怎样求y=Asin(ωx+ψ)的解析式
如何确定正弦型函数y=Asin（ωχ+ψ）的
如何确定正弦型函数y =A s i n (ωx +φ)的解析式ʏ朱亚奇由函数图像或部分图像确定解析式的关键是求出A ,ω,φ的值㊂一般可由图像上的最大值㊁最小值确定A 的值㊂因为T =2πω,所以往往通过求周期T 来确定ω的值㊂确定φ的两种常用方法:①代入法,把图像上的一个已知点代入(此时,A ,ω已知)或代入图像与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上);②五点法,寻找五点作图法中的第一个零点-φω,0作为突破口,第一点 (即图像上升时与x 轴的交点)为ωx +φ=0, 第二点 (即图像的 峰点 )为ωx +φ=π2, 第三点 (即图像下降时与x 轴的交点)为ωx +φ=π, 第四点 (即图像的 谷点 )为ωx +φ=3π2, 第五点 为ωx +φ=2π㊂例1 图1是函数y =A s i n (ωx +φ)|φ|<π2的图像的一部分,试确定其一个函数解析式㊂图1解:(方法1)由图知A =3㊂由T =5π6--π6 =π,可得ω=2πT =2㊂由图像过点-π6,0 ,可得-π6ˑ2+φ=0,解得φ=π3㊂故函数y =3s i n 2x +π3 ㊂(方法2)由图可得A =3㊂由图知过点π3,0 和5π6,0,根据五点作图法可得π3㊃ω+φ=π,5π6㊃ω+φ=2π,解得ω=2,φ=π3㊂故函数y =3s i n 2x +π3㊂解决同一个问题,可以有多种途径,同学们在解题时,要注意提高发散思维能力,这样才能做到举一反三㊂例2 已知函数y =A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图像如图2所示,求此函数的解析式㊂图2解:由图知A =2,T 2=43-13=1,则T =2㊂由T =2πω=2,可得ω=π,这时函数y =2s i n (πx +φ)㊂由图像过点13,2 ,可得2s i n π3+φ =2,所以s i n π3+φ =1㊂又|φ|<π2,所以φ=π6㊂故函数y =2s i n πx +π6㊂A 由最值确定,ω由周期确定,周期通常通过特殊点观察求得,如相邻两个最大值㊁最小值点相差半个周期,φ由点在函数图像上列方程求得,确定φ值时,注意它的不唯一性,一般要求|φ|中最小的φ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)9知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
由函数y=Asin(ωx+φ)的图像求解析式
【解析】(1)依题意知，A＝2 2，T4＝6－2＝4， T＝16，∴ω＝π8，∴y＝2 2sinπ8x＋φ． 将点(2,2 2)代入 y＝2 2sinπ8x＋φ中， 得 2 2＝2 2sinπ4＋φ，即 sinπ4＋φ＝1． 而 0＜φ＜π，∴φ＝π4． ∴所求函数的解析式为 y＝2 2sinπ8x＋π4．
例2 如下图为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，试确 定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．
练习 1：一正弦曲线的一个最高点为14，3，从相邻的最低点到 这最高点的图象交 x 轴于－14，0，最低点的纵坐标为－3，则这一正 弦曲线的解析式为( )
A．y＝3sinπx＋π4 B．y＝3sinπx－π4 C．y＝3sin2πx＋π8 D．y＝3sin2πx－π8
解析：依题意知 A＝3，T＝4×14＋14＝2，∴ω＝22π＝π，故可设 解析式为 y＝3sin(πx＋φ)，代入点14，3得，sinπ×41＋φ＝1，∴φ＋π4 ＝π2，φ＝π4，故解析式为 y＝3sinπx＋π4.
答案：A
【练习2】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω＞0,|φ|＜π/2 )的图 象的一部分如图所示； (1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程； (3)试写出f(x)的对称中心； (4)当x[0,π/2]时，求f(x)的值域.
练习2：
函数 y
Asin(x
),
(
A
0,
0,
|
|
)
的最小值是2，其图象相邻的最高点与最低点2横坐
标差的绝对值是3，且图象过点(0,1)，求函数解析
式.
