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高等数学PPT(电子高专)

y = f [ϕ(x)]
因变量内部函数
外部函数
初等函数由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并且可以用一个式子表示的函数，称为初等函数. 初等函数. 初等函数
y 如 y = ln(sin 2x) + x2， = e
arctan x
+ cos x 等都是初等函数，
而 y = x 不是初等函数。
背景12函数的极限121函数的极限的概念函数的极限122单侧极限123数列的极限124无穷大与无穷小125函数极限的运算第一节函数及其图形一案例二概念和公式的引出三进一步练习121函数极限的概念一一案例将一盆80房间里水的温度将逐渐降低随着时间的推移水温会越来越接近室温20案例1水温的变化趋势在某一自然保护区中生长的一群野生动物其群体数量会逐渐增长但随着时间的推移由于自然环境保护区内各种资源的限制这一动物群体不可能无限地增大它应达到某一饱和案例2自然保护区中动物数量的变化规律状态如右图所示
1 t ≥ 0 u(t) = 0 t < 0
练习5 个人所得税个人所得税] 练习 [个人所得税我国于1993年10月31日发布的《中华人民共和国个人所得税法》规定月收入超过800元为应纳税所得额（表中仅保留了原表中前2级的税率）．
级数 1 2 全月应纳税所得额不超过500元部分不超过500元部分 500 超过500元至2000元部分超过500元至2000元部分 500元至2000 税率 (％) 5 10
0 f (x) = A
−π ≤ x < 0 0 ≤ x <π
二、概念和公式的引出分段函数在不同的定义域上用不同的函数表达式表示的函数称为分段函数分段函数．分段函数

《高数基础知识》课件

05
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。

高等数学第一章的总结-PPT

n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
例:
lim
1
1
(e n
2
en
n
en
)
n n
1
e
x
d
x
e 1
0
1
n
1
解：原式
lim
n
1 n
e
n
(1
e
1
n
)
(1
e) lim
n
n
1
1en
1en
1
(1 e) lim ln(1 u) (1 e) lim ln(1 u) u e 1.
)x
e
两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim ( 1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2,
x0 x 0在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x) 的

大学高数第一章函数和极限ppt课件

lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
解：由于函数表达式中带有| x | ，
y
所以要分别求函数的左右极限。
因为： lim | x | lim x 1，
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
变量 u 称为中间变量。
如：y sin3 x 可视为 y u3,u sin x 复合而成的复合函数。类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数。
11
例已知 y arcsin[ln(x 1)]
（1）分析 y 的复合结构；（2）求 y 的定义域.
解：(1) y arcsinu ， u ln v ， v x 1
常见的周期函数有：sin x 、cos x 、tan x ，cot x
前两者周期为 2 ，后两者周期为。
9
5.函数的有界性
若存在某个正数 M ，使得不等式 f (x) M
对于函数 f (x) 的定义域 D 内的一切 x 值都成立，则称函数 f (x) 在定义域内是有界函数；如果这样的正数 M 不存在，则称函数 f (x) 在定义域 D 内是

高数知识点总结PPT课件

时,为右导数时,为左导数
可微
第9页/共33页
第
二
章
导数与微分
• 应用:
(1) 利用导数定义解决的问题求分段函数在分界点处的导数由导数定义证明一些命题
(2) 用导数定义求极限 (3) 求曲线的切线与法线 (4) 微分在近似计算与误差估计中的应用
第10页/共33页
第
二
章
导数与微分
二、导数和微分的求法
第
一
章
函数与极限
一、函数
1. 特性有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 2. 反函数 3. 复合函数 4. 初等函数
第1页/共33页
第
一
章
函数与极限
二、极限
1. 极限定义的等价形式
(以 x x0为例 )
" "
(即 f ( x) A为无穷小)
有
第2页/共33页
第
一
章
函数与极限
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的Байду номын сангаас质; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2, 2
arcsin x ~ x,
ex 1 ~ x,
(1 x) 1 ~ x.
第3页/共33页
第
一
章
函数与极限
4. 两个重要极限
或注: 代表相同的表达式
第4页/共33页
3. 有关中值问题的解题方法利用逆向思维，设辅助函数. 一
般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数. (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数，可考虑用柯西中值定理 .

