二次三项式的因式分解PPT教学课件
17.4二次三项式的因式分解--求根公式法
5
5
当m为何值时，二次三项式2x2 + 6x – m （默8）
（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解； （3）能分解成两个相同的因式
B组
（1）在实数范围内分解因式 3x2 4xy y2为
（ 3 x 2 7 y)( x 2 7 y)
3
3
破题思路
由△= [(2k 1)]2 41 (k 2 5) 4k 19 0
该方程的实数根是
x1
3 4
17
3 17 x2 4
=
2 (x 3
4
17 )(x 3 4
17 )
例题1 分解因式：
（2）
小试牛刀
(1)解: 对于方程 4x2 8x 1 0 b2 4ac 82 4 41 80 0
该方程的实数根是
x1
2. 选择题
k 19 4
K的值为 （ B ）
A、 19 4
B、19
C、2
4
D、 2
小结
1. 对于不易用以前学过的方法：x2 (a b)x ab (x a)( x b)
分解二次三项式 ax2 bx c 宜用一元二次方程的
（2）第二步：求出方程①的两个根x1, x2;
（3）因式分解 ax2 bx c a(x x1)( x x2 )
课堂练习
A组
1. 填空题
（1）若方程ax2 bx c 0的两根为 x1, x2,则ax2 bx c分解为
a(x x1)( x x2 )
（2）分解因式： x2 20x 96 = (x 8)(x 12)
2
17.4一元二次方程的应用—二次三项式的因式分解(第1课时)(教学课件)-2024-2025学年八年
4
4
（3）3x2 6x 1;
（4）6x2 3x 3;
（3）当3x2 6x 1 0时
解得：x （ 6） （ 6）2 4 31 23
3 6， 3
3x2 6x 1 3(x 3 6 )( x 3 6 );
3
3
(4)当6x2 3x 3 0时
解得：x 3 （ 3）2 4 6（ 3） 26
x1 x2 3
x1 3, x2 1 x1 3, x2 1
观察 一元二次方程的根与多项式的因式分解的关系
因式分解 x2 3 (x 3)(x 3)
对应的 一元二次方程
x2 3 0
方程的根
x1 3, x2 3
x2 6x 9 (x 3)2
x2 6x 9 0 x1 x2 3
x1 3, x2 1 x1 3, x2 1
x1, x2
验证
如果一元二次方程 ax2 bx c 0有两个实数根：
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
那么写出代数式 a(x x1)( x x2 )，得
a(x x1)( x x2 ) a x2 (x1 x2 )x x1x2
解：把2x2 3xy y2 0看做关于 x的一元二次方程， a 2, b 3y, c y2
b2 4ac (3y)2 4 2 ( y2 ) 17 y2
关于x的方程2x2 3xy y2 0的两个实数根是 这个三项式中含有x、y
3y x
17 y2 3y
17 y 3
17 y
22
4
4
x1
3 17 4
y，x2
3 17 4
y
两个字母，把它看作关 于x的三项式，就是把x 看作“主元”，这时y 如同通常的数。
二次三项式的因式分解
二次三项式的因式分解一、一般步骤1. 确定二次三项式的形式为ax²+bx+c。
2.查找常见的二次三项式因式分解公式，如平方差公式、完全平方公式、积和差分解等。
3.根据公式进行因式分解，将二次三项式化简成两个或多个因式相乘的形式。
4.检验分解是否正确，可以通过将因式相乘来验证。
下面我们将介绍几种常见的二次三项式因式分解公式及其应用。
二、平方差公式平方差公式用于分解形如a²-b²的二次三项式。
其公式为：a²-b²=(a+b)(a-b)其中，a和b可以是任意实数。
根据平方差公式，可得以下例子：1.分解x²-4：x²-4=(x+2)(x-2)2.分解16x²-9：16x²-9=(4x+3)(4x-3)3.分解a⁴-b⁴：a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)三、完全平方公式完全平方公式用于分解形如a²+2ab+b²的二次三项式。
其公式为：a² + 2ab + b² = (a+b)²根据完全平方公式，可得以下例子：1.分解x²+6x+9：x²+6x+9=(x+3)²2.分解4y²+12y+9：4y²+12y+9=(2y+3)²3.分解9z⁴+12z²+4：9z⁴+12z²+4=(3z²+2)²四、积和差分解积和差分解是一种应用于分解二次三项式的技巧。
