4-1 某些预备知识

于是：
(1 Rn ) (1 i1 )(1 i )(1 i )
n e 2 e n
分别为期限为n年的证券的收益率、当期短期利率 （如1年或半年的利率）、第2期的单期预期利率以及第n期的单期 预期利率。 当n=2时
e e Rn , i1 , i2 , in
(1 R2 ) (1 i1 )(1 i ) orR1 i1
债券本金 （$）到期期限 （年）年息票* （$）债券价格 （$） 100 100 0.25 0.50 0 0 97.5 94.9
100
100 100 100
1.00
1.50 2.00 2.75
0
8 12 10
90.0
96.0 101.6 99.8
*注：假设每6个月支付所列息票数额的一半
由于前3个债券不付息票，对应这些债券期限的连续复利的即期 利率可以容易地计算出来。第一个债券3个月期限，价格97.5，其 收益为2.5。连续复利的3个月期利率是：
第三年的远期利率是二年期 10.5％年即期利率与三年期10.8％年 即期利率隐含的利率，计算的结果是11.4％年利率。
其它的远期利率可用类似的方法计算，列在表4.1中的第三列。 一般来说，如果r是T年期的即期利率，r*是T*年期的即期利率，且 T*＞T，T* -T期间的远期利率如下：
r (T t ) r (T t ) r T rT ˆ r T T T T
（一）预期理论（ex-pectations theory）
该理论认为对应某一确定时期的远期利率应该等于预期的未来的 那个期限的即期利率。也就是：长期证券到期收益率等于现行短期 利率（spot interest rate）和未来预期短期利率的几何平均。
预期理论有以下假设： （1）市场上的各种证券没有违约风险； （2）全部投资者都是风险中心者，服从于利润最大化原则； （3）证券买卖没有交易成本； （4）投资者都能准确预测未来的利率； （5）投资者对证券不存在期限偏好。
也就是说，只要知道相邻两期零息债券的到期收益率，就可以计 算出单期远期利率。即投资者如果知道各种期限的收益率，他就可 以知道未来短期利率的预测值。 如果R2<R1，也就是说收益率曲线下降，那么短期预测利率也下 降，即
e i2 R1
事实上
(1 R2 ) (1 i1 )(1 i ) (1 R1 )(1 i )
2 3 4 5
10.5 10.8 11.0 11.1
11.0 11.4 11.6 11.5
计算方式如下：我们假设即期利率如表4.1的第二列所示。这些即 期利率以连续复利计息。因此，一年期10％年利率意味着今天投资 $100，一年后投资者收到100exp{0.10}=$110.52；二年期10.5％年 利率意味着今天投资$l00，二年后投资者收到100exp{0.105×2} = $123.17 ；依此类推。
图4.4表4.2中数据的零息票收益率曲线
四、期限结构理论
利率的期限结构是指不存在违约风险而不同期限的零息债券到期 收益率之间的关系。零息债券到期收益率也被称为即期利率。而由 各种不同期限零息债券到期收益率所构成的曲线为到期收益率曲线。 传统利率期限结构有三种不同的理论：预期理论、风险溢价理 论、市场分割理论，以及对市场分割理论的补充——流动性偏好理 论。
第四章 利率期货
利率期货合约是标的资产价格仅依赖于利率水平的期货合约。
对冲某公司的利率风险暴露比对冲诸如铜价之类的风险暴露更复 杂。这是因为为了完全描述利率水平，需要整个利率的期限结构， 而铜价可以由单一数字来描述。
希望对冲利率风险暴露的公司必须确定它所要求对冲的期限，同 时还必须确定它暴露于利率风险的期限。然后它还必须寻找合适的 利率期货合约以获得相应的对冲。
R1 2.5 R m ln(1 ) 4 ln(1 ) 0.1012 m 97.5
或每年10.12%。类似地，6个月期是：
R1 5.1 R m ln(1 ) 2 ln(1 ) 0.1047 m 94.9
或每年10.47%。1年期是：
