝19，c ＝29时，原式＝19＋29＝13； 当a ＝－57，b ＝39，c ＝49时，原式＝39＋49＝79；当a ＝－47，b ＝59，c ＝69时，原式＝59＋69＝119； 当a ＝－37，b ＝79，c ＝89时，原式＝79＋89＝159； 当a ＝0，b ＝－17，c ＝－27时，原式＝0， 所以五个结果之和的最大值为13＋79＋119＋159＋0＝4.。
2020年秋七年级上思维特训(九)有答案：整式加减中的“无关”问题-(新课标人教版数学)
思维特训(九)整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b ＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab ＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二 同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a ＝－3时，求整式7a 2－[5a －(4a －1)＋4a 2]－(2a 2－a ＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a ＝－3看成了a ＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x＝12”错看成“x＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y＝－1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x 3－6x 2－7x ＋8＋x 2＋3x －2x 3＋3＋x 3＋5x 2＋4x －1＝(1－2＋1)x 3＋(－6＋1＋5)x 2＋(－7＋3＋4)x ＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x 的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a 3－6a 3b ＋3a 2b ＋3a 3＋6a 3b －3a 2b －10a 3＋3＝3.整式的结果与a ，b 的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x 2＋(a ＋2)x －11y ＋8，因为整式的值与x 的取值无关，所以1－b ＝0，a ＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.。
2020-2021中山市第一中学数学七年级上思维训练试题及答案分析
级上思维训练试题及答案分析第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A.圆锥B.圆柱C.球体D.以上都有可能2、下列运算正确的是（）.A、；B、；C、；D、。
3、笔记本每本m元，圆珠笔每支n元，买x本笔记本和y支圆珠笔共需（）元.A、mx+ny；B、（m+n）（x+y）；C、nx+my；D、mn（x+y）.4．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米，将2500000用科学记数法表示应为( )A．25×105B．2.5×106C．0.25×107D．2.5×1075．已知代数式x＋2y的值是3，则代数式2x＋4y＋1的值是…………………………（）A．1 B．4 C．7 D．不能确定6．对有理数a、b，规定运算如下：a ※b＝a＋ab，则－2 ※ 3的值为………………（）A．－8 B．－6 C．－4 D．－27．下列各组数中，数值相等的是（）A．34和43B．﹣42和（﹣4）2C．﹣23和（﹣2）3D．（﹣2×3）2和﹣22×328. 蟑螂的生命里很旺盛，它繁衍后代的数量为这一代的数量的7倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有7只，则下一代就会有49只，以此类推，蟑螂第10代的只数是（）A 712B 711C 710D 799.已知点O是线段AB上的一点，且AB=10㎝，点M、N分别是线段AO、线段BO 的中点，那么线段MN的长度是（）A、3㎝B、5㎝C、2㎝D、无法确定10．如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＞|b|C．﹣a＜b D．a+b＜0第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．—2的相反数的倒数是_____.12、如果a与1互为相反数，则︱a+2︱= .13．数轴上点M表示有理数－3，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为__________．14．若单项式3a5b m+1与－2a n b2是同类项，那么m＋n= ．15．跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格；在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格，可以有________种不同的方法．三、解答题（本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）﹣×（0.5﹣）÷（﹣）（2）﹣22﹣[（﹣3）×（﹣）﹣（﹣2）3]（3）当x=2，y=时，化简求值：x﹣（﹣）﹣（2x﹣y2）17．计算：（满分6分，每小题3分）（1）2a－5b+3a+b（2）3(2a2b－ab2)－4(ab2－3a2b)（第15题）18．已知代数式9－6y－4y2=7，求2y2＋3y＋7的值．19．（本题8分）一座楼梯的示意图如图所示，要在楼梯上铺一条地毯。
七年级上册定义新运算(通用版)(含答案)
七年级上册定义新运算（通用版）一、单选题(共12道，每道8分)1.对于任意非零自然数，规定一种运算“”，，则( )A.9B.40C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算2.定义某种新运算：的运算原理流程图如图所示，则( )A.9B.8C.10D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算3.定义新运算“”，，则的值为( )A.0B.-12C.11D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算4.对任意四个有理数，定义新运算：，已知，则( )A.-1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算5.定义两种运算“”，“”，对于任意两个整数，，，则的值为( )A.79B.76C.75D.22答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算6.表示两个数，规定新运算“※”及“”如下：，．则的值为( )A.380B.155C.960D.930答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算7.有一个数学运算符号“”能使下列算式成立：，，．则的值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算8.定义一种新运算：，那么的值为( )A.-13B.19C.15D.-19答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算9.在数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，则当时，的值为( )A.1B.2C.3D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算10.定义一种新运算：，那么的值为( )A.1B.-1C.17D.-17答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算11.设，若，则的值是( )．A.11B.56C.57D.225答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算12.定义新运算：，下面给出了关于这种运算的几种结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是( )A.①②B.②③C.①③D.①答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算。
七上数学每日一练：定义新运算练习题及答案_2020年综合题版
，例如： 答案解析
3.
