第五章 正交小波变换的快速算法
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C0 D0
H
j j {c j 1} 求取{c } 和 {d } 以上公式反映出如何由 k k k
C1 D1
H
C2
C M 1
DM 1
H
CM
G
G
G
运算量分析
假设细密层 C M 有N个数据，M-1层上 C M 1 和
{ 分别有A个 M 1 各有N/2个数据，假设{h }和 g } D n n 数据，那么，用 C M 计算C M 1 和 M 1 需要 D 2AN/2次运算；相应地，从M-1到M-2层需要2AN/4 次运算。要得到 C j 和 D j （0 j M 1 ）需要的运 算次数为 1 1 1 2 AN ( 2 M j ) 2 2 2
●3. 回复算法
回复算法的目的就是在{ (t n)} 是标准正交条 M {c j} 、 j} ，构造出 {c {d } 0 j M 1 下，由已知的 k ）。 k （ k 过程如下：
c j 1 n f j 1, j 1,n ) ( f j w j , j 1,n ) ( f j , j 1,n ) ( w j , j 1,n ) ( j j
~ j 1 j 1/ 2 d ~ 2 ( n l ) / 2 gl c l n
~ j 1 c j 1 ~ j 1 ~ n c c n n
～
j 1
～ j 1
f
j 1
(t ) V j 1 h2
cn
h3
c n 1
h－1
h h0 1 h 2
f j (t ) V j
f j (t ) V j w j (t ) W j
(t ) V 0 (t ) V 0
f n(t ) V n 本身频率 由上式可知，待分解信号 范围有限，分解出来的各分量中 f j (t ) 为相应尺度 下的低频分量，f 0(t )为最低频分量， j (t )则为相应 w 尺度下的带通分量。由上述分解过程得到的 f 0(t ) 和各 w j (t ) 的频带总和等于 f n(t )的频带范围。
与
c j (f(t), (t)) k j,k d j (f(t), (t)) k j,k g (1)nh n 1 n h 2 n n
⑵对于非平移正交尺度函数，构造出来的小波函数 也没有平移正交性，尽管可以生成MRA，但系数计 算要另行推导，即： j(t)c j (t),c j (f(t), (t)) f k j,k k j,k k
j 1 j j/2 j 1 2( j 1)/ 2 ck ( (2 t k ), 2 h m (2(2 t n ) m )) k m j 1 j 1 ( j 1)/ 2 2 j / 2 j 1 ck 2 h m ( (2 t k ), (2 t 2 n m )) k m k 2 n m 21/ 2 j 1 h 1/ 2 j 1 k 2 n 2 ck c 2 n m hm mk 2 n k m
j
j 1
,
j
D GC
j
j j
j 1
wenku.baidu.com从而实现了：V
j 1
V W , V W
j
C
3
V3
G
H
C2
D2
G
V2
W2
W 2的带宽
H
C
H
1
D
G
1
V1
W1
W 1的带宽
W 0的带宽
C D
0
0
V W
0
0
V 0的带宽
5.2 小波包算法
● 1. 对正交小波分解的进一步细分要求
● 2、正交小波包分解算法及其时域表现
k j }和 {d
k
j } 。
先从底层的 V 1 V 0 W 0 开始考虑，假定已 {c 1}、 }和 {g }，求 {c 0} {d 0}。由于{ (t n)} {h 知 k k 和 k n n 是标准正交的，有：
c 0, ) ( f 0 0, ) ( f 1, ) ( c 1 , ) c 1( , ) (f w 0, n 0, n 0, n n k 1, k 0, n k 1, k 0, n k k 1 1 c (21/ 2 (2t k ), (t n)) c (21/ 2 (2t k ), h (2(t n) m)) m k k k k m 1 1/ 2 c h ( (2t k ), (2(t n) m)) 2 m k k m k 2n m 1 1 1/ 2 c h 1/ 2 c 2 h 2 k k 2n 2n m m m k 2n k m 0
