2020年中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题解析版

【中考数学二轮核心考点讲解】

第12讲运动路径长度问题

想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：

1.《隐圆模型》

2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”

3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”

4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型

此外，还需要明白的动点类型还有：

5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上

6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上

7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半

8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例

9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等

一、路径为圆弧型

解题策略：

①作出隐圆，找到圆心

②作出半径，求出定长

解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论. 二、路径为直线型

解题策略：

①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型

②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可

解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点

三、路径为往返型

解题策略：

①通常为《主从联动模型》的衍生版

②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化

③找出动点运动的最远点

解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等

【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）

A．B．C．D．

【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》

【解析】如图，连接OP，AQ，

设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，

∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，

∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，

∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，

∴＝，∠ABQ＝∠OBP，

∴△ABQ∽△OBP，

∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，

∴AQ＝，

又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，

∴0°≤∠BOP≤90°，

∴0°≤∠BAQ≤90°，

∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，

∴点Q运动的路径长为＝，

故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]

【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）

A．πB．C．πD．2

【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型

【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，

当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，

∵∠AFD＝90°，

∴点F在以AD为直径的圆上，

∴点F运动的路径为，

∵弦CD⊥AB且过OB的中点，

∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，

∴∠DOE＝60°，

∴∠DAC＝60°，

∴△ACD为等边三角形，

∴MQ和ME为中位线，

∴MQ＝，∠QME＝60°，

∴F运动的路径长度＝＝．

故选：A．

【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．

【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型

【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，

∵OA＝OB＝1，AB＝1，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

∴∠APB＝∠AOB＝30°，

∵AC⊥AP，

∴∠C＝60°，

∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，

∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，

∴∠ADB＝120°，

如图2，

当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．

故答案为：．

【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）

A. B. C. 1 D. 2

【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”

【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，

∵△ACB为到等腰直角三角形，

∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，

∵O为AB的中点，

∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，

∵∠POQ=90°，∠COA=90°，

∴∠AOP=∠COQ，

在Rt△AOP和△COQ中

，

∴Rt△AOP≌△COQ，

∴AP=CQ，

易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，

∴PE=

2

2

AP=

2

2

CQ，QF=

2

2

BQ，

∴PE+QF=

2

2

（CQ+BQ）=

2

2

BC=

2

×2

2

=1，

∵M点为PQ的中点，

∴MH为梯形PEFQ的中位线，

∴MH=1

2

（PE+QF）=

1

2

，即点M到AB的距离为

1

2

，

而CO=1，

∴点M的运动路线为△ABC的中位线，

∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=1

2

AB=1，

故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]

【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．

（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．

（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．

（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；

并直接写出点E运动路径的长度．