平面向量 高三 一轮复习(完整版)

题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒

介．

一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：

1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；

2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；

3、向量AB →与向量CD →

共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；

5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；

6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；

7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

9、向量

与的长度相等；

10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量

与是两平行向量；

14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若

AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；

16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量

AB 的长度是OA 长度的3倍；

17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；

19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ

或=λ；

20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+

21、下列命题中：其中正确的是_____________

① →

→→→→

→

→

⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；

② →

→→→

→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；

③ 2

()

a b →

→

-2

||a →

=2

2||||||a b b →

→

→

-⋅+； ④ 若0=⋅→

→b a ，则0=→

a 或0=→

b ；

⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =

⑥22

a a = ；

⑦2a b b

a a

⋅=

； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+

二、平面向量平行定理（共线定理）

（1）若//(0)a b b ≠⇒

（2）若a b λ=

共线定理作用（1） （2）

【例2】设两个非零向量a 与b

不共线,

（1）

若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-

求证：A..B.D 三点共线;

（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +

共线。

【例3】已知向量a =

1）b =（0，-1），c =（k

）。若2a b - 与c

共线，则k=__________。

三、直线的向量参数式方程

已知A,B 是直线l 上任意两点,O 是l 外一点,则对直线l 上任意一点P,存在实数t,使OP 关于基底{,OA OB

}的分解

式为

此向量等式叫做直线l 的向量参数方程式,其中实数t 叫做参数,并且满足t =.

应用一:OB OA ,前面的系数之和为定值1

1.（2007·全国Ⅱ）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123

AD DB CD CA CB λ==+

，，则λ=（ ）

A ．

23

B ．

13

C ．13

-

D ．23

-

2.(2007·江西)如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线

AB ，AC

于不同的两点

M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =

，则m n +的值为

．

应用二:用于向量的线性表示以及求向量的数量比 如图,在∆ABC 中,=CA

a ,=CB

b , M,N

分别是边CB CA ,上的点,且13CM = a , 1

2

CN = b ,设

交

于P, 用向量a ,b 表示CP

,

并求AP : PN 及BP : PM.

应用三:证明共线问题

对于平行四边形ABCD,点M 是AB 的中点,点N

在BD 上

,且BN=3

1BD. 求证:M,N,C 三点共线.

应用四：求直线方程

在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若C

满足OC OA OB αβ=+

,其中,αβ∈R,且

1αβ+=,则点C 的轨迹为 ,轨迹方程为 .

【练习】

1、已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →

(μ>0)，则1λ＋4

μ

的最小值是 A ．9 B.7

2

C ．5

D.9

2

( ) 2、如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →

，

AC →＝nAN →

，则mn 的最大值为A.12

B ．1

C ．2

D ．3 ( )

四、向量的内积 1、两个非零向量的夹角

已知非零向量.与.,作＝,＝,则____________________叫与的夹角; 范围： __________________ 判断方法：__________________ 、数量积的概念

向量的投影：__________________,向量b 在a

方向上的投影.（如图）

投影与射影的关系：_____________________

3、数量积的几何意义： a ·b 等于a

的长度与b 在a 方向上的投影的乘积.

4、向量数量积的性质

（1）向量的模与平方的关系：a a ⋅=

____=______________.

（2）向量的夹角：cos θ

=_______________________________.

例1．(2005年高考·北京卷·理3文4)| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

例2．(2005年高考·江西卷·理6文6) 已知向量与则若,2

5

)(,5||),4,2(),2,1(=

⋅+=--= （ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°