§3柱面方程与柱面坐标

§3 柱面方程与柱面坐标

一 母线平行于坐标轴的柱面方程

1 定义：一动直线l 在运动过程中，总是平行于一定方向V 。，且总与一曲线c 相

交，则l 的运动轨迹称为柱面，其中V 。——柱面的方向，c ——柱面的准线，l 的任一位置——柱面的母线。

2 方程及特征：

定理：在空间坐标系下，三元方程F （x,y,z ）=0为一母线，平行于z 轴的柱面

的方程 〈═〉该方程同解于一关于x,y 的二元方程f （x,y ）=0

证： “═〉”设三元方程F （x,y,z ）为一母线平行于z 轴的柱面Σ的方程，

则Σ与y x 面的交线c ：⎩⎨⎧==00),,(z z y x F 〈═〉⎩

⎨⎧==00),(z y x f 其中f （x,y ）≡F （x,y,0），可以证明M （x,y,z ）∈Σ〈═〉M 点的坐标

满足f （x,y ）=0， ∴f （x,y ）=0是Σ的方程，从而F （x,y,z ）=0与 f （x,y ）=0同解。

“〈═”若F （x,y,z ）=0同解于f （x,y ）=0，记以c ：⎩⎨⎧==0

0),(z y x f 为准

线，母线平行于z 轴的柱面为Σ，可以证明M （x,y,z ）∈Σ〈═〉M 的坐标满足f （x,y ）=0

∴f （x,y ）=0表示柱面Σ，从而F （x,y,z ）=0亦表示柱面Σ

例：在直角坐标系下，圆柱面222R y x =+，双曲柱面122

22=-b

y a x ，平面1=+z y 和抛物柱面)0(22>=p px y 的图形如下：

(图2.4)

(图2.5)

(图2.6) (图2.7)

二 柱面坐标：

1 圆柱面的参数方程：

设圆柱面Σ的中心轴重合于z 轴，半径=R

对∀P ∈Σ，记P 在x.y 面上的投影为P ′

θ=∠（i ，OP ′），则 r= = P O ' + P ' = Rcos θi+Rsin θj+uk ————矢量式参数方程

而⎪⎩

⎪⎨⎧===u z R y R x θθsin cos 0≦θ<2π,∣u ∣<∞——————坐标式参数方程

2 定义：空间中建立了直角坐标系之后，对∀M （x,y,z ），设其到z 轴的距离为ρ，则

M 落在以z 轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而∃θ，u ，使

⎪⎩

⎪⎨⎧===u z y x θρθρsin cos （*）

反之，对∀给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u （∣u ∣<∞）,依据（*）式

也可确定空间中一点M （x,y,z ），称有序三数组ρ，θ，u 为M 点的柱面坐标，

记作M （ρ，θ，u ）

注：1°空间中的点与其柱面坐标并非一一对应

2°曲柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱面坐标,则需按下

式进行. ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=+=+=z u y x y y x x y x 22222

2sin ,cos θθρ