第三章-势流理论教学内容
势流理论
第六章：势流理论一．内容总结：二元流动包括平面流动和轴对称流动。
对于不可压缩流体的平面定常势流可以引入流函数和速度势函数。
而不可压缩平面势流速度势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。
速度势函数的等值线与流函数等值线正交，流函数的等值线与流线重合。
本章研究物体在静止理想流体中平面运动时,流体对物体的作用力。
求解势流问题的思路为：当物体在流体中运动，即物体与流体之间产生相对运动时,物体受到流体的作用力。
对于理想流体的运动不存在切应力，理想流体中运动的物体表面上只受到法向的压力作用。
因此要解决在流场中物体所受的作用力,只要把物体表面上合压力求出即可。
由伯努利方程可知，若物面上（理想流体中无分离绕流时物面与流线重合）的速度分布已知可求出物面上压力分布，再沿物面积分便可求出物体受到的合压力。
因此，问题归结为求出流场的速度分布，对于不可压缩平面流动，求速度分布的问题又可归结为求速度势函数和流函数问题。
1． 势流问题求解的思路 基本方程 ： 20ϕ∇= 无旋流动20ψ∇=二维不可压缩流动V grad φ=G即得到三个速度分量u v 伯努立方程压力,,w →→P 再由边界条件→ 积分 spds ∫便求得了合力，因此只要确定V ϕ→→p G就可积分求合力了。
对于二维不可压缩无旋流动，整个问题的关键在于找到满足边界条件的ϕ或ψ。
求速度势ϕ的方法：因为方程是线性方程, 几个解的线性之和仍满足拉普拉斯方程。
20ϕ∇=根据已知知识确定应选的势流. 简单平面势流的表示式 1) 等速直线运动等速V 平行x 轴的平行流动速度势和流函数为： 0V x ϕ= 0V y ψ=2) 源和汇源心在坐标原点时速度势和流函数在平面极坐标下为： ln 2Q r ϕπ= 2Q ψθπ= 式中为源 为汇0Q >0Q <3) 旋涡速度势和流函数在平面极坐标下为： 2ϕθπΓ= ln 2r ψπΓ=−4)偶极子速度势和流函数为：222M x z x y ϕπ=+ 222M yx yψπ=−+ 221214sin p p p c V θρ∞∞−==− 在位置上,指向与X 轴成β角. 0z M ：称偶极矩,由汇指向源。
平面势流(了解性学习)
(2) 源环流与汇环流 将强度为q的源流和强度为 将强度为 的源流和强度为Г 的源流和强度为 的环流都放置在坐标原点上， 的环流都放置在坐标原点上， 使流体既作圆周运动， 使流体既作圆周运动，又作径 源环流。 向运动，称为源环流 向运动，称为源环流。 水在离心式水泵压水室（蜗 水在离心式水泵压水室（ 叶轮内的流动、 壳）叶轮内的流动、空气在 风机内的流动， 风机内的流动，均可看作源 环流。 环流。 源环流 水在水力涡轮机中的流动为 汇环流。 汇环流。
2 2 + 2 =0 2 x y
= ux ， = u y x y
速度势的极坐标表达式
d = ur dr + uθ rdθ
1 ur = , uθ = r r θ
三、流函数 存在条件：不可压缩流体平面流动 存在条件：不可压缩流体平面流动ψ (x，y) 。 ， 平面流动 流线方程
dx dy = ux u y
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O 流体从水平的无限平面内的一点 即源点）流出， （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿 轴方向上，单位厚度 为由源点沿z轴方向上 为由源点沿 轴方向上， 所流出的流量，称为源流强度 所流出的流量，称为源流强度
(4) 直角内的流动 设无旋运动的速度势为 若设 = a (x2 - y2 ) 则有 ψ = 2axy
此流动的流线是双曲线族。 此流动的流线是双曲线族。当ψ＞0 ＞ 的符号相同， 时，x、y的符号相同，流线在 、III 的符号相同 流线在I、 象限内； ＜ 时 的符号相反， 象限内；ψ＜0时，x、y的符号相反， 的符号相反 流线在II、 象限内 象限内。 流线在 、IV象限内。当ψ = 0时， 时 x=0或y=0，说明流线是坐标轴，称为 或 ，说明流线是坐标轴， 零流线。原点处速度为零，称为驻点。 零流线。原点处速度为零，称为驻点。 若把零流线x 轴的正值部分用固体壁面来代替 轴的正值部分用固体壁面来代替， 若把零流线 、y轴的正值部分用固体壁面来代替，就得到 直角内的流动；若把x轴用固体壁面代替 则表示垂直流 轴用固体壁面代替， 直角内的流动；若把 轴用固体壁面代替，则表示垂直流 向固体壁面的流动。 向固体壁面的流动。
渗流力学课件第三章(势)
因
r22 (x a)2 y 2
代入（2）式配方得：
(x2
y 2 )2
2( y 2
x2 )a2
a4
C
2 0
0（3）
（3）式为四次曲线族方程，给C0不同的值，得到不同 的等势线。
Y轴为分流线
等产量两汇时的渗流场
同样由流线与等势线的正交关系，可得一双曲线型 流线族方程：
x2 y 2 2C1xy a 2 0
三、渗流速度的合成原则
1、利用等势线和等压线确定渗流速度
求出渗流场的等势线分布或流线分布后，用渗
流速度与等势线的正交关系确定渗流速度方向。 大小可由下式计算：
v 1 2 k p1 p2
L
L
v1
vn
2、用矢量合成法
q1
各井单独生产时的渗流速度：
qn
n井同时生产：
vi
qi 2ri
vM v1 v2 v3 ... vn