(2019天台.七上期末) 规定：求若干个相同的有理数（不等于0）的除法运算叫做除方，如
等．类比有理数的乘方，
记作
④ ， 读作“
般地，我们把
（
）记作 ⓝ ， 读作“a的圈n次方”．
（1） 直接写出计算结果：2③= ，
④=.
（2） 有理数的除方可以转化为乘方幂的形式.如
④=
=
，直接将下列的除方形式写成乘方幂的形式：
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值.如数列-1，2，3 的价值为 ；数列3，-1，2的最佳值为1；….经过研究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到 的不同数列中，最佳值的最小值为 .根据以上材料，回答下列问题：
（1） 数列-4，-3，1的最佳值为；
1.答案：
2.答案：
3.答案：
4.答案： 5.答案：
= ④=；5ⓝ=．
（3） 计算：
．
考点： 定义新运算;同底数幂的乘法;
，
的圈4次方”，一
=
答案解析
4. (2019黄岩.七上期末) 如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1 ﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角，（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）
七上数学每日一练：定义新运算练习题及答案_2020年综合题版
2020年 七 上 数 学 ： 数 与 式 _代 数 式 _定 义 新 运 算 练 习 题
1.
(2020扬州.七上期末) 用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定
.（1Βιβλιοθήκη 求的值；（2） 若
人教版七年级数学上册 第一章 有理数 单元测试题 (有答案)
人教版七年级数学上册第一章有理数单元测试题一．选择题（共10小题）1．如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（）A．+a和﹣（﹣a）互为相反数B．+a和﹣a一定不相等C．﹣a一定是负数D．﹣（+a）和+（﹣a）一定相等2．如图，乐乐将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a、b、c分别标上其中的一个数，则a﹣b+c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．33．点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（）A．﹣2或1 B．﹣2或2 C．﹣2 D．14．＜（）＜，符合条件的分数有（）个．A．无数B．1 C．2 D．35．在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．16．在算式3﹣|﹣1□2|中的“□”里，选择一个运算符号，使得算式的值最大（）A．+ B．﹣C．×D．÷7．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．＜08．312是96的（）A．1倍B．C．D．36倍9．2019年“十一”黄金周期间（7天），北京市接待旅游总人数为920.7万人次，旅游总收入111.7亿元．其中111.7亿用科学记数法表示为（）A．111.7×106B．11.17×109C．1.117×1010D．1.117×108 10．如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（）A．+20 元B．+10元C．﹣10元D．﹣20元二．填空题（共8小题）11．2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019年底，我国贫困人口减少了93480000人，用科学记数法把93480000表示为．12．绝对值不大于11.1的整数有个．13．今年，秦州市市区道路的改造面积约达到231500平方米，使市民行车舒适度大大提升．231500（精确到1000）≈．14．计算：﹣ +|3|﹣+（﹣6）＝．15．一只蜗牛在数轴上爬行，从原点出发爬行2个单位长度到达终点，那么这个终点表示的数值是．16．对于任意有理数a、b，规定a⊕b＝2a2+ab﹣1，则（﹣3）⊕5＝．17．﹣2020的相反数是，﹣2020的绝对值是，﹣2020的倒数是．18．若a+3＝0，则a＝．三．解答题（共8小题）19．计算（1）×（）×÷；（2）（）×12；（3）（﹣125）÷（﹣5）；（4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×2]．20．求|x+3|+|x﹣5|的最小值．21．如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别是﹣2，3x﹣4，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．22．已知A地海拔高度为﹣30m，B地海拔高度为50m，C地海拔高度为﹣10m，哪个地方地势最高？哪个地方地势最低？地势最低的地方与地势最高的地方相差多少米？23．先计算，再阅读材料，解决问题：（1）计算：．（2）认真阅读材料，解决问题：计算：÷（）．分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：解：原式的倒数是：（）÷＝（）×30＝×30﹣×30+×30﹣×30＝20﹣3+5﹣12＝10．故原式＝．请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：（﹣）÷．24．超市购进8筐白菜，以每筐25kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5．（1）这8筐白菜总计超过或不足多少千克？（2）这8筐白菜一共多少千克？（3）超市计划这8筐白菜按每千克3元销售，为促销超市决定打九折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？25．阅读理解：李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”例如：①24×11＝264．