大学物理冲量和动量

v1
v1=800m/s，向西；第二块质量为m， 速度v2=600m/s,向南；第三块质量为 2m，求：第三块弹片的速度大小和
方向。
m 2m m
v2
解：炸弹爆炸过程中，内力远大于外力，系统动 y
量守恒，建立如图坐标系，设第三块弹片的速度
大小为v3，方向如图所示 在x、y方向动量守恒：
0 2mv 3 cos mv 1
mv 2x mv1x

t2 t1
Fxdt

Ix
mv 2y mv1y
t2 t1
Fydt

Iy
mv 2z mv1z

t2 t1
Fz dt

Iz
冲量沿某坐标轴的投影 等于同一方向上的动量 投影的增量
F
（5）平均力（常应用于碰撞问题）
F
I
t2 t1
Fdt
F (t2 t2 Fdt
i
t2 t1
Fizdt
质点系的冲量沿某坐标轴的投影等于同一方向 上质点系动量投影的增量。
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4.3 质点系动量守恒定律

当 Fi 0
i

P2 P1
即
P


mivi 常矢量
i

质点系动量守恒定律:当质点系所受合外力为零时，该
质点系的动量保持不变。
动量守恒的分量表述 讨论
动能守恒得
1 2
m1v120

1 2
m2v220

1 2
m1v12

1 2
m2v22
碰后 v1 v2
AB
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解得
v1

(m1

m2 )v10 2m2v20 m1 m2
,
v2

(m2

m1)v20 m1 m2
2m1v10
碰前
m1 v10 m2 v20
AB 碰后 v1 v2
第4章 冲量和动量
本章内容：
4. 1 质点动量定理 4. 2 质点系动量定理 4. 3 质点系动量守恒定律 *4. 4 质心 质心运动定理
4.1 质点动量定理
1. 冲量
力对时间的累积效应。 例如：撑杆跳运动员 从横杆跃过, 落在海棉垫子上不 会摔伤，
如果不是海棉垫子， 而是大理石板，又 会如何呢？
AB
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v1

(m1

m2 )v10 2m2v20 m1 m2
碰前
m1 v10 m2 v20
AB
v2

(m2

m1)v20 m1 m2
2m1v10
碰后 v1 v2
讨论
（1）若m1 m2 则 v1 v20 , v2 v10
AB
互相交换速度
（2）若m2 m1 且 v20 0 则 v1 v10 , v2 0
F (t2
t1)

F
t
F F
在F~ t 图曲线下的面积S=F(t2-t1)为冲量大小。
(2)变力的冲量
o t t1 t2
在很多的实际问题中，物体受到的力是随时间变化
的，如打棒球时，棒与球之间的作用力是随时间变化的。
元冲量：dI F dt

(t1 → t2)： I
dI
t2
F

dt
t1
z
t2 •
t•
F2
F
O
x t1 •
y F1
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2. 质点动量定理 牛顿运动定律
d(mv)

F
t2 •
dt
质点d动(m量v)定理Fdt


dI
（微分形式）
对一段有限时间有
mv2 mv1
t2 t1
Fdt

I （积分形式）
v1
m 2m v3
o
x
0 2mv 3 sin mv 2
m
v2
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2mv 3 cos mv 1 （1）
2mv 3 sin mv 2 （2） v1
v3

1 2
v12

v
2 2
1 800 2 600 2 2
500 m/s
方向：tg v2 36.9
于同时间内作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量
的矢量和(合外力的冲量）.
讨 论 (1) 只有外力可改变系统的总动量.
拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用力与反作用 力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只有运动员脚下的摩擦力才 是系统外力，因此哪个队脚下的摩擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选 质量大的运动员，以增加系统外力。
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又如汽车从静止开始运动，加速到 20m/s如果牵引力大，所用时间短，如果 牵引力小所用的时间就长。
可以看出，当物体的状态变化一定 时，作用力越大，时间越短；作用力越 小，时间越长。
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定义：力和力的作用时间的乘积称为冲量。I 矢量,同力的方向
(1F)恒(t1力→的t2冲)：量I
t
0.019
O
t 0.019s
球对地的平均冲力大小为3800N，相当于 40kg 重物所受重力!
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例 2 一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的刚球,以与
钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率
和角度弹回来 .设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所
受到的平均冲力 F .
皮球对墙、气体分子对器壁的碰撞
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pi

C
i
完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之
和不变 .
Ek1 Ek2 C
完全非弹性碰撞 两物体碰撞后,以同一速度运动 .
非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞
后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式
的能量 .
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完全弹性碰撞
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（五个小球质量全同）
mv1
It1p•2