其基本思想是将二次项的系数进行合理分配，使得二次项可以分解成两个一次项相乘的形式，并带有不同的符号。
具体方法如下：1.将二次项的系数拆分成两个数的和与积。
2.利用这两个数的和与积的关系，将二次项进行分解。
3.整理其他项，进行因式分解。
根据积和差分解，可得以下例子：1.分解2x²+7x+3：2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)2.分解12x²-19x-5：12x²-19x-5=(4x+1)(3x-5)結语：二次三项式的因式分解是数学中的基本概念和技巧之一，掌握了这些公式和技巧，可以帮助我们更好地理解和解决二次三项式相关的问题。
二次三项式的因式分解(用公式法)
1、如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax2+bx+c= 。
2、当k 时，二次三项式x2－5x+k的实数范围内可以分解因式。
3、如果二次三项式x2+kx+5(k－5)是关于x的完全平方式，那么k= 。
4、4x2+2x－35、x4－x2－66、6x4－7x2－37、x+4y+4xy(x>0,y>0)8、x2－3xy+y29、证明：m为任何实数时，多项式x2+2mx+m－4都可以在实数范围内分解因式。
10、分解因式4x2－4xy－3y2－4x+10y－3。
11、已知：6x2－xy－6y2=0，求：y3x62y6x4--的值。
12、6x2－7x－3；13、2x2－1分解因式的结果是。
14、已知－1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么，ax2+bx+c可以分解因式为。
15、3x2－2x－8；16、2x2－3x－2；17、2x2+3x+4；18、4x2－2x；19、3x2－1。
20、3x2－3x－1；21、22x2－3x－2。
22、方程5x2－3x－1=0与10x2－6x－2=0的根相同吗?为什么?二次三项式2x2－3x－4与4x2－6x－8 分解因式的结果相同吗?把两个二次三项式分别分解因式，验证你的结论。
23、二次三项式2x2－2x－5分解因式的结果是( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-21112111xxB.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-211121112xxC.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++21112111xxD.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++211121112xx24、二次三项式4x2－12x+9分解因式的结果是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-234xB.⎪⎭⎫⎝⎛-23xC.223⎪⎭⎫⎝⎛-xD.2234⎪⎭⎫⎝⎛-x25、2x2－7x+5；26、4y2－2y－1。
27、5x2－7xy－6y2；28、2x2y2+3xy－3。
二次三项式的因式分解
已知关于x的方程mx2 – 2（m + 2）x + （m + 5） 在实数范围内不能分解因式，判定关于x的方程 （m – 5）x2 – 2（m + 2）x + m =0的实数根的情况
其他类式子的因式分解：
（） 1 x x y 72 y
4 2 2 2 2
4
2 2
( x 2 2 y)( x 2 2 y)( x 9 y )
2
2 2 11 2 2 11 5 x 4 x 8 5( x )( x ) 5 5
2
注意符号的变化
把2x 8xy 5 y 分解因式
2 2
将本题看作是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数
解：关于x的方程2x2 – 8xy + 5y2 = 0的根是
x= 8y ?
2 7 2 7 （ 3 x y )( x y) 3 3
在实数范围内分解因式 - m2 - 2 2m + 3
- （m + 2+ 5)(m + 25)
在实数范围内分解因式
(2 x + 3a)( x - 3a) + 12ax
9 + 3 17 9 - 3 17 2（x + a)( x + a) 4 4
x 6 x 7 ( x 3) 2 ( x 3 2)( x 3 2)
2 (2 x 2) 3 4 x 8x 1 (2x 2 3)(2x 2 3)
2
2.