计算过程：24两数拉开，中间相加，即2+4＝6，最后结果264；②68×11＝748．计算过程：68两数分开，中间相加，即6+8＝14，满十进一，最后结果748．（1）计算：①32×11＝，②78×11＝；（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b＜10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是，十位数字是，个位数字是；（用含a、b的代数式表示）（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．26．定义新运算@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A 和B的大小．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：A、+a和﹣（﹣a）互为相反数；错误，二者相等；B、+a和﹣a一定不相等；错误，当a＝0时二者相等；C、﹣a一定是负数；错误，当a＝0时不符合；D、﹣（+a）和+（﹣a）一定相等；正确．故选：D．2．解：∵5+1﹣3＝3，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，∴a+5+0＝33+1+b＝3c﹣3+4＝3，∴a＝﹣2，b＝﹣1，c＝2，∴a﹣b+c＝﹣2+1+2＝1，故选：C．3．解：由题意得，|2a+1|＝3，解得，a＝1或a＝﹣2，故选：A．4．解：设符合条件的数为x，根据分数的基本性质，把分子分母扩大2倍，则，符合条件的分数有：，，；把分子分母扩大3倍，则，符合条件的分数有：，，，，；…，所以符合条件的分数有无数个，故选：A．5．解：在，，1.62，0四个数中，有理数为，1.62，0，共3个，故选：B．6．解：在算式3﹣|﹣1□2|中的“□”里，要使得算式的值最大，就要使﹣1□2的绝对值最小，∴选择的运算符号是÷．故选：D．7．解：由数轴可知：b＜﹣1，0＜a＜1，∴a+b＜0，a﹣b＞0，ab＜0，＜0．故选：D．8．解：∵312＝（32）6＝96，∴312是96的1倍．故选：A．9．解：111.7亿＝11170000000＝1.117×1010故选：C．10．解：如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作﹣10元．故选：C．二．填空题（共8小题）11．解：93480000＝9.348×107．故答案为：9.348×107．12．解：原点（0点）左边绝对值不大于11.1的整数有：﹣1、﹣2、﹣3、﹣4、﹣5、﹣6、﹣7、﹣8、﹣9、﹣10、﹣11，原点（0点）右边绝对值不大于11.1的整数有：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11，还有0，因此，绝对值不大于11.1的整数有：11+1+11＝23（个）．故答案为：23．13．解：231500≈2.32×105，故答案为2.32×105．14．解：原式＝﹣﹣+﹣＝﹣1﹣3＝﹣4，故答案为：﹣4．15．解：从原点出发，向右爬行2个单位长度，得+2，从原点出发，向左爬行2个单位长度，得﹣2，故答案为：2或﹣2．16．解：∵a⊕b＝2a2+ab﹣1，∴（﹣3）⊕5＝2×（﹣3）2+（﹣3）×5﹣1 ＝18﹣15﹣1＝2．故答案为：2．17．解：﹣2020的相反数是2020，﹣2020的绝对值为2020，﹣2020的倒数是：﹣．故答案为：2020，2020，﹣．18．解：∵a+3＝0，∴a＝﹣3．故答案为：﹣3．三．解答题（共8小题）19．解：（1）×（）×÷＝×（﹣）×＝﹣；（2）（）×12＝3+2﹣6＝﹣1；（3）（﹣125）÷（﹣5）＝[（﹣125）+（﹣）]×（﹣）＝25+＝25；（4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×2]＝（﹣1000）+[16﹣（1﹣9）×2]＝（﹣1000）+[16﹣（﹣8）×2]＝（﹣1000）+（16+16）＝（﹣1000）+32＝﹣968．20．解：∵|x+3|+|x﹣5|表示点x到点﹣3和点5之间的距离之和，∴当点x在点﹣3和5之间时，距离之和最小，即﹣3≤x≤5故最小值为5﹣（﹣3）＝8．21．解：∵点A，B到原点的距离相等，点A表示的数是﹣2，点B在原点的右侧，∴点B表示的数为2，即：3x﹣4＝2，解得，x＝2，答：x的值为2．22．解：因为50＞﹣10＞﹣30，所以B地地势最高，A地地势最低，地势最低的地方与地势最高的地方相差：50﹣（﹣30）＝50+30＝80（m）．答：B地地势最高，A地地势最低，地势最低的地方与地势最高的地方相差80m．23．解：（1）原式＝×12﹣×12+×12＝4﹣2+6＝8；（2）原式的倒数是：（﹣+﹣）×（﹣52）＝×（﹣52）﹣×（﹣52）+×（﹣52）﹣×（﹣52）＝﹣39+10﹣26+8＝﹣47，故原式＝﹣．24．解：（1）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.5（千克），答：以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计不足5.5千克；（2）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.5（千克），25×8﹣5.5＝194.5（千克），答：这8筐白菜一共194.5千克；（3）194.5×3＝583.5（元），583.5×（1﹣0.9）＝58.35（元）．答：这8筐白菜现价比原价便宜了58.35元．25．解：（1）①∵3+2＝5∴32×11＝352②∵7+8＝15∴78×11＝858故答案为352，858．（2）两位数十位数字是a，个位数字是b，这个两位数乘11，∴三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b．故答案为：a，a+b，b．（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数十位数为a，个位数为b，则11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b根据上述代数式，可以总结出规律口诀为：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．26．解：（1）3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）＝﹣＝+＝1；（2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝+＝3b﹣1，B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝+＝3b+1，则A＜B．。
