傅里叶变换的基本性质.
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件,其傅里叶变换不含冲激函数,故
10) 频谱如图 5.4-8(d)所示。
(5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导,可得频域微分性质:
(d) (5.4-11)
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质,有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上, 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的,重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化,或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换,不仅计算过程简单,而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性,若
,
则
(5.4-1)
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算,相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示,其中
,
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
(5.4-8)
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换,可求得阶跃函数的变换。由于
故有
(5.4-9)
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
,在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数,波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
信号分析与处理——傅里叶变换性质
信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法,通过将信号在频域上进行分解,可以获得信号的频谱信息,并对信号进行频谱分析,从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质,这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质:傅里叶变换具有线性性质,即对于任意两个信号x(t)和y(t),以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f),有以下关系:a) 线性叠加:傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的,即如果有h(t) = cx(t) + dy(t),则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合:如果有z(t) = ax(t) + by(t),则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便,可以通过分别对不同组成部分进行变换,再进行线性组合,得到最终的处理结果。
2. 平移性质:傅里叶变换具有平移性质,即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f),则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f),其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化,而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理:傅里叶变换还具有卷积定理,即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说,如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f),则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作,可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理:傅里叶变换还具有Parseval定理,即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说,如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f),则有∫,x(t),^2dt = ∫,X(f),^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计,从而对信号的能量进行定量的测量。
信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理
1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦(cosα=λξ,cosβ=λη)
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点:可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关,仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt)对各点均相 同,可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的,上式可写为
说明在线性不变系统中,在有实值脉冲的响应情况下,余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 (1)互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度(互谱密度)
(2)自相关定理 设 则 ☆
(3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向,当cosβ≠0也可得到 ,空间频率 在z方向 空间频率
傅里叶变换的性质
a 1
dx
j b a
, dt
t
1
t 1
2f1
(b)
且由图(b)可得 f1 (t ) Sa(t )
第
幅频、相频特性
幅频、相频特性分别如图(c)(d)所示。
| F ( ) |
28 页
( )
1
0
0
(c)
(d)
幅度频谱无变化,只影响相位频谱,
退出
3.时移加尺度变换
(1)性质
2
t
4 E
退出
解 F f t
2E 4E 2E j t t t t e dt 2 2
第 15 页
e 1 2E E 2E 4 j j 2 2 F e e 2 e
则F ( t )的频谱函数形状与 f t 形状相同,t , 幅度差2
3.例题
退出
第
例3-7-1
t 1 , F t 1 2
4 页
例3-7-2
已知F [sgn( t )] 则 2 jt 2 j ,
2 sgn( )
相移全通 网络
j t
dt
f ( u)e j
u
du F ( )
若f ( t ) F ( ),则f ( t ) F ( )
证明
退出
证明
设f(t)是实函数(为虚函数或复函数情况相似,略)
F ( )
傅里叶变换的性质
所以
df t jF dt
同理,可推广到高阶导数的傅里叶变换 df n t n j F
dtn
式中 j 是微分因子。
6、时域积分特性
傅里叶变换的时域积分特性表示为 若 f t F 则 y t
t
1 f d Y F 0 F j
j x a
F f at
dx
1 F a a
a0 令
at x , 则 dt 1 / a dx , t x / a 代入上式
j x 1 f x e a dx a
F f at
j x 1 f x e a dx a
搬移到 0 附近。反之,频谱在 0 附近的高频
信号乘以 e j0t ,其频谱被搬移到附近,这就是解调。
变频是将频谱在 c 附近的信号 f t 乘以 e j0t ,
使其频谱搬移到 c 0 附近。这些都是频移特性 的应用。
实际调制解调的载波信号是正(余)弦信号,借助欧拉 公式正(余)弦信号可以表示为
§2.3傅里叶变换性质及定理
傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。 信号可以在时域中用时间函数 f t 表示,亦可以在频域 中用频谱密度函数 F 表示;只要其中一个确定,另一
个随之确定,两者是一一对应的。在实际的信号分析
中,往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、 变换规律有更深入、具体的了解。例如我们希望清楚, 当一个信号在时域中发生了某些变化,会引起频域中 的什么样变化?反之亦然。除了明白信号时频之间的
e j0t e j0t cos 0 t 2
e j0t e j0t sin 0t 2j
傅里叶变换性质
四.尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展,频带压缩。 (2) a>1 时域压缩,频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展,频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调,频分复用。
X
七.微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F(),则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1.时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数,F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数,F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
傅里叶变换的基本性质
其对应的频谱函数为
X ( j ) A Sa (
因为
2
)
x1 (t ) x(t T )
故,由延时特性可得
-jT
X1 ( j) X ( j)e
A Sa (
2
) e - j T
4. 频移特性(调制定理) 若 则
x(t ) X ( j)
x(t ) e j0t X [ j ( 0 )]
2 A
0
t
p 0 p
f (t ) F ( ) A
2
2
t
2p
0
2p
f (2t )
A
1 1 F( ) 2 2 1 A 2
t
4
4
4p
0
4p
6.互易对称特性
若x(t ) X ( j)
f (t )
A
则X (t ) 2px()
2.4傅里叶变换的基本性质
1. 2. 3. 4. 5. 6. 线性特性 共轭对称特性 对称互易特性 展缩特性 时移特性 频移特性 7. 时域卷积特性
8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性
能量定理
12.