求根公式法
2
在分解二次三项式 ax bx c(abc 0)
可先用求根公式求出方程 ax bx c 0
1.二次三项式常见的分解方法
初中数学教学课件：21.2.3 因式分解法(人教版九年级上)
2.解下列方程: （1）（x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
x 2 0或x 4 0
x1 2，x 2 4.
24x2x 1 32x 1 0，
2x 14x - 3 0,
2x 1 0或4x 3 0.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例 题
【例1】用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 【解析】
解 : 1 5x 2 4x 0,
x5x 4 0.
2 x 2 x x 2 0, x 21 x 0.
1.x1 5; x2 2.
x 2 (5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0 2.x1 5; x2 3.
3. x 2 (3 2)x 18 0
4. (4 x 2) x(2 x 1)
2
3.x1 3; x2
b b 2 4ac (a 0, b 2 4ac 0) 公式法 x 2a
《分解因式》ppt
(4) x 3 x 2 只要看等式右边 几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
2：计算
(1) 87 87 13
2
(2)
101 99
2
2
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
(4)ma+mb+mc
m(a+b+c) =—————
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
因式分解定义
• 把一个多项式化成几个整式的积 ____________ 的形式,这种变形叫做把这个多项 式 分解因式，也叫因式分解。
•多项式的分解因式与整式乘法是方 向相反的恒等式.
分解因式与整式乘法是互 为逆运算关系.
分解运算两重天，分解方法记心间。 首先提取公因式，然后考虑用公式。 若是二次三项式，十字相乘试一试。 三项以上要分组，以上方法反复试。 分解结果要彻底，最后写成乘积式。 本章要想学得好，重复练习是法宝。
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
因式分解方法(2)
因式分解方法（2）1.二次三项式（1）多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：和都是关于x的二次三项式．（2）在多项式中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式中，看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．2.十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．1.利用十字相乘法分解因式【例1】（2014安徽省中考）分解因式：练习1.（2014四川凉山一中月考）；练习2.（2014贵州黔南三中周测）__________．2.二次项系数不为1的十字相乘【例2】把下列各式分解因式：（1）；（2）．练习3.(x－3)(__________)．练习4.练习5．练习6.3.把其中一个量看成一个整体【例3】分解因式：练习7.（2014湖北恩施中考）练习8.（2014青海西宁中考）分解因式：．练习9.（2014内蒙古呼和浩特一中期中）；4.换元法分解因式【例4】分解因式：．练习10．分解因式．练习11．．练习12.；5.重新分组分解因式【例5】分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．练习13．；练习14.分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．6.因式分解的综合题【例6】．练习15.．练习16.；1．如果，那么p等于()A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)2．如果，则b为()A．5B．－6C．－5D．63．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为()A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是()A．B．C．D．5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()A．B．C．D．6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()①；②；③；④；⑤；⑥A．2个B．3个C．4个D．5个7．(m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________．