F1
p1
mv2
F2
mv1 I mv2
动量定理：某段时间内质点动量的增量等于作用在质
点上的合力在同一时间内的冲量。
讨论
(1)质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程. (2)合力的冲量等于各力冲量之和。 (3)只适用于惯性系。
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（4）动量定理的分量形式
v1
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y
m 2m v3
o
x m
v2
例 2 一枚返回式火箭以 2.5 103 m·s-1 的速率相对 地面沿水平方向飞行 . 设空气阻力不计. 现由控制系统 使火箭分离为两部分, 前方部分是质量为100kg 的仪器 舱, 后方部分是质量为 200kg 的火箭容器 . 若仪器舱相 对火箭容器的水平速率为1.0 103 m·s-1 . 求 仪器舱和火 箭容器相对地面的速度 .
t1)
F t1
F
注意
(t2 t1)
O
t t t
1
2
t
在 p一定时 t 越小，则 F 越大 .例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、
打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大 .
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例1 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同 样速率反弹，接触时间仅0.019s.
f12
两式相加
t1t2((mF1v11
F2 )dt
m2v2 )
-t1t(2 m( f1v1120
f 21 )dt
m2v20
)
F1
m1

m2
F2
f 21

f12 f21 0 （一对内力）

t2 t1
(
F 1
F2
)dt

(m1v1
解 建立如图坐标系, 由动量定理得
Fxt mv2x mv1x
x
mvcos (mvcos)
mv1

m v2
2mv cos
Fyt mv2y mv1y
y
mvsinα mvsin 0
F

Fx

2mv cos
t
14.1N
方向沿 x
轴反向
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(2) 内力可改变系统内单个质点的动量 —— 内部作用复杂.
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直角坐标系：
miv ix miv i0x
i
i
i
t2 t1
Fixdt
miv iy miv i0 y
i
i
i
t2 t1
Fiydt
miv iz miv i0z
i
i
4.2 质点系动量定理


速两度个为质v10点、v质20,末量速为度m为1、vm1、2
，受外力
v2
。
F1、F，2 内力为
f12、f2，1 初

由质点动量定理
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2

f12 )dt f21)dt
ຫໍສະໝຸດ Baidu
m1v1

m1v10
m2v2

m2v20
m2v2 ) - (m1v10
m2v20)
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对n个质点构成的系统：
i
mivi
i
mivi0
(t2
t1
i
Fi )dt

质点系的动量 P
mivi
i

(t2
t1 i


Fi )dt P2 P1
质点系动量定理:某段时间内，质点系动量的增量，等
求 对地平均冲力? 解 篮球到达地面的速率
v 2gh 2 9.8 2 6.3 m/s
F F(max)
设向上为正方向，触地过程中篮球动量的增
量为：
P mv (mv) 2mv
F
由动量定理球受到的平均冲力为
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8102 N
o'
x x'
z'
系统水平方向不受外力 动量守恒
则
v2

v

m1 m1 m2
v'
(m1 m2 )v m1v1 m2v2
v2 2.17 103 m s1 v1 3.17 103 m s1
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碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大
的相互作用 . Fex Fin
(2) 若系统在某方向上所受合外力为零，则该方向上动量守恒。 (3)系统所受合外力不为零，但内力»外力时，也可近似地认为 系统动量守恒，如打击、碰撞问题。 (4) 动量守恒定律只适用于惯性系。 (5) 动量守恒定律也适用于高速，微观领域。
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例1：一枚静止的炸弹在水平面内爆 炸，炸成三块，第一块质量为m,速度
y s v y' s' v'
o
o'
x x'
z
z'
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解：设仪器舱和火箭容器的速度分别为v1 , v2 分离前速度为
v 2.5103 ms1
分离后，仪器舱相对火
y s v y' s' v'
箭容器的速度为
v' 1.0103 ms1
v1 v2 v'
o z
m2 m1
例 设有两个质量分别为 m1和m2 ,速度分别为v10和v20
的完弹全性弹小性球的作,求对碰心撞碰后撞的速, 两度球v的1和速v度2 方. 向相同. 若碰撞是
解 取速度方向为正向，由 动量守恒定律得
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
碰前
m1 v10 m2 v20
AB
Fx 0 mivix Px 常量 Fy 0 miviy Py 常量 Fz 0 miviz Pz 常量
(1)系统内各质点的动量必须相对于同一惯性系，系统的动量守 恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的.
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