不定积分解题方法及技巧总结剖析

⎰

不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ

其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：⎰

+-+dx x x x

x )

1(ln )1ln(

【解】)

1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=

-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2

)ln )1(ln(2

1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰

+dx x x x 2

)ln (ln 1

【解】x x x ln 1)'ln (+=

C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1

)ln (ln )1(ln 122

3.第二类换元法：

设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式

⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

acht

x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t

a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。

，有时倒代换当被积函数含有：：t

x c bx ax x t d

cx b

ax d cx b ax t

b ax b ax m n n

n

n 1

)6()5()4(2=++⋅=++++=++

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。

C

x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==⎰⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)

cos cos (2sin 2sin

但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

c x dt t dt

t

t dt t t t

dt t t

t t

x x x

dx +-

=--=--=--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅-⋅

=

--⎰

⎰⎰⎰⎰66

12

12

5

12

6

212

12arcsin 6

1

11

6

1

111

11

1

11

1

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。

C

x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==⎰⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)

cos cos (2sin 2sin

但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

c x dt t dt

t

t dt t t t

dt t t

t t

x x x

dx +-

=--=--=--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅-⋅

=

--⎰

⎰⎰⎰⎰66

12

12

5

12

6

212

12arcsin 6

1

11

6

1

111

11

1

11

1

4.分部积分法.

公式：⎰⎰-=νμμννμd d

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx x

x x ⎰

-⋅2

31arccos

【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则

=-=-=-⎰⎰⎰

tdt t dt t t t

t dx x x x 332

3cos )sin (sin cos 1arccos

C x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=

-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(3

1

3291cos 91

cos 32sin sin 31cos )1sin 31

(sin sin 31)sin sin 31

(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332

例4：⎰xdx 2arcsin 【解】

⎰

⎰--=dx

x x x x x xdx 2

2

211arcsin 2sin arcsin