工程力学 理论力学 约束、自由度与广义坐标讲解

(r=1,…,s) 约束方程的个数为：s 静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。
本教材研究：定常、双面、完整约束。
例: 平面刚体位形的描述方法和约束方程
1. 刚体基于两点的描述和约束方程
yA
O
位形描述: xO , yO
x
xA, yA
约束方程:
2. 刚体基于点线的描述和约束方程
xO 0
yO 0
问题
观察运动机构所给的运动条件
E
B
O
2r 2r
D
l
j
A
w
观察运动机构所给条件运动条件 O
wO
l
A
j
M
D
vDE
E
B
约束、自由度与广义坐标
一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系
统与非自由系统。
17世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于 自由质点或自由质点系动力学。(两体问题)
q
D
点D的位置
bO
A
y
局部法: 约束方程：
xO 0
xA OA cos b
yO 0
yA OA sin b
x
xO , yO , b xA, yA,j xD , yD ,q
Bj
xB OA cos b AB cosj
q
D
yB OA sin b AB sin j
OA cos b AB cosj BD sin q c1 OA sin b AB sin j BD cosq c2
ri ri (q1, q2 qk , t)
i=1,2,······ n
2.自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体
(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k 3 4(质点数) （ 6 刚杆数） 6
设节点数为n,约束数为s。则写成
k 3n s 6
xC rq yC=yD-r
式中： yD OA sin b AB sin j r(1 cosq ) c2
局部法
总计8个约束方程
4.广义坐标 广义坐标数为 :3n-s=1, 即: 刚体数:n=3 约束方程数：s=8 选广义坐标为:
q j 或 q b 或 q q
5.自由度计算
刚体上仅一点被固定 （定点运动）
刚体仅被限制作平面平行 运动（平面运动）
刚体仅被限制作平行移动 （平移）
自由度 1 3 3 3
广义坐标
j
q ,j,y x0 , y0 ,q
x0 , y0 , z0
四 实例:机构如图,轮C作纯滚动,试写出约束方程和确定自由度。
1. 刚体数目 3;
xO , yO , b x
运动约束
如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为 运动约束。
纯滚动的圆轮：
y j
yC r ——几何约束
x jr 0 ——运动约束
C
x
x
约束方程的一般形式
fr (x1, y1, z1 xn , yn , zn , x1, y1, z1 xn , yn , zn ) 0
OA为柔绳： x2 y2 z2 l2
约束方程的一般形式：
fr x1, y1, z1,, xn , yn , zn , x1, y1, z1,, xn , yn , zn ,t 0 或 <0
4.约束方程 n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：
f r (x1, y1, z1,, xn , yn , zn ; x1, y1, z1,, xn , yn , zn ;t) 0
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标。
一般地： n个质点，自由度为k， 取广义坐标： q1 ,q2 qk
xi xi (q1, q2 qk , t) yi yi (q1, q2...... qk , t) zi zi (q1, q2 qk , t)
x2 y2 z2 l0 vt2
v（匀速）
A
fr (x1, y1, z1 xn , yn , zn;t) 0
（3）完整约束与非完整约束
约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各 质点速度的投影）的约束，称为完整约束。
〈1〉位移约束----全部几何约束
n=4 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。
则一般地： k 3n s
n≥4 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：
s 3n 6
n≥4
3.自由刚体的广义坐标
刚体的定点运动的描述方法1—欧拉坐标
zz32
zz01
绕z0轴转过y角—
—进动角
x0
q
O
y j
j yq
y3 y2
绕x1轴转过q角—
2. 定轴转动刚体 OA ;
xA, yA,j
平面运动刚体 AB及轮C ; xB , yB ,q
bO
A
3. 约束方程(在点O 建立直角坐标)
xO 0
xA OA cos b
yO 0
yA OA sin b
Bj
q
C
r
D
y
xB OA cos b AB cosj
yB OA sin b AB sin j
些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。
(2)位形
对于由n个自由质点组成的自由质点系，则需要3n个 独立坐标，这3n个的坐标集合称为自由质点系的位形。
(3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之
间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为 约束方程。
3. 约束的分类 （1）几何约束与运动约束
xA2

