第一讲(电子的粒子性和波动性)
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例：求静止电子经 200kV电压加速后的德布罗意 波波长。
h p h 2mE
12
6.62 1034 2 9.11031 1.6 1019 200 103
0
2.74 10
(m) 0.0274( A)
电子的德布罗意波波长很短，可放大200万倍。
例：电子显微镜的应用
质—波动性和粒子性，即波粒二象性。
P确定，频率则由能量E确定。
h h ; p m
E mC h
2
式中：m为粒子质量。v为自由粒子运动 速度。 由上式计算的波长，称为德布罗 意波波长。
在相对论力学中运动物体的相对质量m、静止质 量m0及速度v间存在如下关系：
m
m0 1
C
2 2
本章将就固体中电子能量结构和状态作 初步介绍，建立起现代固体电子能量结构 观念，包括德布罗意波、费密—狄拉克
分布函数、禁带起因、能带结构及其与
原子能级的关系，以及非晶态金属、半导 体的电子状态等。
1927年10月，第五届索尔维会议
1.1 电子的粒子性和波动性
1.1.1 电子粒子性和霍耳效应
在1879年Edwin Hall发现的金属晶体中存在霍耳
1.1.2
电子的波动性
问题的提出： 19世纪末，人们确认光具有波动性，服从 麦克斯韦(Maxwcll)的电磁波动理论。利用 波动学说解释了光在传播中的偏振、干涉、 衍射现象，但不能解释光电效应。 1905年爱因斯坦(Einstein)依照普朗克 (Planck)的量子假设提出了光子理论，认 为光是由一种微粒—光子组成的。
p (2mE )1/ 2 (2 9.11031 54 1.6 1019 )1/ 2 3.97 1024 (kg m / s)
式中：1.610-19为电子伏特向焦耳的转换因子。
h 6.62 1034 / 3.97 1024 1.66 1010 ( m) p
——电子在空间的统计分布是一定的。 ④电子一个一个发射，重复实验，结果衍射花纹不变； ——单个电子也具有“波动性”。 而不是电子间相互作用的结果。
微观粒子的波粒二象性
经典概念中 粒子意味着 经典概念中 波意味着 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
与该粒子相联系的平面单色波的波长又可 表示为：
h h h p m m0 1
C
2 2
上式为实物粒子的德布罗意波长计算公式 。 如果ν<<C，那么：
h m0
德布罗意关于物质波的 假设，在1927年被美国 贝尔电话实验室的戴维 森(Davisson)和革末 (Germer) 的电子衍射
2
dW C dv
2
另一方面，在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz 表征)出现粒子的概率可表示为：
C dV C dV
*
2
称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单
位体积内粒子出现的概率。
2
整个空间出现粒子的几率应等于一。故波函数
还须满足：
说 明 波 函 数 要 C dV 1
附：机械波的产生和传播
简谐波
机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。
就每一质点来说，只是做振动，就全部媒质来
说，振动传播形成机械波。产生机械波的条件 是：具有波源和弹性媒质。 波动中真正传播的是振动、波形和能量；波
形传播是现象，振动传播是实质，能量传播
是波动的量度。
和磁场矢量H(x,y,z,t) 描述。光在某处的强度与该处
的|E|2或|H|2成正比。类似地，几率波强度应与 |Φ(r,t)|2成正比。因此，|Φ(r,t)|2正比于t时刻粒
子在空间(x,y,z)出现的几率。设t时刻空间某一点
(x,y,z)小体积元dv＝dxdydz发现粒子的几率为dW，则：
dW dv,
