最优生成树及其算法
生成树简介.
简介STP(生成树协议SpanningTreepProtocol)能够提供路径冗余，使用STP可以使两个终端中只有一条有效路径。
在实际的网络环境中，物理环路可以提高网络的可靠性，当一条线路断掉的时候，另一条链路仍然可以传输数据。
但是，在交换网络中，当交换机接收到一个未知目的地址的数据帧时，交换机的操作是将这个数据帧广播出去，这样，在存在物理的交换网络中，就会产生一个双向的广播环，甚至产生广播风暴，导致交换机死机。
如何既有物理冗余链路保证网络的可靠性，又能避免冗余环路所产生的广播风暴呢？STP协议是在逻辑上断开网络的环路，防止广播风暴的产生，而一旦正在用的线路出现故障，逻辑上被断开的线路又被连通，继续传输数据。
交换网络环路交换网络环路会带来3个问题：广播风暴、同一帧的多个拷贝和交换机CAM表不稳定。
交换网络环路的产生：PC1和PC2通过交换机相连。
网络初始状态时，PC1与PC2通信过程如下：1.在网络通信最初，PC1的ARP条目中没有PC2的MAC地址，PC1首先会向SW1发送一个ARP广播请求PC2的MAC地址；2.当SW1收到ARP的广播请求后，SW1会将广播帧从除接收端口之外的所有端口转发出去即会从F0/1和F0/2发出；3.SW2收到广播后，会将广播帧从F0/2和连接PC2的端口转发，同样SW3收到广播后，将其从F0/2端口转发；4.SW2收到SW3的广播后，将其从F0/1和连接PC2的端口转发，SW3收到SW2的广播后将其从F0/1端口转发；5.SW1分别从SW2、SW3收到广播帧，然后将从SW2收到的广播帧转发给SW3，而将从SW3收到的广播帧发给SW2。
SW1、SW2和SW3会将广播帧相互转发。
这时网络就形成了一个环路，而交换机并不知道，这将导致广播帧在这个环路中永远循环下去。
STP工作原理STP运行STA(生成树算法Spanning Tree Algorithm)。
STA算法很复杂，但是其过程可以归纳为以下三个步骤：1.选择根网桥(Root Bridge)；1>网桥ID最小。
求最小生成树问题,常用的方法
求最小生成树问题,常用的方法最小生成树（Minimum Spanning Tree）问题是一个经典的图论问题，其涉及到给定一个加权无向图，求其最小的生成树。
在实际问题中，求解最小生成树问题非常重要。
例如，最小生成树问题被广泛应用于网络设计、电路布线、机器学习等众多领域。
本文将介绍求解最小生成树问题的常用方法，包括Kruskal算法、Prim算法和Boruvka算法。
我们将详细介绍这些算法的原理和步骤，并给出各种算法的优缺点和适用情况。
1. Kruskal算法Kruskal算法是一种基于贪心策略的算法。
它首先将所有边按照权重大小排序，然后从小到大遍历边。
对于每个边，如果它连接了两个不同的连通块，则将这两个连通块合并成一个。
重复这个过程，直到所有的边都被考虑完。
最终的联通块就构成了最小生成树。
Kruskal算法具有简单、高效、容易实现的特点。
它的时间复杂度为O(E log E)，其中E为边的数量。
Kruskal 算法的实现需要使用并查集。
Kruskal算法的优点是它是一种局部最优的策略，因此它能够在众多情况下得到最优解。
另外，它能够处理稀疏图和稠密图，因为它不需要全局访问图的结构。
2. Prim算法Prim算法也是一种基于贪心策略的算法。
它从一个任意的节点开始，不断加入与已经加入的节点相邻的最短边，直到所有节点都被加入。
这个过程类似于将一个连通块逐渐扩张为最小生成树。
Prim算法的时间复杂度为O(E log V)，其中E为边的数量，V为节点的数量。
Prim算法的实现需要使用堆数据结构来进行边的最短距离的管理。
Prim算法的优点是它比Kruskal算法更加容易实现和理解。
另外，Prim算法能够处理不连通图，因为它从任意一个节点开始加入边。
此外，Prim算法也能够处理含有负权重的边的图。
3. Boruvka算法Boruvka算法是一种基于分治策略的算法。
它首先将所有的节点看作单独的连通块，然后每个连通块都选择当前权重最小的边加入。
的最小生成树算法Prim与Kruskal算法的比较
的最小生成树算法Prim与Kruskal算法的比较Prim算法和Kruskal算法都是常用的最小生成树算法，它们可以在给定的加权连通图中找到连接所有节点的最小权重边集合。
然而，这两种算法在实现细节和时间复杂度上有所不同。
本文将对Prim算法和Kruskal算法进行比较，并讨论它们的优缺点以及适用场景。
一、Prim算法Prim算法是一种贪心算法，它从一个起始节点开始，逐步扩展最小生成树的边集合，直到包含所有节点为止。
具体步骤如下：1. 选取一个起始节点作为最小生成树的根节点。
2. 在最小生成树的边集合中寻找与当前树集合相连的最小权重边，并将这条边添加到最小生成树中。
3. 将新添加的节点加入到树集合中。
4. 重复步骤2和3，直到最小生成树包含所有节点为止。
Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是节点的个数。
这是因为在每轮迭代中，需要从树集合以外的节点中找到与树集合相连的最小权重边，而在最坏情况下，可能需要检查所有的边。
二、Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法，它按照边的权重从小到大的顺序依次选择边，并判断是否加入最小生成树中。
具体步骤如下：1. 初始化一个空的最小生成树。
2. 将所有边按照权重从小到大进行排序。
