西南交通大学研究生数理统计与多元统计考试 试题答案

西南交通大学研究生2016－2017 学年第(1)学期考试试卷答案

课程代码 课程名称 数理统计与多元统计 考试时间 150分钟 1、设总体X (0,1)N :，12n ,,,X X X L 是来自正态的简单随机样本，其中

ξ=

，3

2

1

2

4

1)3i i n i

i n

X X η==-=∑∑（试推断统计量ξ和η的分布。 解：

=

(1)

X t n ξ=

-:（5分）

3

23

2

1

1

224

4

1)33

(3-3)-3i

i i i n

n

i

i

i i X

n

X F n X

X

n ====-=

~∑∑∑∑（，（）

（5分）

2、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为

()

1(;)0x e

x f x x μθμθθ

μ

--⎧≥⎪=⎨⎪<⎩

其中00θμ>>，为未知参数，又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值，(1)试求参数,μθ的极大似然估计量；(2) 试求参数,μθ的矩估计量.

解：

1

121

()

1(,,,)1

(,,),

n

i i n n

x i i n

i L X X X f x e

x μθ

θμθμμ

θ

=-

-=∑==

>∏L 极大似然函数为：（2分）

121

1

ln (,,,)ln (),

n

n i

i i L X X X n x x θμθμμθ

==--

->∑L （1分）

21ln (,)1(),

n

i

i i L n x x μθμμθθθ=∂-=+->∂∑（2分）

ln (,)0,

i L n

x θμμμθ

∂=>>∂（2分）

12(1)(2)(),,...,:...n x x x x x x ≤≤≤的顺序统计值为

(1)1ˆmin i i n

X X μ

≤≤==,()X θ∧

１＝Ｘ－,（2分） 1

()x u

EX xf x dx xe

dx μ

θ

θμθ

--

+∞

+∞

-∞

===+⎰

⎰

（2分）

2

2

2

21

()2()

x u

EX x f x dx x e

dx

μ

θ

θ

μθθμ--

+∞

+∞

-∞

===++⎰

⎰

（2分）

1222121211212()ˆˆn i

i X X n X θθθθθθθθ=⎧+=⎪

⎨++=⎪⎩⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

∑解方程得矩估计为：

－（2

分）

3.抛一枚硬币，设正面向上的概率为θ，提出如下假设： 011

3::2

4

H H θθ=

=

如果检验规则为：将该硬币抛掷5次，若正面向上的次数多余3次，则拒绝0H 。 （1）求该检验犯第一类错误的概率。（2）求该检验犯第二类错误的概率。 （3）在硬币抛掷次数不变的情况下，为使检验的显著性水平0.05α=，应如何修改检验规则。

解：

(1)44

55

516(3|)=C (1)22

P X θθθθ>=-+= (2)5114

5223332553(3|)=(1)C (1)

4C (1)C (1)

P X θθθθθθθθ≤=-+--+-

1144455513(|)=C (1)C (1)0.052

m m m P X m θθθθθθ++->=-+-+=L （）

4. （15分）为了研究某商品的需求量Y 与价格x 之间的关系，收集到下列10对数据，得出以下结果：

（1） 估计截距0β和斜率系数1β及其标准误，并进行t 检验；（2）回归直线未解

释的价格变差部分是多少？（3）对0β和1β分别建立95%的置信区间。

解：（1）

；

12

ˆ74.1+2.0615.9

ˆ=

13.42

102

yy xx l l n βσ

-⨯=≈--

2ˆyy xx S l b l =-剩，2ˆˆxx xy S b l bl ==回

22

2

1ˆ[],ˆ,xx xx

x Da

n l Db l σσ=+=

2

ˆ[2

a t n α±-（）

2

ˆ2

b t n α±-（（）

5.简要回答下列问题：1、判别分析和聚类分析有何区别？

2、在单因素方差分析中，进行总变量平方和分解的目的和意义是什么？

22

31,58,147,112,410.5,

i i i i i i x y x y x y =====∑∑∑∑∑()()14710 3.1 5.832.8

xy

i i i i l

x x y y x y nx y =--=-=-⨯⨯=-∑∑2

222()11210 3.115.9

xx i i l x x x nx =-=-=-⨯=∑∑2

222()410.510 5.874.1

yy i i l y y y ny =-=-=-⨯=∑∑32.8ˆˆˆ2.06, 5.8 2.06 3.112.1915.9xy xx l b a

y bx l -==≈-=-≈+⨯≈