2014年江西高考数学(文科)真题及答案
【推荐】2014年江西省高考数学试卷(文科)
2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln上点P处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P的坐标是．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= ．13．（5分）在等差数列{an }中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（5分），y ∈R ，若||+|y|+|﹣1|+|y ﹣1|≤2，则+y 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f （）=（a+2cos 2）cos （2+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a ∈R ，θ∈（0，π）．（1）求a ，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin （α+）的值． 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．（13分）如图，已知抛物线C：2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出，可得||．【解答】解：∵复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），∴===1+i，∴||==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩【分析】根据补集的定义求得∁RB）．（∁RB={|【解答】解：∵集合A={|2﹣9＜0}={|﹣3＜＜3}，B={|﹣1＜≤5}，∴∁R≤﹣1，或＞5}，B）={|﹣3＜≤﹣1}，则A∩（∁R故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“a2+b+c≥0”对于任意的恒成立时，则有：①当a=0时，要使a2+b+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使a2+b+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“a2+b+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“a2+b+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意∈R，有2≥0”的否定应该是“存在∈R，有2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C ．智商D ．阅读量 【分析】根据表中数据，利用公式，求出2，即可得出结论．【解答】解：表1：2=≈0.009；表2：2=≈1.769； 表3：2=≈1.3；表4：2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D ．【分析】讨论a 的值，当a=0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数a 2﹣+的对称轴=，利用求导函数求出函数y=a 23﹣2a 2++a 的极值点为=与=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．【解答】解：当a=0时，函数y=a 2﹣+的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a 23﹣2a 2++a 的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求； 当a ≠0时，函数y=a 2﹣+图象的对称轴方程为直线=， 由y=a 23﹣2a 2++a 可得：y ′=3a 22﹣4a+1，令y ′=0，则1=，2=，即1=和2=为函数y=a 23﹣2a 2++a 的两个极值点，对称轴=介于1=和2=两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P 的坐标是 （e ，e ） ．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f ′（）=ln+=1+ln ，直线2﹣y+1=0的斜率=2，∵曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，∴f ′（）=1+ln=2，即ln=1，解得=e ，此时y=elne=e ，故点P 的坐标是（e ，e ），故答案为：（e ，e ）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cos α=，若向量=3﹣2，则||= 3 ．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． 【解答】解：=9=9， ∴||=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 （﹣1，﹣） ．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7＜S 8，S 9＜S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，∴，即，解得：，综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．【分析】根据条件分别求出A ，B ，D 的坐标，利用AD ⊥F 1B ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF 1，∵OD ∥AB ，O 为F 1F 2的中点，∴D 为BF 1的中点，又AD ⊥BF 1，∴|AF 1|=|AB|．∴|AF 1|=2|AF 2|．设|AF2|=n ，则|AF 1|=2n ，|F 1F 2|=n ，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．（5分），y∈R，若||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，则+y的取值范围为[0，2] ．【分析】根据绝对值的意义，||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，从而求得+y 的范围．【解答】解：根据绝对值的意义可得||+|﹣1|表示数轴上的对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，∴0≤+y≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（）=（a+2cos2）cos（2+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【分析】（1）把=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）f （）=﹣（a+1）sin θ=0， ∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f （）为奇函数，∴f （0）=（a+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=．（2）由（1）知f （）=（﹣1+2cos 2）cos （2+）=cos2•（﹣sin2）=﹣， ∴f （）=﹣sin α=﹣，∴sin α=， ∵α∈（，π）， ∴cos α==﹣， ∴sin （α+）=sin αcos +cos αsin =．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【分析】（1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1；当n=1时，a 1=S 1”即可得出；（2）对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：∵S n =，n ∈N *． ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=3n ﹣2，（*）当n=1时，a 1=S 1==1． 因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣2．（2）证明：对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 则，∴（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），化为m=3n 2﹣4n+2，∵n ＞1，∴m=3n 2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n ＞1，都存在m=3n 2﹣4n+2∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f （）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（）=（42+4a+a2），∴f（）=（42﹣16+16），∴f′（）=（8﹣16）+（42﹣16+16）=2（）=，∵f′（）＞0，≥0，∴52﹣12+4＞0，解得，0≤＜，或＞2，∴当a=﹣4时，f（）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；（2）∵f（）=（42+4a+a2），∴；令f′（）=0．解得，当f′（）＞0时，∈（0，）或，此时f（）单调递增，当f′（）＜0时，∈（），此时f（）单调递减，①当≥4，即a≤﹣40，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（）在区间[1，4]为减函数，由f （4）=8，解得a=﹣10，④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解．综上所述，a=﹣10．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．【分析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ，∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC ∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ，∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==， ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大， 最大值为：．【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．20．（13分）如图，已知抛物线C ：2=4y ，过点M （0，2）任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含轴），与直线y=2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值，并求此定值．【分析】（1）设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，整理得2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，由直线AO 的方程y=与BD 的方程=2联立即可求得交点D 的坐标为，利用12=﹣8，即可求得D 点在定直线y=﹣2（≠0）上；（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y ，由△=0化简整理得b=﹣a 2，故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），从而可证|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【解答】（1）证明：依题意，可设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，得2=4（+2），即2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，直线AO 的方程为y=；BD 的方程为=2．解得交点D 的坐标为．注意到12=﹣8及=4y 1，则有y===﹣2，因此D 点在定直线y=﹣2（≠0）上．（2）证明：依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y 得2=4（a+b ），即2﹣4a ﹣4b=0，由△=0得（4a ）2+16b=0，化简整理得b=﹣a 2．故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），则|MN 2|2﹣|MN 1|2=+42﹣=8，即|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为P（100）=；（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，F（n）=；（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，当n=10+b（1≤≤9，0≤b≤9，∈N*，b∈N*）时，g（n）=：当n=100时，g（n）=11，即g（n）=，同理有f（n）=，由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；当n=9时，P（9）=0，当n=90时，P（90）==，当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，p（n）===，由y=关于单调递增，故当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．。
