8用平方差公式分解因式
因式分解基本方法
因式分解多项式的因式分解因式:一般地，对于两个多项式f 与g ，如果有多项式h 使得f=gh ，那么我们把g 叫做f 的一个因式，此时h 也是f 的一个因式.因式分解:把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. 提公因式法公因式:几个多项式的公共的因式称为它们的公因式确定公因式的方法:系数:各项系数的最大公约数公因式 字母:各项都含有的相同字母指数:相同字母的指数取其最低次数提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法. 公式法用平方差公式因式分解: a ²-b ²=(a+b)(a-b).用完全平方公式因式分解:()222b ab 2a b a ++=+，()222b ab 2-a b -a += 例1：下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A. ()16x x 1x 6x 2++=++B.()1-5x x 2x 2-x 102= C.⎪⎭⎫ ⎝⎛=x 2-x x 2-x 2 D.()222y x y 2x y x ++=+ 例2：若代数式b ax x 2++能分解成（x+4）（x-7）试求a 、b 的值.练习:若单项式6mx -x 2+能分解成（x-3）（x+n ）试求mn 的值.例3：因式分解（1）mx+my-mz （2）b a 2-a 223 （3）a 3ax y 6-ax 32+（4）3n （x-2）+（2-x ） （5）a a 4a 223++ （6）()()34x -y x 6-y -x 3练习：因式分解（1）c b a 12bc a 62322+ （2）()()322y -x 10-y 2-x 8（3）（2a+b ）（2a-3b ）-8a （2a+b ） （4）am 3m a 6-m 3a -223+（4）x 28-x 1224x -23+ （6）()()23n -m 12-n -m 6例4：因式分解（1）22y x 16-+ （2）()()22y -x 9-y x 4+ （3）b 16-b a 2练习：因式分解（1）()22x -3x 2+ （2）16-x 4 （3）()24c -b -4a例5：因式分解（1）22b 9ab 6-a + （2）4224y y x 8-x 16+ （3）322y 4-x y 8y x 4-+练习：因式分解（1）x 9-y x 2 （2）22b 21ab 2-a 2+（3）22y 4-x y 4x -1+例6：因式分解（1）x y 2-y x 4y x 2-23+ （2）()()223y 2x -y 2x 3++（2）()22222b a 4-b a + （4）()222y 4-1y +例7：计算⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⋯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛222220231-141-131-121-1因式分解训练题一一、选择题.1.下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是( ).A.2x(x-1)= 22x -2xB.2x -2x+3=x( x-2) +3C.(x+y)² =x²+2xy+2yD.-2x +2x=-x(x-2)2.要使等式-3xy-6axy+12xy=-3xy( )成立， 括号内应填的式子为( ).A.-1-2a+4B.1-2a+4C.-1+2a-4D.1+2a-43.(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果( ) .A.m²+4n²B.-m²+4n²C.m²-4n²D.-2m -4n5.多项式 2m -4m 分解因式的结果是( ).A.m(m-4)B.(m+2)(m-2)C.m(m+2)(m-2)D.(m-2)²6.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是a-b,则另一个因式是( ).A.5-mB.5+mC.m-5D.-m-57.多项式3452y x 12-y x 8的公因式是( ).A.32y xB. 54y xC.454y xD.432y x8.某同学粗心大意,在分解因式时,把等式4x -■=(2x +4)(x+2)(x-▲)中的两个数弄污了,则式子中的■,▲对应的数分别是( ).A.8,1B.16,2C.24,3D.64,89.将多项式z x y -y x n 52因式分解时,提取的公因式是5xy ，则n 的值可能为( ).A.6B.4C.3D.2二、填空题.10. 计算()()202320223-3-+的结果是 .11. 因式分解：()()a -b 6-b -a 22= . 12. 将多项式()()()b -a y a -b x y -b -a y x 2+提公因式后，另一个因式是 .13.若()24c -b -a 4分解因式时有一个因式是c -b a 22+ ，则另一个因式是 . 14.若x 、y 满足 ，则代数式22y 4-x 的值是 .{2-y 2-x 3y 2x ==+16.计算202172021422021322⨯+⨯+⨯结果是 .三、因式分解.17.332b a 16-ab 8 18.2x 5-x y 15- 19.ab -b a b a 2233+20. 22a 9b 41-+ 21.()16-3x 2+ 22.(2a+b)(2a-3b)-8a(2a+b)23. x 28-x 12x 24-23+ 24.()()23n -m 12-n -m 6 25.()()222y x -2x y ++26. ()()22b a 16-b -a 49+ 27.1x 10x 252++ 28.9-a -a 6-229. 