直线与圆综合应用题
(完整版)直线和圆基础习题和经典习题加答案
【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力.【典型例题】［例1］( 1)直线x+ y=1与圆X2+ y2—2ay=0(a>0)没有公共点，贝V a的取值范围是()A. (0, 2 —1) B . ( 2 —1, 2 + 1)C. (—2 —1 , 2 —1)D. (0, 2 +1(2)圆(x —1)2+ (y +•, 3 )2=1的切线方程中有一个是()A. x—y=0B. x + y=0C. x=0 D . y=0(3)a=b”是直线y x 2与圆(x a)2(y b)22相切”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D •既不充分又不必要条件(4)已知直线5x + 12y + a=0与圆x2+ y2—2x=0相切，则a的值为 ___________ .(5)过点(1, ,2 )的直线I将圆(x —2)2+ y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线I的斜率k= ___________ .［例2］设圆上点A (2, 3)关于直线x+ 2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x —y+ 1=0相交的弦长为2 2 ,求圆的方程.［例3］已知直角坐标平面上点Q (2, 0)和圆C: x2+ y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ| 的比等于入(心0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.［例4］已知与曲线C: x2+ y2—2x —2y +仁0相切的直线I叫x轴，y轴于A , B两点, |OA|=a,|OB|=b(a > 2,b > 2).(1) 求证：(a—2)(b —2)=2 ;(2) 求线段AB中点的轨迹方程；(3 )求厶AOB面积的最小值.【课内练习】51 .过坐标原点且与圆x2+ y2—4x + 2y +2 =0相切的直线的方程为()2. 圆(x — 2)2 + y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A . (x + 2)2+ y 2=5B . x 2 + (y — 2)2=5C . (x — 2)2+ (y — 2)2=5D . x 2 + (y + 2)2=53.对曲线凶一|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是()A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于原点轴对称D .关于y=x 轴对称4. 直线11: y=kx + 1与圆x 2 + y 2+ kx — y — 4=0的两个交点关于直线 I 2： y + x=0对称，那么这两个交点中有一个是()A . (1, 2)B . (— 1, 2)C . (— 3, 2)D . (2, — 3)5. ____________________________________________________________________________ 若直线y=kx + 2与圆(x — 2)2 + (y 一 3)2=1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ________________6.已知直线ax + by + c = 0与圆O : x 2 + y2= 1相交于A 、B 两点，且|AB| = ■.. 3 ,则OA OB7. ___________________________________________________________ 直线11： y= — 2x + 4关于点M (2, 3)的对称直线方程是 _____________________________________ . & 求直线11： x + y — 4=0关于直线1: 4y + 3x —仁0对称的直线|2的方程.9.已知圆 C : x 2 + y 2 + 2x — 4y + 3=0(1) 若C 的切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；(2) 从圆C 外一点P (X 1,y 1)向圆引一条切线，切点为 M , O 为原点，且有|PM|=|PO|,求 使|PM|最小的P 点的坐标.10 .由动点P 引圆x 2 + y 2=10的两条切线PA , PB ，直线PA , PB 的斜率分别为k 1,k 2 . (1)若k 1+ k 2+ k 1k 2=— 1,求动点P 的轨迹方程；(2)若点P 在直线x + y=m 上，且PA 丄PB ,求实数m 的取值范围.1y= — 3x 或 y=3 x 1B . y=3x 或 y= — § x、 1 y= — 3x 或 y= — 3 x 、 1D . y=3x 或 y=3 x11 . 5直线与圆的综合应用1. 设直线过点(0, a),其斜率为1,且与圆x2+ y2=2相切，则a的值为 ()A. ±,2 B . ± C. i2 2 D . ±42. 将直线2x —y+ X= 0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x —4y=0相切，则实数入的值为A. —3 或7 B . —2 或8 C. 0 或10 D . 1 或113. 从原点向圆x2+ y2—12y+ 27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A. nB. 2 nC. 4 nD. 6 n1 14. 若三点A (2, 2), B (a,0), C ( 0, b) (a, b均不为0)共线，^U ——的值等于______________ .a b5. 设直线ax—y + 3=0与圆(x —1)2+ (y—2)2=4有两个不同的交点A , B，且弦AB的长为2 3，则a等于_____________ .6. 光线经过点A (1, 7),经直线| : x+ y +仁0反射，反射线经过点B (1, 1).(1 )求入射线所在的方程；(2)求反射点的坐标.7. 在厶ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x—2y +仁0, / A的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为(1 , 2)，求点A和点C的坐标.& 过圆O: x2+ y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线I, M为I上任意一点，过M 作圆O的另一条切线，切点为Q,当点M在直线I上移动时，求△ MAQ垂心H的轨迹方程.B组1. 已知两定点A (—2, 0), B (1 , 0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A. n B . 4 n C . 8 n D . 9 n2•和x轴相切，且与圆x2+ y2=i外切的圆的圆心的轨迹方程是()A. x2=2y + 1 B . x2= —2y + 1 C. x2=2y —1 D. x2=2|y| + 13.设直线的方程是Ax By 0,从1, 2, 3, 4, 5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是A . 20B . 1918D . 1624.设直线2x 3y 1 0和圆x2x 3 0相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 _____5. 已知圆M : A .对任意实数B .对任意实数C .对任意实数D .对任意实数 其中真命题的代号是 6. 已知点A , B 的坐标为(一3 , 0), (3 , 0), C 为线段AB 上的任意一点，P , Q 是分别 以AC , BC 为直径的两圆01 , O 2的外公切线的切点，求 PQ 中点的轨迹方程. 7.已知△ ABC 的顶点A (— 1, — 4),且/ B 和/ C 的平分线分别为I BT : y +仁0,I CK :X + y +仁0,求BC 边所在直线的方程.&设a,b,c,都是整数，过圆x 2 + y 2= (3a + 1)2外一点P (b 3 — b,c 3— c)向圆引两条切线，试证 明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(纵横坐标均为整数的点)(x + cos e 2) (y — sin 02=1, k 和e 直线l 和圆M 都相切； k 和e 直线l 和圆M有公共点； e ,必存在实数k ,使得直线I 和圆M 相切; k ,必存在实数 e,使得直线I 和圆M 相切. 写出所有真命题的代号)直线I : y=kx ，下面四个命题 11. 5直线与圆的综合应用【典型例题】 例1(1) A .提示：用点到直线的距离公式.(2) C .提示：依据圆心和半径判断. (3) A .提示：将直线与圆相切转化成关于ab 的等量关系.(4) — 18或&提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况. (5)石-.提示：过圆心(2 , 0)与点(1, ,2 )的直线m 的斜率是—2 ,要使劣弧所 对圆心角最小，只需直线 I 与直线m 垂直.例2、设圆的方程为(x — a)2 + (y — b)2=r 2，点A (2 , 3)关于直线x + 2y=0的对称点仍在圆 上,说明圆心在直线 x + 2y=0上,a + 2b=0 ,又(2— a)2 + (3 — b)2=r 2，而圆与直线x — y + 1=0 相交的弦长为2 .2 ,,故r 2— ()2=2,依据上述方程解得：b 1= — 3 a 1=6 或r 12=52b 2=— 7 a 2=14 r 22=244•••所求圆的方程为(x — 6)2 + (y + 3)2=52,或(x — 14)2+ (y + 7)2=224. 例 3、设切点为 N ,则 |MN|2=|MO|2 — |ON|2=|MO|2 — 1 ,设 M ( x,y),则y 2 1 J (x 2)2y 2,整理得(於一1) (x 2+ y 2) — 4 入 X (1 + 4 心=05 当入=1时，表示直线x=5;当入工时，方程化为（x 二 ）2 21坨，它表示圆心在（罕,。
直线与圆的综合运用练习题
直线与圆的综合运用练习题直线与圆的关系是数学中的基础知识点，不仅在几何学中有广泛应用，而且在实际问题中也能发挥重要作用。
本文将给出一些直线与圆综合运用的练习题，帮助读者巩固和应用所学知识。
问题一：已知直线与圆的交点坐标，求直线方程和圆的方程。
解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。
设交点坐标为(x₁, y₁)，代入直线方程得y₁ = kx₁ + b，代入圆的方程得(x₁ - m)² + (kx₁ + b - n)² = r²。
化简后即可得到直线方程和圆的方程。
问题二：已知直线与圆的交点坐标，求该直线过圆心的垂线方程。
解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆心坐标为(m, n)。
由于直线过圆心的垂线与直线的斜率为k的负倒数，故直线过圆心的垂线的斜率为-1/k。
设垂线方程为y = mkx + c，代入圆心坐标(m, n)得c = n -k*m。