例4 函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)图 象的一部分如图所示．
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
高一数学函数y=Asin(ωx+ψ)课件
进阶习题2
函数 y = sin(2x - π/6) 在区间 [0, π] 上的单调递增区间为 _______．
进阶习题3
函数 y = sin(x - π/6) 在区间 [0, π] 上的单调递减区间为 _______．
进阶习题4
函数 y = sin(2x + π/3) 在区间 [0, π/2] 上的单调递减区间为 _______．
高阶习题及解析
01
02
03
04
高阶习题1
函数 y = sin(x + π/3) 在区间 [0, π] 上的对称轴方程为 _______．
高阶习题2
函数 y = sin(2x - π/2) 在区 间 [0, π] 上的对称轴方程为
_______．
高阶习题3
函数 y = sin(x - π/6) 在区间 [0, π] 上的对称中心坐标为
参数A、ω、ψ的意义与作用
A的意义与作用
振幅A决定了正弦函数的最大值 和最小值，即函数的幅度大小。 增大A的值会使函数振幅增大，
反之则减小。
ω的意义与作用
角频率ω决定了正弦函数的周期 ，即函数重复出现的时间间隔。 增大ω的值会缩短周期，使函数 变化加快；减小ω的值则会延长
周期，使函数变化减慢。
ψ的意义与作用
ω的变化影响
改变ω的值会影响函数的周期，周期 的变化会导致函数图像的平移。同时 ，ω的变化也会影响函数在单个周期 内的变化速率。
03
CATALOGUE
函数y=asin(ωx+ψ)的应用实例
物理中的简谐振动与波动
简谐振动
在物理中，简谐振动是一种周期性的 来回运动。函数y=asin(ωx+ψ)可以 用来描述这种振动的位移随时间的变 化。其中，ω表示振动的角频率，ψ 表示初相，a表示振幅。
1.3.4 函数y=Asin(ωx+φ)解析式
1.3.4 函数sin()y A x ωϕ=+的解析式一、课题：函数sin()y A x ωϕ=+的解析式二、教学目标：1．会根据函数图象写出解析式；2．能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．三、教学重、难点：1．根据函数图象写解析式；2．根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．四、教学过程：（一）复习：由函数sin y x =的图象到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法：（方法一）：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；（方法二）：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。
（二）新课讲解：1．根据函数图象求解析式例1：已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。
解：由图知：函数最大值为又∵0A >，∴A =由图知52632T πππ=-= ∴2T ππω==，∴2ω=， 又∵157()23612πππ+=，∴图象上最高点为7(12π，7)12πϕ⨯+，即7sin()16πϕ+=，可取23πϕ=-，所以，函数的一个解析式为2)3y x π=-． 2．由已知条件求解析式例2： 已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这 个函数的解析式。
解：由题意：5A =，24T π=， ∴22T ππω==， ∴4ω=， ∴5cos(4)y x ϕ=+， 又∵图象经过点5(0,)2-， ∴55cos 2ϕ-=， 即1cos 2ϕ=-， x3- 3π 56π 3O又∵0ϕπ<<， ∴23πϕ=， 所以，函数的解析式为25cos(4)3y x π=+． 例3：已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为最小值为23π，且图象过点(0,4-，求这个函数的解析式。
函数y=Asin(ωx+φ)的解析式求法
2 的一段图象如图所示．
(1)求 f(x)的解析式．
f(x)＝3sin
2x－ π 5 10
．
5．已知函数
f(x)＝Asin(ωx＋φ)
A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2
的最小正周期为 2，且当 x＝1时，
3
f(x)取得最大值 2．
(1)求函数
f(x)的解析式．f(x)＝2sin
πx＋π 6
．
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思路点拨：可由最高点、最低点确定A，再由周期确定
ω，然后由图象过已知点确定φ.
解：方法一(逐一定参法)
由图象知振幅 A＝3，
又 T＝5π－
－π 6
＝π，
∴ω＝2π＝2．
6
T
由点
－π，0 6
，令－π6×2＋φ＝0，
得φ＝π， 3
∴y＝3sin
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(3)从寻找“五点法”中的第一零点－ωφ ，0(也叫初始点) 作为突破口．以 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为例，位于单调 递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第 一个点．
2．在研究 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω＞0)的性质时，注意采 用整体代换的思想．例如，它在 ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得 最大值，在 ωx＋φ＝32π＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
最高点ωx＋φ＝π2或最低点ωx＋φ＝32π不易出错，而用零点时 一定要分清是“上始点”(ωx＋φ＝0)，还是“下始点”(ωx＋φ
＝π)，否则将有可能得出错解．此外，若 φ 不在要求的范围内，
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径注意：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin )4(π-x 的图象是由y ＝sin )4(π+x 的图象向右平移π2个单位长度得到的．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( ) 题组二：教材改编2．为了得到函数y ＝2sin )32(π-x 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．]函数y ＝2sin )321(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三：易错自纠 5．要得到函数y ＝sin )34(π-x 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．三、典型例题题型一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 典例 已知函数y ＝2sin )32(π+x .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y ＝2sin )32(π+x 的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维升华：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练：(1)若把函数y ＝sin )6(πω-x 的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A ．2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f )6(π+x 取得最小值时x 的集合为________．思维升华：y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 跟踪训练 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12 题型三：三角函数图象性质的应用 命题点1：三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin )6(ϕπ+x ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 命题点2：函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在),2(ππ上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．引申探究：本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 命题点3：三角函数图象性质的综合 典例 已知函数f (x )＝3sin )32(πω+x (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点)0,3(π-，求当m 取得最小值时，g (x )在]127,6[ππ-上的单调递增区间．思维升华：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω≤>的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点)21,2(-，则函数f (x )的解析式为__________．四、反馈练习1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin )322(π+x ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.5π43．若函数y ＝sin(ωx －φ))2,0(πϕω<>在区间],2[ππ-上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π34．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3D.π45．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________． 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B )1,3(-π，则f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝cos )33(π+x ，其中x ∈],6[m π，若f (x )的值域是]23,1[--，则m 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ))2(πϕ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P )23,0(，则φ的值为________． 13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f )61(的值为________．.15．设函数f (x )＝sin )6(πω-x ＋sin )2(πω-x ，其中0＜ω＜3.已知f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。