2014年全国高考文科数学试题及答案-江西卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =（ ）.1A .2B C D 【答案】C【解析】：设Z=a+bi 则(a+bi)( 1+i)=2i ¦ (a-b)( a+b)i=2i a-b=0 a+b=2 解得 a=1 b=1Z=1+1i Z =i 11+=22.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R AC B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -【答案】C【解析】 {|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤，所以{}()31R A C B x x =-<<-3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D 【答案】B【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为364=914. 已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （ ）1.4A 1.2B .1C .2D【答案】A【解析】(1)2f -=，(2)4f a =，所以[(1)]41f f a -==解得14a =5. 在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）1.9A -1.3B .1C 7.2D 【答案】D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.下列叙述中正确的是（ ）.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ .B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥” .D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ【答案】D【解析】当0a ≠时，A 是正确的；当0b =时，B 是错误的；命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x <”，所以C 是错误的。
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(江西卷带解析) 答案解析
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（江西卷）数学答案解析1、【答案】C【解析】试题分析：因为，所以因此考点：复数的模2、【答案】C【解析】试题分析：因为所以考点：集合的运算3、【答案】B【解析】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B.考点：古典概型概率4、【答案】A【解析】试题分析：因为所以考点：分段函数5、【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理得：，又，所以选D.考点：正弦定理6、【答案】D【解析】试题分析：当时，推不出，错，当时，推不出，错，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.考点：充要关系7、【答案】D【解析】试题分析：根据公式分别计算得：A.， B. C. D. ，选项D的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.考点：关联判断8、【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图9、【答案】A【解析】试题分析：因为的渐近线为，所以或因此OA=c=4,从而三角形OAC为正三角形，即双曲线的方程为.考点：双曲线的渐近线10、【答案】B【解析】试题分析：当时，两函数图像为D所示，当时，由得：或，的对称轴为.当时，由知B不对. 当时，由知A,C正确.考点：利用导数研究函数图像11、【答案】【解析】试题分析：因为，设切点，则又考点：利用导数求切点12、【答案】3【解析】试题分析：因为所以考点：向量数量积13、【答案】【解析】试题分析：由题意得：，所以，即考点：等差数列性质14、【答案】【解析】试题分析：因为平行于，所以为中点，又，所以设则因此考点：椭圆的离心率15、【答案】【解析】试题分析：因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.考点：含绝对值不等式的性质16、【答案】(1),(2)【解析】试题分析：(1)根据奇偶性定义，可得等量关系：即，因为所以又所以因为，所以(2)由（1）得：所以由，得又，所以因此试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以即，因为所以又所以因为，所以（2）由（1）得：所以由，得又，所以因此考点：函数奇偶性，同角三角函数关系，二倍角公式17、【答案】（1）（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由和项求通项，主要根据进行求解. 因为所以当时又时，所以（2）证明存在性问题，实质是确定要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.试题解析：（1）因为所以当时又时，所以（2）要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.考点：由和项求通项，等比数列18、【答案】（1）和，（2）【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，首先确定定义域：然后对函数求导，在定义域内求导函数的零点：，当时，，由得或，列表分析得单调增区间：和，（2）已知函数最值，求参数，解题思路还是从求最值出发.由（1）知，，所以导函数的零点为或，列表分析可得：函数增区间为和，减区间为.由于所以，当时，，（舍），当时，由于所以且解得或(舍)，当时，在上单调递减，满足题意，综上.试题解析：（1）定义域：而，当时，，由得或，列表：所以单调增区间为：和，（2）由（1）知，，所以导函数的零点为或，列表分析可得：函数增区间为和，减区间为.由于所以，当时，，（舍），当时，由于所以且解得或(舍)，当时，在上单调递减，满足题意，综上.考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值19、【答案】（1）详见解析，（2）时，体积取到最大值【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定及性质定理进行多次转化证明. 由知,又,故平面即,又，所以（2）研究三棱柱体积，关键明确底面上的高，本题由（1）知：平面因此将三棱柱体积转化为等高同底的三棱锥体积（三倍关系），而三棱锥体积又等于三棱锥体积，三棱锥体积等于，设不难计算三棱柱的体积为，故当时，即时，体积取到最大值试题解析：（1）证明：由知,又,故平面即,又，所以（2）设在中同理在中,，所以从而三棱柱的体积为因故当时，即时，体积取到最大值考点：线面垂直判定与性质定理，三棱柱的体积20、【答案】（1）详见解析，（2）8.【解析】试题分析：（1）证明动点在定直线上，实质是求动点的轨迹方程，本题解题思路为根据条件求出动点的坐标，进而探求动点轨迹：依题意可设AB方程为，代入，得，即.设，则有：，直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为，注意到及，则有，因此D 点在定直线上.（2）本题以算代征，从切线方程出发，分别表示出的坐标，再化简.设切线的方程为，代入得，即，由得，化简整理得，故切线的方程可写为，分别令得的坐标为，则，即为定值8.试题解析：（1）解：依题意可设AB方程为，代入，得，即.设，则有：，直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为，注意到及，则有，因此D点在定直线上.（2）依题设，切线的斜率存在且不等于零，设切线的方程为，代入得，即，由得，化简整理得，故切线的方程可写为，分别令得的坐标为，则，即为定值8.考点：曲线的交点，曲线的切线方程21、【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）解概率应用题，关键要正确理解事件. 当时，这个数中有9个一位数，90个二位数，一个三位数，总共有192个数字，其中数字0的个数为9+2=11，所以恰好取到0的概率为（2）按（1）的思路，可分类写出的表达式：，（3）同（1）的思路，分一位数，二位数，三位数进行讨论即可，当当当即同理有由可知，当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为试题解析：（1）解：当时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为（2）（3）当当当即同理有由可知所以当时，,当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为考点：古典概型概率。
2014年高考文科数学江西卷
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位）,则||z =( )A .1B .2CD2.设全集为R ,集合2{|90}A x x =-＜,{|15}B x x =-＜≤,则R ()A B =I ð( )A .(3,0)-B .(3,1)--C .(3,1]--D .(3,3)- 3.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( )A .118B .19C .16 D .1124.已知函数2,0,()2,0,x x a x f x x -⎧=⎨⎩g ≥＜()a ∈R ,若[(1)]1f f -=,则a =( ) A .14 B .12C .1D .2 5.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若32a b =,则2222sin sin sin B AA-的值为( )A .19- B .13C .1D .726.下列叙述中正确的是( )A .若a ,b ,c ∈R ,则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B .若a ,b ,c ∈R ,则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C .命题“对任意x ∈R ,有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ,有20x ≥”D .l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l α⊥,l β⊥,则αβP7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是 ( )A .成绩B .视力C .智商D .阅读量8.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 ( )A .7B .9C .10D .119.过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点（O 为坐标原点）,则双曲线C 的方程为( )A .221412x y -=B .22179x y -= C .22188x y -=D .221124x y -= 10.在同一直角坐标系中,函数22ay ax x =-+与2322y a x ax x a =-++()a ∈R 的图象不可．．能．的是( )A .B .C .D .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效-------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标是 .12.已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且1cos 3α=,若向量a 3=e 12-e 2,则|a |= .13.在等差数列{}n a 中,17a =,公差为d ,前n 项和为n S ,当且仅当8n =时n S 取得最大值,则d 的取值范围为 .14.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ,2F ,过2F 作x 轴的垂线与C 相交于A B ，两点,1F B 与y 轴相交于点D ,若1AD F B ⊥,则椭圆C 的离心率等于 .15.x ,y ∈R ,若|||||1||1|2x y x y ++-+-≤,则x y +的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数2()(2cos )cos(2)f x a x x θ=++为奇函数,且π()04f =,其中a ∈R ,()0πθ∈，.（Ⅰ）求a ,θ的值； （Ⅱ）若2()45f α=-,π(π)2α∈，,求πsin()3α+的值.17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=,*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意1n >,都有m *∈N ,使得1a ,n a ,m a 成等比数列.18.（本小题满分12分）已知函数22()(44f x x ax a =++其中0a <. （Ⅰ）当4a =-时,求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[1,4]上的最小值为8,求a 的值.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,1AA BC ⊥,11A B BB ⊥. （Ⅰ）求证：111AC CC ⊥；（Ⅱ）若2AB =,AC =BC =问1AA 为何值时,三棱柱111ABC A B C -体积最大,并求此最大值.20.（本小题满分13分）如图,已知抛物线C ：24x y =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于A ,B 两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （Ⅰ）证明：动点D 在定直线上；（Ⅱ）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）,与直线2y =相交于点1N ,与（Ⅰ）中的定直线相交于点2N .证明：2221||||MN MN -为定值,并求此定值.21.（本小题满分14分）将连续正整数1,2,⋅⋅⋅,n *()n ∈N 从小到大排列构成一个数123n L ,()F n 为这个数的位数（如12n =时,此数为123456789101112,共有15个数字,(12)15f =）,现从这个数中随机取一个数字,()p n 为恰好取到0的概率. （Ⅰ）求(100)p ；（Ⅱ）当2014n ≤时,求()F n 的表达式.（Ⅲ）令()g n 为这个数中数字0的个数,()f n 为这个数中数字9的个数,()()h n f n =()g n -,*{|()1,100,}S n h n n n ==∈N ≤,求当n S ∈时()p n 的最大值.。
