2014年江西高考数学(文科)真题及答案

2014年江西高考数学（文科）真题及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若复数z 满足(1)2z i i +=（为虚数单位），则||z =（ ）
.1A .2B C D 2.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( )
.(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -
3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
1.
18A 1.9B 1.6C 1
.12
D 4. 已知函数2,0
()()2,0x x
a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩
，若[(1)]1f f -=，则=a （ ） 1.4A 1
.2
B .1
C .2
D 5.在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则222
2sin sin sin B A A
-的值为（ ）
1.9A - 1.3B .1C 7.2
D 6.下列叙述中正确的是（ ）
.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ .B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >
.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”
.D 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ
7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽
查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
8. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A.7
B.9
C.10
D.11
9.过双曲线122
22=-b
y a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的
右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（ ）
A.112422=-y x
B.19722=-y x
C.18822=-y x
D.14
122
2=-y x 10. 在同一直角坐标系中，函数22322()2
a
y ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能．．．
的是（ ）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P -+=则点的坐标是_______.
12.已知单位向量12121
,,cos ,32,||3
e e a e e a αα==-=的夹角为且若向量则_______.
13. 在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最
大值，则d 的取值范围为_________.
14. 设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点为12F F ，，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A B
，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 15.R y x ∈，，若211≤-+-++y x y x ，则y x +的取值范围为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，其中()πθ，，
0∈∈R a . （1）求θ，a 的值；
（2）若⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛ππαα，，
2
5
24f ，求⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+3sin πα的值.
17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n n
n S n ，2
32. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，
，1成等比数列.
18.（本小题满分12分）
已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a . （1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间; （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值.
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；
（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，
三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值。

20.（本小题满分13分 ）
如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；
（2）作C 的任意一条切线（不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.
21.（本小题满分14分）
将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率. （1）求(100)p ；
（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；
（3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，
()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.
参考答案
一、选择题
1.C
2.C
3.B
4.A
5.D
6.D
7.D
8.B
9.A 10.B 二、填空题
11.（e,e ） 12.3 13.71,8⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭
15.[]0,2 三、解答题
16.（本小题满分12分）
解： （1）因为()f x =()()22cos cos 2a x x θ++是奇函数，而y 1=a+2cos 2
x 为偶函数，所以 y 1=
()cos 2x θ+ 为奇函数，又()0,θπ∈，
得.2
π
θ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+（）
由04=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，得 -（a+1）=0，即 1.a =-
（2）由（1）得：()1
sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，得4
sin ,5α=又2
παπ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，所以
3cos ,5α=-因此sin sin cos cos sin 333πππααα⎛
⎫+=+= ⎪⎝⎭ 17. （本小题满分12分）
（1）解：由232n n n
S -=，所以 a 111S ==，当2n ≥时132n n n a S S n -=-=-
所以数列n a 的通项公式为32,n a n =-
（2）证明：要使得m n a a a ，
，1成等比数列，只需要21n m a a a =，即
22(32)1(32),342n m m n n -=-=-+即.而此时*∈N m ，且,m n >所以对任意1>n ，都存在*∈N m ，
使得m n a a a ，
，1成等比数列. 18. （本小题满分12分） 解：（1）当4-=a 时，由()f x
'=
，得25x =或2x =，由()0f x '>得2
x (0,)5∈或x (2,)∈+∞，
故函数f （x ）的单调递增区间为2
(0,)5和(2,)+∞ （2）因为
()
f x '=
，a<0，由
()=0f x ' 得10a x =-或2
a
x =- 当x ∈(0,)10a
-时，()f x 单调递增，当x ∈(,)102a
a
--时，()f x 单调递减，当x ∈(,)2a
-+∞时，()f x 单调递增，易知()f x =（2x+a ）
0≥，且()0,2
a
f -= ①当12
a
-
≤时，即-2≤a<0时，()f x 在[1,4]上的最小值为(1)f ，由(1)f =4+4a+a 2
=8，得a=
±均不符合题意
②当142
a
<-≤时，即-8a 2≤<-时，()f x 在[1,4]上的最小值为()0,2a
f -=不符合题意
③当42a
->时，即a 8<-时，()f x 在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而(1)8,f ≠由2(4)2(6416)8,f a a =++=得10a =-或6a =-(舍去)，当10a =-时，()f x 在(1,4)上单调递减，
()f x 在[1,4]上的最小值为(4)8,f =符合题意。