考核方式：？？ 成绩组成：平时：20％，考试：80％ 教材：材料物理性能， 田莳主编，北京航空航天
大学出版社，2004年11月 参考书籍：无机材料物理性能， 关振铎等编著， 清华大学出版社
第一章 固体中电子能量结构和状态
原子间的键合、晶体结构和电子能
量结构与状态决定了材料的物理性能。 键合类型：金属键、离子键、共价 键、分子键和氢键。 晶体结构复杂：有14种类型空间点 阵 (Bravais点阵)。
频率为的光，其光子具有的能量为:
E m C h
2
式中：h = 6.6310-34J· S，为普朗克恒量。 利用光子理论成功地说明了光的发射和吸 收现象。
鉴于微观粒子光子所表现出的双重性 l924年法国物理学家德布罗意(dc Broglie)认为 “波粒二象性” 具有普遍意义，不局限于光，并 提出物质波假说：一个能量为E、动量为P的粒子， 既具有粒子性，同时也具有波动性，其波长由动量
比较两个结果基本一致，说明德布罗意假设的正 确性。
1928年以后的进一步实验证明：不仅电子具有波 性，自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止 质量是否为零，都具有波粒二象性 ，包括如原子、 分子、质子等都微观粒子，其波长与=h/p计算出 来的完全一致，从而肯定了物质波的假说。
波粒二象性是一切物质(包括电磁场)所具有 的普遍属性。
2
满足归一化条件
令：
则：
C
dV 1 。 称为归一化波函数。
2
此外，波函数还应满足单值、连续、有限等 标准化条件。 上述为玻恩对波函数的统计解释。
波函数 本身不能和任何可观察的物理 量直接相联系，但波函数 2 可以代表微 观粒子在空间出现的几率密度。若用点子 的疏密程度来表示粒子在空间各点出现的 2 2 几率密度， 大的地方点子较密， 小 的地方点子较疏，这种图形叫“电子云”。
54v
电子枪 探测器
500
实验所证实。
Ni
电子枪
U
电子枪 探测器
K
D
探测器
B
500
54v
电子束
G
d
d
d sin k , k 1
镍单晶
Ni
从晶体表面相邻两原 子(离子)所散射出来 500 的波，如果在max方向 上光程差为，就会相 互加强，产生极大。 可以算出54eV电子束 相应波长：
材料物理性能
祝柏林 武汉科技大学 2011.9
材料：金属材料、无机非金属材料、 高分子材料
物理性能：电、光、磁、热、声、 辐射
力学性能
课程的内容：
1.材料的电、介电、光、热、磁、弹性和 内耗性能的物理本质。
2. 物性与材料的成分、组织结构、工艺 过程的关系及变化规律。 物性随环境而变化 环境有温度、压力、电场、磁场、辐射、 化学介质、力场等
例：一质量m=0.05kg的子弹，以速率 ν=300m/s运动，其德布罗意波长为多少?
h 6.63 10 35 4.4 10 (m) m 0.05 300
由此可见，对于一般的宏观物体，其物质波 波长是很小的，很难显示波动性。
34
例：电子显微镜的应用
当加速电场很大时，电子的德布罗意波长可以比 可见光波长短得多。因此，利用电子波代替可见 光制成的电子显微镜能具有极高的分辨本领。
原 子 间 键 合 晶 体 结 构 材 料 物理性能
固 体 的 电 子 能量结构和状态
键合、晶体结构、电子能量结构是理解和
创新一种材料的物理性能的理论基础。
其中电子的能量结构最为复杂。
思路：
电子的运动到底有什么规律和特殊性？
电子的粒子性-------霍尔效应 电子的波动性-------德布罗意波假设 电子波动性的描述-----薛定谔方程 波动的状态意味着什么----求解薛定谔方 程
如何理解电子的波粒二象性？ 电子双缝衍射实验： 7个电子 100个电子 20000
3000
70000
底片上出现一个个的点子 →电子具有粒子性。 随着电子增多，逐渐形成衍射图样 →来源于“一个电子”所具有的波动性， 而不是电子间相互作用的结果。