2014年江西省高考数学试卷（文科）（含解析版）
2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5分）若复数z 满足z （1+i ） =2i （i 为虚数单位），贝l]|z|=（ ）A. 1B. 2C. >/2D.而2. （5 分）设全集为 R,集合 A=（x|x 2 - 9<0）, B={x| - 1V x W5},则 AC （[r B ）=（ ）A. （ - 3, 0） B, （ - 3, - 1） C. （ - 3, - 1] D. （ - 3, 3）3. （5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）42A.B. XC.1_ D.189*6124. (5 分)已知函数f （X ）=<(a£R),若 f[f ( - 1) ]=1,则 a=.2"，x<0()A. LB. 1C.1D. 25. （5分）在^ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c,若3a=2b,则2sin2B-sin2A 的值为（）si n 2 AA. - LB. -LC. 1D. L9 326. （5分）下列叙述中正确的是（ ）A. 若 a, b, cCR,贝U"ax2+bx+cN0”的充分条件是W - 4acW0”B. 若 a, b, cGR,贝!!,,ab 2>cb 2w 的充要条件是"a>c ”C. 命题“对任意xCR,有x 2^0"的否定是“存在x£R,有x2N0”D. I 是一条直线，a, B 是两个不同的平面，若ILa, l±p,则a〃87. （5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了 52名中学生，得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2表3视力性别好差总计男41620女122032总计163652表4智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计1636528. (5分)阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A. 7B. 9C. 10D. 112 29.（5分）过双曲线C ： &-的右顶点做x 轴的垂线，与C 的一条渐近线2 1 2a b相交于点A,若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,。
2014年高考文科数学江西卷-答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），2i 2i(1i)==1i 1i (1i)(1i)z -=+++-∴||z =∴(){|R A B x =-【提示】根据补集的定义求得RB ，再根据两个集合的交集的定义，求得()R A B .1=.ilgi 2+++【解析】由题意，4c =，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，令x a =，则y b =，即(,)A a b ，∵右焦点(4,0)F ，||4FA =，22(4)16a b -+=∴，2216a b +=∵，2a b ==，∴∴双曲线C 的方程为221x y -=.【解析】当0a =时，函数22ay ax x -=+的图象是第二，四象限的角平分线，而函数2322y a x ax x a -=++的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求；当0a ≠时，函数22ay ax x -=+图象的对称轴方程为直线12x a =，由2322y a x a x x a -=++可得：22341y a x ax -'=+，令0y '=，则113x a =，21x a=，即113x a =和21x a =为函数2322y a x ax x a -=++的两个极值点，对称轴12x a =介于113x a =和21x a=两个极值点之间，第Ⅱ卷【答案】3【解析】22211229124912a e e e e =-+=-||3a =【提示】由条件利用两个向量的数量积的定义求出2a 的值，从而得到||a 的值11AD F B k =-，即22b c c-=---，解得33c -⨯==(0,π)θ∈∵，sin 0θ≠∴1a +∴=0，即1a =-.()f x ∵为奇函数，(0)(2)cos 0f a θ=+=∴，πcos 02θθ==∴， （Ⅱ）由（Ⅰ）知2π1()(2cos )cos(2)cos2(sin 2)sin 422f x x x x x x =++=-=--1，12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴，45α=∴sin ， π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵，3cos 5α==-∴，πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴【提示】（Ⅰ）把π4x =代入函数解析式可求得a 的值，进而根据函数为奇函数推断出(0)0f =，进而求得cosθ，则θ的值可得.（Ⅱ）利用245f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭和函数的解析式可求得sin 2α，进而求得cos 2α，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列.【提示】（Ⅰ）利用“当2n ≥时，1n n n a S S -=-；当1n =时，11a S =”即可得出；（Ⅱ）对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列，利用等比数列的定义可得21n m a a a =，即()23232n m --=，解出m 为正整数即可4a =-()f x1BCA B C =1BCA ⊥面1CC ∥11AC BC B AC -=117sin 2x B AC BAC -∠， 111ABC A B C -的体积11122A BCx S l S AA -==△2636)+77-90，设的表达式，利用二次函数的最值，求最大值【提示】（Ⅰ）设AB 的方程为2y kx =+，代入2=4y x ，整理得24-8=0x kx -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有：128x x =-，直线AO 的方程为11y y x x =与BD 的方程为2x x =，联立即可求得交点D 的坐标为2121=x x y x y x =⎧⎪⎨⎪⎩，利用128x x =-，即可求得D 点在定直线2y =-上；（Ⅱ）当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()9F n =，当1099n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，9n﹣个两位数组成，则()29F n n =-， 当100999n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，99n﹣个三位数组成，()3108F n n =-， 当10002014n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，999n -个四位数()41107F n n =-【提示】（Ⅰ）根据题意，首先分析100n =时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（Ⅱ）分19109910099910002014n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤，，，，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得 ()F n ；（3）根据题意，分情况求出当n S ∈时()P n 的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案． 【考点】排列、组合的实际应用。
2014年江西卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．2CD ．2．设全集为，集合2{|90},{|15}A x x B x x =−<=−<≤，则（ ）A ．(3,0)−B ．(3,1]−−C ．(3,1)−−D ．(3,3)−3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ） A ．118B ．19C ．16D ．1124．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x −⎧⋅≥⎨<⎩ (a ∈R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．25．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B AA−的值为（ ） A ．19B ．13C ．1D ．726．下列叙述中正确的是( )A ．若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac −≤”B ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表123表48．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B.9 C.10 D．119．过双曲线22221x yCa b−=：的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A O O、两点（为坐标原点），，则双曲线C的方程为（）A．221412x y−=B．22179x y−=C．22188x y−=D．221124x y−=10．在同一直角坐标系中，函数()223222ay ax x y a x ax x a a R 与=−+=−++∈的图像不可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．第II 卷（非选择题）二、填空题11．若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P −+=则点的坐标是_______. 12．已知单位向量12121,,cos ,32,3e e a e e a αα==−=的夹角为且若向量则_______. 13．13．在等差数列{}n a 中， 17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________.14．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________.15．x y R ∈，，若112x y x y ++−+−≤，则x y +的取值范围为__________.三、解答题16．已知函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数，且04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()0a R θπ∈∈，，. （1）求a θ，的值； （2）若2452f απαπ⎛⎫⎛⎫=−∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2−n 2，n ∈N ∗.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意n >1，都有m ∈N ∗，使得a 1，a n ，a m 成等比数列.18．