1. 线性特性
8.积分特性
若x(t ) X ( j) t 1 则 x( )d X ( j ) pX (0) ( ) j
若信号不存在直流分量即X(0)=0
1 则 x( )d X ( j ) j
t
9.频域微分特性
( 0 ) ( 0 ) 1 { A Sa[ ] A Sa[ ]} 2 2 2
傅里叶变换 数学物理方程
若 是实数集上的可积函数,则
称为 在实数集上的傅里叶变换,且
称为 在实数集上的傅里叶逆变换。
傅里叶变换的四个基本性质
1、位移,则有
3、导数性质
若可积函数 连续且分段光滑,则有
若 也可积,则有
4、卷积性质
若函数 和 都可积,则有
考虑非限定区域内的热传递问题
对微分方程和初始条件同时做傅里叶变换,并由傅里叶变换的导数性质可得
当 确定时,上述微分方程是一个关于t的一阶线性常微分方程,因此其通解为
又因为
所以
因此
同时,根据教材216页上方的结论
取
则有
因此
所以
对上式左右两边进行傅里叶逆变换并根据傅里叶变换的卷积性质可得
傅立叶变换的性质
[
1 f (t ) d t ] F ( ) . j 1 f (t ) d t 2π
2
| F ( ) |2 d .
( 直接进入 Parseval 等式举例? )
15
§8.3 傅里叶变换的性质 第 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 [ f ( t )]. 八 1 章 解 已知 [ u( t )] π ( ) , j 傅 f ( t ) u( t ) (e j 0t e j 0t ) , 里 又 叶 变 根据线性性质和频移性质有 换 1 1 [ f (t )] π ( 0 ) π ( 0 ) j ( 0 ) j ( 0 )
[ f (t ) ] j [ g( t ) ] ,
[
t
1 f (t ) d t ] F ( ) . j
11
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 6. 帕塞瓦尔(Parseval)等式
1 f (t ) d t 2π
2
| F ( ) |2 d .
7
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f (t ) ] jF ( ) . | 里 叶 证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 , | t | | t | 变 换 [ f ( t ) ] f ( t ) e j t d t
f (t ) e
j t
j f ( t ) e j t d t
实函数的傅里叶变换
实函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种非常重要的数学工具,它可用于将一个实函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合形式。
这种表示方式在很多领域都得到了广泛应用,包括信号处理、图像处理、物理学、工程学等等。
在本文中,我们将讨论实函数的傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
1. 基本概念对于一个在整个实轴上有定义的实函数f(x),其傅里叶变换为:F(k) = ∫(-∞,∞) f(x) e^(-2πikx) dx其中,k为实数,e为自然对数的底数,i为虚数单位。
上式中,F(k)表示函数f(x)在频率k处的振幅。
这种将函数表示成频率的方式很有用,因为在很多应用中,我们更关心的是信号的频率特征。
在实际计算傅里叶变换时,需要注意函数f(x)在整个实轴上的性质,比如是否为周期函数、是否有界等等。
2. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质,其中一些是:线性性质:如果f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k),那么a f(x) + b g(x) 的傅里叶变换为 aF(k) + bG(k)。
对称性质:如果f(x)是一个实函数,则它的傅里叶变换F(k)是一个实函数。
此外,如果f(x)是偶函数,则F(k)也是偶函数;如果f(x)是奇函数,则F(k)是虚函数。
3. 应用傅里叶变换在工程学、物理学、数学以及其他许多领域都有广泛应用。
下面我们简要介绍一些应用情况:信号处理:在信号处理领域,傅里叶变换用于分析和处理信号的频率特征,比如过滤高频噪声、增强信号等等。
物理学:在物理学中,傅里叶变换用于描述某些物理现象的波动特征,比如声波、电磁波等等。
数学:傅里叶变换在数学领域也有广泛应用,比如在微积分、概率论、偏微分方程等领域。
总之,傅里叶变换是一种非常有用的数学工具,它将实函数表示为正弦和余弦函数的线性组合形式,可被用于许多应用领域中。
在使用傅里叶变换时,需要了解其基本概念和性质,并根据具体应用情况进行分析和处理。
傅里叶变换的11个性质公式
傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质,由他们可以推出其它性质。
其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。
1、线性性质:如果x(t)和y(t)是两个信号,则有:X(ω)=F[x(t)],Y(ω)=F[y(t)],则有:X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)];αX(ω)=F[αx(t)];X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。
2、有穷性质:如果x(t)是有穷的,则X(ω)也是有穷的。
3、周期性质:如果x(t)在周期T内无穷重复,则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。
4、旋转性质:X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)],即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t),其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。
5、折叠性质:X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)],即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t),其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。
6、应变性质:X(aω)=F[x(at)],即信号x(t)经过时间应变成x(at),其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。