因此，该直线过圆心的垂线方程为y = -x/k + (n - k*m)。
问题三：已知直线与圆的交点坐标，求直线与圆的切线方程。
解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。
通过求导可得直线的斜率为k。
根据切线的性质，直线与圆的切线垂直于通过切点与圆心的半径。
设直线与圆的切点坐标为(x₁, y₁)，圆心坐标为(m, n)，切线方程为y = mx + c。
由于切线垂直于半径，故直线与切线的斜率乘积为-1，即k * m = -1。
代入切点坐标(x₁, y₁)和圆心坐标(m, n)可得c = y₁ - m*x₁。
因此，直线与圆的切线方程为y = -1/k * x + (y₁ - m*x₁)。
问题四：已知圆的半径和切点坐标，求切线方程。
解析：设圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²，切点坐标为(x₁, y₁)。
第五节 直线与圆的综合问题
1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－8x＋15＝0，则x2＋y2的最
大值和最小值分别是
()
A．25,9
B．16,9
C．5,3
D．4,3
解析：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点
距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心
连线所在直线与圆的两个交点处取得最值．原方
程化为标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)，半径为1.又
直线与圆的综合问题 [师生共研过关]
[例3] 已知直线l：4x＋ay－5＝0与直线l′：x－2y＝ 0相互垂直，圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称，且圆C过 点M(－1，－1)．
(1)求直线l与圆C的方程； (2)过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直 线MP，MQ的斜率满足kMP＋kMQ＝0，求证：直线PQ的斜 率为1.
圆心到原点的距离为 4－02＋0－02 ＝4，所以x2＋y2的最
大值是(4＋1)2＝25，x2＋y2的最小值是(4－1)2＝9.故选A. 答案：A
2．已知点P(t，t)，t∈R
，点M是圆x2＋(y－1)2＝
1 4
上的动点，
点N是圆(x－2)2＋y2＝
1 4
上的动点，则|PN|－|PM|的最大值
是
()
|PM|2－4，所以只需直线 2x＋y＋2＝0 上的动点 P 到 M 的距离最小，
其最小值为|2＋1＋2|＝ 5
5，此时 PM⊥l，易求出直线 PM 的方程为 x
－2y＋1＝0.由2xx－＋2yy＋ ＋21＝ ＝00， ，
得xy＝＝0－，1，
所以 P(－1,0)．易知
P，A，M，B 四点共圆，所以以 PM 为直径的圆的方程为 x2＋y－122
初三数学直线和圆的位置关系试题
初三数学直线和圆的位置关系试题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以点C为圆心,6cm的长为半径的圆与直线AB的位置关系是________.【答案】相交【解析】先根据勾股定理求得AB的长，再求得点C与直线AB的距离，再根据直线与圆的位置关系即可得到结果.∵∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm∴∴点C与直线AB的距离为∴点C为圆心,6cm的长为半径的圆与直线AB的位置关系是相交.【考点】勾股定理，直线和圆的位置关系点评：勾股定理是初中数学平面图形中的重点，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.2.如图,在△ABC中, ,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于____度.【答案】60【解析】先根据切线的性质可得∠ADB=90°，由AB=AC,∠BAC=120°可得∠B的度数，即可得到∠BAD的度数，再根据AD=AE即可求得结果.∵⊙A与BC相切于点D∴∠ADB=90°∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=30°∴∠BAD=60°∵AD=AE∴∠ADE=60°.【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质点评：切线的性质是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.3.已知⊙O的半径为4cm,直线L与⊙O相交,则圆心O到直线L的距离d 的取值范围是____.【答案】0≤d<4【解析】圆心O到直线L的距离为d，圆的半径为r：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.∵⊙O的半径为4cm,直线L与⊙O相交∴0≤d<4.【考点】直线和圆的位置关系点评：本题是直线和圆的位置关系的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.4.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°,点C是优弧AB上的一点,则∠ACB的度数为________.【答案】65°【解析】连接OA、OB，根据切线的性质可得∠PAO=∠PBO=90°，再根据四边形的内角和定理可得∠AOB的度数，最后根据圆周角定理即可求得结果.连接OA、OB∵PA、PB是⊙O的切线∴∠PAO=∠PBO=90°∵∠APB=50°∴∠AOB=130°∴∠ACB=65°.【考点】切线的性质，圆周角定理点评：切线的性质是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.5.如图,⊙O为△ABC的内切圆,D、E、F为切点,∠DOB="73°,∠DOE=120°," 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度.【答案】146°,60°,86°【解析】根据切线的性质结合四边形内角和定理即可求得结果.∵⊙O为△ABC的内切圆，∠DOB=73°,∠DOE=120°∴∠DOF=146°，∠C=60°∴∠EOF=94°∴∠A=86°.【考点】切线的性质，四边形内角和定理点评：切线的性质是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.6.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与直线AB 的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】圆心O到直线L的距离为d，圆的半径为r：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.由题意得点O到直线AB的距离为5则以O为圆心,6cm为半径的圆与直线AB 的位置关系是相交故选A.【考点】直线和圆的位置关系，含30°角的直角三角形的性质点评：本题是直线和圆的位置关系的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.7.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据三角形的外接圆，内接三角形，内切圆，外切三角形的性质依次分析即可.①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆，③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆，正确；②任意一个圆一定有一个内接三角形，而且有无数个内接三角形，④任意一个圆一定有一个外切三角形，而且有无数个外切三角形，故错误；故选B.【考点】三角形的外接圆，内接三角形，内切圆，外切三角形点评：三角形的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.8.设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( )A．d=m B．d>m C．d>D．d<【答案】C【解析】圆心O到直线L的距离为d，圆的半径为r：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.∵⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离∴d>故选C.【考点】直线和圆的位置关系点评：本题是直线和圆的位置关系的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.9.如图,∠PAQ是直角,半径为5的⊙O与AP相切于点T,与AQ相交于两点B、C.(1)BT是否平分∠OBA?证明你的结论.(2)若已知AT=4,试求AB的长.【答案】(1)平分;(2)2【解析】(1)连接OT,根据切线的性质可得∠OTA=90°，即可得到∠OBT=∠OTB=90°-∠ATB=∠ABT，从而得到结果；(2)过O作OM⊥BC于M，则可得四边形OTAM是矩形,根据矩形的性质可得OM=AT=4,AM=OT=5.在Rt△OBM中,根据勾股定理可得BM的长,从而可以求得结果.(1)连接OT,∵PT切⊙O于T,∴OT⊥PT,故∠OTA="90°,"从而∠OBT=∠OTB=90°-∠ATB=∠ABT.即BT平分∠OBA.(2)过O作OM⊥BC于M则四边形OTAM是矩形,故OM=AT=4,AM=OT=5.在Rt△OBM中, OB=5,OM=4,故BM==3,从而AB=AM-BM=5-3=2.【考点】切线的性质，角平分线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.如图,AB为半圆O的直径,在AB的同侧作AC、BD切半圆O于A、B,CD切半圆O于E,请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、两个三角形相似等四个正确的结论.【答案】①角相等:∠AOC=∠COE=∠BDO=∠EDO,∠ACO=∠ECO=∠DOE=∠DOB,∠A=∠B=∠OEC=∠OED,②边相等:AC=CE,DE=DB,OA=OB=OE;③全等三角形:△OAC≌△OEC,△OBD≌△OED;④相似三角形:△AOC∽△EOC∽△EDO∽△BDO∽△ODC.【解析】根据切线的性质仔细分析图形即可判断.由已知得:OA=OE,∠OAC=∠OEC,又OC公共,故△OAC≌OEC,同理,△OBD ≌△OED,由此可得∠AOC=∠EOC,∠BOD=∠EOD,从而∠COD="90°,∠AOC=∠BDO."根据这些写如下结论:①角相等:∠AOC=∠COE=∠BDO=∠EDO,∠ACO=∠ECO=∠DOE=∠DOB,∠A=∠B=∠OEC=∠OED,②边相等:AC=CE,DE=DB,OA=OB=OE;③全等三角形:△OAC≌△OEC,△OBD≌△OED;④相似三角形:△AOC∽△EOC∽△EDO∽△BDO∽△ODC.【考点】切线的性质点评：切线的性质是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.。
直线与圆的综合问题(附答案)