已知函数22()(44f x x ax a =++，其中0a <. （1）当4a =−时，求()f x 的单调递增区间; （2）若()f x 在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值.19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN −为定值，并求此定值.21．将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率. （1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =−，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学(参考答案)1．C【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i −===++因此1z i =+=2．B【解析】试题分析：由题首先计算集合B 的补集然后与集合A 取交集即可． 由题A=（-3,3）,{1R C B x =≤−或5}x >，(]3,1R A C B ⋂=−，故选B ．3．B【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B ．4．A【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x −⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f −−−==， 则()2(1)(2)241f f f a a −==⋅==，所以14a =，故选A. 5．D【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a −−⎛⎫==− ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫−=⨯−= ⎪⎝⎭.故选：D6．D【解析】试题分析：当0a <时，2"40"b ac −≤推不出2"0"ax bx c ++≥，A 错，当0b =时，""a c >推不出22""ab cb >，B 错，命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x <”，C 错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D 正确. 7．D 【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得：A.2252(6221014):0.00916363220A K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(4201216): 1.76916363220B K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(824812): 1.316363220C K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(143062):23.4816363220D K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 8．B 【解析】试题分析：第一次循环：11,lg ,3i S ==第二次循环：1313,lglg lg ,355i S ==+= 第三次循环：1515,lg lg lg ,577i S ==+=第四次循环：1717,lg lg lg ,799i S ==+=第五次循环：1919,lg lg lg 1,91111i S ==+=<−结束循环，输出9.i =选B.9．A 【详解】 可得渐近线方程为，将x=a 代入求得．由条件知，半焦距,所以由得，．又因,所以解得，．双曲线C 的方程为221412x y −=故选A ．10．B 【解析】试题分析：当0a =时，两函数图像为D 所示，当0a ≠时，由223410y a x ax =−+='得：1x a=或13=x a ，22ay ax x =−+的对称轴为12x a =.当0a <时，由11123a a a <<知B 不对. 当0a >时，由11123a a a >>知A,C 正确. 11．(,)e e【解析】试题分析：因为ln 1y x '=+，设切点(,)a b ，则ln 12,,k a a e =+==又ln ,b a a e ==(,).P e e 考点：利用导数求切点12．3【解析】试题分析：因为()22221211221||329124912cos 413129,3a e e e e e e α=−=−⋅+=−⨯+=−⨯=所以 3.a = 13．71,8⎛⎫−−⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题意得： 890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8d −<<− 14【解析】试题分析：因为OD 平行于2F B ，所以D 为1F B 中点，又1AD F B ⊥，所以122,AF AB AF ==设2,AF m =则1122,,AF m F F ==因此121222F F c c e a a AF AF =====+15．[0,2] 【解析】试题分析：因为1(1)1,1(1)1x x x x y y y y +−≥−−=+−≥−−=，当且仅当01,01x y ≤≤≤≤取等号，所以112x y x y ++−+−≥，又112x y x y ++−+−≤，所以01,01x y ≤≤≤≤，因此x y +的取值范围为[0,2].16．(1)1,2a πθ=−=,(2)410− 【解析】试题解析：（1）因为函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数，所以()(),f x f x −=−即()()()()222cos cos 22cos cos 2a x x a x x θθ+−+=−++，因为,x R ∈所以()()cos 2cos 2,cos 2cos 0,cos 0.x x x θθθθ−+=−+==又()0,，θπ∈所以.2πθ=因为04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22cos cos 0, 1.422a a πππ⎛⎫⎛⎫++==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得：()()2112cos cos 2cos 2(sin 2)sin 4,22f x x x x x x π⎛⎫=−++=−=− ⎪⎝⎭所以由245f α⎛⎫=− ⎪⎝⎭，得124sin ,sin ,255αα−=−=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=−因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭4.10− 17．（1）a n =3n −2,（2）详见解析. 【解析】试题解析：（1）因为S n =3n 2−n 2，所以当n ≥2时a n =S n −S n−1=3n −2,又n =1时，a n =S 1=1=3×1−2,所以a n =3n −2,（2）要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a n 2=a 1a m ，即(3n −2)2=1×(3m −2),m =3n 2−4n +2.而此时m ∈N ∗，且m >n,所以对任意n >1，都有m ∈N ∗，使得a 1，a n ，a m 成等比数列. 考点：由和项求通项，等比数列18．（1）2(0,)5和(2,)+∞，（2）10.− 【解析】 试题解析：（1）定义域：[0,),+∞而2222()(84f x x a =+=='，当4a =−时，()f x '=，由()0f x '=得25x =或2x =，列表：所以单调增区间为：2(0,)5和(2,)+∞，（2）由（1）知，2222()(84f x x a =+=='，所以导函数的零点为10ax =−或2a x =−，列表分析可得：函数增区间为(0,)10a −和(,)2a −+∞，减区间为(,)102a a−−.由于()0,2a f −=所以[1,4]2a −∉，当012a<−<时，2min ()(1)448,2f x f a a a ==++==−±（舍），当42a −>时，{}min ()min (1),(4),f x f f =由于(1)8,f ≠所以2(4)2(6416)8,f a a =++=且(4)(1),f f <解得10a =−或6a =−(舍)，当10a =−时，()f x 在(1,4)上单调递减，满足题意，综上10a =−.19．（1）见解析（2）当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大，最大值为：．【解析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥B 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值． 解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， ∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ， ∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1， ∵BC∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C ∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥B 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ，∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大，最大值为：．20．（1）详见解析，（2）8. 【解析】试题解析：（1）依题意可设AB 的方程为2y kx =+，代人24x y =，得()242x kx =+，即2480x kx −−=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有128x x =−， 直线AO 的方程为11,y y x BD x =的方程为2x x =，解得交点D 的坐标为1221,y x x x ⎛⎫⎪⎝⎭， 注意到128x x =−及2114x y =，则有1121211824y x x y y x y −===−， 因此D 点在定直线2y =−上()0x ≠． （2）依题意,切线l 的斜率存在且不等于0．设切线l 的方程为()0y ax b a =+≠，代人24x y =得，即2440x ax b −−=．由0∆=得()24160a b +=，化简整理得2b a =−．故切线l 的方程可写为2y ax a =−． 分别令2,2y y ==−，得12,N N 的坐标为1222,2,,2N a N a a a ⎛⎫⎛⎫+−+−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则22222212248MN MN a a a a ⎛⎫⎛⎫−=−+−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2221MN MN −为定值8． 21．（1）11(100);192p =（2）（3）1.19【解析】 试题解析：（1）解：当100n =时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为11(100);192p =（2）（3）当*(19,),()0;n b b b N g n =≤≤∈=当*10,(19,09,,),(),n k b k b k N b N g n k =+≤≤≤≤∈∈=当1000,()11;n g n ==即**0,,19,,(){,10,19,09,,,11,100n b b b N g n k n k b k b k N b N n =≤≤∈==+≤≤≤≤∈∈=同理有由()()()1,h n f n g n =−=可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,n =所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =,当9n =时，(9)0,P =当90n =时，(90)91(90)(90)17119g P F ===，当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈时，()(),()29209g n k k P n F n n k ===−+由,209ky k =+关于k 单调递增，故当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈，()P n 最大值为8(89).169P =又8116919<，所以当n S ∈时，()P n 最大值为1.19。
2014年江西高考文科数学试题含答案（Word版）
答案 C
解析 A = {x | −3 < x < 3}, B = {x | −1 < x ≤ 5} ，所 A I (CRB) = {x − 3 < x < −1}
3．掷两 均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于
A. 1
B. 1
18
9
答案 B
C. 1 D. 1
6
12
解析 点数之和为 5 的基本
件有
令,4
y'
=
0,Leabharlann x1=1 3a
,
x2
=
1 a
.所
对
轴
x
=
1 2a
介于两个极值点
x1
=
1 3a
,
x2
=
1 a
，之间，所
B
是错误的 所 选择 B
填空 本大 共 5 小 ， 小 5 ，共 以5 .
令令.若曲线 y = x ln x 点P 处的 线平行于直线 2x − y +1 = 0,则点P 的坐标是_______.