3. 依次检查每条边，如果这条边连接了两个不同的树（即不会形成环），则将这条边加入到最小生成树中。
4. 重复步骤3，直到最小生成树包含所有节点为止。
Kruskal算法使用并查集数据结构来快速判断连通性，时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的个数。
排序边的时间复杂度为O(ElogE)，而对每条边进行判断和合并操作的时间复杂度为O(E)。
三、比较与总结1. 时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，而Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
因此，在边的数量较大的情况下，Kruskal 算法的效率优于Prim算法。
2. 空间复杂度：Prim算法需要维护一个大小为V的优先队列和一个大小为V的布尔数组，而Kruskal算法需要维护一个大小为V的并查集。
《离散数学》课件-第16章树
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16.3 根树及其应用
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定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
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平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
2.kruskal算法求解最小生成树算法
Kruskal算法是一种用于求解最小生成树的算法，它的主要特点是按边的权值大小进行排序，并逐步添加边，直到构成一棵生成树为止。
在实际应用中，Kruskal算法通常被用来解决各种最小生成树的问题，比如公路修建、通信网络的建设、电路板的设计等等。
本文将着重介绍Kruskal算法的原理、步骤和具体应用，以期为读者提供全面的了解和指导。
一、Kruskal算法的原理Kruskal算法是一种基于贪心策略的算法，它通过不断地选择边来构建生成树，直到所有的顶点都被包含在生成树中。
其基本原理可以概括如下：1. 将图中的所有边按权值大小进行排序。
2. 依次从小到大选择边，并检查是否形成环路。
3. 如果没有形成环路，则将该边添加到生成树中。
Kruskal算法的核心思想是“先小后大”，即先选择权值较小的边，直到所有的顶点都被包含在生成树中。
由于Kruskal算法是基于边来构建生成树的，因此它适用于稀疏图和稠密图，而且在实际应用中通常具有较好的效率。
二、Kruskal算法的步骤Kruskal算法的具体步骤可以简单总结为以下几个步骤：1. 初始化：将图中的所有边按权值大小进行排序。
2. 创建一个空的数组T来存储最小生成树的边。
3. 依次从排序后的边集合中选择边e，并检查是否添加e会形成环路。
4. 如果不形成环路，则将边e添加到数组T中。
5. 直到T中包含了n-1条边为止，其中n为顶点的个数。
三、Kruskal算法的具体实现下面我们通过一个简单的示例来说明Kruskal算法的具体实现步骤。
示例：假设有如下的图G和边集合E：顶点集合V：{A, B, C, D, E, F, G, H}边集合E：{(A, B, 4), (A, H, 8), (B, C, 8), (B, H, 11), (C, D, 7), (C, F, 4), (C, I, 2), (D, E, 9), (D, F, 14), (E, F, 10), (F, G, 2), (G, H, 1), (G, I, 6), (H, I, 7)}我们可以按照如下的步骤来求解最小生成树：1. 首先对边集合E进行按权值的排序：(E, F, 2), (G, H, 1), (C, I, 2), (A, B, 4), (C, F, 4), (H, I, 7), (C, D, 7), (D, E, 9), (A, H, 8), (B, C, 8), (G, I, 6), (B, H, 11), (D, F, 14)2. 初始化一个空的数组T来存储最小生成树的边，初始化一个数组parent来记录每个顶点的父节点。
第二章 生成树
第二章树教学安排的说明章节题目：§2.1树的特性；§2.2割边与割点，§2.3生成树学时分配：共2课时本章教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题．课 堂 教 学 方 案课程名称：§2.1树的特性；§2.2割边与割点；§2.3 生成树授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题． 教学重点、难点：（1） 理解树的概念以及树的等价命题；（2） 掌握割边与割点的概念；（3） 理解生成树的定义；（4） 掌握找生成树的两种方法——避圈法和破圈法。
教学内容：树是图论中的一个重要概念。
树是一种极为简单而又非常重要的特殊图，它在计算机科学以及其它许多领域都有广泛的应用。
在1847年克希霍夫就用树的理论来研究电网络，1857年凯莱在计算有机化学中222n C H 的同分异构物数目时也用到了树的理论。
各类网络的主干网通常都是树的结构。
本节介绍树的基本知识，其中谈到的图都假定是简单图。
2.1 树的特性定义2.1.1 连通无圈的无向图称为无向树，简称为树（Undirected tree ）。