8．____(x－y)(__________)．9．．10．当k＝______时，多项式有一个因式为(__________)．11．若x－y＝6，，则代数式的值为__________．12．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；13．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．14．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；15．已知有因式2x－5，把它分解因式．16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．分解因式6x2－5x+1=(2x－m)(3x－n),那么m、n的值是() A．m=2,n=3B．m=－2,n=－3C．m=n=1D．m=n=－12．多项式x2＋3x－54分解因式为（）A．(x＋6)(x－9)B．(x－6)(x＋9)C．(x＋6)(x＋9)D．(x－6)(x－9)3．分解a2-a-12的结果为（）A．(a-3)(a+4)B．(a+3)(a-4)C．(a-6)(a+2)D．(a+6)(a-2)4．分解x2+2x-8的结果为（）A．(x+4)(x-2)B．(x-4)(x+2)C．(x+4)(x+2)D．(x-4)(x-2)5．若分解x2-x+m得到两个因式x-2与x-n，则m+n的值=．6．因式分解x2+5x+6=．7．因式分解x2+x-30=．8．因式分解x2+4x-32=．9．因式分解x2-7x+6=．10．因式分解x2-4x-21=．11．因式分解t2-2t-8=．12．因式分解m2+7m-18=．分解因式13．2x2＋3x＋114．15．16．17．18．19．。
初中数学经典课件：因式分解(人教版)
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
21.3.5求根公式法-二次三项式
归纳：如果一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根是x1、 x2，那么二次三项式x2＋px＋q可以分解为： x2＋px＋q＝ ． 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是 x1、x2，那么： ax2＋bx＋c＝ ．
把下列多项式在实数范围内进行因式分解： (1) x2－x－1 (2) x2＋8x－1 (3) x2＋2x (4) 4x2－12x－7 (5) 2x2－6x＋4 (6) 25x2＋20x＋1 思考：如果x2－ax－8(a是整数)在整数范围内可以因式分 解，求a的值．
21.3※ 二次三项式
因式分解： ①x2－2x＋1 ②x2＋2x ③x2－4 ④y2－5y－6 思考：你能把x2＋8x－1因式分解吗？
Hale Waihona Puke 利用表格让学生观察二次三项式所分解成的因式中的数 字与它相对应的方程的根存在怎样的一种关系． 二次三项式因式分解 相对应方程的根的情况 x2－2x＋1＝(x－1)2 x2－2x＋1＝0 x1＝x2＝1 x2＋2x＝x(x＋2) x2＋2x＝0 x1＝0，x2＝－2 x2－4＝(x＋2)(x－2) x2－4＝0 x1＝2，x2＝－2 y2－5y－6 y2－5y－6＝0 ＝(y＋1)(y－6) y1＝－1，y2＝6 思考：1.对于方程x2＋px＋q＝0，你能得出什么结果？ 与上面的猜想是否一致． 2.对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试用同样的方法探究 ax2＋bx＋c的分解，你能得出什么结果？
第2讲 因式分解(2)
（2）9x2－y2－4y－4；
（3）a2＋(b2－2b)a－b3＋b2；
（4）(a＋b)2(a－b)2－a4＋b4．
【答案】（1）(a－ b ＋x)(a― b ―x)（2）(3x＋y＋2)(3x－y－2)（3）(a－b)(a－b＋b2)
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）－2a2(a＋b)(a－b)
c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b．
2． 双字母型 双字母型与单字母型的分解方法是一样的，只是结构上的区别．
考点一 单字母型十字相乘法
例 1．分解因式． （1）x2＋3x＋2；
（2）x2＋x－20；
（3）6x－27＋x2；
（4）x2－2x－99．
【答案】（1）(x＋1)(x＋2)（2）(x＋5)(x－4)（3）(x＋9)(x－3)（4）(x－11)(x＋9)
（2）4x2－xy－5y2；
（3）－9xy＋2x2－5y2；
（4）a2b2－7ab3＋10b4．
【答案】（1）(x－6y)(x－8y)（2）(x＋y)(4x－5y) （3）(x－5y)(2x＋y)（4）b2(a－2b)(a－5b)
分组分解法