这是注水开发采收率低的重要原因。
3、以知生产井和注入井势时的产量公式
由（1）式，把任意点取在注水井和生产井井壁：
i
q
2
ln
2a Rw
C
p
q
2
ln
Rw 2a
C
上两式相减有：
i
p
q
2
ln( 2a )2 Rw
q
ln
2a Rw
q (i p )
ln 2a Rw
Q kh( pi p p ) ln 2a
Rw
二、等产量两汇
在无限大地层中存在等产量的两汇，相距2a。
1、势及流场
由叠加原理地层中任意点的 势为；
v2 M
r2
v
《流体力学》教学大纲
《流体力学》教学大纲一、课程基本信息二、课程概述中文：本课程是工程力学专业的学类核心课程，以高等数学、理论力学、材料力学为前导课程，着重培养学生分析解决实际工程中流体力学问题的能力。
本课程主要包括流体的平衡、流体力学的基本方程、不可压缩无粘流动、涡旋运动、平面势流等，强调应用这些基本概念及定律分析与流体力学相关的工程问题，学生需了解流体力学的发展现状和趋势，理解流体力学中的基本概念、基本理论及基本定律，掌握流体力学的实验、分析与数值计算的基本技能与基本方法，并能灵活运用这些基本概念及定律分析与流体力学相关的工程问题。
通过学习本课程，让学生学会流体力学基本理论，获得解决流体工程问题的基本技能，锻炼和提升对复杂的流体工程问题进行简化，从而建立数学模型并进行求解的能力。
英文：This is a bas ic course for majors of engineering mechanics, aiming at students’ physical concepts and basic principles commonly used to analyze engineering problems related to fluid mechanics, thus laying a solid foundation for their research and design in aerospace, mechanical, civil, chemical, environmental and ocean. Theapplications of the dimensional and order analysis method in engineering are emphasized in this course. The study of this course develops the students’ ability to simplify the complex problems, prese nt and solve the mathematic model of related engineering problems. The main contents of this course are the basic equations of fluid mechanics, incompressible in-viscid flow, the motion of vortex, dimensional analysis, incompressible viscid flow. Prerequisites: Advanced Mathematics, Mathematics Physics Equation, Field Theory，Theoretical Mechanics，Mechanics of Materials.三、课程内容（一）课程教学目标设置本课程是为了让工程力学专业的学生对工程力学专业知识体系的重要组成板块之一的流体力学进行较为系统的学习，并深度掌握与理解，具备应用流体力学的基本知识和基本理论分析解决生产实际工程问题的能力。
第16讲势流理论3
W (ζ ) = v0ζ cos α − iv0 ζ 2 − a 2 sin α + iv0 a sin α ln(ζ + ζ 2 − a 2 )
v = v0 cos α − iv0 sin α
ζ −a 或 ζ +a
v = v0 cos α + v0 sin α
a −ζ a +ζ
平板后缘的速度不再是无穷大，而是有限值。这表明流体在后缘处以 有限的速度平滑的沿尾缘切线方向离开平板。 但库塔假设仍然没有解决平板前缘的问题，在平板前缘，速度仍为无 穷大。这会引起所谓的前缘吸力。实际的机翼前缘总有一定的圆弧，有效 避免无限大速度的产生。
dΩ (ζ ) dW ( z ) dζ dz = ∫ ∫ dz dζ C C′
Γ C + iQC = Γ C ′ + iQC ′
2 常用的几种保角变换关系
（1）平移变换
平移变换函数为：ζ
= z+b
= ξ + iη , z = x + iy ，则有：
其中 b = b1 + ib2 为复常数，根据 ζ
经整理可得：
W (ζ ) = ζ v0 cos α − iv0 ζ 2 − a 2 sin α
dW ζ v= = v0 cosα − iv0 sinα 2 2 dζ ζ −a
则平板绕流的复速度：
在平板的两边缘：
v ζ =± a → ∞
根据复速度表达式，平板两端点处的速度为无穷大，即流体以 无限大速度绕过平板两端尖角。产生这一悖论的原因是理想流体假设。
∞
v 0 iα = e 2
至此，将平板绕流变换成了圆柱绕流，但来流速度与实轴有夹角的圆 柱绕流，仍然写不出其复势。为此需要在引入一个旋转变换。 引入旋转变换：
第三章-势流理论
物面不可穿透：
Imw(z) const.