记作T ，树中的悬挂点（或称T 中度数为1的顶点）又称为树叶（leave ）（或叶顶点），其它顶点称为树枝（Branch Point 或内点(Inner Point)）。
诸连通分支均为树的图称为森林（forest ），树是森林。
例1 图1中（a ），（b ）为树，（c ）为森林。
图1由于树无环也无重边（否则它有圈）,因此树必定是简单图。
树还有等价命题：设T 是一个无向(,)n m 图，则以下关于T 的命题是等价的。
(1) T 是树；（2）T 无圈且1m n =-；(3) T 连通且1m n =-；（4）T 无圈，但增加任一新边，得到且仅得到一个圈。
最大树法的基本原理
最大树法的基本原理最大生成树法（Maximum Spanning Tree，简称MST算法）是一种检索数据中最优解的一种算法，它的基本原则是为有权图（weighted graph）中的每一个顶点，计算一棵最优的最大化生成树（maximal spanning tree），并且使用最少的花费来生成该树。
一、最大生成树的定义：1、最大生成树（Maximum Spanning Tree）指的是从给定的有向图或无向图中选取边或弧的集合，使得这个集合覆盖图中全部顶点之门，又满足权值和最大的图。
2、最大生成树是一棵有权图中最大权值生成树，它有两个特点：（1）最大生成树包含了有权图中所有的顶点，但是不一定覆盖所有的边；（2）最大生成树的权值总和是最大的。
二、最大生成树的计算：一般来讲，最大生成树的求解可以采用两种主要方法：贪心算法（prims）和Kruskal算法。
1、贪心算法 prims：Prims算法（也叫贪心算法）是一种以尽量少的搜索在较大空间中找到最优解的算法，其核心思想就是：在每一次操作中，从当前所有未加入最大生成树的状态中选取最优的连接边，加入最大生成树，并将这个状态留给未来的操作，即按加入的边的权值排序的方法采用贪心的思想，每一步都对当前的权值最大的边做出选择，并把它加入最大生成树中，最后选取到的边构成了一颗最大生成树。
2、Kruskal算法：Kruskal算法建立在一个切割（cut）和一个边（edge）的概念之上，即从原图中取出一条边，然后构造一颗最大生成树，每一下取出一条边，当不构成环时就取出，这样取出来直到所有顶点都被访问，最终形成一棵最大生成树。
三、最大生成树的应用：最大生成树算法在计算机科学领域有着广泛的应用，它可以被用来求解最短路径（Shortest Path）、网络路由（Network Routing）、搜索优化、最小割集的求解等等。
最大生成树算法的一个重要地方就在于它可以大幅度地减少搜索时间和空间，从而使得复杂的算法得以解决较大的问题。
ACMer需要掌握的算法讲解
ACM主要算法介绍初期篇一、基本算法(1)枚举(poj1753, poj2965)(2)贪心(poj1328, poj2109, poj2586)(3)递归和分治法(4)递推(5)构造法(poj3295)(6)模拟法(poj1068, poj2632, poj1573, poj2993, poj2996)二、图算法(1)图的深度优先遍历和广度优先遍历(2)最短路径算法(dijkstra, bellman-ford, floyd, heap+dijkstra)(poj1860, poj3259, poj1062, poj2253, poj1125, poj2240)(3)最小生成树算法(prim, kruskal)(poj1789, poj2485, poj1258, poj3026)(4)拓扑排序(poj1094)(5)二分图的最大匹配(匈牙利算法)(poj3041, poj3020)(6)最大流的增广路算法(KM算法)(poj1459, poj3436)三、数据结构(1)串(poj1035, poj3080, poj1936)(2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排)(poj2388, poj2299)(3)简单并查集的应用(4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash, 串的Hash)(poj3349, poj3274, POJ2151, poj1840, poj2002, poj2503)(5)哈夫曼树(poj3253)(6)堆(7)trie树(静态建树、动态建树)(poj2513)四、简单搜索(1)深度优先搜索(poj2488, poj3083, poj3009, poj1321, poj2251)(2)广度优先搜索(poj3278, poj1426, poj3126, poj3087, poj3414)(3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531, poj1416, poj2676, 1129)五、动态规划(1)背包问题(poj1837, poj1276)(2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书page149)：1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267, poj1836, poj1260, poj2533)2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列)(poj3176, poj1080, poj1159)3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]} (最优二分检索树问题)六、数学(1)组合数学1.