例1直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是 （ B ）()A 0m << ()B 1m <<()C 1m ≤≤ ()D m <<例2 设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线0x y y -+=相交的弦长为，求圆的方程。
（注意：试卷直线方程有误，应为x+y+1=0）解：已知圆上的点A （2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,即圆心在直线x+2y=0上所以，设圆心为（2a ，-a ），代入A 点有（2-2a ）²+（3+a ）²=R ²----（1）又知道与直线x-y+1=0相交的弦长为22所以，圆心到直线l 得距离 22132-=+=R a d -----（2）由方程（1），（2）经转化，得（a-7）（a-3）=0所以，a=3或7经检验成立故，圆方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244例3 若过点()10，A 和B ()m B ，4并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。
解：分两种情况一种是这个圆与x 轴的切点与B 重合，即B 在x 轴上，此时过B 作X 轴的垂线，这条垂线与AB 的中垂线的相交，交点为圆心，两线确定一点，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=0，设圆心（x ，y ）则B 作X 轴的垂线:x=4 (1)AB 的中垂线:y=4(x-2)+1/2 (2)联立(1)(2)得x=4,y=17/2 r=y=17/2所以圆的方程（x-4）²+(y-17/2）²=(17/2）²化简得：x ²-8x+16+y ²-17y=0还有一种情况是AB 平行于X 轴，此时AB 的中垂线垂直与x 轴，又圆与x 轴相切，所以AB 的中垂线过切点，此时这条线上到三点距离相等的点只有一个，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=1设圆心（x,y ）这AB 中垂线:x=2半径等于圆心到x 轴的距离等于圆心到A 的距离所以：y ²=2²+(y-1)²得y=5/2所以圆的方程：（x-2)²+(y-5/2)²=(5/2)²化简得：x ²-4x+4+y ²-5y=0例4 已知直线为 ax-by+2=0( a>0 ,b>0 )，圆的方程为x+y+2x-4y+1=0 ，直线与圆截得到弦长为4 ， 求a 1 +b1 的最小值。
高中直线与圆练习题
高中直线与圆练习题一、选择题1. 在平面直角坐标系中，直线l的方程为y = 2x + 1，圆C的方程为(x 1)² + (y + 2)² = 16，则直线l与圆C的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定2. 已知直线y = kx + b与圆(x 2)² + (y + 3)² = 1相交于A、B两点，若|AB| = 2，则k的值为：A. 0B. 1C. 2D. 33. 直线y = 3x 2与圆x² + y² = 9的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定二、填空题1. 已知直线l：2x 3y + 6 = 0，圆C：(x 1)² + (y + 2)² = 25，则直线l与圆C的交点坐标为______。
2. 圆(x 3)² + (y + 4)² = 16的圆心坐标为______，半径为______。
3. 若直线y = kx + 1与圆x² + y² = 4相交，则k的取值范围是______。
三、解答题1. 已知直线l：x + 2y 5 = 0，圆C：(x 2)² + (y + 3)² = 16，求直线l与圆C的交点坐标。
2. 设直线l的方程为y = kx + b，圆C的方程为(x 1)² + (y +2)² = 9，若直线l与圆C相切，求k和b的值。
3. 已知直线l：y = 2x + 3，圆C：(x 2)² + (y + 1)² = 25，求直线l与圆C的公共弦长。
4. 在平面直角坐标系中，直线l的方程为y = kx + 1，圆C的方程为(x 3)² + (y + 4)² = 16，若直线l与圆C相交，求k的取值范围。
5. 已知直线l：2x y + 3 = 0，圆C：(x 2)² + (y + 1)² = 9，求直线l与圆C的交点坐标及弦心距。
(完整版)直线与圆综合练习题含答案
直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若 为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
中职直线与圆练习题
中职直线与圆练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于：A. 圆的半径B. 圆的直径C. 圆的周长D. 圆的面积2. 圆的方程为 \( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 16 \)，圆心坐标是：A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)3. 直线 \( y = 2x + 3 \) 与 \( y = -3x + 5 \) 的交点坐标是：A. (1, 5)B. (-1, 5)C. (1, -1)D. (-1, -1)4. 直线 \( x + 2y - 6 = 0 \) 与 \( 3x - 4y + 5 = 0 \) 的夹角是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 圆的半径为5，圆心在坐标原点，圆上一点P(x, y)到圆心的距离是：A. \( \sqrt{x^2 + y^2} \)B. \( \sqrt{(x-5)^2 + y^2} \)C. \( \sqrt{x^2 + (y-5)^2} \)D. \( \sqrt{(x+5)^2 + y^2} \)二、填空题（每题3分，共15分）6. 若直线 \( ax + by + c = 0 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = r^2 \) 相切，则 \( a^2 + b^2 \) 等于______。
7. 圆心在(2, 3)，半径为4的圆的方程是 \( (x-2)^2 + (y-3)^2 =______ \)。
8. 若直线 \( 2x - 3y + 5 = 0 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 相切，则圆心(0, 0)到直线的距离是______。
9. 直线 \( 3x + 4y - 7 = 0 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 相交，交点A和B的距离是______。
10. 若圆 \( (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 \) 与直线 \( y = x \) 相切，则切点的坐标是______。
直线与圆的方程综合题、典型题[1]
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直线与圆的方程综合题、典型题、高考题1、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤． 圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。
解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a由于CM ⊥l ，∴k CM ⋅k l = －1 ∴k CM =112-=-+a b ， 即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ， 即x －y +b －a =0CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2= m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2= m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时,||||m m 即 13m 13m >-<或. ∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2= m 2与线段AB 无交点.4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。
直线与圆的方程试题及答案大题
直线与圆的方程试题及答案大题一、选择题1.设直线过点A(1, 2)，斜率为-2，则直线方程是（）– A. y = 2x + 3– B. y = -2x + 3– C. 2y = x + 3– D. -2y = x + 3答案：B2.设点A(-1,3)和B(2,-4)，则直线AB的斜率为（）– A. -1– B. 1– C. 2– D. -2答案：D二、填空题1.过点A(2,1)且与直线y = 2x + 3平行的直线的方程是y = ___________。
答案：2x - 12.过点A(1,-2)且与直线2y = 4x - 3垂直的直线的方程是y = ___________。
答案：-0.5x - 13.过点A(-3,4)，斜率为2的直线方程是 y = ___________。
答案：2x + 10三、解答题1.求过点A(2,3)和B(-1,5)的直线方程。
解：直线AB的斜率 m = (5 - 3)/ (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3直线方程的一般形式为y = mx + c，其中c为常数。
将坐标A(2,3)代入直线方程，得到3 = (-2/3) * 2 + c => 3 = -4/3 + c。
解得c = 3 + 4/3 = 13/3，所以直线方程为y = -2/3x + 13/3。
2.已知直线的斜率为-1/2，过点A(3,4)，求直线的方程。
解：直线方程的斜率为-1/2，过点A(3,4)，所以直线方程可以表示为y = (-1/2)x + c。
将点A(3,4)代入直线方程，得到4 = (-1/2) * 3 + c => 4 = -3/2 + c。
解得c = 4 +3/2 = 11/2，所以直线方程为y = (-1/2)x + 11/2。
四、应用题1.在直角坐标系中，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，求点C的坐标。
解：由题意可知，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，所以C的横坐标为0。
直线与圆的综合应用 (1)