人教版高中数学必修4怎样求y=Asin(ωxφ)的解析式
怎样求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式学习了正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)后，经常会遇到确定其解析式的问题.这里振幅A常由函数的最值确定，ω则由周期公式T=2πω来求得，问题的关键是求初相ϕ.本文介绍确定正弦函数解析式的两种基本方法.一、待定系数法分析正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)满足的几何条件，列出关于A、ω、ϕ的三个方程，从而解出A、ω、ϕ，这就是待定系数法.例1 若函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0<ϕ<2π)的最小值是－2，周期为23π，且它的图象经过点(0,)，求此函数的解析式.解析：∵函数的最小值是－2，∴A=|－2|=2.∵函数的周期是23π，∴23π=2πω，解得ω=3.∵函数的图象经过点(0,),∴将x=0，y=及A=2代入y=Asin(ωx+ϕ)得－=2sinϕ，sinϕ=－2.∵0<ϕ<2π，∴y=54π或74π.故所求函数的解析式是：y=2sin(3x+54π)或y=2sin(3x+74π)例2 已知函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的图象如图1所示，求此函数的解析式.分析：由图1提供的信息，正弦曲线相邻的最大、最小值之间为周期的12.∴2T=56π－6π=23π，即T=43π，∴ω=2Tπ=32又显然有A=2，下面只须求初相ϕ.设曲线与x轴交C，易知，C(2π,0)将A=2，ω=32，x=2π，y=0代入y=Asin(ωx+ϕ)得0=2sin(34π+ϕ).∴ϕ=kπ－34π，(k∈Z).注意到y=Asin(ωx+ϕ)的图象是由y=sinx的图象，经过振幅、周期变换，且向右平移而得，当k=0时，ϕ在区间[－π,π]上有解.∴ϕ=－34π，故函数的解析式是y=2sin(32x－34π).二、平移变换图1图2 我们知道，设A>0，ω>0，正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)=Asin[ω(x+ϕω)]的图象，可以看成是由函数y=sinx 的图象经过下面变换而得到： y=sinx 的图象 →y=Asinx 的图象（振幅变换）→y=Asinωx 的图象（周期变换）→y=Asin[ω(x+ϕω)]的图象（平移变换），这里抓住特殊点的平移来求ϕ.例3 图2是正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个周期的图象，试求此函数的解析式.分析 这里2T =32π，∴T=3π，ω=23.∵函数的图象可以看成是y=sinx 的图象经过振幅变换、 周期变换后，再向左平移52π个单位.∴52π=ϕω，即ϕ= 54π·23=53π.下面只须再由图象过点(0,来确定A. 将x=0，y=及ϕ=53π代入y=Asin(ωx+ϕ)=Asin 53π，A=2，故函数的解析式是y=2sin(23x+53π).评注：由y=Asinωx 的图象经过平移得到y=Asin[ω(x+ϕω)]的图象，可从图像上特殊点的变化得到平移的规则，如本题中向左平移52π个单位等. 三、“五点法”我们知道，用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图，主要是作变量代换X=ωx+ϕ，由X 取0，2π，π，32π，2π来求出对应的x 的值，确定图象五个关键点的位置.而求其表达式，则相当于X ，x 已知，求ω与ϕ.例4 如图3，写出函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个表达式.解析： 易知，令X=ωx+ϕ.图象中的特征点(2,－)，(6,0)对应y=sinX 图象中五个关键点的两点(32π,－1)，(2π,0)，因此， 32262πωϕωϕπ⎧⋅+=⎪⎨⎪⋅+=⎩，解得854πωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴8πx+54π)评注： 建立x ，X 对应点间的联系，必须注意特征点是与y=sinx 图象上五个关键点中(0,0)，(2π,1)，(π,0)，(32π,－1)，(2π,0)的哪一个相对应，如当ω·2+ϕ=32π时，只能有ω·6+ϕ=2π.而已知图象求表达式，答案是不唯一的，但只是ϕ值不同，可以相差2kπ(k ∈Z).如当ω·6+ϕ=0时，由ω·2+ϕ=2π也可解得：ω=8π，ϕ=－34π.。
求三角函数y=Asin(wx+φ)解析式的五种方法(最全面)
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A、ω、φ。
A（振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期）ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．解:由22y -≤≤，得A=2已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π35346124T πππ=-=T π∴=2ω=把(,2)12π代入，2122ππφ⨯+=得3πϕ=所以y=)32sin(2π+x例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，分析：πππ==）（12--1211T 222===πππT w ,因此解析式为)2sin(2ϕ+=x y ，此时取第一个点（0,12-π）代入得012-2=+⨯φπ（（将该点看做正弦函数图像一个周期内的第一个端点0），6πφ=例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==分析：42,8413ππω====-T T T 则，,代入得)4sin(φπ+=x y ，取（1,0）作为正弦函数图像一个周期内的最大值点，令4,214πφπφπ==+⨯则例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。
三角函数解析式的求法
函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用‖知识梳理‖ 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念 T ＝2πωωx ＋φ用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.| 微 点 提 醒 |1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k∈Z 确定其横坐标．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .(×)(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．(×) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .(×)(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√) (5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×)‖自主测评‖1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D ；当x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A.3．(教材改编题)为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，只需将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图象上的所有点( )A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移2π5个单位长度D ．向右平移2π5个单位长度解析：选D 因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π5－2π5，故选D. 4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32………考点一 函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及变换………|重点保分型|…………|研透典例|【典例】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值； (3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)由数据作出的图象如图所示：『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 2．三角函数图象的左右平移时应注意的三点(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．(2)注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(3)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|. [提醒]y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T ＝2π|ω|进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．|变式训练|1．(2018届河南豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 2．