1． 分组分解法 很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，
（2）x2－15x＋36； （4）x2－5x－104．
【答案】（1）(x＋2)(x＋4)（2）(x－12)(x－3) （3）(x－12)(x＋6)（4）(x－13)(x＋8)
变 2．把下列各式因式分解． （1）－3x2－2－7x；
（3）3x2－2x－8；
（2）2x2－x－3； （4）－2m2－5m＋12．
就可以运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解．常见的分组方式有“2＋2”型，“3 ＋1”型，“3＋2”型等．
二次三项式的因式分解
例 1 在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ；（2）1842-+-x x .分析 对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.解 （1）∵ 方程3222--x x 0=的根是 522522212)3(14)22(222±=±=⨯-⨯⨯-±=x∴ 52,5221-=+=x x ∴3222--x x )52)(52(+---=x x （2） ∵ 方程01842=-+-x x 的根是2328348)4(2)1()4(4882±=-±-=-⨯-⨯-⨯-±-=x ∴232,23221-=+=x x ∴)232)(232(41842--+--=-+-x x x x )322)(322(+----=x x说明 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.例 2把22542y xy x --分解因式.分析 此二次三项式中有两个字母x 和y ，在分解时可以把它看作是其中一个字母（如x ）的二次三项式，而另一个字母（y ）可看作是已知数.解 ∵ 关于x 的方程22542y xy x --0=的根是22)5(24)4(422⨯-⨯⨯--±=y y y x 41424y y ±= y 2142±=， ∴.2142,214221y x y x -=+= ∴)2142)(2142(254222y x y x y xy x --+-=-- 说明 分解的结果不要丢掉两个一次因式里的y .例3 当k 取何值时，二次三项式k x x 2432+-（1）在实数范围内能分解？（2）不能分解？（3）能分解成一个完全平方式？这个完全平方式是什么？分析 二次三项式能否分解的关键是对应的二次方程是否有解，而方程是否有解由其∆的符号决定.解 设k x x 2432+-0=则k k 2416234)4(2-=⨯⨯--=∆若02416>-k ，即32<k 时方程有两个不相等的实数根. 此时k x x 2432+-在实数范围内能分解.（2）当32>k 时，k x x 2432+-不能分解. （3）当32=k 时，方程为034432=+-x x . 3232421=⨯--==x x . 此时22)32(33443-=+-x x x 为一个完全平方式.典型例题四例 已知二次三项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则b 、c 的值为（ ）A ．1,3-==c bB ．2,6=-=c bC ．4,6-=-=c bD ．6,4-=-=c b分析与解答 可利用多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形这一关系解.)32(2)1)(3(22--=+-x x x x.264222c bx x x x ++=--=∴ 4-=b 且6-=c .∴ 选D.典型例题五例 已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0=∆解 对于一元二次方程02)6(92=-++-m x m x ，其中9=a ，)6(+-=m b ，2-=m c ，∴ac b 42-=∆[])2(94)6(2-⨯⨯-+-=m m 108242+-=m m原二次三项式是一个完全平方式，∴ 0=∆，即0108242=+-m m0)18)(6(=--m m∴61=m ，182=m故当6=m 或18=m 时，二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式.说明：若042=-ac b ，则二次三项式c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式；反之，若c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式，则042=-ac b .典型例题六例 k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x （m 为有理数）的根为有理数？分析：根据一元二次方程的求根公式，若使方程的根为有理数，需使方程的判别式∆是关于m 的完全平方式，即ac b 42-为有理数；又根据二次三项式的因式分解公式知，若使∆为完全平方式，需使关于m 的方程0=∆的根21m m =，即方程0=∆的判别式0=∆'，进而求得k 的值.