⑶初始数据的选用
用细密尺度层(或直接使用采样数据)作为:
M {ck } { f (t )} k
⑷分解层数和采样间隔的关系
分解层数应从需要分辨的最高和最低频率要求来 定。假设最细的M尺度层的采样间隔为 hM ，其最大 频率范围为低于1/(2hM ) ，最粗的0尺度层的频率范围 不超过 2 M 1/(2h
第五章 正交小波变换的快 速算法
本章介绍正交小波变换的快速算法。算
法理论不需具体的尺度函数和小波函数形
式，只用到分析信号的有关数据和双尺度 方程的传递系数 {hn}和{gn} 。
5.1 Mallat算法
●1、尺度空间的有限分解及数据表征
多分辨分析（MRA）表明对于任意的时域信 号 f (t ) ，可以分解成无数小波分量的直和。实际应用 过程中，只能已知采样得到的信号序列，可将它看 成某一尺度下的近似函数 f n(t ) V n，由此可得尺度 空间的有限分解：
M )
⑸最细尺度层的数据数量需要。
⑹Mallat算法所表现的频域分解特点
V3 W2 V2 W2 W1 V1 W2 W1 W0 V0
在Mallat算法中分解是通过算子H和G来表现的。数 j f j V j ，数据 D j表征 w j W j。 据C 表征
C HC
以上表示方法仍为时间t的连续函数，而对于数 字计算与分析处理来说，需要的是离散数据。也就 f j (t )和 w j (t ) 需要用离散数据来表示，显然它 是说， j j c 和 d 有一一对应关系。 们分别与 k k
●2 、分解算法
分解算法的目的就是在 { (t n)}是标准正交条件 {c j 1} {h } {g } 下，由已知的上一尺度的 k 、 n 和 n ，求 下一尺度的 {c
因此有：
c j 1 n j 1/2 j 1/2 j 1/2 c jh c 2 hn2 k d 2 gn2 k 2 d gn 2 k k k k k n 2 k k k k k
令l n 2k ，可将上式整理如下：
j ~ j 1 1/ 2 c 2 (n l ) / 2 h c l n l
c j n / 2 1
c
j n/2
c
j n / 2 1
j * j ) 1/ 2 c (H C 2 (n l ) / 2 hl n l
j (G*D j ) 21/ 2 d(n l ) / 2 g n l l
从上式可以看出：l和n的取值有相同规律，均同 时为奇数或偶数。一般而言，j+1尺度层的偶数编号 采样点对应着j尺度层的采样点。 回复算法也可以用简单的算子来表示： 且记：
同理可得： d
1 1/ 2 c 1g 1/ 2 c 2 g n k k 2n 2 2n m m k m
0
一般情况下有：
j j 1 c n 21/ 2 c j 1 h 21/ 2 c k 2 n k 2 nm hm k m
d
j 1 1/ 2 c j 1g 1/ 2 c gm k 2 n 2 n 2 k k m 2 nm j
h2 h1 h0 h1 h2 h3
f j 1 (t ) V j 1
j1 j 1 j 1 j 1 j 1 j 1 c c c c c c 2n1 2n2 2n1 2n 2n2 2n3
f (t ) V j
j
j c n1
c
j n
c
j n1
。 在理解了上述分解过程的具体做法基础上，可 j j 以用算子来表示计算过程。令 C j {cn } ， j {dn } D 根据这种定义可以有： j H C j 1 ， j GC j 1 ，将 D C 此过程递推，可得： j H M jC M ， j GH M j 1C M。 C D
证明过程：
j c n ( f j , j ,n ) ( f j w j , j ,n ) ( f j 1, j ,n ) ( c j 1 j 1,k , j ,n ) k k j 1 j 1 ( j 1)/ 2 c k ( j 1,k , j ,n ) c k ( 2 (2 k k j 1 j/2 j t k ), 2 (2 t n ))
V3 W2 V2 W2 W1 V1 W2 W1 W0 V0
C3 (U 3 )
H
G
GC 3
D 2 ( W2 )