(2019届南昌模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A 将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin2x 的图象，再将y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，综上可得，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A. 3．(2019届石家庄质量检测)若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52………考点二 由图象确定y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式…………|重点保分型|………|研透典例|【典例】 (1)(2018届兰州诊断考试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.22C.32D ．1(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.[解析] (1)由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ， 所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， 且f (x 1)＝f (x 2)， 所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. (2)由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1. 函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－(－π12)＝π， 由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1， 故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝ 2k π－π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π， 所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. [答案] (1)C (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 确定y ＝Asin (ωx ＋φ)＋b (A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω：确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ：常用的方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .|变式训练|1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，选项D 正确．2．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12解析：选A 由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3，当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ，即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223， 所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. …………考点三 三角函数图象与性质的应用……………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 三角函数模型的实际应用【例1】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. [解析] 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. [答案] 20.5角度二 与三角函数有关的零点(方程根)问题【例2】 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[解析] 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， 所以题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． 所以y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1)．[答案] (－2，－1)角度三 三角函数的图象与性质的综合问题【例3】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． [解] (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝ 3 s in ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增， 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增． 综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12， 7π12. 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题：二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．|变式训练|1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 解析：画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π182．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， 所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以2ω＝2πT ＝2，所以ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 核心素养系列 数学建模——三角函数中的实际问题【典例】 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5数据，(1)求函数f (t )的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．[解] (1)由表格得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，b ＝1，又因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝f (t )＝12cos π6t ＋1.(2)由题意，令12cos π6t ＋1>1.25，即cos π6t >12，又因为t ∈[0,24]，所以π6t ∈[0,4π]，故0≤π6t <π3或5π3<π6t ≤2π，或2π<π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π6t ≤2π＋2π，即0≤t<2或10<t≤12或12<t<14或22<t≤24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．[点评]数学建模是通过计算得到结果来解释实际问题，并接受实际的检验，具体来讲，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段．。
人教B版(2019)数学必修第三册期末复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
B.
5
,0
12
)
为f(x)图象的一个对称中心 √
5
C．直线x＝－ 为函数g(x)图象的一条对称轴 √
12
π
令2x＋ ＝kπ ＋ (k∈Z)，得x＝ ＋ (k∈Z)，
3
2
2
12
令k＝－1，则可知选项C正确．
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移 个单位长度，
6
令k＝1，则可知选项B正确；
12
(k∈Z)，
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移 个单位长度，
6
1
然后将其上各点的横坐标缩短到原来的 倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各
2
1
点的横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位长度，得到y＝g(x)的图
2
6
象．则以下结论正确的是(
6
f(x)＝2sin [2(x+ ) + ]
2． (变问法) 在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移
________个单位得到y＝f(x)的图象．
6
6
由[例1]知f(x)＝2sin (2x+ ) ，
4
向右平移 个单位长度
y＝2cos 2x
y＝2sin(2x＋ )
6
y＝2sin 2x
①
②
6
向左平移 个单位长度
y＝sin x
f(x)＝sin 2
+
6
y＝sin x
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 课件
[kπ＋8π，kπ＋58π](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 [kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)． 当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最 大值 1； 当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋8π(k∈Z)时函数有最 小值－1.
故选 D.
A＝2， k＝－1， 解得φ＝(ωx＋φ)性质的运用
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，在历年高考题中 都有所体现和考查．围绕着函数单调性、最值、奇偶性，图象 的对称性等都有所体现和考查．
(2)有关函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意 整体代换思想的运用．
A．y＝2sin(2x＋π6)－1 B．y＝2sin(2x＋3π)－1 C．y＝2sin(2x＋3π)－1 D．y＝2sin(2x＋6π)－1 [分析] 由“五点法”列表的对应关系建立 φ 的方程，求 φ、ω，再根据平衡位置确定 A，k.