加法原理和乘法原理2.排列组合3.递推关系(poj3252, poj1850, poj1019, poj1942)(2)数论1.素数与整除问题2.进制位3.同余模运算(poj2635, poj3292, poj1845, poj2115)(3)计算方法1.二分法求解单调函数相关知识(poj3273, poj3258, poj1905, poj3122)七、计算几何学(1)几何公式(2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定，点到线段的距离等)(poj2031, poj1039)(3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内，多边型是否相交)(poj1408, poj1584)(4)凸包(poj2187, poj1113)中级篇一、基本算法(1)C++的标准模版库的应用(poj3096, poj3007)(2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393, poj1472, poj3371, poj1027,poj2706)二、图算法(1)差分约束系统的建立和求解(poj1201, poj2983)(2)最小费用最大流(poj2516, poj2195)(3)双连通分量(poj2942)(4)强连通分支及其缩点(poj2186)(5)图的割边和割点(poj3352)(6)最小割模型、网络流规约(poj3308)三、数据结构(1)线段树(poj2528, poj2828, poj2777, poj2886, poj2750)(2)静态二叉检索树(poj2482, poj2352)(3)树状树组(poj1195, poj3321)(4)RMQ(poj3264, poj3368)(5)并查集的高级应用(poj1703, 2492)(6)KMP算法(poj1961, poj2406)四、搜索(1)最优化剪枝和可行性剪枝(2)搜索的技巧和优化(poj3411, poj1724)(3)记忆化搜索(poj3373, poj1691)五、动态规划(1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等)(poj1191, poj1054, poj3280, poj2029, poj2948, poj1925, poj3034)(2)记录状态的动态规划(poj3254, poj2411, poj1185)(3)树型动态规划(poj2057, poj1947, poj2486, poj3140)六、数学(1)组合数学1.容斥原理2.抽屉原理3.置换群与Polya定理(poj1286, poj2409, poj3270, poj1026)4.递推关系和母函数(2)数学1.高斯消元法(poj2947, poj1487, poj2065, poj1166, poj1222)2.概率问题(poj3071, poj3440)3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理)(poj3101)(3)计算方法1.0/1分数规划(poj2976)2.三分法求解单峰(单谷)的极值3.矩阵法(poj3150, poj3422, poj3070)4.迭代逼近(poj3301)(4)随机化算法(poj3318, poj2454)(5)杂题(poj1870, poj3296, poj3286, poj1095)七、计算几何学(1)坐标离散化(2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长，并常和线段树或堆一起使用)(poj1765, poj1177, poj1151, poj3277, poj2280, poj3004)(3)多边形的内核(半平面交)(poj3130, poj3335)(4)几何工具的综合应用(poj1819, poj1066, poj2043, poj3227, poj2165, poj3429)高级篇一、基本算法要求(1)代码快速写成，精简但不失风格(poj2525, poj1684, poj1421,poj1048, poj2050, poj3306)(2)保证正确性和高效性(poj3434)二、图算法(1)度限制最小生成树和第K最短路(poj1639)(2)最短路，最小生成树，二分图，最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解)(poj3155, poj2112, poj1966, poj3281, poj1087, poj2289, poj3216, poj2446)(3)最优比率生成树(poj2728)(4)最小树形图(poj3164)(5)次小生成树(6)无向图、有向图的最小环三、数据结构(1)trie图的建立和应用(poj2778)(2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题)，有离线算法(并查集+dfs)和在线算法(RMQ+dfs))(poj1330)(3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列，常常在动态规划中起到优化状