无穷远处：
V
U
iV
dw dz z
U
iV
给定环量
L d L (d id ) Ldw
3.5平面势流的基本解
1 均匀直线运动
流场内速度的大小和方向均为常值的流动。 实例：均匀直线流绕过顺流放置的无限薄平板。
ux a, uy b
d adx bdy ax by
后沿一平面均匀的向四方作扩散流动，这种扩散运动叫着 点源运动。单位时间流出的流体体积Q称为源强。
实例：泉眼向各方的流动； 离心式水泵叶轮内的流体运动。
y
C
C
ur
Q
2 r
,
u 0
x
ux
ur cos
Q
2 r
x r
Q
2
x x2 y2
uy
ur sin
Q
2 r
y r
Q
2
y x2 y2
d
uxdx uydy
d
AB
QAB B A
y
B
A
M
u
n
x
（3）平面势流的流函数是调和函数 。
z
u y x
ux y
0
x
x
y
y
0
2 2
0 or
2 0
x2 y2
2 无旋流动
（1）势函数为调和函数。
（2）平面运动沿任意曲线AB的环量等于两端点A及B的 速度势之差。
d u cosu, s ds uxdx uydy d
m u
dm
dn
x
x
3.4平面势流的复势问题
1 复势
高等流体力学
高等流体力学第一章 流体力学的基本概念连续介质：流体是由一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所 谓的连续介质。
流体质点：是指微小体积内所有流体分子的总和。
欧拉法质点加速度：时变加速度与位变加速度和zuu y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==质点的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用dtd表示。
在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下：x kk Qu t Q dt dQ ∂∂+∂∂= 式中Q 可以是标量、矢量、张量。
质点的随体导数公式对任意物理量都成立，故将质点的随体导数的运算符号表示如下：x kk u t dt d ∂∂+∂∂= 其中t∂∂称为局部随体导数，x k k u ∂∂称为对流随体导数，即在欧拉法描述的流动中，物理量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。
体积分的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数。
则在由流体质点组成的流动体积V 中标量函数Φ（x, t ）随时间的变化率就是体积分的随导函数。
由两部分组成①函数Φ 对时间的偏导数沿体积V 的积分，是由标量场的非恒定性引起的。
②函数Φ通过表面S 的通量。
由体积V 的改变引起的。
()dV divv dt d dV v div t dS u dV t dV dt d v v n s v v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ+Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ+∂Φ∂=Φ+∂Φ∂=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()dV adivv dt da dV av div t a dS au dV t a adV dt d v v n s v v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂=+∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 变形率张量： 11ε12ε13εD ij = 21ε 22ε 23ε 31ε 32ε 33ε其中ii ε表示所在方向的线性变形率，其余ij ε（j i ≠）为角变形率。
流体力学-势流理论
第六章势流理论本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，如图６-5所示，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ 积分：φ＝V ox （６-4） 如图６-3流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６-5） 如图６-4由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６-3中的实线。
势流理论笔记：01势流理论基础
势流理论笔记：01势流理论基础前⾔：势流理论复习笔记，没想到⾃⼰⼜重新学了⼀遍势流理论。
所以记个笔记笔记内容基本摘抄⾃朱仁传⽼师的《船舶在波浪上的运动理论》，写得好哇基础理论均匀、不可压缩理想流体的流场中，连续性⽅程与欧拉⽅程可以描述为：∇v=0∂∂t+v⋅∇v=−∇pρ+gzv(x,y,z)与p(x,y,z)分别为速度⽮量与压⼒场，存在向量关系∇v22=∇v⋅v2=(v⋅∇)v+v×(∇×v)欧拉⽅程可以改写为以下形式，称为兰姆⽅程(Lamb′sEquation)∂v∂t+∇v22−v×(∇×v)=−∇pρ+gz以上共四个⽅程，四个未知数，⽅程封闭。
如果流体流动⽆旋有势，⽅程可以进⼀步简化v=∇ϕ(x,y,z,t)∇2ϕ(x,y,z,t)=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2=0pρ+gz+v22+∂ϕ∂t=C(t)格林函数法船舶在波浪中的运动问题关键在于求解流畅中的速度势，即求在确定边界条件下的拉普拉斯⽅程。
格林函数法(Green′s function method)是⼀类成熟常⽤的求解⽅法。
格林函数法的基础势格林公式（散度定理）推导得到，对三维空间中有界区域τ，有以下关系式∭τ∇⋅A dτ=∬S n⋅A d S其中，S为空间域τ充分光滑的边界⾯；n为曲⾯S的单位外法向⽮量（从流体域内指向外部），⽮量A在封闭区域τ+S上连续。
现令A=ϕ∇ψ，于是有∇A=∇(ϕ∇ψ)=∇ϕ⋅∇ψ+ϕ∇2ψn⋅A=n⋅(ϕ∇ψ)=ϕ∂ψ∂n将A=ϕ∇ψ代⼊格林公式得到∬Sϕ∂ψ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τϕ⋅∇2ψdτ将A=ψ∇ϕ代⼊格林公式得到∬Sψ∂ϕ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τψ⋅∇2ϕdτ两式作差得到{()() ()()()()∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =∭τϕ⋅∇2ψ−ψ⋅∇2ϕd τ若ϕ,ψ在τ内处处调和，即: ∇2ϕ=0,∇2ψ=0，则有∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =0∬S ψ∂ϕ∂n d S =∬S ϕ∂ψ∂n d S称作格林第⼆公式。
优选流体力学势流理论上