直线与圆的综合应用一、填空题1.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a 的值为________．2．直线y ＝33x 绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是________．3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围为________．4．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.5．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个交点，则实数b 的取值范围是________．7．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是________．8．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________． 9．圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离是________． 10．假如圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝18上总存有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．11．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 12．若过点A (0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．13．直线l ：ax －by ＋8＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax －by ＋4＝0(a ，b 为非零实数)的位置关系是________．二、解答题14．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．15．如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．16.已知圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l：x-2y=0的距离为5.求该圆的方程.517．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29,0)．(1)求圆弧C2的方程；(2)曲线C上是否存有点P，满足PA＝30PO？若存有，指出有几个这样的点；若不存有，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，A (0,8)，直线y ＝t (0＜t ＜8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q .(1)当t ＝3时，求以F 1，F 2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C . 求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．解析 (1)当t ＝3时，PQ 中点为(0,3)，所以b ＝3，又椭圆焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，所以c ＝4，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)证明 因为Q 在直线AF 2：x 4＋y8＝1上，所以Q⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 2，t . 由P 与Q 关于y 轴对称，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4，t ，又由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)．设△PRF 1的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4－t 2＋4－t D ＋F ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－42＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－74t ，F ＝4t －4，所以该圆的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2，78t －2满足7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫78t －2＋8＝8－8＝0，即圆心C 在直线7x ＋4y ＋8＝0上．§9.5 直线与圆的综合应用一、填空题1.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0的距离为22则a 的值为________．解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得12222a |-+|=,化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2.2．直线y ＝33x 绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是________．解析 由题意可得旋转30°后所得直线方程为y ＝3x ，由圆心到直线距离可知是相切关系． 答案 相切3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围为________． 解析 由圆心(3，－5)到直线的距离d ＝|12＋15－2|5＝5，可得4＜r ＜6. 答案 (4,6) 答案2或04．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.解析 由题可知∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 120°＝－12.答案 －125．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213. 法二 设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案 14－2136．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个交点，则实数b 的取值范围是________．解析 利用数形结合的方法，曲线x ＝1－y 2表示在y 轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上截距为b 的直线，注意到b ＝－1时有两个交点及b ＝－2时直线与圆相切，所以实数b 的取值范围是－1<b≤1， b ＝－ 2.答案 －1<b≤1，b ＝－ 27．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是________． 解析 设过A 点的⊙C 的切线是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 由|k ＋2k |k 2＋1＝1，得k ＝±24.当x ＝3时，y ＝5k ＝±542.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－542∪⎝ ⎛⎭⎪⎫542，＋∞8．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．解析 设切点为D ，∠OAB ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则连接OD 知OD ⊥AB ，从而得到AD ＝1tan α＝cos αsin α，BD ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin αcos α， 所以线段AB ＝cos αsin α＋sin αcos α＝1sin αcos α＝2sin2α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则线段AB 长度的最小值为2. 答案 29．圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离是________． 解析 圆心为(－1,1)，它到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离d ＝|－3＋4＋14|5＝3.答案 310．假如圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝18上总存有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意，圆C 上总存有两个点到原点的距离2，即圆C 与以O 为圆心，半径为2的圆总有两个交点，即两圆相交，所以有|32－2|＜|CO |＜32＋2，即22＜2|a |＜42， 解得－4＜a ＜－2或2＜a ＜4. 答案 (－4，－2)∪(2,4)11．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 解析 由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点． 答案 212．若过点A (0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析 该直线l 的方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则由题意， 得d ＝4k 2＋1≤23，即k 2≥13，解得k ≤－33或k ≥33.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞13．直线l ：ax －by ＋8＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax －by ＋4＝0(a ，b 为非零实数)的位置关系是________．解析 圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 22＝a 2＋b 24－4，且a 2＋b 24－4＞0，即a 2＋b 2＞16，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，b 2到直线ax －by ＋8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－b ×b 2＋8a 2＋b 2＝|a 2＋b 2－16|2a 2＋b 2＜|a 2＋b 2－16|2a 2＋b 2－16＝2r 22×2r ＝r (r 是圆C 的半径，则直线与圆相交)． 答案 相交二、解答题14．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求实数m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析 (1)原圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，所以m ＜5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，则x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2.