R1 10 R m ln(1 ) ln(1 ) 0.1054 m 90
(1 Rn ) (1 i1 )(1 i )(1 i )
n e 2 e n
(1 Rn1 )
两式相除得
e n
n1
(1 i1 )(1 i )(1 i
e 2
e n1
)
(1 Rn ) (1 Rn ) 1 i (1 Rn ) n 1 n 1 (1 Rn1 ) (1 Rn1 )
图4.1表4.1中数据的零息票收益率曲线
区分零息票收益率曲线与附息票债券收益率曲线是很重要的。在 图4.1所示的情况下，收益率曲线是向上倾斜的，零息票收益率曲线 总是在附息票债券收益率的上面。这是因为如下的情况影响了附息 票债券收益率：在债券到期前，投资者获得一些利息收入，对应于 这些利息收入的相应贴现率低于最后支付日期相应的贴现率。
为说明这个公式，我们从表4.1中数据计算第四年远期利率。 T=3，T* =4，r=0.108，且r* =0.11，公式给出
ˆ r 0.116
二、 零息票收益率曲线
零息票收益率曲线 （zero—coupon yield curve）是表示即期利 率（即零息票收益率）与到期日之间关系的曲线。 图4.1表示了表4.1中数据的零息票收益率曲线。
分析家有时也考虑远期利率与远期合约期限之间的关系曲线。因 此远期利率的期限可以是3个月期、6个月期或其它任何便利的时间 期限。式（4.1）可重写为：
T ˆ r r (r r ) T T

这表明，如果收益率曲线是向上倾斜，r * >r,于是
ˆ r r r
所以远期利率高于零息票收益率。 取T* 趋近于T的极限（所以r * 趋近于r），我们看到在T时刻开始 的一个相当短期间的远期利率是：
r r T T
这就是所谓的时刻T的瞬态远期利率（instantaneous forward rate）。
图4.2是当收益率曲线向上倾斜时的零息票收益率曲线、附息票债 券的收益率曲线和远期利率曲线。
图4.2当收益率曲线是向上倾斜时的情况
图4.3当收益率曲线是向下倾斜时的情况
三、零息票收益率曲线的确定
实际中，即期利率（或零息票收益率）并不总是能够直接观察到 的。能够观察到的只是附息票债券的价格。因此，一个重要的问题 是如何从附息票债券的价格得出零息票收益率曲线。
一个通常的方法就是所谓的息票剥率（bootstrap）方法。为说明 这个方法，考虑表4.2中6个债券价格的数据。
表4.2息票剥率方法的数据
2 R 0.1081 3 3
因此，R的方程为： 5exp{-2.25×（0.0721+R/3）}+105exp{-2.75×R}=81.782
利用试错法或诸如牛顿法的数值方法解以上方程，得出 R=0.1087。2.75年期的即期利率为10.87％。
从表4.2中六个债券价格中可以描出图4.4中的零息票收益率曲 线。如果给出更长期限债券，可获得更完整的期限结构。
或每年10.54%。
第四个债券期限1.5年。按如下方式支付： 6个月期后 $4 1年期后 $4 1.5年后 $104 从前面的计算中，我们知道在6个月末支付所用的贴现率是 10.47%，在1年末支付所用的贴现率是10.54％。我们也知道债券 的价格$96必须等于债券持有人收到的所有收人的现值。设R表示 1.5年期的即期利率，因此：
§1 某些预备知识
一、即期和远期利率
n年期即期利率是从今天开始计算并持续n年期限的投资的利率。 因此，3年期即期利率是投资持续3年的利率，5年期即期利率是投 资持续5年的利率等等。考虑的投资应该是 中间没有支付的“纯粹” 的n年投资。这意味着所有的利息和本金在n年末支付给投资者。
n年即期利率也指的是n年期零息票收益率 （n-year zero— coupon yield）。由定义可知，该收益率正好是不付息票债券的收 益率。 远期利率是由当前即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率。 表4.1远期利率的计算 年（n） 1 n年期投资的即期利率 第n年的远期利率 10.0