[解析]
A＝1－2－3， 由图象知k＝1－2 3，
－1π2ω＋φ＝0， 152πω＋φ＝π，
(2011～2012·临沂高一检测)设函数 f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝8π.
(1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间及最值； [分析] 本题关键是对图象的对称轴为 x＝π8这一条件的利 用，由图象一对称轴为 x＝8π得：当 x＝8π时 2x＋φ＝kπ＋2π(k∈ Z)进而可求 φ 值．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
命题方向 1 求三角函数的解析式问题
三角函数式中确定φ的方法： 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定常 用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A、ω已 知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区 间还是在下降区间上)
函数y=Asin(ωx+ψ)(基础知识+基本题型)(含解析)
5.6 函数y=Asin(ωx+ψ)（基础知识+基本题型）知识点一 ,,A ωϕ对函数图象的影响1、ϕ对函数sin(),y x x R ϕ=+∈的图象的影响正弦函数sin y x =的图象向左（右）平移ϕ个单位长度即可得到函数sin()y x ϕ=+的图象。
其中，当0ϕ>时，正弦函数图象向左平移；当0ϕ<时，正弦函数图象向右平移。
可简记为：左加右减“。
这种变换属于平移变换，只改变图象的位置，不改变其大小，可表示为0sin sin()0y x y x ϕϕϕϕϕ=→→=+<向左平移（>）向右平移（）【拓展】（1）当0ϕ>时，函数sin()y x ϕ=+的图象向右平移ϕ个单位长度即可得sin y x =的图象。
（2）当0ϕ<时，函数sin()y x ϕ=+的图象向左平移ϕ个单位长度即可得sin y x =的图象。
（3）当0ϕ>时，函数sin()y x ϕ=-+的图象可由sin y x =-得图象向右平移ϕ个单位长度即可得sin y x =-的图象。
2、(0)ωω>对函数sin(),y x x R ωϕ=+∈的图象的影响函数sin()y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标缩短（或伸长）到原来的1ω倍即可得到函数sin()y x ωϕ=+的图象。
其中，当1ω>时，所有点的横坐标缩短到原来的1ω倍；当01ω<<时，所有点的横左边伸长到原来的1ω倍。
这种图象变换属于伸缩变换，其横坐标发生改变的同时，纵坐标并未发生任何变化，可表示为sin()y x ωϕ=+→sin()y x ωϕ=+【提示】由于正弦函数为周期函数，ω的变化只引起图象上点的横坐标的变化，故ω影响sin()y x ωϕ=+的周期。
由于周期的变化，也就导致了函数sin()y x ωϕω=+≠（1）与函数sin()y x ϕ=+的图象的不同，因此这一变换通常也叫周期变换。
3、A （A ＞0)对函数sin()y A x x R ωϕ=+∈，的图象的影响函数sin()y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（或缩短）到原来的A 倍即可得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象。
y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(解析版)
考点30 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质【命题解读】三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主 【基础知识回顾】4、与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． (2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )【答案】A【解析】：令x ＝0得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D 项，由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C 项，故选A.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 【答案】B【解析】：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．3、 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )第1题图A . －62B . －32C . －22 D . －1 【答案】D【解析】 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1.故选D .4、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________． 【答案】、. 4【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.5、(2018镇江期末） 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象两相邻对称轴的距离为________．【答案】、 π2【解析】、由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图象两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2. 6、（2020江苏镇江期中考试）设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______．【答案】3π【解析】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω=，2ω∴=，又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，23k πϕπ∴=+，k Z ∈，又0ϕπ<<，3πϕ∴=，本题正确结果：3π． 7、 已知函数()sin(2)6f x x π=-的图象C 1向左平移π4个单位得到图象C 2，则C 2在[0，π]上的单调减区间是________．【答案】：[π12，712π] 【解析】、：由题设可知C 2的曲线方程sin(2)3y x π=+，令222232k x k ππ3ππ+≤+<π+，得1212k x k π7ππ+≤<π+．令k ＝0得C 2在[0，π]上的单减区间为[π12，712π]．考向一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及其变换设函数()sin (0)f x x x ωωω=>的周期为π． (1) 求它的振幅、初相；(2) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3) 说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解析】：(1) ()sin f x x x ωω=12(sin )2x x ωω=+2sin()3x ωπ=+,∵ T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2．∴()2sin()3f x x ωπ=+．∴ 函数(x)sin f x x ωω=的振幅为2，初相为3π．(2) 令X ＝2x ＋π3，则2sin(2)2sin 3y x x π=+=． 列表，并描点画出图象：(3) (解法1)把sin y x =的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到sin()3y x π=+的图象；再把sin()3y x π=+的图象上的点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到sin(2)3y x π=+的图象；最后把sin(2)3y x π=+上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到2sin(2)3y x π=+的图象． (解法2)将sin y x =的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到sin 2y x =的图象；再将sin 2y x =的图象向左平移π6个单位，得到sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+的图象；再将sin(2)3y x π=+的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到2sin(2)3y x π=+的图象．变式1、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解析】 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X.