因为OM ⊥ON ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，①由⎩⎨⎧x ＝4－2y ，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0， 所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，代入①得m ＝85. (3)以MN 为直径的圆的方程为 (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0. 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.15．如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C 、D 两点． (1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解析 (1)因为⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线．∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，则⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的切点为C ，连接MA 、NC ， 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ∶ON ＝MA ∶NC ， 即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33， 故⊙N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于点过A 的直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦长，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0， 圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.16.已知圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55.求该圆的方程.解析 设圆的方程为222()()x a y b r -+-=. 令x=0,得222220y by b a r -++-=.|12y y -|2221212()422y y y y r a =+-=-=,得2r =21a +, ①令y=0,得222220x ax a b r -++-=,|12x x -2221212()422x x x x r b r +-=-=,得222r b =. ② 由①②,得2221b a -=.又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0的距离为5得55d ==即21a b -=±.综上,可得 222121b a a b ⎧-=,⎨-=⎩ 或 222121b a a b ⎧-=,⎨-=-,⎩ 解得 11a b =-,⎧⎨=-⎩ 或 11a b =,⎧⎨=.⎩于是2222r b ==.所求圆的方程为22(1)(1)2x y +++=或2(1)x -+2(1)2y -=.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上，圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13，圆弧C 2过点A (29,0)．(1)求圆弧C 2的方程；(2)曲线C 上是否存有点P ，满足PA ＝30PO ？若存有，指出有几个这样的点；若不存有，请说明理由；(3)已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解析 (1)圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169. 令x ＝5，解得M (5,12)，N (5，－12)． 则线段AM 的中垂线的方程为y －6＝2(x －17)． 令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)，又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．(2)假设存有这样的点P (x ，y )，则由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169－13≤x ≤5，解得x ＝－70(舍)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x －142＋y 2＝2255≤x ≤29，解得x ＝0(舍)．综上知这样的点P 不存有．(3)因为EF ＞2r 2，EF ＞2r 1，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上． 设点O 到直线l 的距离为d .因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2， 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516. 所以点O 到直线l 的距离为1 6154. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，A (0,8)，直线y ＝t (0＜t ＜8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q .(1)当t ＝3时，求以F 1，F 2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C . 求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．解析 (1)当t ＝3时，PQ 中点为(0,3)，所以b ＝3，又椭圆焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，所以c ＝4，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)证明 因为Q 在直线AF 2：x 4＋y 8＝1上，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫4－t 2，t .由P 与Q 关于y 轴对称，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4，t ，又由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)．设△PRF 1的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4－t 2＋4－t D ＋F ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－42＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－74t ，F ＝4t －4，所以该圆的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫－t 2，78t －2满足7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫78t －2＋8＝8－8＝0， 即圆心C 在直线7x ＋4y ＋8＝0上．。
直线与圆的练习题
直线与圆的练习题一、选择题1. 已知直线l与圆O相交于A、B两点，圆的半径为r，线段AB的长度为d，若d=r，则直线l与圆O的位置关系是？A. 相切B. 相交C. 相离D. 包含2. 直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相交，圆心到直线的距离d满足什么条件时，直线与圆相交？A. d<rB. d≤rC. d>rD. d≥r3. 圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，直线的方程为Ax+By+C=0，若直线经过圆心(a,b)，则A和B的关系是？A. A=BB. A=-BC. A+B=0D. A-B=0二、填空题4. 若直线2x-3y+6=0与圆x^2+y^2=9相交，求圆心到直线的距离d。
5. 已知圆的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=25，直线方程为3x-4y+12=0，求直线与圆的交点坐标。
三、解答题6. 已知圆的半径为5，圆心在(1,1)，求过点(2,3)的直线方程，使得该直线与圆相切。
7. 已知直线l1: x-2y-1=0与l2: 3x+y+2=0相交于点P，求点P的坐标，并判断点P与圆x^2+y^2=10的位置关系。
四、证明题8. 证明：如果两条直线都与一个圆相切，那么这两条直线的斜率互为相反数。
9. 已知圆的方程为x^2+y^2=25，直线l的方程为y=x+3，求证直线l 与圆相切。
五、计算题10. 已知圆的方程为(x-3)^2+(y+1)^2=9，直线l的方程为2x-y-5=0。
求直线l被圆所截的弦长。
11. 已知圆的方程为x^2+y^2=r^2，直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线l与圆相交于A、B两点，且AB的中点为M，求M的坐标。
六、综合题12. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x-3)^2+(y+2)^2=20，直线l 的方程为2x-3y-6=0。
求直线l与圆C的交点A、B的坐标，并计算AB 的长度。
13. 已知圆的方程为x^2+y^2=25，直线l的方程为y=-x+5。
直线和圆的位置关系练习题附答案
直线和圆的位置关系练习题(附答案问题1：已知直线方程为2x+3y-6=0，圆心坐标为(1,-2)，半径为3，求直线和圆的位置关系。
解：首先，我们可以将直线方程转换为一般方程的形式：2x+3y-6=0，即3y=-2x+6，最后得到y=(-2/3)x+2。
接下来，我们可以计算直线与圆心的距离，使用点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中A、B、C分别代表直线方程的系数，而(x0, y0)是圆心的坐标。
代入直线的方程，我们得到：d = |2(1) + 3(-2) - 6| / √(2^2 + 3^2)= |-1| / √(4 + 9)= 1 / √13= √13 / 13根据圆的半径和直线与圆心的距离，我们可以得出以下结论：1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径，即√13 / 13 > 3，则直线与圆没有交点，且直线与圆外部没有公共点。
2.如果直线与圆心的距离等于圆的半径，即√13 / 13 = 3，则直线与圆相切于一个点。
3.如果直线与圆心的距离小于圆的半径，即√13 / 13 < 3，则直线与圆有两个交点，且直线与圆内部有两个公共点。
综上所述，直线2x+3y-6=0和圆心坐标为(1,-2)，半径为3的圆的位置关系为：直线与圆有两个交点，且直线与圆内部有两个公共点。
问题2：已知直线方程为x-2y+3=0，圆心坐标为(2,1)，半径为2，求直线和圆的位置关系。