专题 一元一次方程中的新定义问题(解答题30题)(原卷版)
七年级上册数学《第三章一元一次方程》专题一元一次方程中的新定义问题（解答题30题）1．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝ab2+2ab+b，如：1△3＝1×32+2×1×3+3＝18．（1）求（﹣2）△3的值；（2）若x△（﹣3）＝2x+2，求x的值．2．用*定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定：a*b＝ab2﹣2ab，如：2*1＝2×12﹣2×2×1＝﹣2．（1）求：（﹣2）*3；（2）若（x+1）*12=3，求x的值．3．若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣4ab，如3*（﹣2）＝32﹣4×3×（﹣2）＝33．（1）求4*（﹣5）的值；（2）若（﹣6）*y＝﹣11﹣y，求y的值．4．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝a（a+b）．例如：1※2＝1×（1+2）＝1×3＝3．（1）求（﹣3）※4的值；（2）若（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，求x的值．5．我们规定一种新的运算“⊗”：a⊗b＝a+ab﹣3b．例如：4⊗2＝4+4×2﹣3×2＝6，5⊗（﹣3）＝5+5×（﹣3）﹣3×（﹣3）＝﹣1．（1）（﹣1）⊗3＝，（2x﹣1）⊗12=；（2）若4⊗（x+1）＝（2x﹣1）⊗12，求x的值．6．定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3．（1）计算5※6值为．（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．7．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（3，﹣2）★（1，﹣2）＝．（2）若有理数对（2，2x+1）★（1，2x﹣1）＝7，求x的值．8．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2+2ab+a．如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16．（1）则（﹣2）⊕3的值为；（2）若r12⊕(−3)=8，求a的值．9．定义新运算：a⊗b＝a+b，a⊕b＝ab，等式右边是通常的加法、减法运算．（1）求（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）的值；（2）化简：a2b⊗3ab+5a2b⊕4ab；（3）若2x⊗1＝（﹣x+2）⊕4，求x的值．10．现定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．如2⊕3＝2×3+2×2＝10，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题：（1）求3⊕（﹣1）的值；（2）求（﹣2）⊕[（﹣4）⊕12]的值；（3）现改变上述运算规则：当a≥b时，a⊕b＝ab+2a，当a＜b时，a⊕b＝ab﹣2a．若4⊕x＝30，求x 的值．11．“*”是新规定的这样一种运算法则：a*b＝a2+2ab．比如3*（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3（1）试求2*（﹣1）的值；（2）若2*x＝2，求x的值；（3）若（﹣2）*（1*x）＝x+9，求x的值．12．（2022秋•香坊区期末）已知m，n为有理数，且m≠0，若关于x的一元一次方程mx﹣n＝0的解恰为x＝2m+n，则此方程称为“合并式方程”．例如：3x+9＝0∵x＝2×3+（﹣9）＝﹣3，且x＝﹣3是方程3x+9＝0的解∴此方程3x+9＝0为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题：（1）一元一次方程14−12=0是否是“合并式方程”？并说明理由；（2）关于x的一元一次方程6x﹣n＝0是“合并式方程”，求n的值．13．对任意4个有理数a，b，c，d，定义新运算：=ad﹣bc．（1）计算：已知1435=；（2）若321=35，求x的值；（3）若342=2521，求x的值．14．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程2x ＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝6是“兄弟方程”，求m的值；（2）若某“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．15．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“定值方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“定值方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）判断方程4x＝6（回答“是”或“不是”）“定值方程”；（2）若a＝3，有符合要求的“定值方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由；（3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“定值方程”，求代数式5﹣3m+3n的值．16．