大一高数知识点PPT课件

在三个坐标轴上的分向量： a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
.
16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
.
6
M 1 P x 2 x 1 , PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
.
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为空间两点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在直角 M 1 NM 2 及直角 M 1 PN
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
.
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
由图分析可知
a a x y ||a a ||c co o向量的ss

大一高数上_PPT课件_第一章

几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记为AB（读作A包含于B）。显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M，则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。有界函数的图形特点：函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？

大一高数上 PPT课件第二章

xh x 解：解：f(x)lim ff((x h)) ff((x)) lim lim lim 解：f (x) hh0 0 hh0 0 h h
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数：例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相等时，函数在该点才是可导的。函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x

大一-高等数学函数ppt课件

AB
由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A–B 或A\ B 即
A B {x |x A 但 x B }
AB
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15
全集 :又所研究的全成部的事集物合构称 . 为
积为 I或U. 若研究某一问题考时虑将对所象的全体集看，作全
记为 I,则对于任意 A集I,I合 A(即I \ A)称为 A的补集，
A BA B(或A （B)cAc Bc)德 . 摩根 . 律
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17
二.区间与邻域
设a和b都是实数，将满足不等式a<x<b的所有实数组成的数集称为开区间，记作(a,b)即
(a,b) ={x|a<x<b}, a和b称为开区间(a,b)的端点,这里a (a,b)且b (a,b). 数集 [a,b]={x|a≤x≤b}为闭区间,a和b也称为闭区间[a,b]的端点 , a∈[a,b]且b∈[a,b].
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5
第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。
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6
微积分是近代数学发展的里程碑
微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像 17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”

高等数学总结.ppt

➢多元函数 ➢邻域、区域、聚点、内点、外点 ➢多元函数的极限 ➢多元函数的连续性
➢多元函数微分法及应用 ➢偏导数与全微分
➢偏导数本质上也是一个极限概念：当其它变量不动，函数值相对于某一个变量的改变量。
➢偏导数数学定义：
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，则称
➢函数图像的描绘
➢几个人物罗尔，1652-1719，法，只受过初等教育，年轻时穷困潦倒，后因为数学成求进入法国科学院。主要成就在方程方面，“微积分是巧妙的谬论的汇集”。
拉格朗日，1763-1813，法，19岁被聘为教授，数学各个领域均有建树，微分方程的常数变易法为其提出，“死亡并不可怕，它只不过我遇到的最后一个函数”。(13)a x来自x ax C ln a
(14) shxdx chx C
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx lncos x C
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a
2dx
1 2a
ln
x x
a a
C
(22)
a2
1
x 2 dx
➢牛顿和莱布尼茨的争论使得英国的数学家认牛顿为他们的导师，割断了于欧洲大陆的联系，有人估计，这使英国数学落后了一百年。
➢历史上看，微积分是为了解决实际问题的需要而产生的一种计算方法，它的产生为近现代数学和物理学提供了强大的工具。没有微积分就不可能有现代自然科学的发展。
➢我们现在学习的微积分理论，已经经过数学家们长期的补充、完善，无论从理论还是逻辑基础、符号表达，都和牛顿，莱布尼茨等人当时的描述方式有很大的改进，当时他们对微积分的叙述和论证建立在大量的直观的、没有严格、统一的数学定义的基础上。

完整高数(一)PPT课件

y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时当x是无理数时

大一高数期末复习重点-PPT

)
闭区间连续函数的性质
最大,最小值定理有界性
介值定理
零点定理
,
6
例求 f ( x) 1 x 的间断点, 并指出其类型. 1 e1 x
解当x 0, x 1时,函数无定义, 是函数的间断点.
x 0, 由于 lim f ( x) lim
1 x ,
x0
1 e x0
1 x
所以 x 0是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
1 的间断点, x1
2x 1
并判断其类型.
解 : 可知 x 0，x 1是可能的间断点. (1) 在x 0处，
lim y 1 sin2(1)，lim y 1 sin2(1)
x0
x0
因在x 0处的左右极限都存在, 但不相等，所以x 0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.
9
(2) 在x 1处，
x( , )
则函数 f ( x)的曲线有水平渐近线 y a. (b) 垂直渐近线若函数 f ( x)满足
lim f ( x) ,
x x0 ( x0 , x0 )
则函数 f ( x)的曲线有垂直渐近线 x x0.
25
计算题
1. 设
y
f
(
x
)
1
2 x
2
ax b
x 1处可导, 确定 a, b.
x)
a 2
f (0 ) lim ln (b x2 ) ln b x0
a 1 ln b 2
1 cos x ~ 1 x2 2
11
例
讨论
f (x)
x2 sin
1, x
x0
0,
x0
在x 0处的连续性与可导性 .

