傅里叶变换的基本性质.

傅里叶变换的基本性质（一）

傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常 需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。 因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。

一、线性

傅里叶变换是一种线性运算。若-'1 ' 一 1 一八

餐丄I

则

嗽（0 +罰⑷ G 迅（j 由）+ 碍（Jtu ） （3-55）

其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。

例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数

，；

「"

由式（3-55）得

=侔7(/)}=-屛1} + - (sgn( /)}=丄 K 刼罠珂 + 丄用2 二足飢也)+ —

2 2 2 2 JtD

J QJ

、对称性

（3-56）

则」

将上式中变量少换为x ，积分结果不变，即

证明因为

fC ）二丄「EQ 讣叫田

N J

2^(i) = f F(J 噪叫

a 2^(-1)=「F(j 嫌小咕

J —TO

」一

再将t用夕代之，上述关系依然成立，即

2戒（―型）-[

Jr-CD

最后再将x用t代替，则得—Lm—® ”

所以,fl- —■-'■ ■■*

证毕

若八」是一个偶函数，即-'二丿■，相应有-，："J，则式（3-56）

尺〔血—2对'（创）C3-57）

成为

可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数二丁。式中的-兰表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如：/（0 =郭）㊀S）=l FS）= 1㊀2才㈣=2斶眄

例3-7若信号；二的傅里叶变换为

< r 72

G3> r <2

试求。

解将中的"换成t,并考虑;-"；1为兰的实函数，有

M |r|G 戈

0 |t|>r/2

该信号的傅里叶变换由式（3-54）可知为

頁恥）卜2氓旳（号）

根据对称性

丿二为抽样函数，其波形和频谱如图 3-20所示

三、折叠性

四、

尺度变换性

若

门與]◎丄厅（」二）8为大干零的实常数）

（3-59）

则

a a

证明因a > 0, 由

再将/（-②）中的-田换成t ,则得

-r/20r/2

/（T ）台F （-屈“ 丫珂

一

[/⑷的实函数

I/G ）閃虛函数

(3-5S)

两种信号的波形及频谱函数如图

3-21所示

令，则••昭一一，代入前式，可得

'J 小沿频率轴扩展（或频率尺度压缩）a 倍

该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比， 信号持续时间压缩的倍

数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。

根据尺度变换性，信号丿二比人■的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半,

因此其频谱函数

心（勿叮/（肘皿虫」心*〕 a a a

证毕

函数表示沿时间轴压缩

（或时间尺度扩展）a 倍，而

心)

a

则表示

7(0 =

例3-8已知

|r| < r ,4

艸川4，求频谱函数F"）

E

解前面已讨论了

^\

*卜"2的频谱函数，且

耳=尿％（

严d * + （3-51）

则'

证明

畑）严卜匚畑曲严&三匚/饮弘如必訂Lx©干亦

证毕

频移性说明若信号丿二乘以二+「二相当于信号所分解的每一指数分量都乘以

■■-' ■',这就使频谱中的每条谱线都必须平移 -：，亦即整个频谱相应地搬移了込位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号乘以所谓

载频信号：’「或，即

七、时域微分性

（3-32）

/Q) cos更葩

证明：因为比J_tD

两边对t求导数，得昭二」一J j 窗（J

所以 同理，可推出:

例3-10求… L

'' ■'的频谱函数■' '

r ，

- 0

解：因为

例3-11图3-22所示信号■为三角形函数

解：将微分两次后，得到图3-22（c ）所示函数，其表达式为

1 9 1

八f)二—卑卄)_ —占©) + _观f-T )

' T T

T

'

1

9

0②卜 T 讥『⑷｝二—-2卄宀）二—[皿迹一 I]

傅里叶变换的基本性质（二）

八、频域微分性

di

由时域微分性

“XT

所以

次）｝=罷斗耳滸士驴

由微分性

（3-63）例3-12求/W =^ffl的频谱函数应。⑷）。

U側G农魂少）+丄

解：因为工

tU（t} <-> j -^- 鑑氓a?） + — = j充占（少）--

根据频域微分性如丿囹」也

九、时域积分性

若.'1 ''

f 处妙0 尸血+曲（0迈（3-64）」■»JO）

则^

例3-13根据宀；’和积分性求厂：’「的频谱函数。

解：因为宀」，又（1 o ' ，根据时域积分性

口（£）_+圧魂呦

丿少

例3-14求图3-23所示信号的频谱函数「亠心