2 e 2 e 2
e (1 R2 ) (1 i2 ) (1 R1 ) (1 R2 )
由于R2<R1，所以
e (1 i2 ) (1 R2 ) 1 (1 R2 ) (1 R1 )
从而
即
1 i 1 R2 1 R1
e 2
e i2 R1
一般情况下
表4.1中第二年的远期利率是年利率11％。这是一个即期利率隐 含的第一年末至第二年末之间期限的利率。它可以通过一年期10％ 年即期利率和二年期10.5％年即期利率计算出来。正是这个第二年 的利率，与第一年10％利率组合在一起，得到整个二年期间 10.5％ 的年利率。 为证明正确答案是11％，假设投资$100，则第一年10％利率和 第二年11％利率在第二年末收益为： 100exp{0.10}×exp{0.11} = $123.37 二年期10.5％年利率投资的收益为： 100exp{0.105×2} 这个结果也是$123.37。 这个例子说明了一个一般的结论：即当这些利率是连续复利，并 且将相互衔接时期的利率组合在一起时，整个期间的等价利率是这 些利率的简单算术平均（10.5％是10％和11％的平均值）。当这些 利率不是连续复利时，这个结果近似成立。
利用线性插值方法，求出以下三个现金流的贴现率分别为 10.505％，10.61％和10.745％。 因此前四个现金流的现值为： 5exp{-0.1012×0.25}+5exp{-0.10505×0.75} +5exp{-0.1061×1.25}+5exp{-0.10745×1.75} =18.018 最后两个现金流的现值为： 99.8-18.018=81.782 设2.75年期的即期利率为R，利用线性插值，2.25年期即期利率 为：
n
n 1
1 i (1 Rn ) n 1 1 Rn (1 Rn1 )
e n
n 1
如果收益率曲线向右上方倾斜，即
Rn1 Rn
则
(1 Rn1 )
n1
(1 Rn )
n
从而
Rn1 Rn i
e n
到期收益率曲线向右上方倾斜，预期短期利率上升，不要理解为 未来预期短期利率不断提高。预期短期利率有时会低于前一期的短 期利率。 在经济运行中，人们经常观察到在经济扩张一开始，到期收益率 曲线斜率趋于增大，而在经济扩张的末尾到期收益率曲线斜率趋于 减小。 在实证研究中，人们也往往利用长短期利率的差别来解释或者预 测未来的经济增长。
至今，我们已经求出5个对应不同期限的零息票收益率曲线上的 点。利用线性插值可以得到对应其它中间期限的点。第六个债券的 现金流如下： 3个月期后 $5 9个月期后 $5 1.25年后 $5 1.75年后 $5 2.25年后 $5 2.75年后 $105
对应于第一个现金流的贴现率已经求出为 10.12％。
2 e 2
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则
(1 R2 ) 2 e i2 1 (1 R1 )
当n=3时
(1 R3 ) (1 i1 )(1 i )(1 i )
3 e 2 e 3
(1 R3 ) i 1 2 (1 R2 )
3 e 3
当期限为n时
(1 Rn ) n e in 1 n 1 (1 Rn1 )
4exp{-0.1047×0.5}+4exp{-0.1054}+104exp{-1.5R}=96 化简为： Exp{-1.5R} = 0.85196
或
ln 0.85196 R 0.1068 15
因此，1.5年期的即期利率是10.68%。这是唯一的与6个月期、 1年期即期利率及表4.2中数据一致的即期利率。
运用6个月期、1年期、1.5年期即期利率和表4.2中第五个债券的 信息，可以计算出2年期的即期利率。如果R表示2年期的的即期利 率： 6exp{-0.1047×0.5}+6exp{-0.1054×1.0}+6exp{-0.1068×1.5} +106exp{-2R}=101.6 从以上可得出R=0.1081，或10.81%。