解 把原方程化为一般式，得0)423()44(22=+-+--k m m x m x若使方程有有理根，只需使∆为关于m 的完全平方式.[])423(14)44(22k m m m +-⨯⨯---=∆ 16162442+--=k m m若使16162442+--=∆k m m 是关于m 的完全平方式，需使 0)1616(44)24(2=+-⨯⨯--=∆'k ，即02016=+k ∴45-=k ∴当45-=k 时，方程有有理根. 说明：上述求解中多次利用根的判别式，这里有一个结论，即二次三项式c bx ax ++2为完全平方式042=-=∆⇔ac b .典型例题七例 在实数范围内分解因式：22212)16)(1(a a a a a ++-++分析：在实数范围内分解二次三项式的问题，通常是采用公式法，在实数范围内分解因式，是指分解的结果中各因式的数字系数可以是实数范围内的任意实数.解 把原式化为22212)16)(1(a a a a a ++-++[]222127)1()1(a a a a a a +-++++=222212)1(7)1(a a a a a a +++-++= [][]aa a a a a 4)1(3)1(22-++-++=)13)(12(22+-+-=a a a a22)1(12-=+-a a a ，0132=+-a a 的两根为2531+=a ，2532-=a ， ∴原式)253)(253()1(2--+--=a a a . 说明：本题不是直接给出二次三项式要求分解因式，而是需要综合运用因式分解的方法进行分解.对于题中所给的多项式，若直接展开后重新分组分解，则计算量较大，且有一定的难度.上述求解中，是注意到两个二次三项式中仅一次项不同，采用了整体代换方法构造出含12++a a 的二次三项式，从而达到分解因式的目的.同时，因式分解要分解到每一个因式都不能再分解之止.选择题1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--y x y x 465746572是以下那个多项式分解因式形成的（ ） A ．22272y xy x -+ B ．22372y xy x -+C ．2273y xy x -+D ．22272y xy x ++ 2. 分解因式：3422--x x （）A ．)2101)(2101(--++x x B ．)2101)(2101(2+---x x C ．)2101)(2101(2--++x x D ．)1022)(1022(21+---x x 3．在实数范围内分解因式241x x +-，正确的结果是（ ）A ．)1)(4(+-x xB ．)32)(32(+---x xC ．)1)(5(+-x xD ．)32)(32(++-+x x4. 以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y 5. 分解因式：2223y xy x -+（）A ．))(3(y x y x -+B ．)1)(31(3+-x xC ．)1)(13(+-x xD ．))(3(y x y x +-6. 分解因式：)13()12()2(2--+--m x m x m （）A ．[])13()2()1(---+m x m xB ．[])13()2()1(-+--m x m xC ．[])13()2()1(+--+m x m xD ．[])13()2()1(+---m x m x7. 分解因式：2732++x x （） A ．)2)(31(--x x B ．)2)(13(++x x C ．)2)(31(++x x D ．)2)(1(3++x x8. 若一元二次方程02=++q px x 的两根为3-和4，则二次三项式02=+-q px x 可分解为（）A ．)4)(3(-+x xB ．)4)(3(+-x xC ．)4)(3(++x xD ．)4)(3(--x x 9．多项式22432y xy x -+在实数范围内分解因式正确的结果是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 44134413 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x y x 441344132 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+y x y x 441344132 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x y x 44134413答案：1. A;2. D3. B ;4. A ;5. D;6. A;7. B;8. B;9. B.判断题1. c bx ax --2)0(≠abc 是关于x 的二次三项式。
第8章 整式乘法与因式分解-因式分解的拓展课件(共27张ppt) 2022--2七年级下册数学沪科版
待定系数法
待定系数法：就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数 可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒 等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