HC HHC 3
3
C 2 ( U2 )
H
C 1 ( U1 )
G
D1 ( W1 )
GHC 3
H
C 0(U 0)
G
D 0(W0)
c ( j ,k , j 1,n ) d ( j ,k , j 1,n ) k k k k
又
) (2 j / 2 (2 jt k ), 2( j 1)/ 2 (2 j 1t n)) 21/ 2 ( x) (2 x n 2k )dx j, k j 1, n R 21/ 2 h (2 x m) (2 x n 2k )dx 21/ 2 h ( x m) ( x n 2k )dx m m m R m R 21/ 2h n 2k ( , ) (2 j / 2 (2 jt k ), 2( j 1)/ 2 (2 j 1t n)) 21/ 2 ( x) (2 x n 2k )dx j, k j 1, n R 21/ 2 g (2 x m) (2 x n 2k )dx 21/ 2 g ( x m) ( x n 2k )dx m m m R m R 21/ 2g n 2k ( ,
~ j 1 * j H C c ~ j 1 G*D j ~ C j 1 j 1 ~ ~ ~ C j 1 c C
C0 D0
H * C1 H * C 2
G * D1 G *
C M 1 H * C M
DM 1 G *
● 4. Mallat算法实现中的一些问题讨论：
⑴用到的基本公式总结
V n W n 1V n 1 W n 1W n 2 V n 2 W n 1W n 2 W 0 V 0
j f j (t ) c k j , k (t ), 其中： k j (t ) d j w j , k (t ), k k (t ) h n (2t n), n (t ) g n (2t n), n
f j(t)ck j j,k (t), f j(t) j V k j w j(t)d k j,k (t), w j(t) W j k (t)hn(2t n), (t) 0 V n (t) g n(2t n), (t) 0 V n
(t) 2 h (t) 2 n n j ,0 j1,n (t) 2 g (t) 2 n n j ,0 j1,n
H
j j {c j 1} 求取{c } 和 {d } 以上公式反映出如何由 k k k
C1 D1
H
C2
C M 1
DM 1
H
CM
G
G
G
运算量分析
假设细密层 C M 有N个数据，M-1层上 C M 1 和
{ 分别有A个 M 1 各有N/2个数据，假设{h }和 g } D n n 数据，那么，用 C M 计算C M 1 和 M 1 需要 D 2AN/2次运算；相应地，从M-1到M-2层需要2AN/4 次运算。要得到 C j 和 D j （0 j M 1 ）需要的运 算次数为 1 1 1 2 AN ( 2 M j ) 2 2 2
●3. 回复算法
回复算法的目的就是在{ (t n)} 是标准正交条 M {c j} 、 j} ，构造出 {c {d } 0 j M 1 下，由已知的 k ）。 k （ k 过程如下：
c j 1 n f j 1, j 1,n ) ( f j w j , j 1,n ) ( f j , j 1,n ) ( w j , j 1,n ) ( j j
~ j 1 j 1/ 2 d ~ 2 ( n l ) / 2 gl c l n
~ j 1 c j 1 ~ j 1 ~ n c c n n
～
j 1
～ j 1
f
j 1
(t ) V j 1 h2
cn
h3
c n 1
h－1
h h0 1 h 2
f j (t ) V j
f j (t ) V j w j (t ) W j
(t ) V 0 (t ) V 0
f n(t ) V n 本身频率 由上式可知，待分解信号 范围有限，分解出来的各分量中 f j (t ) 为相应尺度 下的低频分量，f 0(t )为最低频分量， j (t )则为相应 w 尺度下的带通分量。由上述分解过程得到的 f 0(t ) 和各 w j (t ) 的频带总和等于 f n(t )的频带范围。
与
c j (f(t), (t)) k j,k d j (f(t), (t)) k j,k g (1)nh n 1 n h 2 n n