偶极既有大小，又有方向。
位于(x0，y0），沿 -x 轴方向：点源 (x0 , y0，) 点汇 (x0 x0 , y0 )
m
4
ln{(x
x0 )2
(y
y0 )2}
m
4
ln{[x
( x0
x0 )]2
(y
y0 )2}
M
x x0
2 (x x0 )2 ( y y0 )2
x0 0
M
y y0
n F F
F i F j F k x y z
F x
2
F y
2
F z
2
5.1.1 基本方程——Laplace Equition
vn vb n
F vb F （on S）
若物面运动：对 F(x, y, z,求t)全（0物质）导数
dF dt
F t
F x
dx dt
F y
dy dt
l
dwdz dz
dw
l
l d id l iQl
l
Re
dw l dz
Ql
I
m
l
dw dz
dz
4) W (z) c1 ic2
c1
c2
5.2.1 复势的可叠加性 解析函数 W1(z) 1 i1 W2 (的z) 线性2 组i合2 ,
W (z) W1(z) W2 (z)
优选流体力学势流理论上
5.1 势流问题的基本方程和边界条件
势流问题的数学描述—— Mathematical Model
5.1.1 基本方程——Laplace Equition
v 0
v
0
v
2 0 （in fluid）
第三章 势流理论
（1）基本解
均匀直线流
ua
vb
ax by cz
wc
点源汇 流场中某一点处有流体注入流场，体积流量Q，称点源强度。
设坐标原点在点源处，径向流速
vr
Q
4r 2
(r) Q 4r
(x, y, z)
Q
4 x2 y2 z2
偶极子：等强度的源汇无限靠近
若存在 lim 2aQ M （M为偶极强度），这样的 a0 Q
在流动不发生分离或在分离点之前，理想无旋绕流是实际流动的良 好近似。
3.3不可压流体的平面势流
1 流函数
在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为：
dux duy 0 dux duy
dx dy
dx dy
存在流函数 ：
d
x
dx
y
dy
uxdy uydx
0
一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是 无旋流动都存在流函数。
AB
d
AB
B
A
3 流函数与势函数的关系
（1）平面无旋运动的势函数和流函数共轭。
ux
x
y
uy
y
x
柯西--黎曼条件
（2）流函数的等值线与速度势函数的等值线正交 。
0
y y x x
y y x x
4 平面无旋运动的流网 流网是不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线
M 2U R3
U
x
U
R3 2
(x2
x y2
z 2 ) 32
U
r
cos
(1
R3 2r 3
)
速度场 球面速度
球面压强
vr
高等流体力学讲义6
圆柱绕流
无环量圆柱绕流——均匀流、偶极子的组合 （一）均匀流、偶极子的组合 在坐标原点，布置一个强度为m，方向与x轴相反的偶极子，再叠加一个 沿x轴的均匀流，这两个流动叠加所得新势流的流速势及流函数为
前进
无粘性流体的势流理论
主要内容：
势流理论的地位和作用 有势流动的基本方程 有势流动理论基础 基本势流及其叠加 圆柱绕流 复变函数及保角变换 若干简单势流的复势 儒可夫斯基翼型绕流
前进 结束
有势流动的基本方程 连续方程 Euler运动方程 势流条件
不可压缩流体恒定流 u v w D 0 V 2 0 x y z Dt
cy cx ,v 2 x 2 y2 x y2
或 涡量
ur 0,v
v u 1 c y 2 x 2 c y2 x2 z 0 2 2 2 x y 2 x 2 y 2 2 x y
r r
在极坐标中，自由涡流的势函数φ 的全微分为 1 d d rd u d v rd r r ——自由涡流的流速势 把ur, uθ代入后积分，可得 2 1 1 和Φ是共轭的，故， u ,v
（ii）求流函数——Dirichlet问题
（iii）求复势W（z）函数
有势流动中的奇点 不可压缩流体有势流动的两个基本条件是各点流速的散度为零， 各处涡量为零。 其中一个条件被破坏的点或线称为奇点或奇线 （1）连续条件中的奇点· 源和汇 m r 流速矢量V=gradφ与 φ=const的表面垂直，流动系径向流动，
c
任一点的流速为
水力学第三章液体运动的流束理论.
24
不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程为
dQ u1dA1 u2dA2
对总流过水断面积分得
dQ
Q
A1 u1dA1
A2 u2dA2
Q A11 A2 2
上式即为恒定总流的连续性方程。
ds g 2g
将上式沿流程s积分得 z p u 2 C
g 2g
对微小流束上任意两个过水断面有：
30
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
ｚ：液体中某一点处的几何高度，单位重量液体的位
能；
p
g ： 代表单位重量液体的压能；
u2
2g ： 该质点所具有的动能。 该式表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微
图3-2
恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要 素都不随时间而改变。 运动要素仅仅是空间坐标的 连续函数，而与时间无关。
8
恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应 等于零：
u x t
u y t
u z t
0
p 0 t
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素 是随时间而变化的。
三、总流
任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有 一定大小尺寸的实际水流称为总流。总流可以看作是 由无限多个微小流束所组成。
16
四、过水断面
与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过 水断面。该面积dA或A称为过水面积，单位m2。
注意：过水断面可为平面也
可为曲面。
清华 水力学 讲义 第三章
第三章 流体运动学本章在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。
本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动的动力学因素。
连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束，也在本章的讨论范围之中。