例 待定系数法分解因式：x3－1 设 x3－1 =((xx－+a1)) (x2+bx+1c) x3－1 = x3+(b－1)x2 +(1－b)x －1
a1c2y＋a2c1y＝by
口诀: 首尾分解，交叉相乘，求和凑中
例 把x2＋7x＋10分解因式．
常数项
二次项系数为1
分解
x2＋7x＋10
一次项系数7
10＝1×10 10＝(－1)×(－10) 10＝2×5 7＝2＋5 10＝(－2)×(－5)
x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
解析 二次三项式：x2＋7x＋10
分解二次项系数
分解常数
1
p
1
q
1×q＋1×p ＝p＋q
二次项系数不为1型
ax2＋bx＋c ＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
分解二次项系数
分解常数
a1
c1
a2
c2
a1c2＋a2c1＝b
两个字母型
ax2＋bxy＋cy2 ＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)
分解二次项系数
分解常数
a1
c1y
a2
c2y
＝x(x2－3x－4)＋4(x＋1)
＝x(x－4)(x＋1)＋4(x＋1)
＝(x＋1)(x2－4x＋4)＝(x＋1)(x－2)2
例 分解因式：x3－3x2＋4． x3－3x2＋4
拆二次项
3一元二次方程根的判别 二次三项式的因式分解
一元二次方程根的判别 二次三项式的因式分解 1，一元二次方程根的判别式我们把ac b 42-叫做一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式，记作ac b 42-=∆例：求一元二次方程5322+=x x 的根的判别式。
2，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ，当0〉∆时，方程有两个不相等的实数根；当0=∆时，方程有两个相等的实数根； 当0〈∆时，方程没有实数根。
例：判别一元二次方程()()011212=+-+--m x m x m 的根的情况3,利用一元二次方程根的情况来判断根的判别式的符号对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax当方程有两个不相等的实数根时，0〉∆； 当方程有两个相等的实数根时，0=∆； 当方程没有实数根时，0〈∆例：已知关于x 的方程()024412=-+-+m mx x m 有两个实数根，求m 的取值范围4，一元二次方程应用（1）二次三项式的因式分解把二次三项式c bx ax ++2分解时，如果042≥-ac b ，那么()()212x x x x a c bx ax --=++（其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个实数根）；如果042〈-ac b ，那么c bx ax ++2在实数范围内不能分解例：在实数范围内分解因式：（1）132++x x （2）22243y xy x -+（3）624--x x （4）34222-+xy y x5，一元二次方程根与系数关系如果方程()002≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 。
那么a b x x -=+21， ac x x =⋅21 一元二次方程根与系数关系有很广泛的用途。
一般，可解决以下几类问题：（1）已知一元二次方程的一个根，可求另一个根（2）已知两根，可写出这个二次方程； （3）求已知二次方程的根的对称式；（4）与根的判别式结合起来，可不解方程判断两根的性质和正负号。
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当m为何值时，二次三项式 x2 +mx + m + 3 （1）在实数范围内能分解；（2）不能分解； （3）是一个完全平方式
已知关于x的方程mx2 – 2（m + 2）x + （m + 5） 在实数范围内不能分解因式，判定关于x的方程 （m – 5）x2 – 2（m + 2）x + m =0的实数根的情况
其他类式子的因式分解：
（1） x4 x2 y2 72y4
(x 2 2 y)(x 2 2 y)(x2 9 y2 )
（2） (x2 5x 3)(x2 5x 5) 63
(x 4)(x 1)(x 5 73 )(x 5 73 )
2
2
（3） (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24
解：∵方程 2x2 – 3x – 1 = 0的根是
x1
3 17 4
，x2
3 17 4
∴ 2x2 – 3x – 1 = 2(x 3 17 )(x 3 17 )
4
4
把 5x2 4x 8 分解因式
解： 方程5x2 4x 8 0的根是
x 4 42 4 5 (8) 4 176 2 2 11