①单个电子入射每次集中于一点，出现在屏上； ——电子是一个完整的颗粒，不可分割。 ②电子在屏上的落点是随机分布的，多次积累以后 出现衍射花纹； ——在测量前具有不确定性，但 是有一定的统计性。 ③外界条件一定，重复实验，结果衍射花纹不变；
假设：金属的密度为，原子价为Z，原子摩尔质 量为M，那么电子密度为：
nZ
N0
M
N0 Z M
N0为阿伏加德罗常数
6.021023/mol。
？问题：
根据计算，如果金属中只存在自由电子一 种载流子，那么RH只能为负。但实际测量的 结果却与之相反，RH为正。实际结果说明金 属晶体中的电子一定还有其它存在状态。
EH ，可以得到： J x B0
RH
J x B0 EH 1 1 J x B0 J x B0 ne ne
B0为磁场强度； n为电子密度。
其中：Jx为沿x方向的电流密度；
上式说明： 霍耳系数只与金属中的自由电子有关。 霍耳效应证明金属中存在自由电子，它是 电荷的载体。RH的理论计算与实测结果对于 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型金属一致。
效应，证实了电子的粒子性。
霍耳效应：取一块金属导体放在与它通过的电流
方向垂直的磁场中，结果发现在横跨样品的两面 产生一个与电流和磁
场垂直的电场。这种现
象称为霍耳效应。
-
+
Jx
B0
所产生的电场称为霍耳场，用霍耳系数来 表征。
-
+
B0
Jx
RH
EH J x B0
霍耳场强度
由洛仑兹力公式知电子所受洛仑兹力为： f洛仑兹=B0· e· v
粒子性（不是经典的粒子） ：“原子性”或“颗粒 性”。即具有不与“粒子有确切的轨道”的概念相联 系。 波动性（不是经典的波）：波的“叠加性”，并不与 某种实际的物理量在空间的分布相联系。
设想电子是绵延分布在空间的云状物－“电子 云”，则
e
2
是电子云的电荷密度。这
样，电子在空间的几率密度分布，就是相应的电
Ni
电子枪 探测器
54v
d
d
d sin k , k 1
10
2.15 10
10
sin 50 1.65 10
0
(m)
再看由物质波波长方程式计算电子的波长： 电子质量
m＝9.110-31 kg，电子能量E＝54eV，
则电子动量：
P m 1 2 E m 2
依定义，在面积为ds的截面面，电流强度I 可以表示为：I=n· e· v· ds
依定义，电流强度I与电流密度Jx间的关系 可表示为： Jx=I/ds
Jx 由此，可以得出：v ne
代入 E=B0· v ，得：
B0 J x E ne
霍耳场 表达式
即霍耳场可表示为：
综合 RH
J x B0 EH ne
假设电子受力后产生的电场为匀强电场，前后 两侧面平行，间距为h，则其场强为：
E=U/h
故电子所受静电力为：F电=E· e=(U· e)/h
电子处于稳定状态时，电场力与洛仑兹力 平衡，即： F电=f洛仑兹
将F电=E· e=(U· e)/h 及 f洛仑兹=B0· e· v两式带入， 得： E=B0· v 或：U=h· v· B0
透射电镜
Si 薄膜
纳米金刚石
1.1.3
波函数
微观粒子具有波动性。实验证明：电子的波动
性就是电子波，是一种具有统计规律的几率波， 决定电子在空间某处出现的几率。在t时刻， 几率波是空间位置(x,y,z)的函数，此函数写 为Φ(x,y,z,t)或由Φ(r,t)，并称之为波函数。
电磁波理论认为光波可由电磁场的电场矢量E(x,y,z,t)
子云电荷密度的分布。当然电子云只是对电子运
动波性的一种虚设图像性描绘，实际上电子并非 真像“云”那样弥散在空间各处。但这样的图像
对于 讨论和处理许多具体问题，特别是对于定性
方法，很有帮助。
1.1.4
薛定谔方程
通过简谐振动、机械波和一维自 由粒子特例引入薛定谔方程。
简谐振动：物体在受到大小跟位移成正比， 而方向恒相反的合外力作用下的运动。
3.介绍与物理性能相关的特殊材料 功能材料 4. 介绍与这些物性相关的测试技术 与分析方法
课程特点:
需具备的基础知识：大学普通物理、化 学、物理冶金、晶体学 量子力学、理论物理、固体物理 难点：第1章 固体中的电子状态