22n mn 32m 91++ 30.()()9b a 6-b a 2+++ 31.22ay 3ax 3-+32. 22b 21ab 2-a 2+ 33.22mb -ma 4 34.322y -y x 4-x y 435. 22y 4-x y 4x -1+ 36.()a -b n b -a m22+）（ 37.2225p 100q -四．解答题38. 已知串联电路的电压321IR IR IR U ++=，当9.12R 1=，5.18R 2=，6.18R 3=，3.2I =时，求U 的值.39.(1)因式分解:(x-y)(3x-y)+2x(3x-y).(2)设 y=kx,是否存在有理数k,使得(1)中的化简结果为2x ?若存在,求出所有满足条件的k 的值.若不存在,请说明理由.40.已知a+b=3,ab=2,求代数式 a ³b+2a ²b ²+ab ³ 的值.41.已知二次三项式m x 4-x 2+有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m 的值.解:设另一个因式为(x+n),则x-4x+m=(x+3)(x+n),∴x ²-4x+m=x2+(n+3)x+3n,∴{4-3n n 3m =+=解得{7-n -21m ==，∴另一个因式为(x-7),m 的值为-21.仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式 2x ²+3x-k 有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k 的值.42.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)²=(1+x)[1+x+x(x+1)]==(x+1)²(1+x)=()31x +. (1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次;(2)若分解()()()202321x x 1x x 1x x x 1++⋯++++++,则需应用上述方法 次，结果是 ：(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)²+…+()n1x x +(n 为正整数).43.小明家的门锁密码采用教材中介绍的“因式分解法”设置,其原理是将一个多项式分解因式,如多项式44y -x 可因式分解为(x+y)(x-y)(22y x +).当取x=9,y=9时,各个因式的值是x-y=0, x+y=18,22y x +=162,于是就把“018162”作为一个密码.类似地,小明采用多项式23x y 4-x 9产生密码,当x=11,y=11时,写出能够产生的所有密码.。
因式分解之四大基本解法
因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。
人教版八年级上册14.3.2因式分解-平方差公式(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
在小组讨论环节，我发现同学们的参与度很高，能够积极提出自己的观点，并尝试解决实际问题。但我也注意到，部分小组在讨论过程中可能会偏离主题，这需要我在以后的课堂上更加注意引导，确保讨论的内容紧扣教学目标。
此外，对于平方差公式与完全平方公式的混淆问题，我觉得在今后的教学中，我应该设计一些对比练习，帮助同学们明确这两个公式的区别和适用场景。通过具体的练习，让他们在实际操作中感受到这两个公式的不同。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对于平方差公式的理解整体上是积极的，但也存在一些需要我进一步关注和引导的地方。在讲解平方差公式时，我注意到有些同学在推导过程中对(a + b)(a - b) = a² - b²的理解还不够深入，可能需要通过更多的实际例题来加强他们的理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发同学们的兴趣，这种方式似乎收到了不错的效果。大家对于将数学知识应用到实际生活中的讨论非常积极，这让我感到欣慰。然而，我也意识到在接下来的课程中，需要更多地设计这样的环节，让同学们感受到数学的实用性和趣味性。
3.成展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际数学题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》教学设计
2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》教学设计一. 教材分析《2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》》这一节内容是在学生学习了平方差公式的基础上进行的一个实践活动。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以简化计算，还可以用来解决一些因式分解的问题。
本节课通过实例讲解，让学生掌握平方差公式的应用，提高他们的数学解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平方差公式，对公式有一定的理解。
但是，如何将平方差公式应用到实际的因式分解中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解题技巧。
三. 教学目标1.理解平方差公式的含义，掌握平方差公式的结构。
2.能够将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式，并进行解答。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高他们的数学解题能力。
