平面向量 高三 一轮复习(完整版)

题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒
介．
一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：
1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；
2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；
3、向量AB →与向量CD →
共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；
5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；
6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；
7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
9、向量
与的长度相等；
10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量
与是两平行向量；
14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若
AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；
16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量
AB 的长度是OA 长度的3倍；
17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；
19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ
或=λ；
20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+
21、下列命题中：其中正确的是_____________
① →
→→→→
→
→
⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；
② →
→→→
→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；
③ 2
()
a b →
→
-2
||a →
=2
2||||||a b b →
→
→
-⋅+； ④ 若0=⋅→
→b a ，则0=→
a 或0=→
b ；
⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =
⑥22
a a = ；
⑦2a b b
a a
⋅=
； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+
二、平面向量平行定理（共线定理）
（1）若//(0)a b b ≠⇒
（2）若a b λ=
共线定理作用（1） （2）
【例2】设两个非零向量a 与b
不共线,
（1）
若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-
求证：A..B.D 三点共线;
（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +
共线。

【例3】已知向量a =
1）b =（0，-1），c =（k
）。

若2a b - 与c
共线，则k=__________。

三、直线的向量参数式方程
已知A,B 是直线l 上任意两点,O 是l 外一点,则对直线l 上任意一点P,存在实数t,使OP 关于基底{,OA OB
}的分解
式为
此向量等式叫做直线l 的向量参数方程式,其中实数t 叫做参数,并且满足t =.
应用一:OB OA ,前面的系数之和为定值1
1.（2007·全国Ⅱ）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123
AD DB CD CA CB λ==+
，，则λ=（ ）
A ．
23
B ．
13
C ．13
-
D ．23
-
2.(2007·江西)如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线
AB ，AC
于不同的两点
M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =
，则m n +的值为
．
应用二:用于向量的线性表示以及求向量的数量比 如图,在∆ABC 中,=CA
a ,=CB
b , M,N
分别是边CB CA ,上的点,且13CM = a , 1
2
CN = b ,设
交
于P, 用向量a ,b 表示CP
,
并求AP : PN 及BP : PM.
应用三:证明共线问题
对于平行四边形ABCD,点M 是AB 的中点,点N
在BD 上
,且BN=3
1BD. 求证:M,N,C 三点共线.
应用四：求直线方程
在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若C
满足OC OA OB αβ=+
,其中,αβ∈R,且
1αβ+=,则点C 的轨迹为 ,轨迹方程为 .
【练习】
1、已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →
(μ>0)，则1λ＋4
μ
的最小值是 A ．9 B.7
2
C ．5
D.9
2
( ) 2、如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →
，
AC →＝nAN →
，则mn 的最大值为A.12
B ．1
C ．2
D ．3 ( )
四、向量的内积 1、两个非零向量的夹角
已知非零向量.与.,作＝,＝,则____________________叫与的夹角; 范围： __________________ 判断方法：__________________ 、数量积的概念
向量的投影：__________________,向量b 在a
方向上的投影.（如图）
投影与射影的关系：_____________________
3、数量积的几何意义： a ·b 等于a
的长度与b 在a 方向上的投影的乘积.
4、向量数量积的性质
（1）向量的模与平方的关系：a a ⋅=
____=______________.
（2）向量的夹角：cos θ
=_______________________________.
例1．(2005年高考·北京卷·理3文4)| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
例2．(2005年高考·江西卷·理6文6) 已知向量与则若,2
5
)(,5||),4,2(),2,1(=
⋅+=--= （ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
例3．(2005年高考·重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量
与的
夹角为
（ ）
A ．54
arccos 2-π
B ．5
4
arccos
C ．)54arccos(-
D ．－)5
4arccos(-
例4．(2005年高考·浙江卷·理10)已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e
|，则（ ）
A ．a ⊥e
B ．a ⊥(a －e )
C ．e ⊥(a －e )
D ．(a ＋e )⊥(a －e )
例5 ．(2005年春考·上海卷5)在△ABC 中，若90C ∠=
，4AC BC ==，则BA BC ⋅=
.
【例6】 1、已知)2,(λλ=→
a ，)2,3(λ=→
b ，如果→
a 与→
b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______
2、设a =（4,3），a 在b
，b
在x 轴上的投影为2，且||4,b ≤ 求b 的坐标
【例7】已知向量OA =（1,1），OB =（2,3），OC
=（m+1,m-1）,
（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求m 的范围； （2）若在三角形ABC 中，角B 为直角，求角A ；
五、向量与三角形四心关系 1、三角形四心的概念
（1）重心——____________的交点：重心将中线长度分成____________； （2）垂心——____________的交点：高线与对应边____________；
（3）内心——____________的交点（__________圆的圆心）：角平分线上的任意点____________________； （4）外心——____________的交点（__________圆的圆心）：外心到三角形各顶点____________________。