大一高数课件第二章

微分的计算方法：微分的计算方法包括基本初等函数的微分公式和微分运算法则。通过这些方法，我们可以快速地计算出函数的微分值。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等微分在近似计算、误差估计等方面的应用导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
添加标题
添加标题
多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与性质
偏导数的计算方法
全微分的定义与性质
全微分的计算方法
极值的概念和定义极值的必要条件极值的充分条件极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
PPT,a click to unlimited possibilities
01 单击添加目录项标题 02 导数与微分 03 导数的应用 04 不定积分 05 定积分 06 常微分方程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。

大一高数课件第一章 1-5-1

1 x 1
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
几点注意:
（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.
思考题
若 f ( x ) 0 ，且 lim f ( x ) A ，
0, N1 0, N 2 0, 使得当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2
取 N max{N1 , N 2 },
当 x N时,恒有

2

2
,
0 ( x )
(或正数 X ),使得对于适合不等式 0 x x0 (或 x X )的一切 x ,
对应的函数值 f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x0 (或 x )时为无穷大,记作
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
1 1 例 f ( x ) x 0, 有 f ( x ) 0 x x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
练
一、填空题:
习
题
1、凡无穷小量皆以________为极限.
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如,
lim sin x 0,
x 0
函数 sin x是当x 0时的无穷小 .

大学高数第一章 PPT课件

39
复合函数
代入法
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数y=f(u),uU，函数u=(x), x X, 其值域为(X)={u|u= (x), xX } U，则称函数y=f[(x)]为 x的复合函数。
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
所以它们不相等。
(2)f(x)=x, φ(x)=|x|;
解： f(x)与φ(x)的对应规律不同，所以是不同的函数。
(3)f(x)=sin2x+cos2x, φ(x)=1. 解：f(x)与φ(x)的对应规律相同，定义域也相同，所以 f(x)=φ(x)。
17
二、函数的特性
1．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D,
例1 在出生后 1～6个月期间内,正常婴儿的体重近似满足以下关系:
y 3 0.6x x [1,6] 公式法
13
例2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的变化曲线,如下图示:
T
T (t0 )
37
o
t0
t
例3 某地区统计了某年1~12月中当地流行性出血热的发病率,见下表
t (月份) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加(减少)的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1)
f ( x1)
y ax (a 1)

大一高数ppt课件

VS
向量的模
在空间直角坐标系中，向量$vec{a}$的模为$sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$。 06多项式函数与插值法
多项式函数的性质
代数性质
多项式函数具有加法、减法、乘法和除法的代数性质，可以按照这些性质进行多项式函数的运算。
最高次项系数
多项式的最高次项系数是多项式函数的一个重要性质，它决定了多项式函数的开口方向和大小。
常积分。
反常积分的性质
反常积分具有与普通定积分相似的性质，如线性性质、区间可加性等。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，需要采用不同的计算方法，如利用极限思想、
分部积分法、换元积分法等。
05
空间解析几何
向量代数基础
01 02
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即对于任意向量$vec{a}$、$vec{b}$和 $vec{c}$，有$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$和$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$。
高数是许多学科领域的基础，如物理、工程、经济等，掌握高数知识对于后续专业课程的学习至关重要。
高数课程的学习目标
01
掌握高等数学的基本概念、定理和公式，理解其数学意义和实际应用。
02
学会运用高数知识解决实际问题，培养分析问题和解决问题的
能力。
培养自主学习和终身学习的能力，形成良好的学习习惯和思维
空间点的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点$P$的位置由三个实数 $x$、$y$和$z$确定，这三个实数称为点$P$的坐标。