⑵对于非平移正交尺度函数，构造出来的小波函数 也没有平移正交性，尽管可以生成MRA，但系数计 算要另行推导，即： j(t)c j (t),c j (f(t), (t)) f k j,k k j,k k
j 1 j j/2 j 1 2( j 1)/ 2 ck ( (2 t k ), 2 h m (2(2 t n ) m )) k m j 1 j 1 ( j 1)/ 2 2 j / 2 j 1 ck 2 h m ( (2 t k ), (2 t 2 n m )) k m k 2 n m 21/ 2 j 1 h 1/ 2 j 1 k 2 n 2 ck c 2 n m hm mk 2 n k m
j
j 1
,
j
D GC
j
j j
j 1
wenku.baidu.com从而实现了：V
j 1
V W , V W
j
C
3
V3
G
H
C2
D2
G
V2
W2
W 2的带宽
H
C
H
1
D
G
1
V1
W1
W 1的带宽
W 0的带宽
C D
0
0
V W
0
0
V 0的带宽
5.2 小波包算法
● 1. 对正交小波分解的进一步细分要求
● 2、正交小波包分解算法及其时域表现
k j }和 {d
k
j } 。
先从底层的 V 1 V 0 W 0 开始考虑，假定已 {c 1}、 }和 {g }，求 {c 0} {d 0}。由于{ (t n)} {h 知 k k 和 k n n 是标准正交的，有：
c 0, ) ( f 0 0, ) ( f 1, ) ( c 1 , ) c 1( , ) (f w 0, n 0, n 0, n n k 1, k 0, n k 1, k 0, n k k 1 1 c (21/ 2 (2t k ), (t n)) c (21/ 2 (2t k ), h (2(t n) m)) m k k k k m 1 1/ 2 c h ( (2t k ), (2(t n) m)) 2 m k k m k 2n m 1 1 1/ 2 c h 1/ 2 c 2 h 2 k k 2n 2n m m m k 2n k m 0
⑶初始数据的选用
用细密尺度层(或直接使用采样数据)作为:
M {ck } { f (t )} k
⑷分解层数和采样间隔的关系
分解层数应从需要分辨的最高和最低频率要求来 定。假设最细的M尺度层的采样间隔为 hM ，其最大 频率范围为低于1/(2hM ) ，最粗的0尺度层的频率范围 不超过 2 M 1/(2h
第五章 正交小波变换的快 速算法
本章介绍正交小波变换的快速算法。算
法理论不需具体的尺度函数和小波函数形
式，只用到分析信号的有关数据和双尺度 方程的传递系数 {hn}和{gn} 。
5.1 Mallat算法
●1、尺度空间的有限分解及数据表征
多分辨分析（MRA）表明对于任意的时域信 号 f (t ) ，可以分解成无数小波分量的直和。实际应用 过程中，只能已知采样得到的信号序列，可将它看 成某一尺度下的近似函数 f n(t ) V n，由此可得尺度 空间的有限分解：
M )
⑸最细尺度层的数据数量需要。
⑹Mallat算法所表现的频域分解特点
V3 W2 V2 W2 W1 V1 W2 W1 W0 V0
在Mallat算法中分解是通过算子H和G来表现的。数 j f j V j ，数据 D j表征 w j W j。 据C 表征
C HC
以上表示方法仍为时间t的连续函数，而对于数 字计算与分析处理来说，需要的是离散数据。也就 f j (t )和 w j (t ) 需要用离散数据来表示，显然它 是说， j j c 和 d 有一一对应关系。 们分别与 k k
●2 、分解算法
分解算法的目的就是在 { (t n)}是标准正交条件 {c j 1} {h } {g } 下，由已知的上一尺度的 k 、 n 和 n ，求 下一尺度的 {c
因此有：
c j 1 n j 1/2 j 1/2 j 1/2 c jh c 2 hn2 k d 2 gn2 k 2 d gn 2 k k k k k n 2 k k k k k
令l n 2k ，可将上式整理如下：
j ~ j 1 1/ 2 c 2 (n l ) / 2 h c l n l
c j n / 2 1