解：将直线方程转换为一般方程的形式：x-2y+3=0。
计算直线与圆心的距离：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)代入直线的方程，我们得到：d = |1(2) + (-2)(1) + 3| / √(1^2 + (-2)^2)= |2 - 2 + 3| / √(1 + 4)= |3| / √5= 3 / √5根据圆的半径和直线与圆心的距离，我们可以得出以下结论：1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径，即 3 / √5 > 2，则直线与圆没有交点，且直线与圆外部没有公共点。
利用直线与圆的性质求解问题的练习题
利用直线与圆的性质求解问题的练习题直线与圆的性质在几何学中起着非常重要的作用，能够帮助我们解决各种问题。
下面是一些练习题，通过利用直线与圆的性质来求解。
1.求解下列问题：(1) 已知直线AB与圆O相交于点C，且OC的长度为8cm，线段AC的长度为10cm。
求线段BC的长度。
解析：根据直线与圆相交的性质，知道直线AB与圆O相交于点C，因此可以得出OC与AC是相切的。
由于AC的长度为10cm，OC的长度为8cm，根据相切条件我们可以得到两条线段之间的关系式：OA的长度 × OB的长度 = OC的长度 × OC的长度。
根据已知条件，我们可以得到OA的长度为6cm（10cm - 8cm），由此可得OB的长度为16cm（64cm ÷ 6cm）。
因此，线段BC的长度为16cm - 8cm = 8cm。
(2) 圆O的半径为5cm，点A是圆上的一个点，点B是圆外一点，且AB的长度为12cm。
求直线BO与圆O的交点C到点B的距离。
解析：根据直线与圆的交点性质，我们知道直线BO与圆O相交于点C。
根据已知条件，得知OC的长度为5cm（圆的半径），通过勾股定理可知AC的长度为13cm。
由此，可以得到点C到点B的距离CB为AC的长度减去AB的长度，即13cm - 12cm = 1cm。
2. 求解下列问题：(1) 设圆O的半径为r，点A是圆外一点，与圆O的切点为B，点A到圆O的半径的垂直距离为h。
求证：h的长度等于线段AB的长度。
解析：由于点A到圆O半径的垂直距离为h，因此可以得到△OAB为直角三角形。
根据直角三角形的性质，可以得出线段AB的长度等于线段OB的长度。
由此，我们可以证明h的长度等于线段AB的长度。
(2) 如图，点A、B、C分别为圆O的切点，且线段AD平分∠BAC。
求证：BD = CD。
解析：根据题意，我们知道线段AD平分了∠BAC，因此可以得出△DAC为等腰三角形。
由于点D是线段AC上的一个点，根据等腰三角形的性质，可以证明线段BD的长度等于线段CD的长度。
直线与圆综合练习题含答案
直线与圆综合练习题含答案直线与圆的方程练题1.选择题：1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A。
45°。
1B。
0°。
不存在C。
90°。
不存在D。
180°。
不存在2.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A。
a+b=1B。
a-b=1C。
a+b=0D。
a-b=03.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A。
2x+y-1=0B。
2x+y-5=0C。
x+2y-5=0D。
x-2y+7=04.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A。
4x+2y=5B。
4x-2y=5C。
x+2y=5D。
x-2y=55.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ-ycosθ+b=0的位置关系是（）θ的值有关A。
平行B。
垂直C。
斜交D。
与a,b,θ的值有关6.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A。
4B。
13C。
10D。
267.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A。
-1/3B。
-3C。
1/3D。
38.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,-1)，则直线l的斜率为（）A。
3/2B。
-2/3C。
-3/2D。
-29.若动点P到点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A。
3x+y-6=0B。
x-3y+2=0C。
x+3y-2=0D。
3x-y+2=010.若P(2,-1)为(x-1)+y^2=25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=011.圆x^2+y^2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
直线与圆的方程的应用练习题含答案
直线与圆的方程的应用练习题（1）1. 已知圆C ：(x −1)2+y 2=25，则过点P(2, −1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.10√31 B.10√23 C.9√21 D.9√112. 直线y =kx +1与圆(x −2)2+(y −1)2=4相交于P ，Q 两点．若|PQ|≥2√2，则k 的取值范围是( ) A.[−34,0]B.[−√33,√33] C.[−1, 1] D.[−√3,√3]3. 若圆x 2+y 2−4x +2y +1=0关于直线ax −2by −1=0(a, b ∈R)对称，则ab 的取值范围是（ ） A.(−∞,14] B.(−∞,116]C.(−14，0]D.[116，+∞)4. 与直线x +y −2=0和曲线x 2+y 2−12x −12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．5. 已知直线y =2x +1与圆x 2+y 2+ax +2y +1=0交于A ，B 两点，直线mx +y +2=0垂直平分弦AB ，则|AB |=________.6. 已知直线kx −y −k =0与曲线y =ln (x −1)有公共点，则实数k 的最大值为________.7. 已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②在直线y =x 上截得弦长为2√7；③圆心在直线x −3y =0上．求圆C 的方程．8. 已知圆M ：(x −1)2+(y −1)2=4，直线l 过点P(2, 3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，求直线l 的方程．9. 已知圆C 经过点A(0, 0)，B(7, 7)，圆心在直线上．（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 与圆C 相切且与x ，y 轴截距相等，求直线l 的方程．10. 已知圆C:x 2+y 2+2x −4y +3＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C 外一点P(x 1, y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标．11. 已知圆C:x 2+(y −1)2=5，直线l:mx −y +1−m =0，且直线l 与圆C 交于A 、B 两点．（1）若|AB|=√17，求直线l 的倾斜角；（2）若点P(1, 1)，满足2AP →=PB →，求直线l 的方程．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x −4)2+y 2=4，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为y =kx(k >0).(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点. ①若AB ≤4√1717，求实数k 的取值范围； ②直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，是否存在常数a ，使得k 1+k 2=ak 3恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析直线与圆的方程的应用练习题（1）一、选择题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）1.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据题意，AC为经过点P的圆的直径，而BD是与AC垂直的弦．因此算出PM的长，利用垂直于弦的直径的性质算出BD长，根据四边形的面积公式即可算出四边形ABCD的面积．【解答】解：∵圆的方程为：(x−1)2+y2=25，∴圆心坐标为M(1, 0)，半径r=5．∵P(2, −1)是该圆内一点，∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．∵|PM|=√2，∴由垂径定理，得|BD|=2√25−2=2√23．因此，四边形ABCD的面积是S=12|AC|⋅|BD|=12×10×2√23=10√23．故选B．2.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用【解析】由已知可得圆心(2, 1)到直线y=kx+1的距离d≤√2，结合点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：若|PQ|≥2√2，则圆心(2, 1)到直线y=kx+1的距离为：d≤(2√22)=√2，即√1+k2≤√2，解得k∈[−1, 1].故选C.3.【答案】 B【考点】关于点、直线对称的圆的方程 【解析】由题意知，圆心在直线上，得到a +b =12，若a ，b 都是正数，利用基本不等式求得0<ab ≤116，若当a ，b 中一个是正数另一个是负数或0时，ab ≤0．【解答】解：∵ 圆x 2+y 2−4x +2y +1=0关于直线ax −2by −1=0(a, b ∈R)对称， ∴ 圆心(2, −1)在直线ax −2by −1=0上，∴ 2a +2b −1=0，a +b =12，若a ，b 都是正数，由基本不等式得 12≥2√ab >0， ∴ 0<ab ≤116．当a ，b 中一个是正数另一个是负数或0时，ab ≤0，故 ab ≤116， 故选B ．二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 4.【答案】(x −2)2+(y −2)2=2 【考点】圆的标准方程与一般方程的转化 直线和圆的方程的应用 点到直线的距离公式【解析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程． 【解答】解：曲线化为(x −6)2+(y −6)2=18， 其圆心到直线x +y −2=0的距离为d =|6+6−2|√2=5√2．所求的最小圆的圆心在直线y =x 上， 其到直线的距离为√2，圆心坐标为(2, 2)． 标准方程为(x −2)2+(y −2)2=2． 故答案为：(x −2)2+(y −2)2=2．5. 【答案】8√55【考点】直线与圆相交的性质 直线和圆的方程的应用 【解析】首先利用垂直，得m =12，再利用圆心，确定a =4，结合直线与圆相交的性质，即可求出弦长. 