规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x ＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程﹣3x＝t是“和解方程”，求t的值；（2）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n（n≠0），求m，n的值．17．（2023春•浦东新区期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）判断方程5x＝﹣8（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．18．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：a※b＝a2+2ab，a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|，例如，2※（﹣1）＝22+2×2×（﹣1）＝0，（﹣2）※3＝|﹣2+3|﹣|﹣2﹣3|＝﹣4．（1）计算（﹣3）※2的值；（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a◎b；（3）若（﹣2）※x＝2◎（﹣4）+3x，求x的值；（4）对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“★”，使得（﹣3）★5＝4，直接写出你定义的运算：m★n＝（用含m，n的式子表示）．19．阅读材料：规定一种新的运算a☆b☆c＝a+b﹣ac．例如3☆2☆1＝3+2﹣3×1＝2．（1）按照这个规定，计算1☆2☆3的结果为；（2）按照这个规定，化简（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3；（3）按照这个规定，当2☆x☆3＝4☆1☆x时，x的值为；（4）按照这个规定，若（1﹣x）☆（2x+1）☆（﹣2）＝m，12☆m☆（m﹣1）＝2，则x的值为2．20．如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”．例如：方程x﹣3＝0的解是x＝3，方程x﹣1＝0的解是x＝1．所以：方程x﹣3＝0是方程x﹣1＝0的“2的后移方程”．（1）判断方程2x﹣3＝0是否为方程2x﹣1＝0的k的后移方程（填“是”或“否”）；（2）若关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2的后移方程”，求n的值；（3）若关于x的方程5x+b＝1是关于x的方程5x+c＝1的“3的后移方程”，求2b﹣2（c+3）的值．21．（2022秋•朔州月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0、我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程2x+5＝﹣1和3=1为“互补方程”．（1）方程3x﹣7＝8与方程K32+1＝﹣3“互补方程”．（请填入“是”或“不是”）（2）若关于x的方程2+m＝2与方程3x﹣2＝x+6是“互补方程”，求m的值．（3）若关于x的方程2x﹣1＝4k﹣3与5K34−=32是“互补方程”，求k的值．及关于y的方程2022=7k+3的解．22．（2022秋•郴州期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值；（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；（3）若关于x的一元一次方程12022+3=2+和12022+1=0是“集团方程”，求关于y的一元一次方程12022(+1)+3=2+2+的解．23．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．24．（2023秋•东台市期中）阅读下列材料，并完成相应的任务．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8与方程y+1＝0为“美好方程”．（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否为“美好方程”，请说明理由；（2）若关于x的方程3x+m＝0与方程4y﹣2＝y+10是“关好方程”，求m的值；（3）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．25．（2023秋•南岗区校级期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下：2▲1＝4×2﹣3×1＝51▲（﹣3）＝4×1﹣3×（﹣3）＝13（﹣5）▲（﹣2）＝4×（﹣5）﹣3×（﹣2）＝﹣14…观察式子的运算方式，请解决下列问题：（1）这种运算方式是：m▲n＝（用含m，n的式子表示）；（2）解方程3▲（2▲x）＝2▲x；（3）若关于x的方程3▲（ax﹣1）＝6的解为整数，求整数a的值；26．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．27．（2022秋•于都县期末）我们规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：【定义理解】（1）判断：方程2x＝4差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值；【知识应用】（3）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，则3（ab+a）＝．（4）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+m都是“差解方程”，求代数式3（mn+m）﹣9（mn+n）2的值．28．定义：关于x的方程ax+b＝0的解为x＝a+b，则称这样的方程是“和合方程”．如：x−12=0的解x=12=1+（−12），3x−94=0的解x=34=3+（−94）都是“和合方程”．（1）判断方程﹣2x+4＝0是不是“和合方程”？说明理由；（2）若关于x的方程mx+n﹣m＝0是“和合方程”，求方程2（mn+n）y﹣4＝2（my+1）+3y的解．29．