沪教版九年级数学-三角形相似的总复习-带答案

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知识精要

一 比例的性质

1. 比例的基本性质:bc ad d

c

b a =⇔=

2. 合比性质:d

d

c b b a

d c b a d d c b b a d c b a -=

-⇒=+=+⇒=或 3.

等比性质:若

)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n

m

f e d c b a 则b

a

n f d b m e c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++.

4. 比例中项:若c a b c a b c

b

b a ,,2是则即⋅==的比例中项.

二 平行线分线段成比例定理

1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

已知l 1∥l 2∥l 3,

可得

EF

BC

DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =

====或或或或等. 2．三角形一边平行线的性质定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

1. 三角形一边平行线的判定定理: 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.

2. 推论: 如果一条直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.

如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求

:AF:FC

辅助线当然是添加平行线. 但如图（2）, 如果过D作DG∥BF,则在FC中插入了G点,不利求结论AF:FC；如图（3）如果过F做FG∥AD交CD于G时,在CD上插入G,条件BD:DC=2:3就不好用了。因此应过D做DG∥AC 交BF于G,此辅助线做法既不破坏BD:DC,又不破坏AE:ED,还不破坏AE:FC.

解: 过D做DG∥AC交BF于G

∵BD:DC=2:3 ∴BD:BC=2:5 则DG:CF=2:5 设DG=2x CF=5 x

AE:ED=3:4 AF:DG=3:4 AF:2x=3:4 AF=1.5x AF:FC=1.5x:5x=3:10 三相似三角形的判定及性质1. 相似三角形的判定

①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);

②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;

③三边对应成比例的两个三角形相似;

④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.

2. 直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

3. 相似三角形的性质

①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比)

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一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．下列图形一定是相似图形的是…………………………（ B ） （A ）两个矩形； （B ）两个正方形； （C ）两个直角三角形； （D ）两个等腰三角形． 2．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ A ） A ．45米

B ．40米

C ．90米

D ． 80米

3．下列各组线段中，成比例线段的一组是…………………（ B ） （A ）1，2，3，4；（B ）2，3，4，6；（C ）1，3，5，7；（D ）2，4，6，8；4．如图，下列条件中不能．．判定ABC ACD △∽△的是（ C ） A ．B ACD ∠=∠； B ．ADC ACB ∠=∠； C ．

AC AB

CD BC

=

； D ．AB AD AC •=2．

5．如图，已知D 是△ABC 中的边BC 上的一点，∠BAD =∠C ，∠ABC 的

平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是 （ C ）

（A ）△BAC ∽△BDA ； （B ）△BF A ∽△BEC ； （C ）△BDF ∽△BEC ； （D ）△BDF ∽△BAE ．

B

6.下列四个三角形中，与右图中△ABC 相似的是（ B ）

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果

2

3x y =，那么x y y

+= __ 5/3 __． 8．在比例尺为1：10000的地图上，相距4厘米的两地A 、B 的实际距离

为 400 米

9．已知在△A BC 中，AD 是中线，G 是重心，如果GD =3cm ，那么AG =6

cm ．

A C E

D F

第5题

B

A

D C

D

C

B

A

第4题

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10．在ABC ∆和111C B A ∆中，已知,500

1=∠=∠A A 070=∠B ，要使

ABC ∆和111C B A ∆相似，只要._________1=∠B 70或者60

11．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上 ，DE ∥BC ，AD =1，AB =3， 则ABC ADE S S ∆∆:= 1:9 ．

12．如图：M 为平行四边形ABCD 的BC 边的中点，AM 交BD 于点P ，若PM =4，则AP =____8_________．

13．已知点D 是线段AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），如果AB=2，那么AD 的长为 √5−1 ．

14．如图，在∆Rt ABC 中，∠ACB = 90，CD ⊥AB ，垂足是D ，

5

3

=AC AD ，⊿ABC 的周长是25，那么⊿ACD 的周长是 15 ．

15．如图，请在方格图中画出一个与 ABC 相似且相似比不为1的三角形（它的顶点必须在方格图的交叉点）．

略

16、如图,在ABC ∆中，6=BC ，G 是ABC ∆的重心，过G 作边BC 的平行线交AC 于点H ，则GH 的长为___2__.

H C

B

G

A

P

M

D

C

B

A

第12题