7、平移性质:X(ω-ω0) = F[x(t-t0)],即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0),其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。
8、对称性质:X(-ω) = X*(-ω),即傅里叶变换的实部和虚部对称。
9、频域算子性质:X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)],即傅里叶变换不仅可以表示信号,还可以表示系统的频域表示,即h(t)*x(t),其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。
10、滤波性质:H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)],即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示,即h(t)*x(t),其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。
3.7-9 傅立叶变换的基本性质
2
t 4
B f = f 3 (0).τ = 1
3.7
当=-1时 时
傅立叶变换的基本性质
1 ω FT [ f (at )] = F ( ) a a
⇓
FT [ f (−t )] = F (−ω )
这就是反转特性. 这就是反转特性
3.7
FT
傅立叶变换的基本性质
[f
( t ) ] = F (ω )
2 F (2ω )
1
2τ
−τ
0
τ t
f (2t )
0
−
π τ
1 2
π τ
ω
压缩
−τ / 4
1
0
τ
F( ) 2
ω
扩展
2
0
τ /4
t
−
4π
4π
τ
τ
ω
3.7
注意: 注意
傅立叶变换的基本性质
傅立叶变换尺度变换性质.exe 傅立叶变换尺度变换性质
尺度变换伸展与压缩后幅度的变化. 尺度变换伸展与压缩后幅度的变化.
实函数
F
对实 x(t):
共轭对称
实 偶
F
实 偶
F
实 奇
纯虚 奇
偶部的F = F的实部
奇部的F = F的虚部
本次课的主要内容
3.7 傅立叶变换的基本性质
尺度变换特性 时移特性 频移特性 微分特性 积分特性
3.8 卷积定理 3.9 周期信号的傅里叶变换
3.7
• 若 • 则
傅立叶变换的基本性质
FT [ f (t )] = F (ω )
1 ω FT [ f ( at )] = F( ) a a
傅里叶变换的性质
∫−
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ←→ j dΩ
FT
例如: 例如: du (t ) (t
dt
对应的傅里叶变换
= δ (t )
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ(Ω) + =1 δ(t ) ←→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如: 再例如:
1 d [ πδ ( Ω ) + ] jΩ FT tu ( t ) ← → j dΩ
= j π δ ′( Ω ) −
1 Ω2
七、反褶与共轭特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ( − t ) ← → X ( − j Ω ) FT x * ( t ) ← → X * ( − j Ω )
由傅里叶变换公式很容易证明。 由傅里叶变换公式很容易证明。 奇偶、 八、奇偶、虚实性 1、实信号 、
FT x(t ) = x* (t ) ←→ X ( jΩ) = X * (− jΩ)
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
六、微分特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ′( t ) ← → j Ω X ( j Ω )
------时域微分性 时域微分性 ------频域微分性 ------频域微分性
1 x (t ) = 2π
∞
dX ( j Ω ) − jtx ( t ) ← → dΩ
FT
因为, 因为,由傅里叶反变换公式 等号两边同时对时间t求导数 等号两边同时对时间 求导数
傅里叶变换基本性质
傅里叶变换的基本性质(一)傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中,经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质,并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数,它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x,积分结果不变,即再将t用代之,上述关系依然成立,即最后再将x用t代替,则得所以证毕若是一个偶函数,即,相应有,则式(3-56)成为可见,傅里叶变换之间存在着对称关系,即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系,其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如:例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t,并考虑为的实函数,有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t,则得为抽样函数,其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a>0,由令,则,代入前式,可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍,而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比,信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数,反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数,且根据尺度变换性,信号比的时间尺度扩展一倍,即波形压缩了一半,因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间,则其频谱函数的振幅并不改变,但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性,有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以,相当于信号所分解的每一指数分量都乘以,这就使频谱中的每条谱线都必须平移,亦即整个频谱相应地搬移了位置。
傅里叶变换性质最终版.ppt
或
.精品课件.