课程安排：
授课周次：5-13
总
学
时：44 ；理论学时：36，实验学时：8
h p h 2mE
12
6.62 1034 2 9.11031 1.6 1019 200 103
0
2.74 10
(m) 0.0274( A)
电子的德布罗意波波长很短，可放大200万倍。
例：电子显微镜的应用
质—波动性和粒子性，即波粒二象性。
P确定，频率则由能量E确定。
h h ; p m
E mC h
2
式中：m为粒子质量。v为自由粒子运动 速度。 由上式计算的波长，称为德布罗 意波波长。
在相对论力学中运动物体的相对质量m、静止质 量m0及速度v间存在如下关系：
m
m0 1
C
2 2
本章将就固体中电子能量结构和状态作 初步介绍，建立起现代固体电子能量结构 观念，包括德布罗意波、费密—狄拉克
分布函数、禁带起因、能带结构及其与
原子能级的关系，以及非晶态金属、半导 体的电子状态等。
1927年10月，第五届索尔维会议
1.1 电子的粒子性和波动性
1.1.1 电子粒子性和霍耳效应
在1879年Edwin Hall发现的金属晶体中存在霍耳
1.1.2
电子的波动性
问题的提出： 19世纪末，人们确认光具有波动性，服从 麦克斯韦(Maxwcll)的电磁波动理论。利用 波动学说解释了光在传播中的偏振、干涉、 衍射现象，但不能解释光电效应。 1905年爱因斯坦(Einstein)依照普朗克 (Planck)的量子假设提出了光子理论，认 为光是由一种微粒—光子组成的。
p (2mE )1/ 2 (2 9.11031 54 1.6 1019 )1/ 2 3.97 1024 (kg m / s)
式中：1.610-19为电子伏特向焦耳的转换因子。
h 6.62 1034 / 3.97 1024 1.66 1010 ( m) p
——电子在空间的统计分布是一定的。 ④电子一个一个发射，重复实验，结果衍射花纹不变； ——单个电子也具有“波动性”。 而不是电子间相互作用的结果。
微观粒子的波粒二象性
经典概念中 粒子意味着 经典概念中 波意味着 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
与该粒子相联系的平面单色波的波长又可 表示为：
h h h p m m0 1
C
2 2
上式为实物粒子的德布罗意波长计算公式 。 如果ν<<C，那么：
h m0
德布罗意关于物质波的 假设，在1927年被美国 贝尔电话实验室的戴维 森(Davisson)和革末 (Germer) 的电子衍射
2
dW C dv
2
另一方面，在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz 表征)出现粒子的概率可表示为：
C dV C dV
*
2
称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单
位体积内粒子出现的概率。
2
整个空间出现粒子的几率应等于一。故波函数
还须满足：
说 明 波 函 数 要 C dV 1
附：机械波的产生和传播
简谐波
机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。
就每一质点来说，只是做振动，就全部媒质来
说，振动传播形成机械波。产生机械波的条件 是：具有波源和弹性媒质。 波动中真正传播的是振动、波形和能量；波
形传播是现象，振动传播是实质，能量传播
是波动的量度。
和磁场矢量H(x,y,z,t) 描述。光在某处的强度与该处
的|E|2或|H|2成正比。类似地，几率波强度应与 |Φ(r,t)|2成正比。因此，|Φ(r,t)|2正比于t时刻粒
子在空间(x,y,z)出现的几率。设t时刻空间某一点
(x,y,z)小体积元dv＝dxdydz发现粒子的几率为dW，则：
dW dv,
考核方式：？？ 成绩组成：平时：20％，考试：80％ 教材：材料物理性能， 田莳主编，北京航空航天