§3—1 描述流动的方法一. 拉格朗日法和欧拉法● 拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的位移矢量为：r r a b c t =(,,,)，其中(,,)(,,,)a b c r a b c t =0是拉格朗日变数，即t 0时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。
● 欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：u u x y z t =(,,,)，其中(,,)x y z 是空间点（场点）。
流体的其它物理特性和运动要素也都用对应于时间与空间域的场的形式描述。
二. 流体质点的加速度、质点导数● 在拉格朗日观点下，流体质点加速度的求法是比较简单的。
求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一、二阶导数即可，求导时a,b,c 作为参数不变，意即跟定流体质点。
u r t rt a u t u t r t =====d d ,d d ∂∂∂∂∂∂22.● 欧拉法中流体质点加速度的表达必须特别注意，求加速度需要跟定流体质点，于是 x,y,z均随 t 变，而且),,(d ),,d(z y x u u u tz y x =，所以加速度 u u tz u u y u u x u u t u t z z u t y y u t x x u t u t u a z y x)(d d d d d d d d ∇⋅+=+++=+++==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. ● 建立 t 时刻和 t+dt 时刻的流场图，假设一流体质点在 t 时刻位于场点 M ，t + dt 时刻它到达场点M ’，在 t+dt 时刻的流场图上再标上与点M 处于同一位置的场点M 1，此时有另一个流体质点占据该场点。
第16讲势流理论3
1 A2 1 xA2 1 yA2 ) = (x + 2 ) +i (y − 2 ξ + iη = ( x + iy + ) 2 2 2 x + iy 2 x +y 2 x +y
解得坐标变换关系：
xA 2 1 1 ξ = (x + 2 ) = r cosθ (1 + 2 2 2 x +y yA 2 1 1 η = (y − 2 ) = r sin θ (1 − 2 2 2 x +y
ξ = x + b1 ⎫ ⎬ η = y + b2 ⎭
可见，平移变换将坐标分量分别平移了一个距离，图形形状不变：
y
2
R 1 4
z
η
2
ζ
R 1
b1
3
o
x
3
o
b2
4
ξ
（2） 旋转变换
旋转变换函数为：ζ
= ze iμ
ζ = ξ + i η = ρ e iα
z = x + iy = r e iθ
其中μ 为实常数。将复变数写成三角函数（极坐标）形式：
cp
上
= −2α
a −ξ a +ξ
cp
下
= 2α
a −ξ a +ξ
可见，平板上、下表面压力大小相等、方向相反；下表面压力为正， 指向平板向上，上表面压力为负，背离平板向上。
（5） 平板的升力
平板所受的合力向上，合力在来流方向上的分力是阻力，垂直于来流 方向的分力就是升力。根据有环量圆柱绕流的升力表达式，可得平板的升 力大小为： 定义升力系数：
Ω (ζ ) = Φ (ξ ,η ) + iΨ (ξ ,η )
第14讲势流理论1
(2) 基本方程
势流问题的基本方程就是速度势的拉普拉斯方程：
∇ 2ϕ = 0
（在流体中）
拉普拉斯方程有无穷多个解，要想得到唯一解，就要给出具体问题的 边界条件，非定常流动还要给出初始条件。
(3) 边界条件
边界条件是指速度势在流体域边界上满足的条件。流体域边界面的可 能形式： ① 物体表面（船体表面，鱼身体表面）； ② 互不渗透的两种流体边界（海面）； ③ 无穷远边界面。
z
y
o
V (t )
x
x0
∇ 2ϕ = 0
（2）边界面有大球表面（外边界）和小球表面（内边界）。内边界 就是小球的表面，其方程为：
F = ( x − x0 ) + y + z − a
2 2 2
2
( x0 = ∫ V (t )dt )
t0
t
由内边界方程可得：
∂F = −2( x − x0 )V (t ) ∂t
第14讲 势流理论(1)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.势流问题的基本方程和边界条件 2.复势 3.平面势流的基本解
1 势流问题的基本方程和边界条件
(1) 势流问题
势流：不可压、理想流体的无旋流动称为势流。势流即无源、无旋的 流动，其势函数满足拉普拉斯方程 势流问题：势流流场对物体的作用力 势流问题的求解思路： 流函数 拉普拉斯方程 速度势 复势 伯努利方程 速度分布 压力分布 积分 压力合力
∇ϕ = v0
( R → ∞)
（4）初始条件
初始条件是初始时刻、速度势或速度在流体域内或边界上满足的条 件。初始条件要根据具体问题来确定。
例5-1
半径为R的固定大球壳中充满不可压 理想流体，半径为a的小球以速度V(t)在其 中运动。试建立速度势满足的基本方程和 边界条件。 解：（1）以大球壳中心为原点，建立 静止坐标系，速度势满足的基本方程：
势流理论笔记：03Hess-Smith积分方法
势流理论笔记：03Hess-Smith积分⽅法书接上回Hess-Smith⽅法采⽤⾯向对象编程的思路，Matlab程序脚本，实现以下功能：输⼊⾯元（四边形⾯元顶点坐标）输出系数矩阵[H][M]以及[V x],[V y]Hess-Smith积分⽅法思路待积分的⽬标函数：φ=∬A d A rφ(P)=∬A1r(P,Q)d A(Q)1. 在Q⾯元建⽴局部坐标系，将待积点P转换⾄该局部坐标系。
2. 在局部坐标系下，利⽤圆柱坐标系推导积分公式（四个三⾓积分之和=⾯元积分）3. 可以拓展得到该⽬标函数对于局部坐标系三个⽅向导数的积分（三个坐标轴的投影）具体步骤建⽴局部坐标系按照顺序输⼊⼤地坐标系O−XYZ下⾯元四个顶点坐标p1，p2，p3，p4，以z轴⾓度看，四个点顺序呈顺时针排列，以四边形⾯元中⼼O为坐标原点，x⽅向平⾏于→p1p3，建⽴⾯源局部坐标系将四个点投影⾄局部坐标系ξO′η平⾯下的得到(ξ1,η1),(ξ2,η2),(ξ3,η3),(ξ4,η4),则r可以表⽰为r=√(x−ξ)2+(y−η)2+z2⽤于计算下式的积分（选择简单的1r作为积分的格林函数）φ=∬Ad Ar坐标系之间的转换矩阵坐标原点:O′=p1+p2+p3+p44x′→x′=p3−p1 |p3−p1|z′→z′=(p4−p2)×(p3−p1) |(p4−p2)×(p3−p1)|y′→y′=→z′×→x′坐标变换:X′=(X−O′)⋅AA=[x′;y′;z′]′最后的’表⽰矩阵转置建⽴局部圆柱坐标系以(X,Y,0)为坐标原点建⽴圆柱坐标系，则r可以表⽰为r=√R2+z2原积分式可以写作\begin{align} \varphi&=\oint\int_0^R\frac{R\text dR\text d\theta}{\sqrt{R^2+z^2}}\\ dr&=\frac{R\text dR}{\sqrt{R^2+z^2}}\\ \varphi&=\oint\left[\int^{r}_{|z|} \text