博弈论(部分英文版翻译)

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相关例子的一般图的SG函数

4.组合游戏和N图游戏及SG定理的相关应用

与休息游戏相关的练习

5.硬币游戏的例子

二维空间中的硬币旋转游戏尼姆复杂的网格游戏练习

6.绿色哈肯布什竹竿

树木上的绿色哈肯布什

普通根图练习的绿色引导

参考材料

第一部分:公平组合游戏1。外卖游戏

组合游戏是两人游戏。如果有足够的条件，当一方不能继续经营时，游戏的结果就会出来。这个游戏的结果取决于一系列的状态，包括初

始状态和准备操作的玩家。游戏双方轮流操作，直到达到最终状态。最终状态意味着该状态不能再运行。此时，结果已经出现分歧。

这里有两个关于组合游戏的主要材料。一部是康威的《论数字与游戏》，学术出版社1976年出版。这本书介绍了这一领域的许多基本思想，加速了这一领域今天的发展。另一本更适合这门课的参考书是学术出版社于1982年出版的两卷本平装本，书名是《柏林坎普、康威和盖伊的数学游戏制胜之道》。这本书介绍了许多有趣的游戏，学习数学的本科生可以理解。这些理论可以分为两类。公平游戏指的是任何给定的状态，游戏双方要采取的行动是相同的。另一方面，游击队游戏意味着给定一个状态，游戏双方将采取不同的行动。例如，国际象棋是一种游击队游戏。在第一部分，我们只研究“公平竞争”。公平组合游戏的介绍可以在理查德·盖伊写的公平游戏中找到(发表在1989年的COMAP数学探索系列中)。让我们从一个简单的例子开始。

1.1一个简单的外卖游戏。这是这个公平组合游戏的一些规则(从一堆筹码中取一些):

(1)有两个玩家，我们分别将他们标记为1号和2号；(2)桌上有一堆筹码，总共21个筹码；

(3)一次操作可以取1、2、3个筹码，至少要取一个筹码，最多要取3个筹码。(4)轮流进行，从玩家1开始；

(5)拿最后一个筹码的玩家赢(不能继续的玩家输)。

我们如何分析这个游戏？玩家有获胜的策略吗？你喜欢成为第一名还是第二名？这是个好决定吗？

我们将从最终状态到初始状态对游戏进行分析。这种方法有时被称为逆向归纳法。如果只剩下1、2或3个筹码，那么下一个玩家可以一次全部拿走并获胜。

假设还剩4份薯条。那么下一个玩家肯定会留下1、2或3个筹码，然后他的对手会赢。因此，四个筹码的状态对于下一个玩家是失败的，而对于前一个玩家是赢的。

如果还剩5、6或7个筹码，那么下一个玩家可以拿4个筹码赢。

如果还有8个筹码，下一个玩家肯定会留下5、6或7个筹码，这样前一个玩家就可以赢了。

这样，我们希望能够将状态改为0、4、8、12、16并获胜。现在让我们来分析一下以下21份薯条的状况。因为21不能除以4，所以我们先赢了。唯一最好的办法就是先吃一份炸薯条，这样XXXX竞赛就成了一个正方形的棋盘。

表单，初始化为空。玩家可以选择一个空方块，并在上面写下S或O。谁先写连续的SOS，谁就赢了。如果没人能写出来，那么这场比赛就是平局。

(a)假设n=4，首先在第一个正方形上写s。证明最后一手会赢。证明当n=7时，第一个玩家获胜。证明n=XXXX提出了一个广义的尼姆对策和精致定理，称为

尼姆(k).尼姆(K)游戏基本上与尼姆游戏相同，只是必须在一次操作中从K堆筹码中取出筹码(给定K，并且必须从一堆筹码中取出至少一个筹码)。当K=1时，这是尼姆游戏。

摩尔定理指出(x1，x2？当且仅当x1到xn是按位(二进制)时，xn)是p 状态

模(k+1)运算的结果是0。

(a)考虑练习3的灵活游戏，但稍有变化，即玩家每次操作时可以移动1。

或者左边两个硬币。请注意，这实际上是尼姆(k)游戏，其中k=2。用摩尔定理证明练习3的状态是n状态，并找到一种方法把它变成p状态。

证明摩尔定理。

考虑一下米莎游戏的最佳解决方案。(我已经在这个问题上给出了证明，你可以问你需要什么。)

3.图表游戏

我们现在将给出有向图游戏中组合游戏的等价描述。这包括第1章和第2章中描述的游戏。这可以通过用有向图的节点表示状态，用有向图的边表示操作来实现。接下来，我们将定义一个名为SG(Sprague-Grundy)的函数，它包含比P和N状态更多的信息。3.1有向图游戏。让我们首先给出有向图的数学定义。

定义.有向图G可以表示为(x，f)，x是一组非空节点(即状态)；F是x(x∈X)的函数，X是X的子集。对于给定的X，F(x)表示从状态X 开始可以到达的状态(称为X的追随者)。如果F(x)为空，则x为最终状态。

两人游戏可以在地图上进行，从x0(初始状态)开始，并遵循以下规

则:(1)玩家1从x0开始；(2)双方轮流操作；

(3)当处于x状态时，执行操作的玩家将其改变为状态y∈f(x)；(4)如果在玩家操作之前游戏已经达到其最终状态，则判定玩家已经失败。根据定义，图形游戏不能在无限制操作期间停止。为了避免这种情况和其他问题，我们现在考虑这样一个图:无论从哪个x0状态，都有一个与x0相关的整数n，因此从x0开始的每条路的长度小于或等于n。这样一个图被称为[渐进有界]。如果x是一个有限集合，这意味着在这个图中没有环(环就是这样一条路径，x0，x1？在xm中，x0=xm，m>3)。

例如，我们在1.1节中分析的差集博弈，S={1，2，3}是一个图形博弈的代表。让X={0，1，？，n}是状态集。空堆是最终状态，所以F(0)是空集。类似地，F(1)={0}，F(2)={0，1 }；2x}时。

事实上，这是一个非常愚蠢的游戏。第一只手可以在第一次手术中拿走所有的薯条！计算SG函数有什么用？

这个问题将在下一章回答。如果游戏考虑的是n堆而不是1堆的情况，那么游戏就不那么简单了。下一章将要讨论的定理将告诉我们如何将nim-加法与SG函数相结合来解决多桩问题。

3.4更一般的SG功能。让我们暂时看一下当图不再渐进有界或包含环时的问题。

首先，让我们假设渐进有界条件放宽到渐进有限(每条路都是有限长度)。这个条件相当于我们所说的组合游戏的条件(6)(第1.2节)。图中仍不允许出现环。