北京师大二附中高三(上)期中数学试卷

高三（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.已知全集U=R，集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，则A∩∁UB=( )

A. {4,5}

B. {3,4，5}

C. {0,1，2}

D. {0,1，2，3}

2.下列命题中的假命题是( )

A. ∀x∈R，2x−1>0

B. ∀x∈N*，(x−1)2>0

C. ∃x∈R，lgx<1

D. ∃x∈R，tanx=2

3.若复数z满足1−z=1+i，则z的共轭复数的虚部是( )

A. i

B. 1

C. −i

D. −1

4.在△ABC中，内角C为钝角，sinC=35，AC=5，AB=35，则BC=( )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 10

5.若不等式|x−t|<1成立的必要条件是1

A. [2,3]

B. (2,3]

C. [2,3)

D. (2,3)

6.在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn

等于()

A. 2n+1−2

B. 3n

C. 2n

D. 3n−1

7.在梯形ABCD中，AB//DC，AB=AD=5，DC=2，BC=4，M为AB边上一点，则

MD⋅MC的最小值为( )

A. 10

B. 12

C. 15

D. 16

8.函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有f(x1+x22) ≤12[f(x1) +f(x2) ]

则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：

①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；

②f(x2)在[1,3]上具有性质P；

③若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x)=1，x∈[1,3]；

④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有

f(x1+x2+x3+x44) ≤14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]

其中真命题的序号是( )

A. ①②

B. ①③

C. ②④

D. ③④

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，|a−3b|=______ ．

10.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)=3+log2x的图象

与g(x)的图象关于______ 对称，则函数g(x)=______ .(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)

11.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线

的渐近线方程是_______.

12.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=______ ．

13.已知抛物线y2=2px的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，

且满足|MN|=2|NF|，则∠NMF=______．

14.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：

设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f′′(x)是函数f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=13x3−12x2+3x−512，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：

①函数f(x)=13x3−12x2+3x−512的对称中心坐标为______；

②计算f(12019)+f(22019)+f(32019)+…+f(20182019)=______．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

15.已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=92．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．

16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)=f(x−π12)−f(x+π12)的单调递增区间．

17.已知圆O：x2+y2=4．

(1)直线l1：3x+y−23=0与圆O相交于A、B两点，求|AB|；

(2)如图，设M(x1,y1)、P(x2,y2)是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为

M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n)，问m⋅n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．

18.已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点

P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2．

(Ⅰ)求a，b，c，d的值；

(Ⅱ)若x≥−2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

19.设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的

坐标为(2,0)．

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

20.设数列A：a1，a2，…，aN(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak

则称n是数列A的一个“G时刻”，记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合．(Ⅰ)对数列A：−2，2，−1，1，3，写出G(A)的所有元素；

(Ⅱ)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G(A)≠⌀；

(Ⅲ)证明：若数列A满足an−an−1≤1(n=2,3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于aN−a1．