态转移的目的)(poj2823)(4)左偏树(可合并堆)(5)后缀树(非常有用的数据结构，也是赛区考题的热点)(poj3415,poj3294)四、搜索(1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069, poj3322, poj1475, poj1924,poj2049, poj3426)(2)广搜的状态优化：利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法(poj1768, poj1184, poj1872, poj1324, poj2046, poj1482)(3)深搜的优化：尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法(poj3131, poj2870, poj2286)五、动态规划(1)需要用数据结构优化的动态规划(poj2754, poj3378, poj3017)(2)四边形不等式理论(3)较难的状态DP(poj3133)六、数学(1)组合数学1.MoBius反演(poj2888, poj2154)2.偏序关系理论(2)博奕论1.极大极小过程(poj3317, poj1085)2.Nim问题七、计算几何学(1)半平面求交(poj3384, poj2540)(2)可视图的建立(poj2966)(3)点集最小圆覆盖(4)对踵点(poj2079)八、综合题(poj3109, poj1478, poj1462, poj2729, poj2048, poj3336, poj3315, poj2148, poj1263)附录：POJ是“北京大学程序在线评测系统”（Peking University Online Judge）的缩写，是个提供编程题目的网站，兼容Pascal、C、C＋＋、Java、Fortran等多种语言。
山东科技大学 离散数学7-6对偶图与着色7-7 树+复习
7-8 根树及其应用
一、根树
1、有向树 定义7-8.1 如果一个有向图在不考虑边的方向时
是一棵树，那么，该有向图称为 有向树。
2、根树
定义7-8.2 一棵有向树,如果恰有一个 结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1, 则称为根树(rooted tree)。 入度为0的结点称为T的树根。 出度为0的结点称为树叶。 出度不为0的结点称为分支点或内点。
7. 设a和b是格<A, ≤>中的两个元素，证明 (1)a∧b=b 当且仅当a∨b=a (2) a∧b < b和a∧b <a 当且仅当a与b是不可比较的 证明： (1)在格中吸收律满足, 则 由a∧b=b, a∨b=a∨(a∧b)=a 反之, 若a∨b=a, 则a∧b= (a∨b)∧b=b (2)若a∧b < b和a∧b <a, 即表明a∧b ≠b和a∧b ≠a, 用反证法： 假设a与b是可比较的, 则 a≤b，a∧b=a，矛盾; b≤a，a∧b=b，矛盾 因此a与b是不可比较的。 反之, a与b是不可比较的, 则a≤b和b≤a均不成立, 即a∧b ≠b和a∧b ≠a 根据∧的定义：a∧b≤a 和 a∧b≤b, 故 a∧b < b和a∧b <a
点中的某一个称为根,其他所有结点被分成有限个
在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。 但实际应用中，有时要给出同一级中结点的相对 次序，这便导出有序树的概念。 4、有序数：在根树中规定了每一层上结点的次 序，称为有序树。
为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。
定义 在以v0为根的树中， （1）v1，v2,…，vk称为v0的 儿子，v0称为它们的 父亲。vi，vj 同为一顶点v的儿子时，称它们为兄弟。 （2）顶点间的父子关系的传递闭包称为顶点间
【离散数学讲义】8.树与生成树53
2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,
称为该生成树的补.
v1
定理2 :连通图G中至少有一棵生成树.
v2
v3
证明:如果G中无回路, 则G本身就是树. v4
v5
如果G中有回路,可以通过反复删去回路
中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树.
思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少
为该结点的层次. 同一层次的结点称为兄弟结点.
7.树高:从树根到各个叶结点的路径中, 最长路径的长度,
称为该树的高度(树高).
三.举例: a)语法树
主语
句子
谓语短语
冠词 形容词 名词 动词
宾语
The little
b)算术表达式树 ((a+b)÷c)×(d－e)
19
42,58 24,34,42 19,23,24,34
17,17,19,23,24
11,13,17,17,19,23
7,10,11,13,17,19,23 5,5,7,11,13,17,19,23
2,3,5,7,11,13,17,19,23
23 24
34
11 13 17 17
7 10
55
23
5. 最优树的应用举例
34 6 6 v6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em
S=S∪{ai} j=j+1