=
r 3e1
−
r 2e2
,
则
|
r a
|=
_______.
解析
v a
2
=
v a
2
=
(
r 3e1
−
r 2e2
)2
=
(
r 3e1
)2
+
(
r 2e2
)2
−
r 12e1
⋅
r e2
=
9
+
4
−12 cosα
=
9
解得 a = 3
【推荐】2014年江西省高考数学试卷(文科)
2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln上点P处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P的坐标是．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= ．13．（5分）在等差数列{an }中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（5分），y ∈R ，若||+|y|+|﹣1|+|y ﹣1|≤2，则+y 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f （）=（a+2cos 2）cos （2+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a ∈R ，θ∈（0，π）．（1）求a ，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin （α+）的值． 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．（13分）如图，已知抛物线C：2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出，可得||．【解答】解：∵复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），∴===1+i，∴||==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩【分析】根据补集的定义求得∁RB）．（∁RB={|【解答】解：∵集合A={|2﹣9＜0}={|﹣3＜＜3}，B={|﹣1＜≤5}，∴∁R≤﹣1，或＞5}，B）={|﹣3＜≤﹣1}，则A∩（∁R故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“a2+b+c≥0”对于任意的恒成立时，则有：①当a=0时，要使a2+b+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使a2+b+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“a2+b+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“a2+b+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意∈R，有2≥0”的否定应该是“存在∈R，有2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C ．智商D ．阅读量 【分析】根据表中数据，利用公式，求出2，即可得出结论．【解答】解：表1：2=≈0.009；表2：2=≈1.769； 表3：2=≈1.3；表4：2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D ．【分析】讨论a 的值，当a=0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数a 2﹣+的对称轴=，利用求导函数求出函数y=a 23﹣2a 2++a 的极值点为=与=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．【解答】解：当a=0时，函数y=a 2﹣+的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a 23﹣2a 2++a 的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求； 当a ≠0时，函数y=a 2﹣+图象的对称轴方程为直线=， 由y=a 23﹣2a 2++a 可得：y ′=3a 22﹣4a+1，令y ′=0，则1=，2=，即1=和2=为函数y=a 23﹣2a 2++a 的两个极值点，对称轴=介于1=和2=两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P 的坐标是 （e ，e ） ．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f ′（）=ln+=1+ln ，直线2﹣y+1=0的斜率=2，∵曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，∴f ′（）=1+ln=2，即ln=1，解得=e ，此时y=elne=e ，故点P 的坐标是（e ，e ），故答案为：（e ，e ）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cos α=，若向量=3﹣2，则||= 3 ．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． 【解答】解：=9=9， ∴||=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 （﹣1，﹣） ．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7＜S 8，S 9＜S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，∴，即，解得：，综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．【分析】根据条件分别求出A ，B ，D 的坐标，利用AD ⊥F 1B ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF 1，∵OD ∥AB ，O 为F 1F 2的中点，∴D 为BF 1的中点，又AD ⊥BF 1，∴|AF 1|=|AB|．∴|AF 1|=2|AF 2|．设|AF2|=n ，则|AF 1|=2n ，|F 1F 2|=n ， ∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．（5分），y∈R，若||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，则+y的取值范围为[0，2] ．【分析】根据绝对值的意义，||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，从而求得+y 的范围．【解答】解：根据绝对值的意义可得||+|﹣1|表示数轴上的对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，∴0≤+y≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（）=（a+2cos2）cos（2+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【分析】（1）把=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）f （）=﹣（a+1）sin θ=0， ∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f （）为奇函数，∴f （0）=（a+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=．（2）由（1）知f （）=（﹣1+2cos 2）cos （2+）=cos2•（﹣sin2）=﹣， ∴f （）=﹣sin α=﹣，∴sin α=， ∵α∈（，π）， ∴cos α==﹣， ∴sin （α+）=sin αcos +cos αsin =．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【分析】（1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1；当n=1时，a 1=S 1”即可得出；（2）对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：∵S n =，n ∈N *． ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=3n ﹣2，（*）当n=1时，a 1=S 1==1． 因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣2．（2）证明：对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 则，∴（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），化为m=3n 2﹣4n+2，∵n ＞1，∴m=3n 2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n ＞1，都存在m=3n 2﹣4n+2∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f （）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（）=（42+4a+a2），∴f（）=（42﹣16+16），∴f′（）=（8﹣16）+（42﹣16+16）=2（）=，∵f′（）＞0，≥0，∴52﹣12+4＞0，解得，0≤＜，或＞2，∴当a=﹣4时，f（）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；（2）∵f（）=（42+4a+a2），∴；令f′（）=0．解得，当f′（）＞0时，∈（0，）或，此时f（）单调递增，当f′（）＜0时，∈（），此时f（）单调递减，①当≥4，即a≤﹣40，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（）在区间[1，4]为减函数，由f （4）=8，解得a=﹣10，④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解．综上所述，a=﹣10．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．【分析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ，∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC ∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ，∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==， ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大， 最大值为：．【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．20．（13分）如图，已知抛物线C ：2=4y ，过点M （0，2）任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含轴），与直线y=2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值，并求此定值．【分析】（1）设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，整理得2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，由直线AO 的方程y=与BD 的方程=2联立即可求得交点D 的坐标为，利用12=﹣8，即可求得D 点在定直线y=﹣2（≠0）上；（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y ，由△=0化简整理得b=﹣a 2，故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），从而可证|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【解答】（1）证明：依题意，可设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，得2=4（+2），即2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，直线AO 的方程为y=；BD 的方程为=2．解得交点D 的坐标为．注意到12=﹣8及=4y 1，则有y===﹣2，因此D 点在定直线y=﹣2（≠0）上．（2）证明：依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y 得2=4（a+b ），即2﹣4a ﹣4b=0，由△=0得（4a ）2+16b=0，化简整理得b=﹣a 2．故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），则|MN 2|2﹣|MN 1|2=+42﹣=8，即|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为P（100）=；（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，F（n）=；（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，当n=10+b（1≤≤9，0≤b≤9，∈N*，b∈N*）时，g（n）=：当n=100时，g（n）=11，即g（n）=，同理有f（n）=，由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；当n=9时，P（9）=0，当n=90时，P（90）==，当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，p（n）===，由y=关于单调递增，故当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．。
2014江西文数学(Word版)含答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =( )A.1B.2 C D 【答案】C【解析】设,z a bi =+则()(1)2()()2a bi i i a b a b i i ++=⇒-++=所以01,112a b a b z i a b -=⎧⇒==⇒=+=⎨+=⎩2．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R AC B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D - 【答案】C【解析】 {|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤，所以{}()31R A C B x x =-<<-3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )1.18A 1.9B 1.6C 1.12D【答案】B【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为41369=. 4．已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a ( )1.4A 1.2B .1C .2D 【答案】A【解析】(1)2f -=，(2)4f a =，所以[(1)]41f f a -==解得14a =5．在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B AA -的值为( )1.9A -1.3B .1C 7.2D【答案】D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．下列叙述中正确的是( ).A 若,,a b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤” .B 若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”.D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ【答案】D【解析】当0a ≠时，A 是正确的；当0b =时，B 是错误的；命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x <”，所以C 是错误的。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（ ）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）设z=+i，则|z|=（ ）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）A．2B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（ ）A．1B．2C．4D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)文
