第三章-势流理论教学内容

即
0
x x y y z z
2 x2
2 y 2
2 z2
0
2 0 拉普拉斯方程
3 基本解叠加法
势流叠加原理
2 0
线性方程
叠加原理
2 1 0 基本流动1 2 2 0 基本流动2
2(C11C22)0
新的复杂流动
（1）基本解
均匀直线流
ua
vb axbycz
wc
点源汇 流场中某一点处有流体注入流场，体积流量Q，称点源强度。
边条件：物面不可穿透
( n)rR 0
无穷远来流
r , xU ,
0
y z
② 用基本解叠加求速度势时，据流动特征选择适当的基本
解
均匀来流+偶极子 Ux4M (x2y2xz2)32
无穷远来流条件满足，再由物面条件求得偶极子强度
M2UR3
UxU2R3
(x2
x y2 z2)32
Ur
cos(1
R3 2r3
在流动不发生分离或在分离点之前，理想无旋绕流是实际流动的良 好近似。
3.3不可压流体的平面势流
1 流函数
在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为：
dux duy 0 dux duy
dx dy
dx dy
存在流函数 ：
d xdx ydyuxdyuydx0
一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是 无旋流动都存在流函数。
ti uj
xji j x uij
2i
x2 j
对理想流体得到亥尔姆霍兹方程
i t
uj
i xj
j
ui xj
• 习题 已知速度场
u y 2z v z 2x w x2y
求（1）涡量及涡线方程
（2）在平面
xyz1
上通过单位面积的涡通量。
3.2 无旋流动的势函数
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 无旋流动的势函数
在无旋流动中：
x
1(uz 2 y
uy z
) 0
y
1(ux 2 z
uz x
) 0
z
1(uy 2 x
ux y
) 0
uz y
uy z
ux z
uz x
uy x
ux y
存在函数(x, y, z) ：
d(x ,y ,z) u x d x + u y d y + u zd z
函数 称为速度势函数。存在着速度势函数的流动，
)
速度场 球面速度
球面压强
vr
r
U
cos(1
R3 r3
)
v
r
U
sin(1
R3 2r3
)
vr 0
v
3 2
U
sin
前后驻点
Be.r pV2 p U2
2 2 prR p 12U2(194sin2)
1.0 球面压力系数
cp
pp
12U2
19sin2
4
0
0
90
180
理想无旋绕流，球面压强分布关于X轴和Y轴都是对称的，合力为零。 与实际绕流相比，迎风面符合较好。大约从顶部开始，实际压强分 布偏离理想情况。尤其在圆球后部，实际压强远低于理论压强。其 原因在于流体粘性导致的尾部分离，产生压差阻力（形状阻力）。
第三章-势流理论
• 机翼尾涡、龙卷风等直观上的旋涡现象是 大尺度流体团的强烈有旋流动。在有旋流 动中，只有当流体团积聚较强涡量并绕某 一公共轴线旋转时，才形成旋涡。
• 有旋流动中，强烈旋涡运动主宰流动。从 涡动力学出发研究旋涡运动，比用N-S方程 来研究更加方便。
1 涡量场
涡线 rdlr0或 dxx dyy dzz
ABABdBA
3 流函数与势函数的关系
（1）平面无旋运动的势函数和流函数共轭。
u
x
x
y
u
y
y
x
柯西--黎曼条件
（2）流函数的等值线与速度势函数的等值线正交 。
0
y y x x
y y x x
4 平面无旋运动的流网 流网是不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线
设坐标原点在点源处，径向流速
vr
Q
4r 2
(r) 4 Q r
(x ,y ,z) Q 4 x2 y2 z2
偶极子：等强度的源汇无限靠近
若存在 lim 2aQ M （M为偶极强度），这样的 a0 Q
源汇点叫偶极点。
M 4(x2
x y2z2)32
（2）圆球绕流
设坐标原点在球心，求速度势
2 0
流函数的性质： （1）等流函数线即是流线。
C d 0 u xd y u yd x0 d u x xu d y y 流线
（2）两流线间的流函数差值，等于两流线间的单宽流量。
d Q u n d s u x c o s ( x , n ) d s u y c o s ( y , n ) d s u x d y u y d x
簇构成的正交网格。其存在条件是不可压缩平面势流。
流网的性质：
① 组成流网的流线与等势线互相垂直，即等流函数线与 ② 等势线互相垂直。
② 网中每一网格的边长之比等于速度势与流函数的增值之
③ 比；如d取 d 则网格成正方形。
③ 流网内任一点A， 的增值方向与uv 方向一致； 的增值 ④ 方向u为v 方向向正 y 轴旋转90°后所得的方向。
能在流体内部中
断
3 涡量连续性方程
由 i
xi xi
ijk u xk j ijk xi u xk j
ji k x i u x k j ij k x j u x k i
i j k x i u xk j x ii
所以有
i 0 xi
4 不可压粘性流体质量力有势时涡量输运方程
称为有势流动，简称势流。
无旋流动必然是有势流动！！！
2 势函数的性质
① 速度在某一方向的分量等于势函数在该方向上的偏导数。
ux
x
uy
y
uz
z
um
m
cosm,xcosm, ycosm,z
x
y
z
ux cosm,xuy cosm, yuz cosm,z
② 势函数是调和函数 不可压缩流体的连续性方程为： ux uy uz 0 x y z
涡面与涡管
涡通量 速度环量 Stokes定理
J AdA
ludl
J
2 涡旋的运动学特性
➢ 涡旋场内无源无汇
( u ) 0i
xi
ijkxi
uk xj
0
➢ 对一个确定的涡管，它的任意截面上的涡通
量是一个常数。该常数称为涡管强度J1＝ J2
➢ 沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量
相等1＝ 2 ➢ 涡线和涡管都不
QA BuxdyuydxA Bd
QABBA
y
B
A
M
u
n
x
（3）平面势流的流函数是调和函数 。
z uxy
ux y
0
xxyy 0
2x2 2y2 0 or 20
2 无旋流动
（1）势函数为调和函数。
（2）平面运动沿任意曲线AB的环量等于两端点A及B的 速度势之差。
du vcosu v,sdsuxdxuydyd