|S|=n-1 Y 输出S 停 N
N
取ej使得
ai=ej i=i+1
最小生成树算法比较Prim和Kruskal算法的优劣
最小生成树算法比较Prim和Kruskal算法的优劣在图论中，最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是指一个连通图的生成树，它的所有边的权值之和最小。
最小生成树算法是解决最小生成树问题的常用方法，而Prim算法和Kruskal算法是两种经典的最小生成树算法。
本文将比较Prim算法和Kruskal算法的优劣，为读者提供更全面的了解。
一、Prim算法Prim算法是一种贪心算法，通过逐步扩展生成树的方式来构建最小生成树。
Prim算法以一个初始节点开始，然后逐渐添加与当前生成树相连的最短边，直到生成树包含图中的所有节点为止。
以下是Prim算法的基本步骤：1. 选择任意一个节点作为初始节点，并将其加入生成树中。
2. 从生成树的节点中选择一个最短边，并将与该边相连的节点加入生成树。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有节点。
相比于Kruskal算法，Prim算法在每一步只考虑一个节点，并且每次选择最短边，因此Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的节点数。
二、Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，通过按照边的权值递增的顺序来构建最小生成树。
Kruskal算法从图中所有边中选择最短边，并将其加入生成树中，同时保证生成树不形成环，直到生成树中包含所有节点为止。
以下是Kruskal算法的基本步骤：1. 对图中的所有边按照权值进行排序。
2. 依次遍历排序后的边，将权值最小的边加入生成树中，并检查是否形成环。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有节点。
Kruskal算法中的关键步骤是判断是否形成环，可以使用并查集数据结构来实现。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是图中的边数。
三、Prim算法与Kruskal算法的比较1. 时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，而Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
由于E通常小于V^2，所以Kruskal算法在大多数情况下更快。
网络拓扑优化算法
网络拓扑优化算法网络拓扑优化算法是指通过对网络拓扑结构进行调整和优化，提高网络性能和可靠性的一种算法。
网络拓扑指的是网络中各个节点之间的连接关系以及数据传输的路径。
通过优化网络拓扑，可以达到减少网络延迟、提高数据传输效率、增加网络容量等目的。
本文将介绍一些常见的网络拓扑优化算法。
一、最小生成树算法最小生成树算法是一种常见的网络拓扑优化算法，用于构建具有最小总权重的连通子图，保证网络中所有节点都可以通过路径相连。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个节点开始，逐步扩展生成树，直到覆盖所有节点。
在每一步，选择与当前生成树相连的边中权重最小的边，并将其连接的节点添加到生成树中。
该算法的时间复杂度为O(E log V)，其中E为边的数量，V为节点的数量。
Kruskal算法则是按照边的权重从小到大的顺序逐步添加边，直到生成树包含所有节点。
在每一步，选择权重最小的边，如果该边的两个节点不在同一连通分量中，则将此边加入生成树。
该算法的时间复杂度为O(E log E)。
二、最短路径算法最短路径算法是优化网络拓扑中数据传输路径的常用方法。
通过找到从一个节点到另一个节点的最短路径，可以减少数据传输的延迟和消耗。
常用的最短路径算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法根据节点之间的距离选择最短路径，从一个起始节点开始，逐步扩展到其他节点，直到到达目标节点。
在每一步，选择当前距离最小的节点，并将其加入到最短路径集合中。
该算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。
Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，通过逐步更新节点之间的距离来计算最短路径。
该算法可以处理带有负权边的情况，并且可以检测到负权环。
该算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V为节点的数量，E为边的数量。
三、拓扑排序算法拓扑排序算法用于对有向无环图进行排序，使得图中的所有顶点都满足其邻接顶点的排列顺序。
数学建模常用算法
数学建模常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的过程。
在数学建模中，常用的算法有很多种，下面将介绍一些常见的数学建模算法。
1.最优化算法:-线性规划算法:如单纯形法、内点法等，用于求解线性规划问题。
-非线性规划算法:如最速下降法、牛顿法等，用于求解非线性规划问题。
-整数规划算法:如分支定界法、割平面法等，用于求解整数规划问题。
2.概率统计算法:-蒙特卡洛模拟:通过模拟随机事件的方式，得出问题的概率分布。