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014江西,文1)若复数z 满足z (1+i)=2i(i 为虚数单位),则|z|=( ). A.1 B.2C. 2D. 3答案:C解析:∵z (1+i)=2i,∴|z|·|1+i |=|2i |.∴|z|· =2.∴|z|=2.(2014江西,文2)设全集为R ,集合A={x|x 2-9<0},B={x|-1<x ≤5},则A ∩(∁R B )=( ). A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1] D.(-3,3)答案:C解析:由已知可得A={x|-3<x<3},∁R B={x|x ≤-1或x>5},故A ∩∁R B={x|-3<x ≤-1}=(-3,-1]. 3.(2014江西,文3)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( ). A.118B.19C.16D.112答案:B解析:掷两颗均匀的骰子,共有36个基本事件,其中和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个.故所求概率为436=19.4.(2014江西,文4)已知函数f (x )= a ·2x ,x ≥0,2-x ,x <0(a ∈R ),若f [f (-1)]=1,则a=( ).A.14B.12C.1D.2答案:A解析:由题意可知f(-1)=21=2,则f[f(-1)]=f(2)=a ·22=4a=1.故a=14.5.(2014江西,文5)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则2sin 2B -sin 2Asin 2A的值为().A.-19B.13C.1D.72答案:D解析:∵3a=2b,∴由正弦定理得ab=sin A sin B =23. ∴sin 2A sin 2B =49.∴2sin 2B -sin 2A sin 2A =2×sin 2B sin 2A -1 =2×9-1=9-1=7.6.(2014江西,文6)下列叙述中正确的是( ).A.若a,b,c ∈R ,则“ax 2+bx+c ≥0”的充分条件是“b 2-4ac ≤0”B.若a,b,c ∈R ,则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a>c”C.命题“对任意x ∈R ,有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ,有x 2≥0”D.l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β 答案:D解析:对于A 项,当a<0时不成立.对于B 项,当b=0时,“a>c”推不出“ab 2>cb 2”. 对于C 项,否定应为存在x ∈R ,x 2<0,故C 不正确. 对于D 项,由线面垂直的性质可得α∥β成立.故选D .7.(2014江西,文7)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ).表1成绩性别不及格 及格 总计A.成绩B.视力C.智商D.阅读量答案:D 解析:根据χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),代入题中数据计算得D 选项χ2最大.故选D .8.(2014江西,文8)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( ).A.7B.9C.10D.11答案:B解析:i=1,S=0,S=0+lg 1=lg 1,执行“否”:i=3,S=0+lg 1+lg 3=lg 1,执行“否”:i=5,S=lg 15+lg 57=lg 17,执行“否”:i=7,S=lg 1+lg 7=lg 1,执行“否”:i=9,S=lg 19+lg 911=lg 111<-1,执行“是”:输出i=9.结束.故选B . 9.(2014江西,文9)过双曲线C:x 2a2−y 2b2=1的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A,若以C 的右焦点为圆心,半径为4的圆经过A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( ). A.x 2−y 2=1 B.x 2−y 2=1 C.x 2−y 2=1 D.x 2−y 2=1 答案:A解析:设双曲线的右顶点为B,则B(a,0).不妨取渐近线y=b x,则A 点的坐标为(a,b), 从而可知|OA|=c.∵由已知可得|OF|=|AF|=c=4, ∴△OAF 为边长是c 的等边三角形. 又AB ⊥OF,∴|OB|=a=2,|AB|=b=2 3. 故所求的双曲线方程为x 24−y 212=1. 10.(2014江西,文10)在同一直角坐标系中,函数y=ax 2-x+a与y=a 2x 3-2ax 2+x+a (a ∈R )的图像不可能．．．的是( ).答案:B解析:显然当a=0时,D 中图象是可能的,当a ≠0时,由y=a 2x 3-2ax 2+x+a (a ∈R )求导得y'=3a 2x 2-4ax+1, 令y'=0,得x=1或x=1.函数y=ax 2-x+a 2的图像的对称轴为x=12a,不管a>0还是a<0,都有1在1与1之间,而由B 中图像可知1<1<1. 因此B 项中图像不可能.当a>0时,可判断得A ,C 项中图像都有可能.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014江西,文11)若曲线y=x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是 . 答案:(e ,e )解析:设切点P 的坐标为(x 0,y 0),由y=x ln x,得y'=ln x+1, 则切线的斜率k=ln x 0+1.∵由已知可得ln x 0+1=2.∴x 0=e . ∴y 0=x 0ln x 0=e . ∴切点的坐标为(e ,e ). 12.(2014江西,文12)已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=13,若向量a =3e 1-2e 2,则|a |= .答案:3解析:由题意知|a |2=a 2=(3e 1-2e 2)2=9e 12+4e 22-12e 1·e 2=9+4-12×1=9.故|a |=3.13.(2014江西,文13)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n=8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为 . 答案: -1,-7解析:由题意知当d<0时,S n 存在最大值,∵a 1=7>0,∴数列{a n }中所有非负项的和最大. 又∵当且仅当n=8时,S n 取最大值, ∴ a 8≥0,a 9<0.∴ 7+7d ≥0,7+8d <0,解得-1≤d<-78.14.(2014江西,文14)设椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D,若AD ⊥F 1B,则椭圆C 的离心率等于 . 答案: 3解析:连接AF 1,∵OD ∥AB,O 为F 1F 2的中点,∴D 为BF 1的中点. 又AD ⊥BF 1,∴|AF 1|=|AB|. ∴|AF 1|=2|AF 2|.设|AF 2|=n,则|AF 1|=2n,|F 1F 2|= 3n. ∴e=c a=|F 1F 2||AF 1|+|AF 2|=3n3n=33.15.(2014江西,文15)x ,y ∈R ,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y 的取值范围为 .答案:[0,2]解析:∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,当且仅当0≤x ≤1时取等号,|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,当且仅当0≤y ≤1时取等号, ∴|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.① 又∵|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②∴只有当0≤x ≤1,0≤y ≤1时,①②两式同时成立.∴0≤x+y ≤2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014江西,文16)已知函数f(x)=(a+2cos 2x)cos (2x+θ)为奇函数,且f π4=0,其中a ∈R ,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值.(2)若f α =-2,α∈ π,π ,求sin α+π 的值.分析:(1)由函数f(x)为奇函数,可知函数y=cos (2x+θ)为奇函数,求出θ的值,再把x=π4代入f (x )中求a 的值.(2)由(1)化简f(x),利用f α =-2,求出sin α,进而利用平方关系求出cos α,再用两角和的正弦公式求解. 解:(1)因为f(x)=(a+2cos 2x)cos (2x+θ)是奇函数,而y 1=a+2cos 2x 为偶函数,所以y 2=cos (2x+θ)为奇函数. 又θ∈(0,π),得θ=π2,所以f(x)=-sin 2x ·(a+2cos 2x), 由f π =0得-(a+1)=0,即a=-1. (2)由(1)得,f(x)=-1sin 4x, 因为f α =-1sin α=-2,即sin α=4,又α∈ π,π ,从而cos α=-3, 所以有sin α+π3=sin αcos π3+cos αsin π3=4-3 310. 17.(本小题满分12分)(2014江西,文17)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-n,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m ∈N *,使得a 1,a n ,a m 成等比数列.分析:(1)利用a n =S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2求出通项公式. (2)运用分析法,寻求使a 1,a n ,a m 成等比数列时,m,n 的关系,分析对∀n>1时,m 的值是否为自然数,且m>n 是否成立,进行证明. (1)解:由S n =3n 2-n,得a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n-2,所以数列{a n }的通项公式为:a n =3n-2.(2)证明:要使得a 1,a n ,a m 成等比数列,只需要a n 2=a 1·a m ,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n 2-4n+2,而此时m ∈N *,且m>n.所以对任意的n>1,都存在m ∈N *,使得a 1,a n ,a m 成等比数列.18.(本小题满分12分)(2014江西,文18)已知函数f(x)=(4x 2+4ax+a 2) x ,其中a<0. (1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a 的值.分析:(1)按照求单调区间的步骤进行,第一步:求定义域;第二步:计算f'(x);第三步:在定义域上,求f'(x)>0的解集得递增区间;(2)第一步:计算f'(x),并求f'(x)=0的x 值,得出f(x)的单调性;第二步:f(x)的解析式可化为f(x)=(2x+a)2 x ,分析出f(x)≥0且f -a =0;第三步:结合第一,二步的分析,只需讨论x=-a 与区间[1,4]的关系,求出f(x)在[1,4]上的最小值,建立a 的方程求解.解:(1)当a=-4时,由f'(x)=x=0得x=2或x=2,由f'(x)>0得x ∈ 0,2 或x ∈(2,+∞),故函数f(x)的单调递增区间为 0,2 和(2,+∞). (2)因为f'(x)=(10x+a )(2x+a )2 x ,a<0,由f'(x)=0得x=-a 或x=-a . 当x ∈ 0,-a10 时,f(x)单调递增; 当x ∈ -a 10,-a2 时,f(x)单调递减,当x ∈ -a,+∞ 时,f(x)单调递增,易知f(x)=(2x+a)2 x ≥0,且f -a=0.①当-a2≤1时,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a 2=8,得a=±2 2-2,均不符合题意.②当1<-a ≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]上的最小值为f -a=0,不符合题意.③当-a2>4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a 2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10.19.(本小题满分12分)(2014江西,文19)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥BC,A 1B ⊥BB 1. (1)求证:A 1C ⊥CC 1;(2)若AB=2,AC= 3,BC= 7,问AA 1为何值时,三棱柱ABC-A 1B 1C 1体积最大,并求此最大值.分析:(1)证明线线垂直可用线面垂直证明,即用已知的线线垂直证明线面垂直,利用线面垂直的性质得线线垂直.(2)设出变量,建立体积函数求最值.解法一:设A 1A=x,求出A 1B,A 1C 的长,利用余弦定理求cos ∠BA 1C,sin ∠BA 1C,进而得出S △A 1BC ,从而求出体积函数,配方后求出最值.解法二:过A 1作BC 的垂线A 1D,利用线面垂直证明AD ⊥BC,设A 1A=x,利用等面积法求出AD,再利用勾股定理求出A 1D,表示出S △A 1BC ,从而求出体积函数,配方后求出最值. (1)证明:由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC,又BB 1⊥A 1B,故BB 1⊥平面BCA 1,即BB 1⊥A 1C, 又BB 1∥CC 1, 所以A 1C ⊥CC 1. (2)解法一:设AA 1=x,在Rt △A 1BB 1中,A 1B= A 1B 12-BB 12= 4-x 2, 同理,A 1C= A 1C 12-CC 12= 3-x 2.在△A 1BC 中,cos ∠BA 1C=A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ·A 1C=-2(4-x )(3-x ),sin ∠BA 1C=12-7x 2(4-x )(3-x ),所以S △A 1BC =12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C=12-7x 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S 直·l=S △A 1BC ·AA 1=x 12-7x 22.因x 12-7x 2= 12x 2-7x 4= -7 x 2-6 2+36,故当x= 67=427时,即AA 1=427时,体积V 取到最大值3 77. 解法二:过A 1作BC 的垂线,垂足为D,连接AD.由AA 1⊥BC,A 1D ⊥BC,故BC ⊥平面AA 1D,BC ⊥AD. 又∠BAC=90°, 所以S △ABC =1AD ·BC=1AB ·AC 得AD=2 21. 设AA 1=x,在Rt △AA 1D 中, A 1D= AD 2-AA 12= 127-x 2, S △A 1BC =1A 1D ·BC= 12-7x 2.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S 直·l=S △A 1BC ·AA 1=x 12-7x 2.因x 12-7x 2= 12x 2-7x 4= -7 x 2-672+367,故当x= 6=42时,即AA 1=42时,体积V 取到最大值3 7.20.(本小题满分13分)(2014江西,文20)如图,已知抛物线C:x 2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C 相交于A,B 两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D(O 为坐标原点). (1)证明:动点D 在定直线上;(2)作C 的任意一条切线l(不含x 轴),与直线y=2相交于点N 1,与(1)中的定直线相交于点N 2,证明:|MN 2|2-|MN 1|2为定值,并求此定值.分析:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),设出AB 的直线方程,与抛物线方程x 2=4y 联立求出x 1x 2,利用A,B 坐标写出AO 与BD 的直线方程,解出点D 的坐标,消去参数x 1,x 2,y 1,y 2即可.