【解答】解：由题意可得直线y =2x +1与直线mx +y +2=0垂直， 所以 2(−m )=−1，所以m =12，因为圆心(−a2,−1)在直线mx +y +2=0上， 所以12(−a2)−1+2=0，所以a =4，所以圆x 2+y 2+ax +2y +1=0的方程可化为 (x +2)2+(y +1)2=4，所以圆心为(−2,−1)，半径为2， 圆心到直线y =2x +1的距离为d =√5=√5，所以弦AB 的长为|AB|=2√22−(√5)2=8√55.故答案为：8√55. 6.【答案】1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 直线与圆的位置关系 曲线与方程 导数求函数的最值 点到直线的距离公式【解析】 1【解答】 1三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 7.【答案】解设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线y =x 交于AB ， ∵ 圆心C 在直线x −3y =0上，∴ 圆心C(3a, a)，又圆=√2|a|．与y轴相切，∴R=3|a|．又圆心C到直线y−x=0的距离|CD|=|3a−a|√2在Rt△CBD中，R2−|CD|2=(√7)2，∴9a2−2a2=7．a2=1，a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为(3, 1)和(−3, −1)，故所求圆的方程为(x−3)2+(y−1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9．【考点】圆的标准方程【解析】设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，由题设知圆心C(3a, a)，R=3|a|，再由点到直线的距离公式和勾股定理能够求出a的值，从而得到圆C的方程．【解答】解设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，∵圆心C在直线x−3y=0上，∴圆心C(3a, a)，又圆=√2|a|．与y轴相切，∴R=3|a|．又圆心C到直线y−x=0的距离|CD|=|3a−a|√2在Rt△CBD中，R2−|CD|2=(√7)2，∴9a2−2a2=7．a2=1，a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为(3, 1)和(−3, −1)，故所求圆的方程为(x−3)2+(y−1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9．8.【答案】解：圆心坐标为M(1, 1)，半径R=2，∵|AB|=2√3，∴圆心到直线的距离d=√R2−(AB)2=√4−(√3)2=√4−3=1，2若过P的直线的斜率k不存在，则直线方程为x=2，此时圆心到直线的距离d=2−1=1≠R，则不满足条件．若斜率k存在，则线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y+3−2k=0则由√1+k2=√1+k2=2得|k−2|=2√1+k2，平方得3k2+4k=0，解得k=0或k=−43，则对应的直线方程为y=3或4x+3y−17=0．【考点】直线与圆相交的性质【解析】根据直线和圆相交的性质，结合弦长公式即可得到结论．【解答】解：圆心坐标为M(1, 1)，半径R=2，∵|AB|=2√3，∴圆心到直线的距离d=√R2−(AB2)2=√4−(√3)2=√4−3=1，若过P的直线的斜率k不存在，则直线方程为x=2，此时圆心到直线的距离d=2−1=1≠R，则不满足条件．若斜率k存在，则线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y+3−2k=0则由√1+k2=√1+k2=2得|k−2|=2√1+k2，平方得3k2+4k=0，解得k=0或k=−43，则对应的直线方程为y=3或4x+3y−17=0．9.【答案】根据题意，设圆C的圆心为(a, b)，半径为r，则其标准方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，圆C经过点A(0, 0)，B(7, 7)，圆心在直线上，则有，解可得，则圆C的标准方程为(x−3)2+(y−4)2＝25，若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：①，直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，解可得：k＝-，此时直线l的方程为y＝-x；②，直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y−m＝0，则有＝5，解可得m ＝7+5或7−5，此时直线l的方程为x+y+5−7＝0或x+y−5−7＝0；综合可得：直线l的方程为y＝-x或x+y+5−7＝0或x+y−5−7＝0．【考点】直线和圆的方程的应用【解析】（1）根据题意，设圆C的圆心为(a, b)，半径为r，结合圆的标准方程的形式可得，解可得a、b、r的值，代入圆的标准方程中即可得答案；（2）根据题意，①，直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，②，直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y−m＝0，则有＝5，分别求出直线l的方程，综合2种情况即可得答案．【解答】根据题意，设圆C的圆心为(a, b)，半径为r，则其标准方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，圆C经过点A(0, 0)，B(7, 7)，圆心在直线上，则有，解可得，则圆C的标准方程为(x−3)2+(y−4)2＝25，若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：①，直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，解可得：k＝-，此时直线l的方程为y＝-x；②，直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y−m＝0，则有＝5，解可得m ＝7+5或7−5，此时直线l的方程为x+y+5−7＝0或x+y−5−7＝0；综合可得：直线l的方程为y＝-x或x+y+5−7＝0或x+y−5−7＝0．10.【答案】由方程x2+y2+2x−4y+3＝0知(x+1)2+(y−2)2＝2，所以圆心为(−1, 2)，半径为√2．当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则√k2+1=√2，所以k＝2±√6，即切线方程为y＝(2±√6)x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y＝a，则√2=√2，所以a＝−1或a＝3，即切线方程为x+y+1＝0或x+y−3＝0．综上知，切线方程为y＝(2±√6)x或x+y+1＝0或x+y−3＝0；因为|PO|2+r2＝|PC|2，所以x12+y12+2＝(x1+1)2+(y1−2)2，即2x1−4y1+3＝0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x−4y+3＝0时，即直线PO的方程为2x+y＝0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标(−310, 35 )．【考点】直线和圆的方程的应用【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．【解答】由方程x2+y2+2x−4y+3＝0知(x+1)2+(y−2)2＝2，所以圆心为(−1, 2)，半径为√2．当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则√k2+1=√2，所以k＝2±√6，即切线方程为y＝(2±√6)x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y＝a，则√2=√2，所以a＝−1或a＝3，即切线方程为x+y+1＝0或x+y−3＝0．综上知，切线方程为y＝(2±√6)x或x+y+1＝0或x+y−3＝0；因为|PO|2+r2＝|PC|2，所以x12+y12+2＝(x1+1)2+(y1−2)2，即2x1−4y1+3＝0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO 垂直于直线2x −4y +3＝0时，即直线PO 的方程为2x +y ＝0时，|PM|最小， 此时P 点即为两直线的交点，得P 点坐标(−310, 35)． 11. 【答案】解：（1）由于半径r =√5，|AB|=√17，∴ 弦心距d =√32， 再由点到直线的距离公式可得d =√m 2+1=√32， 解得m =±√3．故直线的斜率等于±√3，故直线的倾斜角等于π3或2π3． （2）设点A(x 1, mx 1−m +1)，点B(x 2, mx 2−m +1 )，由题意2AP →=PB →，可得 2(1−x 1, −mx 1+m )=(x 2−1, mx 2−m )，∴ 2−2x 1=x 2−1，即2x 1+x 2=3． ①再把直线方程 y −1=m(x −1)代入圆C:x 2+(y −1)2=5，化简可得 (1+m 2)x 2−2m 2x +m 2−5=0，由根与系数的关系可得x 1+x 2=2m 21+m 2②．由①②解得x 1=3+m 21+m 2，故点A 的坐标为(3+m 21+m 2, 1+2m+m 21+m 2)．把点A 的坐标代入圆C 的方程可得m 2=1，故m =±1，故直线L 的方程为x −y =0，或x +y −2=0．【考点】直线和圆的方程的应用 【解析】（1）求出弦心距、利用点到直线的距离公式可得直线的斜率，即可求直线l 的倾斜角； （2）设点A(x 1, mx 1−m +1)，点B(x 2, mx 2−m +1 )，由题意2AP →=PB →，可得2x 1+x 2=3． ①再把直线方程 y −1=m(x −1)代入圆C ，化简可得x 1+x 2=2m 21+m 2②，由①②解得点A 的坐标，把点A 的坐标代入圆C 的方程求得m 的值，从而求得直线L 的方程． 【解答】解：（1）由于半径r =√5，|AB|=√17，∴ 弦心距d =√32， 再由点到直线的距离公式可得d =√m 2+1=√32， 解得m =±√3．故直线的斜率等于±√3，故直线的倾斜角等于π3或2π3． （2）设点A(x 1, mx 1−m +1)，点B(x 2, mx 2−m +1 )，由题意2AP →=PB →，可得 2(1−x 1, −mx 1+m )=(x 2−1, mx 2−m )，∴ 2−2x 1=x 2−1，即2x 1+x 2=3． ① 再把直线方程 y −1=m(x −1)代入圆C:x 2+(y −1)2=5，化简可得 (1+m 2)x 2−2m 2x +m 2−5=0，由根与系数的关系可得x 1+x 2=2m 21+m 2②． 由①②解得x 1=3+m 21+m 2，故点A 的坐标为(3+m 21+m 2, 1+2m+m 21+m 2)．把点A 的坐标代入圆C 的方程可得m 2=1，故m =±1， 故直线L 的方程为x −y =0，或x +y −2=0． 12.