(3)(方法1)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．(方法2)将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．变式2、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 变式3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-，sin 42sin 2cos2()cos2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π24【答案】C 【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+， 其图象向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+ 5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.方法总结：1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．2．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．考向二 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式例2、下图为函数sin()y A x ωϕ=+的一段图象． (1) 请写出这个函数的一个解析式；(2) 求与(1)中函数图象关于直线2x =π对称的函数图象的解析式．【解析】：(1) 13214,,332T T ωπππ=-=π==又A ＝3， 由13sin()2y x ϕ=+的图象过(,0)3π，∴103sin()23ϕπ=⨯+，6ϕπ=- (φ为其中一个值)． ∴13sin()26y x π=-为所求．(2) 设(,)x y 为所求函数图象上任意一点，该点关于直线2x =π的对称点为(4,)x y π-， 则点(4,)x y π-必在函数13sin()26y x π=-的图象上． ∴ 13sin[(4)]3sin(2)2626x y x ππππ=--=--， 即13sin()26y x π=-+，∴与13sin()26y x π=-的图象关于直线2x =π对称的函数图象的解析式是13sin()26y x π=-+．变式1、(2019苏北四市期末） 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为________．【答案】、 π3 【解析】、如图，过点A 作垂直于x 轴的直线AM ，过点B 作垂直于y 轴的直线BM ，直线AM 和直线BM 相交于点M ，在Rt △AMB 中，AM ＝4，BM ＝12·2πω＝πω，AB ＝5，由勾股定理得AM 2＋BM 2＝AB 2，所以16＋⎝⎛⎭⎫πω2＝25，πω＝3，ω＝π3.变式2、(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋3π4D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________________.【答案】、 (1)B (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6【解析】、(1)由题图可知A ＝2，T ＝2×⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.把点⎝⎛⎭⎫－π2，2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，所以φ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z )， 解得φ＝2k π＋3π4(k ∈Z )． 又0<φ<π，所以φ＝3π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4.(2)依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.方法总结：确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口考向三 三角函数图象与性质的综合问题例3、（多选题）（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图象关于直线1712x π=对称 【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点 D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 【答案】D 【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.变式2、（多选题）（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD 【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD变式3、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．16C ．43D ．56【答案】A 【解析】2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1cos 26f x x πω⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又因为2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于4x π=对称，所以2()46k k Z ππωπ⨯-=∈，即12()3k k Z ω=+∈， 因为0>ω，所以ω的最小值为13.故选：A.方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用． 函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x 轴(或y ＝a )的交点，即数形之间的转化问题．1、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B．CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =，∴2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C.2、【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减C ．在区间53[,]42ππ上单调递增D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.3、【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 【答案】CD【解析】∵函数f （x ）＝sinx ﹣cosx =（x 4π-）∴g （x ）＝f '（x ）＝cosx +sinx =（x 4π+），故函数函数f （x ）的值域与g （x ）的值域相同， 且把函数f （x ）的图象向左平移2π个单位，就可以得到函数g （x ）的图象， 存在x 0=+,4k k Z ππ-∈，使得函数f （x ）在x 0处取得极值且0x 是函数()g x 的零点，函数f （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，g （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上也为增函数，∴单调性一致， 故选：CD ．5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD 【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确.由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.6、【2020江苏南京上学期开学考试】函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3．【解析】由图象知：()max 2f x =，2A ∴=，又()22628T πω==⨯-=，4πω∴=，()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2k ϕπ∴=，k Z ∈，()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，当()f x =时，1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈，181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈； 当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈，282x k ∴=+，若n m -最小，则12k k =，()min 3n m ∴-=，本题正确结果：3．