(2)设出切线l 的方程,利用直线与抛物线相切,简化l 的方程,进而求出N 1与N 2的坐标,代入|MN 2|2-|MN 1|2中化简即可.(1)证明:依题意可设AB 方程为y=kx+2,代入x 2=4y,得x 2=4(kx+2),即x 2-4kx-8=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1x 2=-8,直线AO 的方程为y=y1x 1x;BD 的方程为x=x 2.解得交点D 的坐标为 x =x 2,y =y 1x 21,注意到x 1x 2=-8及x 12=4y 1,则有y=y 1x 1x 2x 12=-8y 14y 1=-2. 因此D 点在定直线y=-2上(x ≠0).(2)解:依题设,切线l 的斜率存在且不等于0,设切线l 的方程为y=ax+b(a ≠0),代入x 2=4y 得x 2=4(ax+b),即x 2-4ax-4b=0, 由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a 2. 故切线l 的方程可写为y=ax-a 2. 分别令y=2,y=-2得N 1,N 2的坐标为 N 1 2+a ,2 ,N 2 -2+a ,-2 .则|MN 2|2-|MN 1|2= 2a-a 2+42- 2a+a 2=8, 即|MN 2|2-|MN 1|2为定值8.21.(本小题满分14分)(2014江西,文21)将连续正整数1,2,…,n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数F (n )为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F (12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p (n )为恰好取到0的概率. (1)求p(100);(2)当n ≤2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g (n )为这个数中数字0的个数,f (n )为这个数中数字9的个数,h (n )=f (n )-g (n ),S={n|h (n )=1,n ≤100,n ∈N *},求当n ∈S 时p (n )的最大值.分析:(1)由题意先将1~100按序排好,确定1位数,2位数和3位数的个数,即可求得F(100),再求出含有0的个数m,则p(100)=mF (100);(2)因为F(n)由这些数的位数确定,故要依据n 的位数进行分类讨论,将F(n)表示成分段函数;(3)要根据n 的位数不同分别确定这些数字中含0与9的个数,然后求和即得g(n),f(n).再由h(n)=1,即f(n)-g(n)=1确定n 的取值,从而得出p(n)的表达式,最后利用p(n)的单调性求解其最值.解:(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=11;(2)F(n)= n ,1≤n ≤9,2n -9,10≤n ≤99,3n -108,100≤n ≤999,4n -1 107,1 000≤n ≤2 014.(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0;当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)=0,1≤n≤9,k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,11,n=100.同理有f(n)=0,1≤n≤8,k,n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N*,b∈N.n-80,89≤n≤98,20,n=99,100.由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},当n=9时,p(9)=0,当n=90时,p(90)=g(90)F(90)=9171=119.当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9,由y=k关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=8169, 又8<1,所以当n∈S时,p(n)的最大值为1.。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．711．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．7【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx=sinxc osφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= 3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．=，a8=2，【解答】解：由题意得，a n+1令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB 角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—江西卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =( ) A ．1 B ．2CD 2．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D - 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )1.18A 1.9B 1.6C 1.12D4．已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a ( )1.4A 1.2B .1C .2D 5．在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B A A -的值为( )1.9A -1.3B .1C 7.2D6．下列叙述中正确的是( ).A 若,,a b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤” .B 若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥” .D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7．某人研究中学生的性别与成绩．视力．智商．阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3 表4A ．成绩B ．视力C 8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9 C ．10 D ．119．过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心．半径为4的圆经过A ．O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A ．112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 10．在同一直角坐标系中，函数22322()2ay ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能．．．的是( )二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标是_______．12．已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e则若向量且的夹角为αα_______． 13． 在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．14． 设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．15． R y x ∈，，若112x y x y ++-+-≤，则y x +的取值范围为__________． 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ．（1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值． 17． （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列． 18．（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a ． （1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间； （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥． （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值．20．（本小题满分13分）如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．AB A 1C1C 1（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值．21．（本小题满分14分）将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率．（1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式； （3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==∈≤，求当n S ∈时()p n 的最大值．参考答案一、选择题 1．C【解析】设,z a bi =+则()(1)2()()2a bi i i a b a b i i ++=⇒-++=所以01,112a b a b z i a b -=⎧⇒==⇒=+=⎨+=⎩2．C【解析】 {|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤，所以{}()31R A C B x x =-<<-3．B【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为41369=. 4．A【解析】(1)2f -=，(2)4f a =，所以[(1)]41f f a -==解得14a = 5．D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．D【解析】当0a ≠时，A 是正确的；当0b =时，B 是错误的；命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x <”，所以C 是错误的。
高考真题 江西(文科数学) 1
2014·江西卷(文科数学)1．[2014·江西卷] 若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．1B ．2C.2D. 31．C [解析]因为z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.2．[2014·江西卷] 设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－3，0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3，3)2．C [解析]∵A ＝(－3，3)，∁R B ＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)， ∴A ∩(∁R B )＝(－3，－1]． 3．[2014·江西卷] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118B.19C.16D.1123．B [解析]掷两颗均匀的骰子，一共有36种情况，点数之和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，所以点数之和为5的概率为436＝19.4．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 4．A [解析]因为f (－1)＝21＝2，f (2)＝a ·22＝4a ＝1，所以a ＝14.5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B.13C ．1D.725．D [解析]由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β6．D [解析]对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错． 对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”， 所以C 错．对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确． 7．[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量7．D [解析]通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481，故选D.8．[2014·江西卷] 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．118．B [解析]初始值，S ＝0，i ＝1，接下来按如下运算进行：第一次循环，S ＝lg 13>－1，再次进入循环，此时i ＝3；第二次循环，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15>－1，再次进入循环，此时i ＝5；第三次循环，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17>－1，再次进入循环，此时i ＝7；第四次循环，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19>－1，再次进入循环，此时i ＝9；第五次循环，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111<－1，退出循环，此时i ＝9.9．[2014·江西卷] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝19．A [解析]由直线方程x ＝a 和渐近线方程y ＝bax 联立解得A (a ，b )．由以C 的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O 可得c ＝4，即右焦点F (4，0)． 由该圆过A 点可得|F A |2＝(a －4)2＋b 2＝a 2＋b 2－8a ＋16＝c 2－8a ＋16＝c 2，所以8a ＝16，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.10．[2014·江西卷] 在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图像不可能是(AC 10．B [解析]当a ＝0时，为D 选项．当a ≠0时，抛物线的对称轴为直线x ＝12a ，另一个函数的导数y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，解得该函数的两个极值点分别为x 1＝1a ，x 2＝13a ，12a 一直介于1a 和13a之间，排除法知选B.11．[2014·江西卷] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．11．(e ，e) [解析]由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝elne ＝e ，所以P (e ，e)．12．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________．12．3 [解析]因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13＋4×1＝9，所以|a |＝3.13．[2014·江西卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．13.⎝⎛⎭⎫－1，－78 [解析]由题可知a 8>0且a 9<0，即7＋7d >0且7＋8d <0，所以－1<d <－78. 14．[2014·江西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．14.33 [解析]由题意A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，F 1(－c ，0)，则直线F 1B 的方程为y －0＝－b 2a2c(x ＋c )． 令x ＝0，得y ＝－b 22a，即D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，则向量DA ＝⎝⎛⎭⎫c ，3b 22a ，F 1B →＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a . 