【答案】解：(1)由题意k >0，圆心C 为(4，0),半径r =2∴ 当直线l 与圆C 相切时，直线的斜率k =√33 ∴ 直线l:y =√33x . (2)①由题意得解得8√1717≤d <2,由(1)知d =√1+k 2, ∴ 8√1717≤√k 2+1<2解得2√1313≤k <√33②l AM :y =k 1(x −2)与圆C:(x −4)2+y 2=4联立得(x −4)2+k 12(x −2)2=4[(k 12+1)x −(2k 12+6)](x −2)=0即A (2k 12+61+k 12,4k 11+k 12)同理得BN ，y 2=k 2(x −6)即B (2+6k 221+k 22,−4k 21+k 22)∵ k OA =k OB∴ 4k 12k 12+6=−4k22+6k 22 解得k 2=−13k 1,k 1=−3k 2设P (x 0,y 0)，则{y 0=k 1(x 0−2)y 0=k 2(x 0−6) 即P (2k 1−6k 2k 1−k 2,−4k 1k 2k 1−k 2), k 3=−4k 1k 22k 1−6k 2 k 1+k 2=2k 3∴ 存在常数a =2，使得k 1+k 2=2k 3恒成立.【考点】直线和圆的方程的应用 直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意k >0， 圆心C 为(4，0),半径r =2 ∴ 当直线l 与圆C 相切时， 直线的斜率k =√33 ∴ 直线l:y =√33x . (2)①由题意得 解得8√1717≤d <2,由(1)知d =√1+k 2, ∴ 8√1717≤√k 2+1<2解得2√1313≤k <√33②l AM :y =k 1(x −2) 与圆C:(x −4)2+y 2=4联立得(x −4)2+k 12(x −2)2=4[(k 12+1)x −(2k 12+6)](x −2)=0即A (2k 12+61+k 12,4k11+k 12) 同理得BN ，y 2=k 2(x −6) 即B (2+6k 221+k 22,−4k21+k 22) ∵ k OA =k OB∴ 4k 12k 12+6=−4k22+6k 22 解得k 2=−13k 1,k 1=−3k 2 设P (x 0,y 0)，则{y 0=k 1(x 0−2)y 0=k 2(x 0−6) 即P (2k 1−6k 2k 1−k 2,−4k 1k 2k 1−k 2), k 3=−4k 1k 22k 1−6k 2 k 1+k 2=2k 3∴ 存在常数a =2，使得k 1+k 2=2k 3恒成立.。
(完整版)直线与圆练习题(带答案解析)
..直线方程、直线与圆练习1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩，故选择B考点：两条直线位置关系2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且31131AB k -==-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1，所以直线方程为：()244y x y x -=--⇒=-+，故选择A考点：求直线方程3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得0b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点4．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(1,2)-- 【答案】A 【解析】试卷第2页，总48页试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-考点：1．中点坐标公式；2．直线方程5．过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程：02=+-c y x ，将点(1,3)P -代入方程，06-1-=+c ，解得7=c ，所以方程是072=+-y x ，故选D ． 考点：直线方程 6．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y x 的取值范围是（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点，则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选C ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程．7．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +..（A ）最小值为15 （B ）最小值为55 （C ）最大值为15 （D ）最大值为55【答案】A【解析】试题分析：直线ax+by=1与线段AB 有一个公共点，则点A(1，0)B(2，1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1，0)与(2，1)代入，则(a-1)(2a+b-1)≤0，以a 为横坐标，b 为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA ，即原点到直线2a+b-1=0的距离，OA=55，22a b +表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b +的最小值为15，故选A.考点：线性规划.8．点()11-，到直线10x y -+=的距离是（ ）． A ．21 B ．23 C ．22D ．223【答案】D【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式，()221(1)132211d --+==+-，故选D 。
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2018级高一年数学竞赛辅导材料
1、直线l ：()22+=x k y 与圆O ：422=+y x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，ABO ∆的面积为S 。
（1）求函数)(k f S =；
（2）求S 的最大值，并求取得最大值时的k 值。
2、曲线03622=+-++y x y x 上点Q 、P 满足：关于直线04=+-y kx 对称、OQ OP ⊥，求直线Q P 的方程。
3、在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以O 为圆心的圆与直线043=--y x 相切。
（1）求圆O 的方程；
（2）若直线l ：3+=kx y 与圆O 交于B 、A 两点，在圆O 上是否存在一点Q ，使得OB OA OQ +=？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由。
4、已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线0743=+-y x 相切，且被y 轴截得的弦长为32，圆C 面积小于13。
（1）求圆C 的标准方程；
（2）设过点()3,0M 的直线l 与圆C 交于不同的两点B 、A ，以OB OA 、为邻边做平行四边形OADB 。
是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
5、已知圆C :)0()(222>=-+r r b y x 与直线l ：02=-+y x 相切于点)1,1(P 。
（1）求圆C 的方程；
（2）若点Q 为圆C 上一个动点，点)2,2(--M ，求MQ PQ •的最小值；
（3）过点P 作两条相异直线与圆C 相交于点B 、A ，且直线PB 、PA 的倾斜角互补，试判断直线CP 与直线AB 是否平行，并说明理由。
6、已知圆C 过)0,2(B 。
（1）若圆C 与圆D ：()2221r y x =+-关于直线x y =对称，试判断圆D 与圆C 的位置关系；
（2）若圆C 过点()2,0A ，圆心在圆222=+y x 的内部，且直线0543=++y x 被圆C 截得的弦长为32，点P 为圆C 上异于B 、A 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N 。
① 求圆C 的方程；
② 求证：BM AN •为定值。
7. （2019年福建省质检理12题）在ABC ∆中，B = 30，
3=BC ，32=AB ，点D 在边BC 上，点B 、C 关于直线AD 的对称点分别为B '、C '，则C B B ''∆的面积的最大值是
A. 2339-
B.736
C.739
D.2
33 8. （2018年5月莆田市质检理16）在平面四边形ABCD 中，AC AB ⊥，CD AD ⊥，3=AB ，8=AC ，则BD 的最大值为？
9. （2018年5月福州市质检理16）在平面四边形ABCD 中，若 15022=∠=∠=∠C B A ，当BC 取某个定值时，得CD 的取值范围为()t ,2，则t 的值为？
10. （2018年3月福建省高三质检理16）在平面四边形ABCD 中，1=AB ，5=AC ，BC BD ⊥，BC BD 2=，则AD 的最小值为？
11. （2019年1月湖北省元月调研理10）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边
分别为c b a ,,，若2cos cos c
A b
B a =-，则B
a B
b A a cos cos cos +的最小值为？ 12. （2019年1月佛山市质检理16）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为
c b a ,,，且1=a ，3
2π=A 。
当c b ,变化时，c b c b g λ+=),(存在最大值，则正数λ的取值范围是？
13. （2019年3月福建省适应性练习二理16）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，3π
=A ，且a bc C c B b 3sin 2sin 2+=+，则ABC ∆面积的最大值为？
14. （2019年1月三明市质检理16）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,1A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A 做直线052)1(=-+-+m y m x ，垂足为B ，则MB MA +的最小值？
15. （2019年3月唐山市质检理16）已知O 为坐标原点，圆M ：()1122=++y x ，圆()4222=+-y x ，B A ,分别为圆M 和圆N 上的动点，则OAB S ∆的最大值为？
16. （2018年12月双十中学月考理16）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比λ()1,0≠>λλ,那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆。
下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆：
122=+y x 和点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,21A ，点)1,1(B ，M 为圆O 上动点，则MB MA +2的最小值为？。