14
1.时域微分
注意
.精品课件.
15
注意
如果f(t)中有确定的直流分量,应先取出单独求傅里 变换,余下部分再用微分性质。
.精品课件.
16
2.频域微分性质
推广 或
.精品课件.
17
八.时域积分性质
也可以记作:
.精品课件.
18
证明
因为
综合上述两种情况
.精品课件.
19
等效脉冲宽度与等效频带宽度
求图(a)所示三脉冲信号的
f t
频谱。
E
解:
令f0 t 表示矩形单脉冲
信号,其频谱函数F0 ,
F0
E
Sa
2
T
22
Tt
(a)三脉冲信号的波形
F0
E
2
O
(b)
.精品课件.
23
例3-7-9
方法一:先标度变换,再时延
方法二:先时延再标度变换
.精品课件.
相同
24
例3-7-6(教材例3-4)
已知矩形调幅信号 f t Gtcos0t ,
交换积分顺序
,
即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
.精品课件.
35
……续
.精品课件.
36
证明
即
.精品课件.
37
(flash)
.精品课件.
38
X
29
第 页
.精品课件.
29
X
例3-7-8
解:
.精品课件.
30
例3-7-9
解:
.精品课件.
31
例3-7-10
傅里叶变换及其性质课件
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用,例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$,则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
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傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换(DFT)是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列,表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
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信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用,如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换,可以提取出信号中的特征信息,实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用,如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换,可以提取出图像中的特征信 息,实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换(DFT)
对时间域或空间域的信号进行离散采样,然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换(FFT)
一种高效计算DFT的算法,能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT,大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
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傅里叶变换的基本性质(一)傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中,经常 需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质,并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若-'1 ' 一 1 一八餐丄I则嗽(0 +罰⑷ G 迅(j 由)+ 碍(Jtu ) (3-55)其中a 和b 均为常数,它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数,;「"由式(3-55)得=侔7(/)}=-屛1} + - (sgn( /)}=丄 K 刼罠珂 + 丄用2 二足飢也)+ —2 2 2 2 JtDJ QJ、对称性(3-56)则」将上式中变量少换为x ,积分结果不变,即证明因为fC )二丄「EQ 讣叫田N J2^(i) = f F(J 噪叫a 2^(-1)=「F(j 嫌小咕J —TO」一再将t用夕代之,上述关系依然成立,即2戒(―型)-[Jr-CD最后再将x用t代替,则得—Lm—® ”所以,fl- —■-'■ ■■*证毕若八」是一个偶函数,即-'二丿■,相应有-,:"J,则式(3-56)尺〔血—2对'(创)C3-57)成为可见,傅里叶变换之间存在着对称关系,即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系,其幅度之比为常数二丁。