因为AD ⊥F 1B ，所以DA →·F 1B →＝2c 2－3b 42a2＝0，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，整理得(3e －1)(e ＋3)＝0，所以e ＝33(e >0)．故椭圆C 的离心率为33.15．[2014·江西卷] x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________．15．[0，2] [解析]⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|x －1|≥1，|y |＋|y －1|≥1⇒|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2⇒|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|x －1|＝1，|y |＋|y －1|＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1⇒0≤x ＋y ≤2. 16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．17．解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *，且m ＞n ，所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x ，a ＜0，所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10. 19．、[2014·江西卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1. (1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC -A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．19．解：(1)证明：由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C .又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1. (2)方法一：设AA 1＝x .在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2.同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－x 2. 在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C ＝－x 2（4－x 2）（3－x 2），sin ∠BA 1C ＝12－7x 2（4－x 2）（3－x 2），所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367， 所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.(2)方法二：过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，得BC ⊥平面AA 1D ，故BC ⊥AD .又∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，得AD ＝2217.设AA 1＝x .在Rt △A 1D ＝AD 2－AA 21S △A 1BC ＝12A 1D ·从而三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367，所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.20．[2014·江西卷] 如图1-2所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0，2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上．(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|220．解：(1)依题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，BD 的方程为x ＝x 2，解得交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 1x 2x 1.注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2， 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)． (2)依题意，切线l 的斜率存在且不等于0.设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0. 由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2，得N 1，N 2的坐标为N 1⎝⎛⎭⎫2a ＋a ，2，N 2⎝⎛⎭⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8. 21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169.又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119.。
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2014年江西高考数学（文科）真题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数z 满足(1)2z i i +=（为虚数单位），则||z =（ ）.1A .2B C D 2.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D 4. 已知函数2,0()()2,0x xa x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （ ） 1.4A 1.2B .1C .2D 5.在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B A A-的值为（ ）1.9A - 1.3B .1C 7.2D 6.下列叙述中正确的是（ ）.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ .B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”.D 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）8. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.119.过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y xB.19722=-y xC.18822=-y xD.141222=-y x 10. 在同一直角坐标系中，函数22322()2ay ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能．．．的是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P -+=则点的坐标是_______.12.已知单位向量12121,,cos ,32,||3e e a e e a αα==-=的夹角为且若向量则_______.13. 在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为_________.14. 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A B，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 15.R y x ∈，，若211≤-+-++y x y x ，则y x +的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a . （1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.18.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a . （1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间; （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值。
20.（本小题满分13分 ）如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线（不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.21.（本小题满分14分）将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率. （1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；（3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.参考答案一、选择题1.C2.C3.B4.A5.D6.D7.D8.B9.A 10.B 二、填空题11.（e,e ） 12.3 13.71,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭15.[]0,2 三、解答题16.（本小题满分12分）解： （1）因为()f x =()()22cos cos 2a x x θ++是奇函数，而y 1=a+2cos 2x 为偶函数，所以 y 1=()cos 2x θ+ 为奇函数，又()0,θπ∈，得.2πθ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+（）由04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得 -（a+1）=0，即 1.a =-（2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=-因此sin sin cos cos sin 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 17. （本小题满分12分）（1）解：由232n n nS -=，所以 a 111S ==，当2n ≥时132n n n a S S n -=-=-所以数列n a 的通项公式为32,n a n =-（2）证明：要使得m n a a a ，，1成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=-=-+即.而此时*∈N m ，且,m n >所以对任意1>n ，都存在*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 18. （本小题满分12分） 解：（1）当4-=a 时，由()f x'=，得25x =或2x =，由()0f x '>得2x (0,)5∈或x (2,)∈+∞，故函数f （x ）的单调递增区间为2(0,)5和(2,)+∞ （2）因为()f x '=，a<0，由()=0f x ' 得10a x =-或2ax =- 当x ∈(0,)10a-时，()f x 单调递增，当x ∈(,)102aa--时，()f x 单调递减，当x ∈(,)2a-+∞时，()f x 单调递增，易知()f x =（2x+a ）0≥，且()0,2af -= ①当12a-≤时，即-2≤a<0时，()f x 在[1,4]上的最小值为(1)f ，由(1)f =4+4a+a 2=8，得a=±均不符合题意②当142a<-≤时，即-8a 2≤<-时，()f x 在[1,4]上的最小值为()0,2af -=不符合题意③当42a->时，即a 8<-时，()f x 在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而(1)8,f ≠由2(4)2(6416)8,f a a =++=得10a =-或6a =-(舍去)，当10a =-时，()f x 在(1,4)上单调递减，()f x 在[1,4]上的最小值为(4)8,f =符合题意。
综上有，a=-1019.（本小题满分12分）（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB A C ⊥,又11//BB CC ，所以11.A C CC ⊥（2）解法一：设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1A B ==同理1A C ==在1A BC ∆中, 222111111cos 2A B A C BC BA C BA C A B A C +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯===故当x ==1AA =V解法二：过1A 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由1AA BC ⊥，A 1D BC ⊥,故BC ⊥平面1AA D ，BC ⊥AD 又90BAC ∠=︒,所以1122ABC S AD BC AB AC AD ∆=⋅=⋅=得,设1AA =x ，在Rt 1AA D ∆中，111111111=2-S l=A BC A BCA D S A D BC ABC ABC V S AA ∆∆=⋅==⋅⋅直从而三棱柱的体积因==故当x==即1AA=体积V取到最20. （本小题满分13分）（1）解：依题意可设AB方程为2y kx=+，代入24x y=，得24(2)x kx=+，即2480x kx--=.设1122(,),(,)A x yB x y，则有：128x x=-，直线AO的方程为11yy xx=；BD的方程为2x x=；解得交点D的坐标为2121x xy xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩注意到128x x=-及2114x y=，则有1121211824y x x yyx y-===-，因此D点在定直线2y=-上(0)x≠.（2）依题设，切线的斜率存在且不等于0，设切线的方程为(0)y ax b a=+≠，代入24x y=得24()x ax b=+，即2440x ax b--=，由0∆=得2(4)160a b+=，化简整理得2b a=-，故切线的方程可写为2y ax a=-，分别令2,2y y==-得12,N N的坐标为1222(,2),(,2)N a N aa a+-+-，则222222122()4()8MN MN a aa a-=-+-+=，即2221MN MN-为定值8.21.（本小题满分14分）解：（1）当100n=时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为11(100);192p=（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002014n nn nF nn nn n≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩（3）当*(19,),()0;n b b b N g n=≤≤∈=当*10,(19,09,,),(),n k b k b k N b N g n k=+≤≤≤≤∈∈=当1000,()11;n g n ==即**0,,19,,(),10,19,09,,,11,100n b b b N g n k n k b k b k N b N n ⎧=≤≤∈⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩同理有*0,18,101,18,09,,,()80,899820,99,100n k n k b k b k N b N f n n n n ≤≤⎧⎪=+-≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩由()()()1,h n f n g n =-=可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,n =所以当100n ≤时，{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}S =, 当9n =时，(9)0,P = 当90n =时，(90)91(90)(90)17119g P F ===，当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈时，()(),()29209g n k k P n F n n k ===-+由,209ky k =+关于k 单调递增，故当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈，()P n 最大值为8(89).169P =又8116919<，所以当n S ∈时，()P n 最大值为1.19。