二次三项式在实数范围内
1) 能分解
△≥０
2) 不能分解 △＜０
3) 能分解成相同的两个因式
△＝０
虎丘记
（袁宏道）
一、关于袁宏道和“公安派”：
• 袁宏道，明代文学家，湖广公安人，万历16年 中举人，万历20年中进士，万历23年任吴县县令， 颇有政绩，不到两年就辞官归隐。后又出仕官场， 官至吏部主事、稽勋郎中。著《袁中郎全集》。 袁宏道在明代文坛上占有重要地位。他与兄长 袁宗道、弟弟袁中道合称“公安三袁”，被称为 “公安派”。“公安派”在文学上反对形式主义和 拟古主义，在思想上反对封建礼教和儒家道统。他 们的作品也能打破传统诗文的陈规陋习，抒发个性， 清新流畅。但由于不适当地强调表现自我表现，忽 视社会现实，因而作品缺乏深厚的社会内容，思想 比较贫乏。
3. 用求根公式分解二次三项式 ax2 bx c(a 0)
其程序是固定的，即：
（1）第一步：令 ax2 bx c 0 ①；
（2）第二步：求出方程①的两个根 x1, x2 ;
（3）写出公式 ax2 bx c a(x x1)( x x2 )
并把 x1, x2 ; 的值代入公式中的 x1, x2 处。
1.二次三项式常见的分解方法
ax2 bx c(abc 0)
十字相乘
完全平方公式
配方法
△＝0
求根公式法
△≥0且是一个完全平方数（式）
△≥0
△＜0 不能分解
x2 5x 6 (x 6)(x 1)
9x2 24x 16 (3x 4)2
当二次项系数是１一次项系数是偶数的时候适合用配方法
x2 6x 7 (x 3)2 2 (x 3 2)(x 3 2)
4x2 8x 1 (2x 2)2 3
(2x 2 3)(2x 2 3)
2. 求根公式法
在分解二次三项式 ax2 bx c(abc 0)
可先用求根公式求出方程 ax2 bx c 0
的两个根x1,x2然后,写成
ax2 bx c a(x x1)( x x2 )
例、把 2x2 3x 1 分解因式
25
10
5
5x2 4x 8 5(x 2 2 11)(x 2 2 11)
5
5
5x2 4x 8 5(x 2 2 11)(x 2 2 11)
5
5
注意符号的变化
把2x2 8xy 5y2分解因式
将本题看作是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数
解：关于x的方程2x2 – 8xy + 5y2 = 0的根是
x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
２．常见方法
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
十字相乘
完全平方公式
配方法
△＝0
求根公式法
△≥0且是一个完全平方数（式）
△≥0
△＜0 不能分解 △＞0且不是完全平方式时，适合用配方法或求根公式法
当二次项系数是１一次项系数是偶数的时候适合用配方法
2.在分解二次三项式 ax2 bx c(a 0)
的因式时，可先用求根公式求出方程
ax2 bx c 0 的两个根x1,x2然后,写成
ax2 bx c a(x x1)( x x2 )
在实数范围内分解因式 3x2 4xy y2
（ 3 x 2 7 y)(x 2 7 y)
3
3
在实数范围内分解因式 m2 2 2m 3
- （m 2 5)(m 2 5)
在实数范围内分解因式 (2x 3a)(x 3a) 12ax
2（x 9 3 17 a)(x 9 3 17 a)
4
4
在实数范围内分解因式 (a2 a 1)(a2 6a 1) 12a2
(a 1)2 (a 3 5 )(a 3 5 )
2
2
1、如果关于x的方程3x2 +kx + 1 = 0的两根分别是 分x1解=因– 式1，的x结2 =果0是.5_，__那_么__二__（3次_x_三__1项)_(式x___132_)x_2_+。kx + 1
8பைடு நூலகம் x
( 8y)2 4 2 (5y2 ) 8y 2 6 y 4 6 y
22
4
2
2x2 8xy 5y2 2(x 4 6 y)( x 4 6 y)
2
2
不要漏了y
注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式 ax2 bx c a(x x1 )(x x2 ) (a 0)
中的因式 a千万不能忽略。
(x 3)(x 2)(x 1 33 )(x 1 33 )
2
2
五、本课小结
1. 对于不易用以前学过的方法：x2 (a b)x ab (x a)( x b)
分解二次三项式 ax2 bx c 宜用一元二次方程的
求根公式分解因式。
用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根
2、已知二次三项式2x2 + bx + c分解因式为 2(x – 3)(x + 1)，则b = __–__4__，c = __–__6__。
3、二次三项式ax2 + 3xy + 4y2在实数范围内不能 分解因式，则a的取值范围是 __a__1_96______。
4、如果x2 – ax – 8（a是实数）在整数范围内 可以分解因式，则a的值是 7_，__2_，__–__7_，_–_。2