式中的-兰表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如:/(0 =郭)㊀S)=l FS)= 1㊀2才㈣=2斶眄例3-7若信号;二的傅里叶变换为< r 72G3> r <2试求。
解将中的"换成t,并考虑;-";1为兰的实函数,有M |r|G 戈0 |t|>r/2该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为頁恥)卜2氓旳(号)根据对称性丿二为抽样函数,其波形和频谱如图 3-20所示三、折叠性四、尺度变换性若门與]◎丄厅(」二)8为大干零的实常数)(3-59)则a a证明因a > 0, 由再将/(-②)中的-田换成t ,则得-r/20r/2/(T )台F (-屈“ 丫珂一[/⑷的实函数I/G )閃虛函数(3-5S)两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示令,则••昭一一,代入前式,可得'J 小沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a 倍该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比, 信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数,反之亦然。
根据尺度变换性,信号丿二比人■的时间尺度扩展一倍,即波形压缩了一半,因此其频谱函数心(勿叮/(肘皿虫」心*〕 a a a证毕函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a 倍,而心)a则表示7(0 =例3-8已知|r| < r ,4艸川4,求频谱函数F")E解前面已讨论了^\<rf2*卜"2的频谱函数,且耳=尿%(严d * + (3-51)则'证明畑)严卜匚畑曲严&三匚/饮弘如必訂Lx©干亦证毕频移性说明若信号丿二乘以二+「二相当于信号所分解的每一指数分量都乘以■■-' ■',这就使频谱中的每条谱线都必须平移 -:,亦即整个频谱相应地搬移了込位置。
频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用,诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。
频谱搬移实现原理是将信号乘以所谓载频信号:’「或,即七、时域微分性(3-32)/Q) cos更葩证明:因为比J_tD两边对t求导数,得昭二」一J j 窗(J所以 同理,可推出:例3-10求… L'' ■'的频谱函数■' 'r ,- 0解:因为例3-11图3-22所示信号■为三角形函数解:将微分两次后,得到图3-22(c )所示函数,其表达式为1 9 1八f)二—卑卄)_ —占©) + _观f-T )' T TT'190②卜 T 讥『⑷}二—-2卄宀)二—[皿迹一 I]傅里叶变换的基本性质(二)八、频域微分性di由时域微分性“XT所以次)}=罷斗耳滸士驴由微分性(3-63)例3-12求/W =^ffl的频谱函数应。
⑷)。
U側G农魂少)+丄解:因为工tU(t} <-> j -^- 鑑氓a?) + — = j充占(少)--根据频域微分性如丿囹」也九、时域积分性若.'1 ''f 处妙0 尸血+曲(0迈(3-64)」■»JO)则^例3-13根据宀;’和积分性求厂:’「的频谱函数。
解:因为宀」,又(1 o ' ,根据时域积分性口(£)_+圧魂呦丿少例3-14求图3-23所示信号的频谱函数「亠心八f ) 0丄严丄-i 二畀酒更)rTT 2由时域积分性/'①=「/'(x)必o —siii( —)H-^xO 占⑷)=2sin(—)=肪(竺)」F T£U 2 TO) 22 1/(/) -「f (_x)必 ㊀一sin( —) + ^zSot(O)占㈣-悠迓血)十—3」F JtD I 2 JtD 2皿)—E /2 0 TilS3 -23十、频域积分性 若—..例3-15已知宀;,求一。
解:因为㈠21 [占(血一1)-必(①+1”二丿広[$(如+1)_占〔口 一 1)] 荀丄砍0)気f )+»@)㈠丄『巩戸妙J£C3-65)解:丿二对;求两次微分后,得/'p) = -3(i+T/25 -丄死一珂2)T T1/r(1/r)sin(二—-e _JI2/r/2-r/2°根据频域积分性㊀丄「卯险尤41)一占b —1)矗=用0® + 1)—5由-1)]十、时域卷积定理若K a)0骂(庖弭(0—耳(屈flU)丸匸心e F心闻F山血(3-S0)则证明:w */a©}=r [r卫(也。