（2022秋•雨花区校级月考）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a﹣稻香方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣稻香方程”．（1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，则a＝；（2）若关于x的方程x−K23=n﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m ＞0），求n的值；（3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，求代数式6x+2b﹣2（c+3）的值．30．（2023春•石狮市校级月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，则m＝；若“美好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，则n＝．（2）若关于x的方程2+=0与方程3K25=r2是“美好方程”，求m的值；（3）若关于x的一元一次方程12022+3=2+和12022+1=0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程12022(+1)+3=2++2的解．。
人教版七年级上思维特训(四)含答案：绝对值与分类讨论.docx
思维特训(四)绝对值与分类讨论方法点津•1.由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0, 负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论.a (G>0),用符号表示这一过程为：kl=]o(。
=0),—a (d<0).2.由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论.用符号表示这个过程为：若|x|=a(d>0),则x=±a.3・分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳.典题精练•类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论1・已知点A在数轴上对应的数是a,点B在数轴上对应的数是b,且|a+4| + (b-l)2= 0.现将点A, B之间的距离记作|AB|,定义|AB| = |a-b|.(1)|AB|= _______ ；(2)设点P在数轴上对应的数是x,当|PA| — |PB|=2时，求x的值.2.我们知道：点A, B在数轴上分别表示有理数a, b, A, B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A, B两点之间的距离AB = |a-b|,所以式子|x~3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离.根据上述材料，回答下列问题：(1)|5-(-2)|的值为_________ ；(2)若|x—3|=1,则x的值为__________ ；(3)若|x—3| = |x+l|,求x 的值；(4)若|x-3| + |x+l|=7,求x 的值.类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题3.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a, b, c满足abc>0,求弓+半+早的值.【解决问题】解：由题意，得a, b, c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.①当a, b, c 都是正数，即a>0, b>0, c>0 时，则^+^+^=|+^+|= 1 + 1 + 1 = 3；②当a, b, c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a>0, b<0, c<0,贝層+罟+早= a b c所以弓+¥+¥的值为3或T.【探究】请根据上而的解题思路解答下而的问题：(1)三个有理数a, b, c满足abc<0,求弓的值；(2)已知|a|=3, |b| = l,且a<b,求a+b 的值.4.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉•例如：|6+7|=6+7； |6—7|=7—6； |7—6|=7—6； |—6—7|=6+7.(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：®|7-21|= _________ ；②|-|+0.8|= _________ ；③--------------------------- 恰一召|= •⑵用合理的方法计算:号―201$ +〔201厂刁_I-2*+1009*5.探索研究:⑴比较下列各式的大小(填“V” “>”或®|-2| + |3| ________ 1-2+31；③|6| + |—3| ______ |6-3|；④|0| + |-8| _______ |0-8|.(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a, b为有理数时，|a| + |b|与|a+b|的大小关系.(直接写出结论即可)(3)根据(2)中得出的结论,解决以下问题：当|x| + |-2018| = |x-2018|时,求x的取值范围.详解详析1.解：(1)因为|d+4|+(b-1)2=0,所以。
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思维特训(三)定义新运算
方法点津·
定义新运算是一种特别设计的、人为的、临时的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如：*，▲，★，◎，Δ，◆，■等来表示的一种运算．其解题方法是：
(1)理解新定义的算式含义；
(2)严格按照新定义的计算程序，将数值代入，将其转化为常规的加减乘除乘方运算，然后计算得结果．
典题精练·
类型一定义新运算——运算类
1．定义一种新运算※，观察下列式子：
1※3＝1×3＋3＝6；3※2＝3×2＋2＝8；
3※5＝3×5＋5＝20；5※3＝5×3＋3＝18.