dr\right]\text d\theta\\ &=\oint(r-|z|)\text d \theta \end{align}Hess-Smith积分公式四个三⾓形⾯积积分之和便是四边形的数值积分\begin{align} \varphi=\iint_{A}\frac{\text d A}{r}=\oint r\text d\theta-|z|\Delta\theta \end{align}局部坐标系下的⼏何参数定义：\begin{equation} \begin{aligned} d_{12}&=\sqrt{(\xi_2-\xi_1)^2+(\eta_2-\eta_1)^2}\\ C_{12}&=\frac{\xi_2-\xi_1}{d_{12}}\\ S_{12}&=\frac{\eta_2-\eta_1}{d_{12}} \end{aligned} \end{equation}\begin{equation} \begin{aligned} s_{12}^{(1)}&=(\xi_1-x,\eta_1-y)\cdot(C_{12},S_{12})\\ s_{12}^{(2)}&=(\xi_2-x,\eta_2-y)\cdot(C_{12},S_{12})\\ R_{12}&=(x-\xi_1,y-\eta_1)\cdot(S_{12},-C_{12}) \end{aligned} \end{equation}\begin{equation} \begin{aligned} r_1=\sqrt{(x-\xi_1)^2+(y-\eta_1)^2+z^2}\\ r_2=\sqrt{(x-\xi_2)^2+(y-\eta_2)^2+z^2}\\ \end{aligned}\end{equation}积分公式可以写作\begin{align} \varphi_{12}=\oint r\text d\theta-|z|\Delta\theta=R_{12}Q_{12}+|z|J_{12} \end{align}式中：第⼀项\begin{equation} \begin{aligned} R_{12}\cdot Q_{12}=\oint r\text d\theta&=\oint \frac{R_{12}}{cos(\theta)}\text d\theta\\ &=\left.R_{12}\cdot\left( \text {ln}{\frac{1+sin\theta}{cos\theta}}\right)\right|^{\theta_{2}}_{\theta_{1}}\\&=R_{12}\cdot\left(\text{ln}\frac{(1+sin\theta_2)\cdot cos(\theta_1)} {(1+sin\theta_1)\cdot cos(\theta_2)}\right)\\&=R_{12}\cdot\left(\text{ln}\frac{r_2+s_{12}^{(2)}}{r_1+s_{12}^{(1)}} \right)\\ &=R_{12}\cdot\text{ln}\frac{r_1+r_2+d_{12}}{r_1+r_2-d_{12}}\end{aligned} \end{equation}式中：\begin{align} sin\theta_1=\frac{s_{12}^{(1)}}{r_1},cos\theta_1=\frac{R_{12}}{r_1}\\ sin\theta_2=\frac{s_{12}^{(2)}}{r_2},cos\theta_2=\frac{R_{12}}{r_2} \end{align}第⼆项\begin{align} |z|J_{12}=-|z|\Delta\theta&=\text{sgn}(R_{12}) \left[\text{tan}^{-1}\left( \left |\frac{z}{R_{12}}\right |\frac{s_{12}^{(2)}}{r_2}\right)-\text{tan}^{-1}\left( \left |\frac{z}{R_{12}}\right |\frac{s_{12}^{(1)}}{r_1}\right)\right]\\ &=\text{tan}^{-1}\left[\frac{R_{12}|z|(r_1s_{12}^{(2)}-r_2s_{12}^{(1)})} {r_1r_2R_{12}^{2}+z^2s_{12}^{(2)}s_{12}^{(1)}} \right] \end{align}综上，得到\begin{equation} \begin{aligned} \varphi&=\iint_{A}\frac{\text d A}{r}\\ &=\varphi_{12}+\varphi_{12}+\varphi_{12}+\varphi_{12}-|z|\Delta\theta \end{aligned} \end{equation}\Delta\theta与局部坐标系下的P点与⾯元四顶点的相对位置相关（可以由四个三⾓积分之和与四边形⾯元积分之间的集合关系得出）\begin{align} \Delta \theta=\begin{cases} 2\pi,& P\in Q\\ 0,& p\notin Q \end{cases} \quad or \quad \Delta \theta=\begin{cases} 2\pi,& R_{12}, R_{23}, R_{34}, R_{41}>0\\ 0,& else \end{cases} \end{align}\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial \varphi}{\partial n}&=\iint_{A}\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right)\text d A\\ &=V_z=-\frac{\partial \varphi}{\partial n}\\ &=\text{sgn}(z)[\Delta\theta-J_{12}-J_{23}-J_{34}-J_{41}] \end{aligned} \end{equation}\begin{align} V_x&=-\frac{\partial \varphi}{\partial x}=-S_{12}Q_{12}-S_{23}Q_{23}-S_{34}Q_{34}-S_{41}Q_{41}\\ V_y&=-\frac{\partial \varphi} {\partial y}=C_{12}Q_{12}+C_{23}Q_{23}+C_{34}Q_{34}+C_{41}Q_{41}\\ \end{align}参考⽂献[1] Hess J L , Smith A . Calculation of potential flow about arbitrary bodies[J]. Progress in Aerospace Sciences, 1967, 8(none):1-138.