综上有，a=-10
19.（本小题满分12分）
（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB A C ⊥,又11//BB CC ，所以11.A C CC ⊥
（2）解法一：设1,AA x =在11Rt A BB ∆
中1A B =
=
同理1A C ==在1A BC ∆中
, 222111111cos 2A B A C BC BA C BA C A B A C +-∠==∠=⋅
11111sin 2A BC
S A B A C BA C ∆=∠=从而三棱柱111ABC A B C -
的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=
==
故当x ==
1AA =
V
解法二：过1A 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ，
由1AA BC ⊥，A 1D BC ⊥,故BC ⊥平面1AA D ，BC ⊥AD 又90BAC ∠=︒,
所以1122ABC S AD BC AB AC AD ∆=
⋅=⋅=得,设1AA =x ，在Rt 1AA D ∆中
，
111111111=2-S l=A BC A BC
A D S A D BC ABC A
B
C V S AA ∆∆=
⋅==⋅⋅直从而三棱柱的体积
因==
故当x==
即
1
AA=体积V取到最
20. （本小题满分13分）
（1）解：依题意可设AB方程为2
y kx
=+，代入24
x y
=，得24(2)
x kx
=+，即2480
x kx
--=.设1122
(,),(,)
A x y
B x y，则有：128
x x=-，
直线AO的方程为1
1
y
y x
x
=；BD的方程为2
x x
=；
解得交点D的坐标为
2
12
1
x x
y x
y
x
=
⎧
⎪
⎨=
⎪
⎩
注意到128
x x=-及2114
x y
=，则有1121
2
11
8
2
4
y x x y
y
x y
-
===-，
因此D点在定直线2
y=-上(0)
x≠.
（2）依题设，切线的斜率存在且不等于0，设切线的方程为(0)
y ax b a
=+≠，代入24
x y
=
得24()
x ax b
=+，即2440
x ax b
--=，由0
∆=得2
(4)160
a b
+=，化简整理得2
b a
=-，故切线的方程可写为2
y ax a
=-，分别令2,2
y y
==-得12
,
N N的坐标为12
22
(,2),(,2)
N a N a
a a
+-+-，则
22222
21
22
()4()8
MN MN a a
a a
-=-+-+=，即22
21
MN MN
-为定值8.
21.（本小题满分14分）
解：（1）当100
n=时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为11
(100);
192
p=
（2）
,19
29,1099
()
3108,100999
41107,10002014
n n
n n
F n
n n
n n
≤≤
⎧
⎪-≤≤
⎪
=⎨
-≤≤
⎪
⎪-≤≤
⎩
（3）当*
(19,),()0;
n b b b N g n
=≤≤∈=
当*
10,(19,09,,),(),
n k b k b k N b N g n k
=+≤≤≤≤∈∈=
当1000,()11;n g n ==即**
0,,19,,(),10,19,09,,,11,100n b b b N g n k n k b k b k N b N n ⎧=≤≤∈⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩
同理有
*0,18,101,18,09,,,()80,899820,99,100n k n k b k b k N b N f n n n n ≤≤⎧
⎪=+-≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪
⎪=⎩
由()()()1,h n f n g n =-=可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,n =
所以当100n ≤时，{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}S =, 当9n =时，(9)0,P = 当90n =时，(90)91
(90)(90)17119
g P F =
==，
当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈时，()(),()29209g n k k P n F n n k ===-+由,209
k
y k =+关于k 单调递增，故当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈，()P n 最大值为8(89).169P =
又81
16919
<，所以当n S ∈时，()P n 最大值
为1
.19。