-贝叶斯统计:利用先验概率和条件概率，通过数据更新后验概率。
-马尔可夫链蒙特卡洛:用马尔可夫链的方法求解复杂的概率问题。
3.图论算法:-最短路径算法:如迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等，用于求解两点之间的最短路径。
-最小生成树算法:如普里姆算法、克鲁斯卡尔算法等，用于求解图中的最小生成树。
- 最大流最小割算法: 如Edmonds-Karp算法、Dinic算法等，用于求解网络流问题。
4.插值和拟合算法:-多项式插值:如拉格朗日插值、牛顿插值等，用于通过已知数据点拟合出多项式模型。
-最小二乘法拟合:通过最小化实际数据与拟合模型之间的差异来确定模型参数。
-样条插值:通过使用多段低次多项式逼近实际数据，构造连续的插值函数。
5.遗传算法和模拟退火算法:-遗传算法:通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等过程，优化问题的解。
-模拟退火算法:模拟固体退火过程，通过随机策略进行，逐步靠近全局最优解。
6.数据挖掘算法:- 聚类算法: 如K-means算法、DBSCAN算法等，用于将数据分为不同的类别。
-分类算法:如朴素贝叶斯算法、决策树算法等，用于通过已知数据的类别预测新数据的类别。
- 关联分析算法: 如Apriori算法、FP-growth算法等，用于发现数据集中的关联规则。
以上只是数学建模中常用的一些算法，实际上还有很多其他算法也可以应用于数学建模中，具体使用哪种算法取决于问题的性质和要求。
数学建模最小生成树例题
数学建模最小生成树例题例题1：某城市计划建设一条高速公路，需要在若干个村庄之间选择一条最优路径。
已知各个村庄之间的距离，请使用最小生成树算法为高速公路选择最优路径。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。
例题2：一个通信网络由若干个节点和边组成，节点代表城市，边代表通信线路。
已知各个城市之间的距离和通信需求，请使用最小生成树算法为该通信网络设计一个最优的通信线路网。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总权重最小的树形结构，以满足各个城市之间的通信需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。
例题3：一个城市的电力网由多个节点和边组成，节点代表发电厂或变电站，边代表输电线路。
已知各个节点之间的电抗和传输功率，请使用最小生成树算法为该城市电力网设计一个最优的输电线路。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总电抗最小的树形结构，以满足各个节点之间的电力传输需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的电抗从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
欧氏Steiner最优树的快速算法
算 法、 传 算法等三 种快 速 算法 ， 遗 并在微 机上 予 以 实现 。经 大量 实例测 试和 结果 比较 ， 获得 了满意的效 果 。 关键词 ：欧氏 Ｓ ｉｅ树 ； 入 算 法； 增优 化算 法 ； ｔｎｒ 插 ｅ 递 遗传 算法
中图 法分类 号 ：Ｔ ３ １６ Ｐ ０ ． 文献 标识 码 ：Ａ 文章 编号 ：１０ — ６ ５ ２ ０ ）５ ０ ６ — ３ ０ １ ３９ （ ０ ６ ０ —０ ０ ０
．
Ｋ ｙｗ ｒ ｓ ｕｌ ｅｎＳｅｎｒ ｒ （ Ｓ ） Ｉｓｒｏ ｌ ｒｈ Ｉｃｅ ｅｔｌ ｐｉｉ ｔ ｎＡｇｒｈ Ｇ ｎｔ ｌ ｒｈ ｅ ｏｄ ：Ｅ ｃｉ ａ ｔ ｅ ｅ Ｅ Ｔ ； ｎｅ ｉｎＡｇｉ ｍ； ｎｒｍ ｎａ Ｏ ｔ ｚ ｉ ｌｏ ｔ ｄ ｉ Ｔｅ ｔ ｏｔ ｍ ａｏ ｉ ｍ； ｅｅ ｃＡｇｉ ｍ ｉ ｏｔ
维普资讯
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６ ０・
计 算机 应用 研究
２０ ０６正
欧 氏 Ｓ ｅｎ ｒ 优 树 的 快 速 算 法 ｔｉｅ 最
金 慧 敏 ，马 良 ，王 周 缅
（ 海理 工 大学 管理 学 院 ，上海 ２ ０ ９ ） 上 ００３ 摘 要 ：针 对欧 氏平 面 内连接 固定原 点的 最小树 长 问题 ， 欧氏 Ｓｅｎｒ 即 ｔｉｅ 最优树 问题 ， 出 了插 入 算法 、 增优化 给 递
Ａｂｓｒ ｔ Ｔｈ ｔ ａｃ ： ｅ Ｅｕｃｉ ａ ｔ ｉ ｒｔｅ ｒ ｂ ｅ ｃ ｎ ｅ ｎ ｈ ｏ ｓｒ ｔ ｎ ｏ ｒｅ ｔ ａ ｏ ｅ ｔ ｉ ｅ ｅ ｆｔｒ ｎ ｌｐｏｎ ｓ ｌ ｄｅ ｎ Ｓ ｅｎｅ ｒ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｏ ｃ ｒ ｓ ｔｅ ｃ ｎ ｔｕｃｉ ｆａ ｔｅ ｈ ｔｃ ｎｎ ｃｓａ ｇｖ ｎ ｓ ｔｏ ｅ ｍｉ ａ ｉｔ ｏ ｉ ｃ ｉｅ ｎ ｓ ａｃ ｔ ｈ ｎ ｍａ ｏ ａ ｅ ｇｈｓ Ｔ ｓ ｐ ｐｅ ｒ ｓ ｎ ｓ ｈ ｅ ａ ｔａｇ ｒｔ ｎ Ｅｕ ｌｄ ａ ｐ ｅ ｗｉｈ ｔｅ ｍｉｉ ｌｔｔｌｌ ｎ ｔ ． ｈｉ ａ ｒ ｐ ｅ ｅ ｔ ｔｒ ｅ ｆｓ ｌ ｏ ｈｍｓ：ｎ ｅ ｔｏ ｌ ｏ ｔ ｉ ｉ ｓ ｒｉ ｎ ａ ｇ ｒ ｈｍ ｉ