大学出版社，2004年11月 参考书籍：无机材料物理性能， 关振铎等编著， 清华大学出版社
第一章 固体中电子能量结构和状态
原子间的键合、晶体结构和电子能
量结构与状态决定了材料的物理性能。 键合类型：金属键、离子键、共价 键、分子键和氢键。 晶体结构复杂：有14种类型空间点 阵 (Bravais点阵)。
频率为的光，其光子具有的能量为:
E m C h
2
式中：h = 6.6310-34J· S，为普朗克恒量。 利用光子理论成功地说明了光的发射和吸 收现象。
鉴于微观粒子光子所表现出的双重性 l924年法国物理学家德布罗意(dc Broglie)认为 “波粒二象性” 具有普遍意义，不局限于光，并 提出物质波假说：一个能量为E、动量为P的粒子， 既具有粒子性，同时也具有波动性，其波长由动量
比较两个结果基本一致，说明德布罗意假设的正 确性。
1928年以后的进一步实验证明：不仅电子具有波 性，自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止 质量是否为零，都具有波粒二象性 ，包括如原子、 分子、质子等都微观粒子，其波长与=h/p计算出 来的完全一致，从而肯定了物质波的假说。
波粒二象性是一切物质(包括电磁场)所具有 的普遍属性。
2
满足归一化条件
令：
则：
C
dV 1 。 称为归一化波函数。
2
此外，波函数还应满足单值、连续、有限等 标准化条件。 上述为玻恩对波函数的统计解释。
波函数 本身不能和任何可观察的物理 量直接相联系，但波函数 2 可以代表微 观粒子在空间出现的几率密度。若用点子 的疏密程度来表示粒子在空间各点出现的 2 2 几率密度， 大的地方点子较密， 小 的地方点子较疏，这种图形叫“电子云”。
54v
电子枪 探测器
500
实验所证实。
Ni
电子枪
U
电子枪 探测器
K
D
探测器
B
500
54v
电子束
G
d
d
d sin k , k 1
镍单晶
Ni
从晶体表面相邻两原 子(离子)所散射出来 500 的波，如果在max方向 上光程差为，就会相 互加强，产生极大。 可以算出54eV电子束 相应波长：
材料物理性能
祝柏林 武汉科技大学 2011.9
材料：金属材料、无机非金属材料、 高分子材料
物理性能：电、光、磁、热、声、 辐射
力学性能
课程的内容：
1.材料的电、介电、光、热、磁、弹性和 内耗性能的物理本质。
2. 物性与材料的成分、组织结构、工艺 过程的关系及变化规律。 物性随环境而变化 环境有温度、压力、电场、磁场、辐射、 化学介质、力场等
例：一质量m=0.05kg的子弹，以速率 ν=300m/s运动，其德布罗意波长为多少?
h 6.63 10 35 4.4 10 (m) m 0.05 300
由此可见，对于一般的宏观物体，其物质波 波长是很小的，很难显示波动性。
34
例：电子显微镜的应用
当加速电场很大时，电子的德布罗意波长可以比 可见光波长短得多。因此，利用电子波代替可见 光制成的电子显微镜能具有极高的分辨本领。
原 子 间 键 合 晶 体 结 构 材 料 物理性能
固 体 的 电 子 能量结构和状态
键合、晶体结构、电子能量结构是理解和
创新一种材料的物理性能的理论基础。
其中电子的能量结构最为复杂。
思路：
电子的运动到底有什么规律和特殊性？
电子的粒子性-------霍尔效应 电子的波动性-------德布罗意波假设 电子波动性的描述-----薛定谔方程 波动的状态意味着什么----求解薛定谔方 程
如何理解电子的波粒二象性？ 电子双缝衍射实验： 7个电子 100个电子 20000
3000
70000
底片上出现一个个的点子 →电子具有粒子性。 随着电子增多，逐渐形成衍射图样 →来源于“一个电子”所具有的波动性， 而不是电子间相互作用的结果。
①单个电子入射每次集中于一点，出现在屏上； ——电子是一个完整的颗粒，不可分割。 ②电子在屏上的落点是随机分布的，多次积累以后 出现衍射花纹； ——在测量前具有不确定性，但 是有一定的统计性。 ③外界条件一定，重复实验，结果衍射花纹不变；