yA2

2
OA
yA
b
O
位形描述: xO , yO , b
x
xO 0 约束方程:
yO 0
三、广义坐标、自由度 1.基本概念 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立坐标个数
自由度定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数。 空间质点: k 3n s, 平面质点: k 2n s, 广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
(r=1,2, ‥ ‥,s)
（2）定常约束与非定常约束
定常约束
O
当约束方程中都不包含时间t时，
这种约束称为定常约束。
z
定常几何约束
x
约束方程的一般形式：
y
l
A
fr (x1, y1, z1 xn , yn , zn ) 0
非定常几何约束
若约束方程中明显包含时间t，
这种约束就Fra Baidu bibliotek为非定常几何约束。
（4）单面约束与双面约束
O
双面约束：在约束方程中用严格的
等号表示的约束。
z
OA为刚性杆： x2 y2 z2 l2
x
约束方程的一般形式：
y
l
A
fr x1, y1, z1,, xn, yn, zn, x1, y1, z1,, xn, yn, zn,t 0
单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束。
〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;
约束方程的一般形式为：
fr (x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) 0
r 1,2,, s
约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的 形式的约束称为非完整约束。
运动约束不可积分----碰撞系统,摩擦系统等。
fr (x1, y1, z1,, xn , yn , zn ; x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) 0 r 1,2,, s
—章动角
y1 绕z2轴转过j角—
y0
—自转角
xx21 x3
刚体的定点运动的描述方法2—卡尔丹坐标
zz23 z1 z0
ba
O
b g
xx10 x2 x3
ag
y3
y1 y2
y0
绕x0轴转过a角 绕y1轴转过b角 绕z2轴转过g角
若欧拉坐标或卡尔丹坐标的原点（基点）建立平动坐标
x0, y0, z0
组成的6个独立参变量就是自由刚体的广义坐标。
它们被用于描述刚体的位形。
4.受约束刚体的自由度 设刚体数为n， 则受约束的空间刚体系的自由度数k = 6n -s
受约束的平面刚体系的自由度数：k=？
5.约束刚体的自由度与广义坐标
约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不
同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广
义坐标数。
刚体约束情况
刚体上一轴被固定 （定轴转动）
点D的位置
bO
A
y
总计8个约束方程
本例为质点与刚体
y l0 x
k
A
q
yA c
xA, yA
xA, yA,q
具有同一点
广义坐标
x
q1 xA
B
q2 q
自由度 k 2
问题
本运动机构的自由度
E
B
O
2r 2r
D
l
j
A
w
本运动机构的自由度 O
wO
l
A
j
M
D
vDE
E
B
五、 总 结
(1)检查刚体(质点)数目 n。 (2)检查各刚体的运动形式。 (3)列写出约束方程。 (4)计算自由度,确定广义坐标。
(a)空间刚体系 k=6n-s，空间质点系 k=3n-s (b)平面刚体系 k=3n-s, 平面质点系 k=2n-s 实用方法：加锁
大胆的假设 小心的求证
O
z x
y
l
A
分析本机构的自由度
E
B
O
2r 2r
D
l
j
A
w
分析本机构的自由度
O
wO
l
A
j
M
D
vDE
E
B
自由度 k 3*3 s 1
自由度恒等于广义坐标数
Bj
q
C
r
D
bO
A
x 整体法:
位形描述 b,j,q
约束方程:
xC rq
Bj
q
C
r
D
yC OA sin b AB sin j r cosq c2
bO
A
y
x 整体法:
位形描述 b,j,q
Bj
约束方程: OA cos b AB cosj BD sin q c1 OA sin b AB sin j BD cosq c2
18世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了受约束 质点系的动力学问题。
今天大量工程实际问题作初步 分析时，一般都是受约束系统的建 模问题。首先要确定系统独立的运 动学变量。
研究约束质点系的力 学问题，必须阐明约束， 自由度与广义坐标的概念。
二、约束
1. 约束概念
约束就是限制物体任意运动的条件。 不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系,
几何约束 如果限制运动的条件仅是
几何性质的，则称为几何约束。
x2 y2 z2 l2
曲面上的质点：
f (x, y, z) 0
约束方程的一般形式：
单摆:
O z
x z
x
y
l
A
M
y
fr (x1, y1, z1 xn , yn , zn ) 0 (r=1,2, ‥ ‥,s)
受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系。
刚体静力学研究 约束, 是探究约束的 原因-------约束力
运动学研究约束,是 y 探究约束的结果-------
A
运动的限制
xA c1
yA c2
F
O
x
2. 独立坐标、位形空间、约束方程的概念
(1) 坐标 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这