-書的=r齐(巧T加-書”加必几二J—JF-«£fc L』一©」*—©[F?(J由沁w岛二恳(严)「厶(少勺叫『二场(J少)珥(州)证毕J―J—5Q例3-16图3-24(a)所示的三角形函数h⑷r|1_7 *1"、o *E可看做为两个如图3 —24(b)所示门函数卷积。
试利用时域卷积定理求其频(J切)。
谱函数用如竺)G 0) f ——=磁(一)少厂 2~21A号―的希伯特变换f 二是」和上的卷积,即= /©* 2 =丄「旭咒J解:因为由时域卷积定理S3 - 24则对称性有走 —少 2定= _2;T£gn [眄jE I-j £gn (少)解:因所以5*0 q ) =例3-17 一个信S3若则有1/r-T 0(b)木(1仃)解:因为AO = /W*-— -严却(妙巩冏或川"血心2胡耳(Q 对)例3-18利用频域卷积定理求「门'"■的傅里叶变换’’所以根据频域卷积定理 '1'■■',有ZiCVaW ㊀亠血(7®)#冯(沟)〔3-6町傅里叶变换的基本性质(三)十二、频域卷积定理由对称性I O jN 鼓〔曲U(t)料 仇5(曲)+_!_2(1/r)/1 © —耳(■/⑵)人②〜理(丿序(』少)二」一[』2圧『(OJ )卜5Zt^£U )+ —2^L J£U_FCM 二网何-(A )OJ十三、帕塞瓦尔定理Z (0 ㈠ Kg A (0 ㈠尽(2)「力(*)几©曲=丄「眄/必)尸2(衍旭刚 (3-QS )若齐©杪[为实函数,则「珂(j 曲)F 丁(ja/M 般(3-71J—K例3-19求〕」—。
9&?(妙畑二竺>:丄「2防夙2H 沁⑪伽* ^ 4 2茁」〜―… - ■'- -, 由帕塞瓦尔定理可得2J ?・ ■ 1 . - 1 , JJTtJ (tu ) + 占(心)*— = j 冗古(£U )+ S (甲)* (—)可推广口为(心讣匚M 训也(3-69)若乳©为实函数,则打不®)出迢(3-70)解:因「肋)(咖田=获)G?㈣=怎十四、奇偶性若和(如心二用㈣,则(1)当'■■为实函数时,则尺仙)=|^G^| =尺(一妙]炉〔曲)=-机-G )若-1为实偶函数,即-「;』〔,则若-’「为实奇函数,即「飞—:,则玖間=承(㈤&型)=0⑵当;■■为虚函数,即「「二时,则(3-73)R (n )) =左(一曲)X (-x(3-72)(3-74)F ((y ) = F(— 戚迢)--职应(妙-一丘(一劲 X ㈣二"0J )j 0-75)5.时移性”士 G%氓知6.频移性宀加)礼⑷干珂)]7•时域微分(河眄伽)8.频域微分S)9.时域积分 f 点伽川间+讦◎込)10.频域积分£-f F(j如11.时域卷积血迅(M)12.频域卷积壬码0珂爪见0田)13.帕塞瓦尔定理周期信号虽然不满足绝对可积的条件,但其傅里叶变换是存在的。
由于周期信号频谱是离散的,所以它的傅里叶变换必然也是离散的,而且是由一系列冲激信号组成。
下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换,然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。
一、复指数信号的傅里叶变换对于复指数信号\ (3-76)因为,由频移性'复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率CD0随时间旋转,经傅里叶变换后,其频谱为集中于日A强度为二:的冲激。
这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。
恥Q有o(F图E、余弦、正弦信号的傅里叶变换Z (7) - cos -对于余弦信号’-其频谱函数抵&①一習)+碍)]&-?7)对于正弦信号占曲—g扎(0 = sin = ---------- ------2?它们的波形及其频谱如图3-25所示増(」珂=丄【2汙圾少—%) - 2兀彳心+吗)] 2丿术広© Y0洱/可讣瓯印十殆—&少—%)]栏a 劲丄何A0) =血砒A 曲眩丿効三、单位冲激序列1厂的傅里叶变换若信号;二为单位冲激序列,即则其傅里叶级数展开式为 "-■对其进行傅里叶变换,并利用线性和频移性得[笛 0/(J a?) = — ^ 2打取田一冷Q)=门£ $仙一幷G)(3~81)可见,时域周期为丁的单位冲激序列,其傅里叶变换也是周期冲激序列,而 频域周期为二,冲激强度相等,均为二o 周期单位冲激序列波形、傅里叶系数: 与频谱函数巩阿 如图3-26所示。
对于一般周期为T 的周期信号丿二,其指数型傅里叶级数展开式为/(O = (町=F 3(t -nT)(3-70)-2T-T0 T 2T四、 般周期信号的傅里叶变换对上式两边取傅里叶变换,并利用其线性和频移性,且考虑到 与时间,无关,可得= £ F* 2陌罠旧一阳C 〕= 2环》丘3(旧一冷(3-82)iS ・FDK"—KJ式(3-82)表明,一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数 组成,这些冲激函数位于信号的各谐波频率'-…处,其强度为相应 傅里叶级数系数’‘”的:倍。