假设：金属的密度为，原子价为Z，原子摩尔质 量为M，那么电子密度为：
nZ
N0
M
N0 Z M
N0为阿伏加德罗常数
6.021023/mol。
？问题：
根据计算，如果金属中只存在自由电子一 种载流子，那么RH只能为负。但实际测量的 结果却与之相反，RH为正。实际结果说明金 属晶体中的电子一定还有其它存在状态。
EH ，可以得到： J x B0
RH
J x B0 EH 1 1 J x B0 J x B0 ne ne
B0为磁场强度； n为电子密度。
其中：Jx为沿x方向的电流密度；
上式说明： 霍耳系数只与金属中的自由电子有关。 霍耳效应证明金属中存在自由电子，它是 电荷的载体。RH的理论计算与实测结果对于 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型金属一致。
效应，证实了电子的粒子性。
霍耳效应：取一块金属导体放在与它通过的电流
方向垂直的磁场中，结果发现在横跨样品的两面 产生一个与电流和磁
场垂直的电场。这种现
象称为霍耳效应。
-
+
Jx
B0
所产生的电场称为霍耳场，用霍耳系数来 表征。
-
+
B0
Jx
RH
EH J x B0
霍耳场强度
由洛仑兹力公式知电子所受洛仑兹力为： f洛仑兹=B0· e· v
粒子性（不是经典的粒子） ：“原子性”或“颗粒 性”。即具有不与“粒子有确切的轨道”的概念相联 系。 波动性（不是经典的波）：波的“叠加性”，并不与 某种实际的物理量在空间的分布相联系。
设想电子是绵延分布在空间的云状物－“电子 云”，则
e
2
是电子云的电荷密度。这
样，电子在空间的几率密度分布，就是相应的电
Ni
电子枪 探测器
54v
d
d
d sin k , k 1
10
2.15 10
10
sin 50 1.65 10
0
(m)
再看由物质波波长方程式计算电子的波长： 电子质量
m＝9.110-31 kg，电子能量E＝54eV，
则电子动量：
P m 1 2 E m 2
依定义，在面积为ds的截面面，电流强度I 可以表示为：I=n· e· v· ds
依定义，电流强度I与电流密度Jx间的关系 可表示为： Jx=I/ds
Jx 由此，可以得出：v ne
代入 E=B0· v ，得：
B0 J x E ne
霍耳场 表达式
即霍耳场可表示为：
综合 RH
J x B0 EH ne
假设电子受力后产生的电场为匀强电场，前后 两侧面平行，间距为h，则其场强为：
E=U/h
故电子所受静电力为：F电=E· e=(U· e)/h
电子处于稳定状态时，电场力与洛仑兹力 平衡，即： F电=f洛仑兹
将F电=E· e=(U· e)/h 及 f洛仑兹=B0· e· v两式带入， 得： E=B0· v 或：U=h· v· B0
透射电镜
Si 薄膜
纳米金刚石
1.1.3
波函数
微观粒子具有波动性。实验证明：电子的波动
性就是电子波，是一种具有统计规律的几率波， 决定电子在空间某处出现的几率。在t时刻， 几率波是空间位置(x,y,z)的函数，此函数写 为Φ(x,y,z,t)或由Φ(r,t)，并称之为波函数。
电磁波理论认为光波可由电磁场的电场矢量E(x,y,z,t)
子云电荷密度的分布。当然电子云只是对电子运
动波性的一种虚设图像性描绘，实际上电子并非 真像“云”那样弥散在空间各处。但这样的图像
对于 讨论和处理许多具体问题，特别是对于定性
方法，很有帮助。
1.1.4
薛定谔方程
通过简谐振动、机械波和一维自 由粒子特例引入薛定谔方程。
简谐振动：物体在受到大小跟位移成正比， 而方向恒相反的合外力作用下的运动。
3.介绍与物理性能相关的特殊材料 功能材料 4. 介绍与这些物性相关的测试技术 与分析方法
课程特点:
需具备的基础知识：大学普通物理、化 学、物理冶金、晶体学 量子力学、理论物理、固体物理 难点：第1章 固体中的电子状态
课程安排：
授课周次：5-13
总
学
时：44 ；理论学时：36，实验学时：8