7、【2017年高考山东卷理数】设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中.已知π()06f =.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数的图象，求在π3π[,]44-上的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为.【解析】（1）因为ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，所以03ω<<ω()y f x =()y g x =()g x 2ω=32-1()cos cos 2f x x x x ωωω=--π)3xω=-.由题设知π()06f=，所以πππ63k-=ω，k∈Z.故，k∈Z，又，所以.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.所以()4312g x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为π3π[,]44x∈-，所以2,1233xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当123xππ-=-，即4xπ=-时，取得最小值.3cos2x xωω=-1sin cos)22x xωω=-62kω=+03ω<<2ω=()g x32-。
(完整word版)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质
函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象及性质韩忠刚考试目标1．考查正弦函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象变换．2．考查y＝A sin（ωx＋φ)的性质及应用．考点梳理1．“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)（A>0，ω〉0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：先确定五点．即令ωx＋φ分别等于0，错误!,π,错误!,2π，得对应的五点为－错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ）在一个周期内的图象．（3)扩展：1、将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ）在R上的图象．2、定区间的“五点法”作图。
2．三角函数图象的变换3．函数y＝A sin(ωx＋φ）的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A〉0，ω>0,x∈［0，＋∞）)表示一个振动时，A叫做振幅，T＝错误!叫做周期，f＝错误!叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．注意点:1、（1）列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为错误!，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．（2）定区间的“五点法”作图要注意范围内的特殊角的取值和端点值2、图象变换有两条路径，在解题中,一般采用先平移后伸缩的方法．3、(1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象;(2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数；(3）由y＝A sin ωx的图象得到y＝A sin(ωx＋φ）的图象时，需平移的单位数应为错误!，而不是|φ|.考点自测1．函数y＝（sin x＋cos x）2＋1的最小正周期是（)．A.错误! B．π C.错误! D．2π2。
已知简谐运动f（x）＝A sin(ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（）．A．T＝6π，φ＝π6B．T＝6π，φ＝错误!C．T＝6，φ＝错误! D．T＝6，φ＝错误!3．要得到函数y＝cos(2x＋1）的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象（）．A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位 D．向右平移错误!个单位4．将函数y＝sin错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移错误!个单位,得到的函数的一个对称中心是( ）．A。
浅析函数y=Asin(ωχ+ψ)的解析式的求法
浅析函数y=Asin(ωχ+ψ)的解析式的求法
夏萍
【期刊名称】《中学生数理化（高一版）》
【年(卷),期】2009(000)004
【摘要】@@ 三角中函数是描述一些具有周期变化现象的重要函数模型.形发函数y=Asin(ωχ+ψ)的解析式的求法,可以分为两类:一是根据函数图象求解析式;二是由已知条件求解析式.
【总页数】2页(P19-20)
【作者】夏萍
【作者单位】(Missing)
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.浅析函数解析式的求法 [J], 闫胜男
2.求函数y=Asin(ωx+Φ)解析式的疑点解析 [J], 付秋义
3.浅析二次函数解析式的几种求法 [J], 余秋根;
4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)解析式的确定 [J], 张明光
5.对《数学·必修4》的“三角函数”一章的修改建议——由正弦型函数
y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式 [J], 程华生
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求y=Asin(ωx+φ)的解析式高三上册数学课件
即 T＝π，ω＝2Tπ＝2ππ＝2.
由点 M(2π，－2)在图像上得 3
2sin(2×2π＋φ)＝－2. 3
即 sin(4π＋φ)＝－1， 3
故4π＋φ＝2kπ－π(k∈Z)，
3
2
∴φ＝2kπ－11π(k∈Z)． 6
又φ∈(0，π)， 2
∴φ＝π 6
故 f(x)＝2sin(2x＋π).
谢谢观看
由图像可知：T＝2×(π＋π2 )＝3π＝2ωπ，得ω＝23.
因为点(π，0)在递减的那段上，
所以(2π＋φ)∈[π＋2kπ，3π＋2kπ]，k∈Z，
322Fra bibliotek由 sin(23π＋φ)＝0，得23π＋φ＝kπ，
所以φ＝kπ－23π，k∈Z.
因为－π＜φ＜π，所以φ＝π，又 A＝2，所以此函数的解 3
析式为
y＝2sin(23x
＋π)． 3
法二：(最值点法)
由图像可得 ω＝23，将最高点坐标(π4 ，2)代入
y＝2sin(23x＋φ)，得
π 2sin( 6 ＋φ)＝2.
所以π6 ＋φ＝2kπ＋π2 .所以 φ＝2kπ＋π3 ，k∈Z，
又－π＜φ＜π，取φ＝π3 ，又因为 A＝2，
所以此函数的解析式为 y＝2sin(23x＋π3 )．
2
“第三点”(即图像下降时与 x 轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝3π；
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
练习
已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图像与 x 轴的 2
交点中，相邻两个交点的距离为π，且图像上一个最低点为 M(2π，－2)，求 f(x)
求-------正余弦函数y=Asin(ωx+φ)类型函数解析式
3π φ＝－ . 4
T π 7π π 2π (2)由 ＝－ － － 12 ＝ ，得 T＝π，∴ω＝ T ＝2. 2 12 2
π 2 把点－12，3代入
2 y＝ sin(2x＋φ)， 3 2π φ＝ . 3
11π 5π T＝2 12 －12 ＝π，
2π 所以 ω＝ T ＝2.(2 分) 5π 5π 因为点12，0在函数图象上，所以 Asin2× 12＋φ＝0， 5π 即 sin 6 ＋φ＝0. π 5π 5π 4π 又因为 0<φ< ，所以 < ＋φ< ， 2 6 6 3 5π π 从而 ＋φ＝π，即 φ＝ .(4 分) 6 6 π 又点(0,1)在函数图象上，所以 Asin ＝1，即 A＝2. 6 π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin2x＋ 6 .(6 分)
T 7π π π 解析： 由图象知4＝12－3＝4，∴T＝π，ω＝2. 7π π 且 2×12＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－6(k∈Z)． π π 又|φ|＜2，∴φ＝－6.