四. 教学重难点1.掌握平方差公式的结构。
2.如何将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式。
五. 教学方法采用讲解法、实践法、讨论法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握平方差公式的应用。
六. 教学准备1.准备相关平方差公式的课件和教学素材。
2.准备一些实际的因式分解问题，用于课堂练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的因式分解问题，引导学生回顾平方差公式。
例如：已知多项式x^2 - 4，请将其因式分解。
让学生尝试解答，然后给出解答过程和答案。
2.呈现（10分钟）讲解平方差公式的含义和结构，让学生理解平方差公式的推导过程。
通过示例，讲解如何将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些实际的因式分解问题。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生自主选择一些练习题进行巩固练习，教师个别辅导，解答学生的问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将平方差公式应用到更复杂的问题中，例如多项式的乘法、求解方程等。
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿2
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿2一. 教材分析华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方根的基础上进行学习的。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以简化运算，还可以把一些复杂的代数式进行因式分解。
这一节内容既有理论性，又有实践性，通过学习，让学生体会数学的简洁美，提高他们学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，他们已经学习过了有理数的乘法、平方根等知识，对代数式有一定的认识。
但是，学生对平方差公式的理解和运用还需要加强，因此，在教学过程中，我们需要引导学生理解平方差公式的推导过程，掌握公式的运用方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握平方差公式，学会运用平方差公式进行因式分解。
2.过程与方法：通过学生的自主学习、合作交流，培养学生的探究能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学的简洁美，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的理解和运用，以及因式分解的方法。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何把复杂的代数式进行因式分解。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主学习、合作交流的教学方法，让学生在探究中发现问题、解决问题。
同时，我会利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握平方差公式。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘法、平方根等知识，为学生引入平方差公式。
2.探究：让学生自主探究平方差公式的推导过程，引导学生发现公式的特点。
3.讲解：讲解平方差公式的运用方法，以及如何把复杂的代数式进行因式分解。
4.练习：让学生进行相关的练习，巩固所学知识。
5.总结：对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点和难点。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出平方差公式的特点和运用方法。
八年级数学上册因式分解公式法
拓展应用
知识小结
评价反馈
3. 如图，在一块边长为a cm的正方形纸片 的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形， 求剩余部分的面积.如果a＝3.6，b＝0.8呢？
解：剩余部分的面积是：a2－4b2=(a+2b)(a－2b) 当a=3.6，b=0.8时，原式=(a+2b)(a－2b) =(3.6+2×0.8)(3.6－2×0.8)
复习巩固
新知学习
拓展应用
公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2
知识小结
评价反馈
完全平方式，特征： ①三项式 ②两平方项的符号同正 ③首尾2倍中间项
整式乘法
(a+b)2 因式分解
整式乘法
(a－b)2 因式分解
a2+2ab+b2 a2－2ab+b2
复习巩固
新知学习
拓展应用
第四章 因式分解 4.3.2 公式法
学习目标
1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方 公式进行因式分解． 2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进
行因式分解．
目录
CONTENTS
1 复习巩固 2 新知学习 3 拓展应用 4 知识小结 5 评价反馈
复习巩固
新知学习
拓展应用
知识小结
评价反馈
复习巩固
新知学习
拓展应用
知识小结
评价反馈
2.已知4x2+kxy+9y2 是一个完全平式，则k= ±12 .