c
j n/2
c
j n / 2 1
j * j ) 1/ 2 c (H C 2 (n l ) / 2 hl n l
j (G*D j ) 21/ 2 d(n l ) / 2 g n l l
从上式可以看出：l和n的取值有相同规律，均同 时为奇数或偶数。一般而言，j+1尺度层的偶数编号 采样点对应着j尺度层的采样点。 回复算法也可以用简单的算子来表示： 且记：
同理可得： d
1 1/ 2 c 1g 1/ 2 c 2 g n k k 2n 2 2n m m k m
0
一般情况下有：
j j 1 c n 21/ 2 c j 1 h 21/ 2 c k 2 n k 2 nm hm k m
d
j 1 1/ 2 c j 1g 1/ 2 c gm k 2 n 2 n 2 k k m 2 nm j
h2 h1 h0 h1 h2 h3
f j 1 (t ) V j 1
j1 j 1 j 1 j 1 j 1 j 1 c c c c c c 2n1 2n2 2n1 2n 2n2 2n3
f (t ) V j
j
j c n1
c
j n
c
j n1
。 在理解了上述分解过程的具体做法基础上，可 j j 以用算子来表示计算过程。令 C j {cn } ， j {dn } D 根据这种定义可以有： j H C j 1 ， j GC j 1 ，将 D C 此过程递推，可得： j H M jC M ， j GH M j 1C M。 C D
证明过程：
j c n ( f j , j ,n ) ( f j w j , j ,n ) ( f j 1, j ,n ) ( c j 1 j 1,k , j ,n ) k k j 1 j 1 ( j 1)/ 2 c k ( j 1,k , j ,n ) c k ( 2 (2 k k j 1 j/2 j t k ), 2 (2 t n ))
V3 W2 V2 W2 W1 V1 W2 W1 W0 V0
C3 (U 3 )
H
G
GC 3
D 2 ( W2 )
HC HHC 3
3
C 2 ( U2 )
H
C 1 ( U1 )
G
D1 ( W1 )
GHC 3
H
C 0(U 0)
G
D 0(W0)
c ( j ,k , j 1,n ) d ( j ,k , j 1,n ) k k k k
又
) (2 j / 2 (2 jt k ), 2( j 1)/ 2 (2 j 1t n)) 21/ 2 ( x) (2 x n 2k )dx j, k j 1, n R 21/ 2 h (2 x m) (2 x n 2k )dx 21/ 2 h ( x m) ( x n 2k )dx m m m R m R 21/ 2h n 2k ( , ) (2 j / 2 (2 jt k ), 2( j 1)/ 2 (2 j 1t n)) 21/ 2 ( x) (2 x n 2k )dx j, k j 1, n R 21/ 2 g (2 x m) (2 x n 2k )dx 21/ 2 g ( x m) ( x n 2k )dx m m m R m R 21/ 2g n 2k ( ,
~ j 1 * j H C c ~ j 1 G*D j ~ C j 1 j 1 ~ ~ ~ C j 1 c C
C0 D0
H * C1 H * C 2
G * D1 G *
C M 1 H * C M
DM 1 G *
● 4. Mallat算法实现中的一些问题讨论：
⑴用到的基本公式总结
V n W n 1V n 1 W n 1W n 2 V n 2 W n 1W n 2 W 0 V 0
j f j (t ) c k j , k (t ), 其中： k j (t ) d j w j , k (t ), k k (t ) h n (2t n), n (t ) g n (2t n), n
f j(t)ck j j,k (t), f j(t) j V k j w j(t)d k j,k (t), w j(t) W j k (t)hn(2t n), (t) 0 V n (t) g n(2t n), (t) 0 V n
(t) 2 h (t) 2 n n j ,0 j1,n (t) 2 g (t) 2 n n j ,0 j1,n