y A si n( x )
例 3： x ) 2 如图是函数 y A sin(
的一段图象，求函数的解析 式.并说明当其表示一个振动
4π 3π C ．A ＝1，T ＝ ，φ ＝－ 3 4 D．A ＝1，T ＝ 4π π ，φ ＝－ 3 6
(2)如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的 一部分，它的解析式为 π 2 A．y＝ sin2x＋3 3 2 x π B．y＝ sin2＋4 3 2 π C．y＝ sinx－3 3 2π 2 D．y＝ sin2x＋ 3 3 ( )．
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怎样求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式
学习了正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)后，经常会遇到确定其解析式的问题。
这里振幅A 常由函数的最值确定，ω则由周期公式T=2π
ω
来求得，问题的关键是求初相ϕ。
本文介绍确定正弦函数解析式的两种基本方法。
一、待定系数法 分析正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)满足的几何条件，列出关于A 、ω、ϕ的三个方程，从而解出A 、ω、ϕ，这就是待定系数法。
例1 若函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0<ϕ<2π)的最小值是－2，周期为23
π，且它的图象经过点(0,
)，求此函数的解析式。
解析： ∵函数的最小值是－2，∴A=|－2|=2。
∵函数的周期是
23π，∴23π=2πω
，解得ω=3。
∵函数的图象经过点(0,
),∴将x=0，y=
及A=2代入y=Asin(ωx+ϕ)
=2sin ϕ，sin ϕ=
－2.∵0<ϕ<2π，∴y=54π或74
π。
故所求函数的解析式是： y=2sin(3x+
54π)或y=2sin(3x+74
π
) 例2 已知函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的图象如图1所示，求此函数的解析式。
分析：由图1提供的信息，正弦曲线相邻的最大、最小值之间为周期的1
2。
∴
2T =56π－6π=23
π
，即T=43π，∴ω=2T π=32
又显然有A=2，下面只须求初相ϕ。
设曲线与x 轴交C ，易知，C(2π,0)将A=2，ω=32，x=2
π
，
y=0代入y=Asin(ωx+ϕ)得0=2sin(34
π
+ϕ)。
∴ϕ=k π－34
π
，(k ∈Z)。
注意到y=Asin(ωx+ϕ)的图象是由y=sinx 的图象，经过振幅、周
期变换，且向右平移而得，当k=0时，ϕ在区间[－π,π]上有解。
∴ϕ=－34
π
，故函数的
解析式是y=2sin(32x －34
π
)。
二、平移变换 我们知道，设A>0，ω>0，正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)=Asin[ω(x+ϕ
ω)]
的图象，可以看成是由函数y=sinx 的图象经过下面变换而得到： y=sinx 的图象 →y=Asinx
图1
图2 的图象（振幅变换）→y=Asin ωx 的图象（周期变换）→y=Asin[ω(x+ϕ
ω
)]的图象（平移变换），这里抓住特殊点的平移来求ϕ。
例3 图2是正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个周期的图象，试求此函数的解析式。
分析 这里2T =32
π
，∴T=3π，ω=23。
∵函数的图象可以看成是y=sinx 的图象经过振幅变换、
周期变换后，再向左平移52π个单位。
∴52π=ϕ
ω
，即ϕ=
54π·23
=53
π。
下面只须再由图象过点(0,)
来确定A 。
将x=0，y =及ϕ=
53π代入y=Asin(ωx+ϕ)53
π
，A=2，故函数的解
析式是y=2sin(23x+53
π
)。
评注：由y=Asin ωx 的图象经过平移得到y=Asin[ω(x+ϕ
ω
)]的图象，可从图像上特殊点
的变化得到平移的规则，如本题中向左平移52
π
个单位等。
三、“五点法” 我们知道，用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图，主要是作变
量代换X=ωx+ϕ，由X 取0，
2
π
，π，32π，2π来求出对应的x 的值，确定图象五个关
键点的位置。
而求其表达式，则相当于X ，x 已知，求ω与ϕ。
例4 如图3，写出函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0
，ω>0)的一个表达式。
解析： 易知令
X=ωx+ϕ。
图象中的特征点(2,－)，(6,0)对应y=sinX 图象中五个关键点的两点(
32
π
,－1)，(2π,0)，因此， 32262πωϕωϕπ⎧⋅+=⎪⎨
⎪⋅+=⎩，解得8
54
πωπϕ⎧
=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴8
πx+54π
)
评注： 建立x ，X 对应点间的联系，必须注意特征点是与y=sinx 图象上五个关键点中
(0,0)，(
2
π
,1)，(π,0)，(32π,－1)，(2π,0)的哪一个相对应，如当ω·2+ϕ=32π时，只能
有ω·6+ϕ=2π。
而已知图象求表达式，答案是不唯一的，但只是ϕ值不同，可以相差
2k
π(k ∈Z)。
如当ω·6+ϕ=0时，由ω·2+ϕ=
2π也可解得：ω=8
π
，ϕ=－34π。