2、四心与向量的结合
（1）0GA GB GC ++=⇔
G 是ABC ∆的重心.
设112233(,),(,),(,),(,)G x y A x y B x y C x y ,则x=___________________,y=_______________________; （2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的________心.
（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心
O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.
证明：b AC c AB 、
分别为方向上的单位向量，∴
b
AC
c AB +平分BAC ∠,
(
λ=∴b
c +)，令c b a bc
++=λ∴
c b a bc ++=
（b
c +
) 化简得)(=++++c b c b a ∴=++c b a
（4
==⇔O 为ABC ∆的外心。

例1：O 是平面上一定点，
C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，
[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 （ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
平面向量一轮复习（全）
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OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的_______________心；
例
3：
O
是平面上一定点，
C
B A 、、是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的_____________心
【自主练习】：
1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数
λ满足：
AP AC AB λ=+，则λ的值为______ A ．2 B ．
2
3
C ．3
D ．6
2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，若2
2
2
=+2
2
2
AB OC CA +=+，则O 是
ABC ∆的_________________；
3．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =
4．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →
=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|
=12 , 则△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形 A ．//a b B ．a b ⊥
C ．
=a b
D ．+=-a b a b
6．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则 =⋅ ( )
A ．
2
1 B ．0 C ．1
D ．2
1-
7．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
A ．0
B ．
2
3
C ．
4
5 D ．
3
4
【总结五个向量中的结论】
例题：利用五个结论证明欧拉线
六、向量与三角函数
1、 已知ABC ∆中，1BA BC ∙= ，若ABC ∆的面积为S ，且62
S ≤≤
. （1）求角B 的变化范围； （2）求
sin 2cos 21sin()
4
B B B π
+++的取值范围。

2、 已知向量(2cos 1,cos2sin 1)OP x x x =+-+ ，(cos ,1)OQ x =-
，定义()f x OP OQ =∙ 。

（1）求函数()f x 得最小正周期；（2）若(0,2)x π∈，当1OP OQ ∙<-
时，求x 的取值范围。

平面向量一轮复习（全）
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3
、已知点()(1cos2,1),2),,M x N x a x a R a ++∈点是常数，且y O M O N =∙
（O 是坐标原点）
（1）求
y 关于x 的函数关系式()y f x =；
（2）若()[0,]43
x f x a π∈时，的最大值为，求的值，并说明此时()f x 的图象可由2sin y x =的图象经过怎样
的变换而得到。

4、向量
a (cos sin )x x x =+，
b (cos sin )x x x =-，设函数()f x =a ·b .
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若2
20x x π-≤，求函数()f x 的值域。

5、 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，3cos 5
B =，21AB B
C ∙=-
，求ABC ∆的面积。

6、已知点
()()33,0,(0,3),cos ,sin ,(,)22
A B C ππ
ααα∈.
（1）若
AC BC
= ，求角α的值；（2）若22cos sin 21,1cot AC BC αα
α
+∙=-+ 求
的值.
7．(2005年高考·江西卷·理18)
已知向量x f x x x x ⋅=-+=+
=)()),4
2tan(),42sin(2()),42
tan(,2cos 2(令π
ππ
. 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.
8．(2005年高考·山东卷·理17)
已知向量(cos ,sin )m θθ=
和)()sin ,cos ,,2n θθθππ=∈
，且m n + 求cos 2
8θπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值.
9．(2005年高考·江西卷·理16文16)以下同个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题的序号为
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||
，则动点P 的轨迹为双曲线；
②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(2
1
+=
则动点P 的轨迹为椭圆；
③方程02522
=+-x x
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.
10．已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==- ，且[0,]2
x π
∈，设()2||f x a b a b λ=⋅-+ ．
⑴求a b ⋅ 及||a b + ．⑵若()f x 的最小值是3
2
-，求λ的值．⑶若方程()40f x -=有解，求λ的取值范围．。