3.已知a(a+1)－(a2－b)=－2, 求 a2 b2 ab 的值. 2
解: 由a(a+1)－(a2－b) =a2+a－a2+b
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。
通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。
公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。
例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。
2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。
例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。
3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。
例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。
4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。
例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。
5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。
例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。
除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。
例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。
根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。
人教版八年级上册14.3.2因式分解--平方差公式教案设计
14.3.2因式分解-平方差公式教案一．教学目标1.能说出平方差公式的特点．2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．3.知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．4.经历探究平方差公式分解因式的过程，掌握利用平方差公式分解因式的方法.二．学情分析1.学生已经掌握了整式的乘法运算中的平方差公式.2.学生已经掌握了什么叫做因式分解.3.学生能够进行简单的提公因式因式分解.4.学生已经掌握了简单添括号和去括号计算.三．教学重难点1.应用平方差公式分解因式．2.灵活应用平方差公式分解因式．四．教学学具多媒体课件、小黑板、彩粉笔等五．教学过程（一）复习回顾1，练习：（1）将mn n m 282+因式分解 ()12+m mn（2）将2912x xz -因式分解，选择正确的结果（ C ）()x z x A 912-()x xz B 343-()x z x C 343-()x z x D 343+2，提公因式法分解因式的步骤：（1）找：找公因式（2）提：提公因式（3）留：多项式除以公因式（二）问题引入：这个多项式能用因式分解吗？22b a -追问：能用提公因式法吗？--引入课题：因式分解-平方差公式（三）探究1，计算：22y x - ()222y x - 22b a - ∴ 22b a -2,回到问题，怎样将多项式22b a -进行因式分解？整式乘法 因式分解归纳：因式分解平方差公式：()()b a b a b a -+=-22 因式分解平方差公式法文字叙述：因式两数的平方差，等于这两数的和与这两数差的积.()()=-+y x y x ()()=-+y x y x 22=-+))((b a b a Θ))((22b a b a b a -+=-∴22))((b a b a b a -=-+Θ))((22b a b a b a -+=-∴等式的左边：两数的平方差，形如：()()22-.等式的右边：两数的和与这两数差的积.3，练习1：下列多项式能否用平方差公式分解因式？书上117页1题 ()221y x + ()222y x - ()223y x +- ()224y x --追问：利用平方差公式进行因式分解的多项式应满足什么条件？1.多项式只含a2，b2两项；2.a2和b2的符号相反；3.与a2和b2位置无关.（四）例题分析例1：分解因式()222942b a a -追问：利用平方差公式因式分解的步骤：归纳：（1）先改写成a2和b2的形式()9412-x ()()22321-=x 原式解：()()3232-+=x x ()()22322ab a -⎪⎭⎫ ⎝⎛=原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab a ab a 3232（2）再确定a,b（3）套公式练习2：分解因式：例2：分解因式： ()()()221q x p x +-+ ()()()229162y x y x +--要求:分小组讨论:(1)独立思考(2)小组讨论(3)小组展示和点评()()()[]()()[]y x y x y x y x +-++-=3-4342原式()()y x y x 77--= 归纳:(1)公式中的a 和b 也可以表示多项式;(2)这个例题把括号中的多项式作为一个整体,运用了整体思想.(3)计算过程中注意添括号和去括号的计算.练习3：把下列各式分解因式：249)1(x +-22241)2(z y x -9412-=x ）原式解：（()2232-=x ()()3232-+=x x ()()22212⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z xy 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=z xy z xy 2121()()()()[]q x p x q x p x +-++++=原式解：1()()q p q p x -++=2归纳：a 和b 不仅可以表示一个数字或者单个的字母，也可以表示一个单项式或者多项式.