(1)填一填：2※4＝________，a※b＝________；
(2)请你依照上述运算方法，求(－3※7)※2的值．
2．定义一种关于“⊙”的新运算，观察下列式子：
1⊙3＝1×4＋3＝7；
3⊙(－1)＝3×4＋(－1)＝11；
5⊙4＝5×4＋4＝24；
4⊙(－3)＝4×4＋(－3)＝13.
(1)填空：5⊙(－6)＝________；
(2)请你判断：当a≠b时，a⊙b______b⊙a(填“＝”或“≠”)，并说明理由．
3．用[x]表示不超过x 的整数中的最大整数，例如：
[2.23]＝2，[－3.24]＝－4.计算下列各式：
(1)[3.5]＋[－3]； (2)[－7.25]＋[－13
]．
类型二 定义新运算——探究类
4．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a#b#c ＝|a －b －c|＋a ＋b ＋c 2
. 如：(－1)#2#3＝|－1－2－3|＋（－1）＋2＋32
＝5. (1)计算：4#(－2)#(－5)＝________．
(2)计算：3#(－7)#113
＝________． (3)在－67，－57，…，－17，0，19，29，…，89
这15个数中： ①任取三个数作为a ，b ，c 的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果中的最小值；
②若将这15个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，求五个结果之和的最大值．
详解详析
1．解：(1)根据题意，得2※4＝2×4＋4＝8＋4＝12，a ※b ＝a ×b ＋b .
(2)根据题意，得(－3※7)※2＝(－21＋7)※2＝(－14)※2＝－28＋2＝－26.
2．解：(1)14
(2)当a ≠b 时，a ⊙b ≠b ⊙a .
理由：依题意，得a ⊙b ＝4×a ＋b ，b ⊙a ＝4×b ＋a .
因为a ≠b ，
所以4×a ＋b ≠4×b ＋a ，
即a ⊙b ≠b ⊙a .
3．解：(1)[3.5]＋[－3]＝3－3＝0.
(2)[－7.25]＋[－13
]＝(－8)＋(－1)＝－9.
4．解：(1)原式＝|4＋2＋5|＋4－2－52
＝4. (2)原式＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪3＋7－113＋3－7＋1132＝3.
(3)当a ≤b ＋c 时，a #b #c ＝b ＋c ；当a >b ＋c 时，a #b #c ＝a .
①当a ＝b ＋c 时，a #b #c 的值最小，
令b ＝－57，c ＝－17，则原式＝－57－17＝－67
. ②因为当a ＝－67，b ＝19，c ＝29时，原式＝19＋29＝13
； 当a ＝－57，b ＝39，c ＝49时，原式＝39＋49＝79
； 当a ＝－47，b ＝59，c ＝69时，原式＝59＋69＝119
； 当a ＝－37，b ＝79，c ＝89时，原式＝79＋89＝159
； 当a ＝0，b ＝－17，c ＝－27
时，原式＝0，
所以五个结果之和的最大值为13＋79＋119＋159＋0＝4.。