两个奇数度点分别作起终点,它不存在欧拉回路,不是Euler
推论：非平凡图G 含有欧拉通路的充分必要条件是G 最多有两个奇数度点。
（1） 如均是偶数度点,则G 存在欧拉回路,则该图是起终点相同的一笔画。
（2） 如两个点度数为奇数其它均为偶数,则存在Euler 通路该图是起终点不同的一笔画,两个奇数度点分别作起终点,它不存在欧拉回路,不是Euler 图。
（3） 如只有一个点是奇数度点,其它均为偶数度点,这种图是不存在的。
由此可见七桥问题无解的。
G1中A,B,C,D 四点度数为3,故不是Euler 图,也不是一笔画;G2中A,B 两点是3度,其它均为偶数点,故不是Euler 图,但是起终点不同的一笔画，起终点分别是A,B;G3中点的度数均为4,且连通,故它是Euler 图, Euler 回路为ABCDAHDGCFBEHGFEA 。
在回路中各点均出现2次(起终点多一次),因此每点均为4度。
注：Euler 回路不是唯一的。
二、 中国邮路问题：1、 问题：一个邮递员从邮局出发,走遍所有街道,把邮件送到每个收件人手中,最后回到邮局,要怎样走,使全程路线最短。
2、 转化为图论问题：以街道为边,以街道交叉点为结点,以街道的长度为边上的权,在权图G=<v,E,W>上,找出一个经过所有边至少一次的回路,并使得该回路的权和达到最小。
说明：1、该回路未必是Euler 回路,边允许重复。
2、管梅谷提出了这个问题,并指出如果图G 有m 条边,则所求回路至少是m 条边,最多不超过2m 条边,并且每边在回路中至多出现两次。
3、 算法：①若图G 不含奇数度点,则该图的一条Euler 回路就是问题的解,权和就是各边的权和。
ABCD G1 AG2 ABCD G3E F GH②若图G 只有两个奇数度点u,v,则G 中存在Euler 通路C,u,v 分别是起终点。
再用狄克特算法求出u 到v 的最短路,将Euler 通路再接上u 到v 的最短路,成为一个回路,此回路在u 到v 最短路上的边经过二次,因此该回路的权和等于G 的各边权之和再加上u 到v 的最短路的权和。
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练习：
1.求权为3，4，7，8，10，12的最优二元 树。 2。求权为2，2，3，3的最优二元树。
最小覆盖
最优树
色数
克拉斯克（Kruskal）算法
设G为由n个节点组成的连通赋权图． （1）先把G中所有边按权数大小由小到大重新排 列，并取权数最小的一条边作为T的一条边． （2）从剩下的边中按（1）的排列顺序取下一条 边，若该边与前已取进T中的边没有形成回路， 则把该边取入Ｔ中作为Ｔ的一条边，否则舍去， 继续按（１）的排列顺序再取下一条边，…， 如此下去直至有n-1条边组成G的最小生成树 Ｔ．
练习
假设要建造一个连接若干城镇的铁路络， 已知城镇和之间直线路的造价为（且已 标注在下图中），试设计一个总造价最 小的铁路网络。（说明所使用方法）
克罗斯克尔算法是1956年提出的，俗称“避圈法”．
由克罗斯克尔算法的步骤，顺次取边 e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 ,舍去 e4和e7 ,得到最小生成 树为T= {e ，e ，e ，e ，e ，e ，e } 。 定理：由Kruskal算法构造的任何色生成树 都是G的最优生成树。 教材的P100有此算法的流程图。 还有一中求解方法为“破圈法”。 类似可定义最大生成树及其相应的算法．
最优生成树及其算法
一个连通的赋权图G，可能有很多生成树．设T 为图G的一个生成树，若把T中各边的权数相 加所得的和数称之为生成树T的权数．G的所 有生成树中，权数最小者称为G的最小生成 树． 求最优生成树问题有很广泛的实际应用．例如把 n个城市用高压电缆连接起来建立一个电 网．如何能设计一个把n个城市联系起来的电 网，使所用的电缆长度之和最短，即费用最小 （因费用与长度正比），就是一个求最小生成 树的问题．
1 2 3 5 6 8 9
T G[e1, e2 ,...,ep1 ]
*
最优二元树
定义：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱT为一棵二元树，共 有t片树叶v1 , v2 ,...,vt
分别带权 w1 , w2 ,...,wt （w为实数），则称T为代 t 权 二元树， W (T ) wi l (vi ) 为二元树T的权， i 1 l 是叶 (vi ) 其中 vi 的层数。 其中权最小的称为最优二元树。 给实数 w1 , w2 ,...,wt ，且 w1 w2 ... wt ，求做一棵
最小生成树与管道铺设
树：树是不含回路的连通图。
2.树的性质（#）
（1）树中任意两点间有且仅有一条路。 （2）树中任意去掉一条边，则树不再连通。 （3）树中任意两点间添上一条边，则构成一个回路。 （4）P个顶点的树有P-1条边。 （5）树中至少存在两个悬挂点。 （6） P个顶点P-1条边的连通图是树图。
带权 w1 , w2 ,...,wt 的最优二元树。
算法步骤如下：
〔1）初始：令S={ 1 , w2 ,...,wt }. w (2) 从S中取出两个最小的权 wa和wb 画顶点 va 带权wa ：画顶点 vb 带权 wb。 画 va ，vb 的父亲v，连接 va 和V, vb 和v。 令v带权 wa wb 。 （3〕令s (s {wa , wb }) {wa wb } (4)判S是否只含一个元素？若是则停止，否则转 （2）。