例3：分解因式:()441y x - ()ab b a -32分析:观察这样的式子有什么不同的地方?归纳:(1)因式分解要分到不能分解为止.(2)结合着我们之前所学的提公因式法因式分解,抓住一提二套的原则.练习4：分解因式，书上第117页第2题：比比谁快，比比谁正确的最多，加油！加油！加油！()()221c b a -+()()()222m z y x ---()()()c b a c b a -+++=原式解：1()()()()[]m z y x m z y x ----+-=原式2()()m z y x m z y x +---+-=()()()221y x -=原式解：()()122-=a ab 原式()()2222y x y x -+=()()11-+=a a ab ()()()y x y x y x -++=2216)2(4)1(42+--a yy x学生在黑板上面练习,展示成果,学生点评归纳,找出易错点.（五）课堂小结：畅所欲言，本堂课自己的收获和疑问？1.因式分解的平方差公式？()()b2+-2=ba-baa2.平方差公式因式分解的方法与步骤：（1）先改写成a2和b2的形式（2）再确定a,b（3）套公式3.分解因式时应注意哪些？（1）找准a与b；（2）分解的结果应彻底，即分解到不能再分解为止。
人教版八年级数学上册14.3.2.1《运用平方差公式因式分解》教学设计
人教版八年级数学上册14.3.2.1《运用平方差公式因式分解》教学设计一. 教材分析1.内容概述：本节课的主要内容是运用平方差公式进行因式分解。
平方差公式是八年级数学中的一个重要知识点，掌握平方差公式对于学生后续学习代数和几何知识具有重要意义。
2.地位与作用：平方差公式是因式分解的一种基本方法，它可以帮助学生简化代数表达式，提高解题效率。
通过学习平方差公式，学生能够巩固和拓展之前学过的知识，为高中阶段的学习打下基础。
二. 学情分析1.学生特点：八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解有一定的了解。
但部分学生在运用平方差公式进行因式分解时，容易出错。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对性地进行讲解和辅导。
2.学习需求：学生需要掌握平方差公式的推导过程、记忆方法以及应用技巧。
同时，学生需要通过大量的练习，提高运用平方差公式进行因式分解的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平方差公式的推导过程、记忆方法及应用；提高学生运用平方差公式进行因式分解的能力。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳、推理等方法，引导学生自主探究平方差公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学的趣味性和实用性。
四. 教学重难点平方差公式的推导过程及应用。
平方差公式的灵活运用，特别是遇到复杂表达式时的因式分解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生自主探究平方差公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决难题，提高学生的团队合作意识。
4.反馈评价法：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与课堂活动，提高教学效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，突出平方差公式的推导过程和应用实例。
2.练习题：准备一定数量的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同学生的学习需求。
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
利用平方差公式进行因式分解 教学设计
说说你对平方差公
式结构特征的认
识？
生略
引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征。
环节三、
指导运用，巩固知识
1、把下列各式因式分解：
2、把下列各式因式分解：
小组独立完成，小组黑板板书并交流。
二、教学目标（知识、技能、情感价值观）
1、知识：
(1)使学生了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）使学生了解提公因式法是因式分解首先要考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
2、能力：
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法。
学生的活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识和基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。
四、教学策略
（1）由于所学的是运用平方差公式分解因式，因此指导学生学会运用比较、类比学习方法记忆、理解知识。
（3）（3m+2n）（3m–2n）=．
问题1：它们的结果你运用了整式乘法的什么知识？
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
问题2：说说第二组的结果你
是怎么得到的？
利用交互式电子白板展示、书写功能小组展示交流.
对问题1：那公式的形式是什么呢？