⽰例demo.m%% ⾯元clc;clear all;%导⼊⾯元load('Panel.mat')%% H-M 矩阵tichess_smith=Hess_Smith(Panel); %创建Hess_Smith对象H=hess_smith.Vz; %系数矩阵HM=hess_smith.M; %系数矩阵MN=hess_smith.Num; %⾯元数⽬toc%% 圆球绕流算例C=0.5*eye(N,N); %系数矩阵CU=[1,0,0]; %来流速度a=1; %圆球半径%速度势理论值Phi_theory=@(x)U(1)*x(1)+0.5*U(1)*x(1)*(a^3)/(x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2)^(1.5); for i=1:1:NQ1=Panel(4*i-3,:);Q2=Panel(4*i-2,:);Q3=Panel(4*i-1,:);Q4=Panel(4*i,:); center=0.25*(Q1+Q2+Q3+Q4);Phi_t(i,1)=Phi_theory(center); %速度势理论值z_new=cross(Q4-Q2,Q3-Q1);z_new=z_new/norm(z_new);Phi_n(i,1)=-U*z_new'; %边界条件Phi_in(i,1)=center(1)*U(1); %⼊射势endA=4*pi*C+H;b=M*Phi_n;Phi_D=A\b; %绕射势Phi=Phi_D+Phi_in; %总速度势=绕射势+⼊射势%% 绘图figure(1111)plot(Phi,'r');hold onplot(Phi_t,'b');legend("Phi Cal","Phi Theory");Hess\_Smith.m\quad classclassdef Hess_Smith < handle%HESS_SMITH 求解积分系数矩阵% 输⼊：四边形⾯元坐标% 输出：系数矩阵[H]即Vz、[M]propertiesPanel; %⾯元坐标点Num; %⾯元数⽬M; %输出系数矩阵Vx;Vy,Vz; %其他⽅向导数矩阵%% ⾯元局部坐标系参数Center; Tran;A;center;endmethodsfunction self = Hess_Smith(Panel)%HESS_SMITH 构造函数% 输⼊坐标点，四个点⼀组，尺⼨:[4n,3]self.Panel = Panel;[self.Num,~]=size(self.Panel);self.Num=floor(self.Num/4);self.M=zeros(self.Num,self.Num);self.Vz=zeros(self.Num,self.Num);self.Vx=zeros(self.Num,self.Num);self.Vy=zeros(self.Num,self.Num);%⾯元局部坐标系参数self.Center=zeros(self.Num,3);self.Tran=cell(self.Num,1);%计算系数矩阵self.Cal_H_M();endfunction [P_c,Q_loc] = G2LOC(self,P,Q)%Global to local 坐标转换% 输⼊⾯元P，Q：以Q建⽴局部坐标系% 输出：P_c(⾯元中⼼),Q_loc，局部坐标系下的坐标Q_center=0.25*(Q(1,:)+Q(2,:)+Q(3,:)+Q(4,:));self.center=Q_center;P_center=0.25*(P(1,:)+P(2,:)+P(3,:)+P(4,:));z_new=cross((Q(4,:)-Q(2,:)),Q(3,:)-Q(1,:));z_new=z_new/norm(z_new);x_new=(Q(3,:)-Q(1,:));x_new=x_new/norm(x_new);y_new=cross(z_new,x_new);self.A=[x_new;y_new;z_new]'; %坐标转换矩阵Q_loc=(Q-Q_center)*self.A; %坐标变换P_c=(P_center-Q_center)*self.A; %坐标变换endfunction [Phi12,R12,Q12,J12,C12,S12]=Cal_Phi_Line(self,P_in,Q1_in,Q2_in) %公式（4.4.17）% 输⼊：P，Q为局部坐标系下的坐标，P_in=(1,3),Q1_in=(1,3),Q2_in=(1,3) % 输出：三⾓区域积分值,中间参数R、Q、JP=P_in(1:2);z=P_in(3);Q1=Q1_in(1:2);Q2=Q2_in(1:2);d12=norm(Q2-Q1);direc=(Q2-Q1)/d12; %线段⽅向⽮量C12=direc(1);S12=direc(2);s12_1=(Q1-P)*direc';s12_2=(Q2-P)*direc';R12=(P-Q1)*[S12,-C12]';r1=sqrt(z^2+(P-Q1)*(P-Q1)');r2=sqrt(z^2+(P-Q2)*(P-Q2)');Q12=log((r1+r2+d12)/(r1+r2-d12));J12=atan2(R12*abs(z)*(r1*s12_2-r2*s12_1),...r1*r2*R12^2+z^2*s12_2*s12_1);Phi12=R12*Q12+abs(z)*J12;endfunction [Phi,Vx,Vy,Vz]=Cal_Phi(self,i,j)%公式(4.4.18)&(4.4.19)% 输⼊:P⾯元索引i，Q⾯元索引jP=self.Panel(4*i-3:4*i,:);Q=self.Panel(4*j-3:4*j,:);[P_c,Q_loc]=self.G2LOC(P,Q); %转换⾄局部坐标系z=P_c(3);%line 1-2[Phi12,R12,Q12,J12,C12,S12]=self.Cal_Phi_Line(P_c,Q_loc(1,:),Q_loc(2,:)); %line 2-3[Phi23,R23,Q23,J23,C23,S23]=self.Cal_Phi_Line(P_c,Q_loc(2,:),Q_loc(3,:)); %line 3-4[Phi34,R34,Q34,J34,C34,S34]=self.Cal_Phi_Line(P_c,Q_loc(3,:),Q_loc(4,:)); %line 4-1[Phi41,R41,Q41,J41,C41,S41]=self.Cal_Phi_Line(P_c,Q_loc(4,:),Q_loc(1,:)); theta=2*pi;if (R12<0||R23<0||R34<0||R41<0)theta=0;endPhi=Phi12+Phi23+Phi34+Phi41-abs(z)*theta;Vx=-S12*Q12-S23*Q23-S34*Q34-S41*Q41;Vy=C12*Q12+C23*Q23+C34*Q34+C41*Q41;Vz=sign(z)*(theta-J12-J23-J34-J41);endfunction Cal_H_M(self)%计算 H & V_z Vx Vy矩阵for j=1:1:self.Numfor i=1:1:self.Num[self.M(i,j),self.Vx(i,j),self.Vy(i,j),self.Vz(i,j)]=...self.Cal_Phi(i,j);endself.Tran{j,1}=self.A;self.Center(j,:)=self.center;endfprintf("H-M矩阵建⽴完成!\n");end%%%post plotendend Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js。