对问题2师：引出课题，书写课题，并书写整式
乘法的平方差公式.
生1：运用了整式乘法的平方差公式.
生2：（a+b）(a-b)=a2– b2
北师版八年级数学下册优秀作业课件(BS) 第四章 因式分解 公式法第1课时 利用平方差公式因式分解
(3)(2a－3b)2－16b2. 解：原式＝(2a－3b＋4b)(2a－3b－4b)＝(2a＋b)(2a－7b)
5．(3分)(济宁中考)多项式4a－a3分解因式的结果是( B )
A．a(4－a2)
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4 (A)
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2) (B)
∴c2＝a2＋b2 (C)
∴△ABC是直角三角形
问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：_C___； (2)错误的原因为：________________________；
10．已知x＋y＝2，则x2－y2＋4y的值为( C ) A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题(每小题6分，共12分) 11．(苏州中考)已知a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2＝__1_2_．
12．如图，边长为m＋4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部 分可剪拼成一个长方形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为__2_m_＋．4
B．a(2－a)(2＋a)
C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
6．(4分)(株洲中考)因式分解：a2(a－b)－4(a－b)＝__(a_－__b_)_(_a_＋__2_)(_a_－__2_)____．
7．(12分)因式分解： (1)18a3－2a； 解：原式＝2a(3a＋1)(3a－1) (2)m2－n2＋2m－2n； 解：原式＝(m－n)(m＋n＋2) (3)(x＋2y)2－9x2. 解：原式＝4(y－x)(2x＋y)
因式分解的12种方法
因式分解的12种方法因式分解是数学中常用的一种方法，可以将一个多项式或一个数分解成更简单的因子。
根据题目的不同要求，因式分解有不同的方法。
下面将介绍12种因式分解的方法。
1.找出公因子法：如果一个多项式的每一项都有相同的因子，那么可以先找出这个公因子，然后用它除去每一项。
例如，对于多项式6x+12y，可以发现每一项都有2作为公因子，因此我们可以因式分解为2(3x+6y)。
2.看作差的平方：如果一个多项式可以看作两个数的平方的差，那么可以使用差平方公式进行因式分解。
例如，x^2-4可以看作(x+2)(x-2)即(x+2)(x+(-2))。
3.提取公因子法：如果一个多项式的每一项都有相同的因子，并且多项式含有不止一个非常数项，那么可以先提取这个公因子。
例如，对于多项式2x^3+4x^2-6x，可以先提取出公因子2x，得到2x(x^2+2x-3)。
4.和差形式：如果一个多项式可以看做两个数的和或差的形式，那么使用和差的平方公式进行因式分解。
例如，x^2-4y^2可以看作(x+2y)(x-2y)。
5.分组分解法：当一个多项式无法直接因式分解时，可以通过将其分成两组，然后使用其他因式分解方法进行分解。
例如，对于多项式x^3-x^2+2x-2，可以将其分组为(x^3-x^2)+(2x-2)，然后分别因式分解得到x^2(x-1)+2(x-1)。
6.平方差公式：当一个多项式可以看做两个数的平方的差时，可以使用平方差公式进行因式分解。
例如，x^4-y^4可以通过平方差公式分解为(x^2+y^2)(x^2-y^2)。
7.次数递减法：当一个多项式的次数比较高时，可以使用次数递减法进行因式分解。
例如，对于多项式x^5-x^4+x^3-x^2+x-1，可以写成x(x^4-x^3+x^2-x+1)-1，然后继续使用次数递减法进行分解。
8.因式分解公式：当一个多项式可以看作一些因式分解公式的形式时，可以直接使用该公式进行因式分解。
平方差公式解题技巧
平方差公式解题技巧
平方差公式是指两个完全平方式之间的乘积可以表示为两个完全平
方式的平方和减去两倍它们的积。
平方差公式的一般形式可以表示为：$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$
在解题过程中，灵活运用平方差公式可以简化计算，加快解题速度。
接下来将介绍几种常见的平方差公式解题技巧，并通过实例进行说明。
1. 同解式求和
对于形式为$(a+b)^2$的完全平方式，可以直接利用平方差公式展开
得到其对应的平方和形式。
例如，对于$(x+5)^2$，可以利用平方差公
式展开为$x^2 + 10x + 25$。
2. 分解因式求差
对于形式为$(a-b)(a+b)$的完全平方差，可以利用平方差公式化简得
到其对应的平方差形式。
例如，对于$16x^2 - 9$，可以利用平方差公式化简为$(4x+3)(4x-3)$。
3. 平方差公式的运用
在解决一些特定的代数题目时，可以通过平方差公式的灵活运用来
简化计算。
例如，对于求解$x^2 - 64$的根时，可以直接利用平方差公
式化简为$(x+8)(x-8)$，从而得到方程的解。
通过以上介绍的平方差公式解题技巧，我们可以更加高效地解决代
数问题，提高解题的准确性和速度。
在实际应用中，熟练掌握平方差
公式的运用将在学习数学的过程中起到重要的作用。
希望以上内容能对您的学习有所帮助。
八年级数学下册平方差公式法因式分解教案设计
八年级数学下册平方差公式法因式分解教案设计一、教学目标：1. 让学生掌握平方差公式的结构特征和运用方法。