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涡通量 速度环量 Stokes定理
J AdA
ludl
J
2 涡旋的运动学特性
➢ 涡旋场内无源无汇
( u ) 0i
xi
ijkxi
uk xj
0
➢ 对一个确定的涡管，它的任意截面上的涡通
量是一个常数。该常数称为涡管强度J1＝ J2
➢ 沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量
相等1＝ 2 ➢ 涡线和涡管都不
ABABdBA
3 流函数与势函数的关系
（1）平面无旋运动的势函数和流函数共轭。
u
x
x
y
u
y
y
x
柯西--黎曼条件
（2）流函数的等值线与速度势函数的等值线正交 。
0
y y x x
y y x x
4 平面无旋运动的流网 流网是不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线
即
0
x x y y z z
2 x2
2 y 2
2 z2
0
2 0 拉普拉斯方程
3 基本解叠加法
势流叠加原理
2 0
线性方程
叠加原理
2 1 0 基本流动1 2 2 0 基本流动2
2(C11C22)0
新的复杂流动
（1）基本解
均匀直线流
ua
vb axbycz
wc
点源汇 流场中某一点处有流体注入流场，体积流量Q，称点源强度。
在流动不发生分离或在分离点之前，理想无旋绕流是实际流动的良 好近似。
3.3不可压流体的平面势流
1 流函数
在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为：
dux duy 0 dux duy
dx dy
dx dy
存在流函数 ：
d xdx ydyuxdyuydx0
一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是 无旋流动都存在流函数。
第三章-势流理论
• 机翼尾涡、龙卷风等直观上的旋涡现象是 大尺度流体团的强烈有旋流动。在有旋流 动中，只有当流体团积聚较强涡量并绕某 一公共轴线旋转时，才形成旋涡。
• 有旋流动中，强烈旋涡运动主宰流动。从 涡动力学出发研究旋涡运动，比用N-S方程 来研究更加方便。
1 涡量场
涡线 rdlr0或 dxx dyy dzz
ti uj
xji j x uij
2i
x2 j
对理想流体得到亥尔姆霍兹方程
i t
uj
i xj
j
ui xj
• 习题 已知速度场
u y 2z v z 2x w x2y
求（1）涡量及涡线方程
（2）在平面
xyz1
上通过单位面积的涡通量。
3.2 无旋流动的势函数
1 无旋流动的势函数
在无旋流动中：
QA BuxdyuydxA Bd
QABBA
y
B
A
M
u
n
x
（3）平面势流的流函数是调和函数 。
z uxy
ux y
0
xxyy 0
2x2 2y2 0 or 20
2 无旋流动
（1）势函数为调和函数。
（2）平面运动沿任意曲线AB的环量等于两端点A及B的 速度势之差。
du vcosu v,sdsuxdxuydyd
簇构成的正交网格。其存在条件是不可压缩平面势流。
流网的性质：
① 组成流网的流线与等势线互相垂直，即等流函数线与 ② 等势线互相垂直。
② 网中每一网格的边长之比等于速度势与流函数的增值之
③ 比；如d取 d 则网格成正方形。
③ 流网内任一点A， 的增值方向与uv 方向一致； 的增值 ④ 方向u为v 方向向正 y 轴旋转90°后所得的方向。
设坐标原点在点源处，径向流速
vr
Q
4r 2
(r) 4 Q r
(x ,y ,z) Q 4 x2 y2 z2
偶极子：等强度的源汇无限靠近
若存在 lim 2aQ M （M为偶极强度），这样的 a0 Q
源汇点叫偶极点。
M 4(x2
x y2z2)32
（2）圆球绕流
设坐标原点在球心，求速度势
2 0
流函数的性质： （1）等流函数线即是流线。
C d 0 u xd y u yd x0 d u x xu d y y 流线
（2）两流线间的流函数差值，等于两流线间的单宽流量。
d Q u n d s u x c o s ( x , n ) d s u y c o s ( y , n ) d s u x d y u y d x
能在流体内部中
断
3 涡量连续性方程
由 i
xi xi
ijk u xk j ijk xi u xk j
ji k x i u x k j ij k x j u x k i
i j k x i u xk j x ii
所以有
i 0 xi
4 不可压粘性流体质量力有势时涡量输运方程
)
速度场 球面速度
球面压强
vr
r
U
cos(1
R3 r3
)
v
r
U
sin(1
R3 2r3
)
vr 0
v
3 2
p U2
2 2 prR p 12U2(194sin2)
1.0 球面压力系数
cp
pp
12U2
19sin2
4
0
0
90
180
理想无旋绕流，球面压强分布关于X轴和Y轴都是对称的，合力为零。 与实际绕流相比，迎风面符合较好。大约从顶部开始，实际压强分 布偏离理想情况。尤其在圆球后部，实际压强远低于理论压强。其 原因在于流体粘性导致的尾部分离，产生压差阻力（形状阻力）。
边条件：物面不可穿透
( n)rR 0
无穷远来流
r , xU ,
0
y z
② 用基本解叠加求速度势时，据流动特征选择适当的基本
解
均匀来流+偶极子 Ux4M (x2y2xz2)32
无穷远来流条件满足，再由物面条件求得偶极子强度
M2UR3
UxU2R3
(x2
x y2 z2)32
Ur
cos(1
R3 2r3
x
1(uz 2 y
uy z
) 0
y
1(ux 2 z
uz x
) 0
z
1(uy 2 x
ux y
) 0
uz y
uy z
ux z
uz x
uy x
ux y
存在函数(x, y, z) ：
d(x ,y ,z) u x d x + u y d y + u zd z
函数 称为速度势函数。存在着速度势函数的流动，
称为有势流动，简称势流。
无旋流动必然是有势流动！！！
2 势函数的性质
① 速度在某一方向的分量等于势函数在该方向上的偏导数。
ux
x
uy
y
uz
z
um
m
cosm,xcosm, ycosm,z
x
y
z
ux cosm,xuy cosm, yuz cosm,z
② 势函数是调和函数 不可压缩流体的连续性方程为： ux uy uz 0 x y z