2. 培养学生运用平方差公式进行因式分解的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
二、教学内容：1. 平方差公式的介绍和记忆。
2. 平方差公式在因式分解中的应用。
3. 平方差公式解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：平方差公式的记忆和运用，以及因式分解的方法。
2. 教学难点：平方差公式的灵活运用，解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解平方差公式的内涵。
2. 采用案例分析法，让学生通过具体例子掌握平方差公式的运用。
3. 采用练习法，巩固学生对平方差公式的记忆和运用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习平方根的概念，引出平方差公式。
2. 讲解平方差公式：讲解平方差公式的推导过程，让学生理解并记忆公式。
3. 案例分析：给出具体例子，让学生运用平方差公式进行因式分解。
4. 练习巩固：设计练习题，让学生独立完成，巩固对平方差公式的运用。
5. 总结拓展：总结本节课所学内容，引导学生思考如何运用平方差公式解决实际问题。
6. 布置作业：设计课后作业，让学生进一步巩固平方差公式的运用。
六、教学评价：1. 课后作业：检查学生对平方差公式的掌握程度，以及能否运用公式进行因式分解。
2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对平方差公式的理解和运用情况。
3. 学生反馈：听取学生的反馈意见，了解他们在学习过程中的困惑和问题。
七、教学反思：1. 对教学方法的反思：思考本节课所采用的教学方法是否有效，是否需要调整。
2. 对教学内容的反思：分析平方差公式的讲解是否清晰，学生是否能够理解和记忆。
3. 对教学进度的反思：考虑是否需要调整教学进度，以满足学生的学习需求。
八、教学拓展：1. 平方差公式的应用：引导学生思考平方差公式在解决实际问题中的应用。
2. 因式分解的其他方法：介绍其他因式分解的方法，如提取公因式法、交叉相乘法等。
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Байду номын сангаас 例4 分解因式：3a2 2a b 2 27a2b2
解：原式 3a2 2a b2 9b2
3a2 2a b2 3b2
3a22a b 3b2a b 3b
3a2 2a 4b2a 2b 3a2 • 2a 2b• 2a b 12a2 a 2ba b
想一想： 如何把下式因式分解？
a4 a2b2
a4 a2b2
解一：原式 a2 a2 b2
a2 a ba b
a4 a2b2
解二：原式 a2 2 ab2
a2 aba2 ab
aa b• aa b
a2 a ba b
哪种方 法好些？
多项式
分解因式的结果
（1） a2 4 a 2a 2
1a2 9
解：原式 a2 32
a 3a 3
2m2 4k2 解：原式 m2 2k 2 m 2km 2k
3 9 x4 y6 0.01z2
16
解：原式
3
x
2
y
3
2
0.1z
2
4
3 x2 y3 0.1z 3 x2 y3 0.1z
4
4
附：判断
m2 4k2 m2 2k 2
解：原式 3x x2 1
3xx 1x 1
例3 把下列各式分解因式：
13x3 3x
解：原式 3x x2 1
3xx 1x 1
2m4 16n4
解：原式 m2 2 4n2 2
m2 4n2 m2 4n2
m2 4n2 m2 2n2
m2 4n2 m 2nm 2n
r
面积= S大圆面积 S小圆面积
R
R2 r 2
R2 r 2
R rR r
小结
1、因式分解的一个重要工 具————平方差公式
2、我们在进行因式分解时 应注意的问题
运用平方差公式分解因式
a2 b2 a ba b
当我们进行因式分解时，
一、如果多项式各项含有公 因式，一般先提出公因式；
2m4 16n4
解：原式 m2 2 4n2 2
m2 4n2 m2 4n2
m2 4n2 m2 2n2
m2 4n2 m 2nm 2n
当我们进行因式分解时，
一、如果多项式各项含有公 因式，一般先提出公因式；
二、分解因式必须分解到每一 个因式都不能再分解为止。
运用平方差公式 分解因式
回忆： 平方差公式：
a ba b a2 b2
平方差公式
a ba b a2 b2
a2 b2 a ba b
9x2 4y2
3x2 2y2 3x 2y3x 2y
a2 b2 a ba b
a b 注：这里公式中的
都表示单项式。
例1 把下列各式分解因式：
x p x qx px q
a ba b
2x p qp q
例2 把下列各式分解因式：
1 x y2 z2 解一：原式 z2 x y2
z x yz x y
z x yz x y
例2 把下列各式分解因式：
1 x y2 z2
解二：原式 x y2 z2
m 4km4k
22
用平方差公式进行简便计算:
1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89
a2 b2 a ba b
a b 都表示单项式。
它们可以表示多项式吗？
例如 分解因式：
x p2 x q2
解：原式 x p2 x q2
a2 b2
x y zx y z
x y zx y z
z x yz x y x y zx y z
二者是否相等？
29a b2 4a b2
解：原式 3a b2 2a b2
3a b2a b3a b2a b
5a ba 5b
例3 把下列各式分解因式：
13x3 3x
二、分解因式必须分解到每一 个因式都不能再分解为止。
（2） （3） （4）
16 x2
1 1 a 2b2 4
x y2 9m2
4 x4 x
1 1 ab1 1 ab 2 2
x y3mx y3m
在如图所示的圆环中，外圆半径R=9.5cm， 内圆半径r=8.5cm，求圆环（阴影部分）的面积 （取3.14，结果保留三个有效数字）
分析：圆环（阴影部分）的