高中数学联赛-集合整理
集合-历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案
集合部分2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1 =，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。
★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合X 是集合{}1,,2,1-m 的任意一个子集与{}m 的并，故共有12-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1, ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法.因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是：()[]()12122122111111+⋅-=-=-∑∑∑=-==-+-n nm m n m n n m m n m n 由于有序集合对),(Y X 有()()()2121212-=--n n n 个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是()()124122122+-=-+⋅--n n n n n n n2017B 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21 ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,（可以相同），满足m cd ab =-．★证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+ 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡∙-∙=+， 故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=2017B 四、（本题满分50分）。
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
高中数学集合知识点归纳
高中数学集合知识点归纳一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些明确的、互不相同的元素所构成的整体，用大写字母如A, B, C等表示。
2. 元素：集合中的每一个成员被称为元素，用小写字母如a, b, c等表示。
3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
4. 集合的表示：集合通常可以通过列举法或描述法来表示。
例如，集合A = {1, 2, 3} 或 A = {x | x 是一个正整数}。
二、集合间的关系1. 子集：如果集合B的所有元素都是集合A的元素，则称B是A的子集，记作B ⊆ A。
2. 真子集：如果集合B是A的子集，并且B不等于A，则称B是A的真子集，记作B ⊂ A。
3. 补集：对于集合A，其在全集U中的补集是包含U中所有不属于A的元素的集合，记作A' 或 C_U(A)。
4. 交集：两个集合A和B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，记作A ∩ B。
5. 并集：两个集合A和B的并集是包含属于A或属于B的所有元素的集合，记作A ∪ B。
三、集合运算1. 德摩根定律：对于任意集合A和B，(A ∪ B)' = A' ∩ B' 和 (A ∩ B)' = A' ∪ B'。
2. 集合的幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集。
3. 笛卡尔积：两个集合A和B的笛卡尔积是所有可能的有序对(a, b)的集合，其中a属于A，b属于B，记作A × B。
四、特殊集合1. 有限集：包含有限个元素的集合称为有限集。
2. 无限集：包含无限个元素的集合称为无限集。
3. 有界集：如果集合中的所有元素都小于或等于某个实数，那么这个集合是有上界的；类似地，如果所有元素都大于或等于某个实数，则集合有下界。
4. 区间：实数线上的一段，包括开区间、闭区间和半开半闭区间。
五、集合的应用1. 函数的定义域和值域：函数的定义域是函数中所有允许输入的x值的集合；值域是函数输出的所有y值的集合。
高一数学集合知识点归纳总结大全
高一数学集合知识点归纳总结大全集合是数学中的一个基本概念，也是高中数学中的一门重要内容。
在高一数学学习中，集合知识点的理解和掌握对于后续数学学习的成功至关重要。
本文将从集合的基本概念、常用运算、集合间的关系以及应用领域等方面，对高一数学集合知识点进行归纳总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
常用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
集合的元素可以是数字、字母、符号等。
集合中的元素用花括号{}括起来，用逗号分隔。
例子1：集合A={1, 2, 3, 4}例子2：集合B={a, b, c, d}二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合中的元素列出来并用花括号{}括起来。
例如：A={1, 2, 3, 4}，B={a, b, c, d}2. 描述法：根据给定条件描述集合中的元素。
例如：A={x | x是整数，1≤x≤4}，B={y | y是英文字母，a≤y≤d}三、集合的分类1. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
2. 单元素集合：只包含一个元素的集合。
3. 有限集：元素个数有限的集合。
4. 无限集：元素个数无限的集合。
5. 并集：将两个集合的所有元素合并在一起形成的集合，用符号∪表示。
6. 交集：两个集合中共同具有的元素形成的集合，用符号∩表示。
7. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么称前一个集合是后一个集合的子集，用符号⊆表示。
四、集合的运算1. 并集运算：将两个集合的所有元素合并在一起形成的集合。
例如：A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}2. 交集运算：两个集合中共同具有的元素形成的集合。
例如：A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，则A∩B={3, 4}3. 差集运算：从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素，所得到的元素组成的集合。
集合知识点小总结高中
集合知识点小总结高中一、集合的概念和表示方法1. 集合的概念集合是一个概念，在数学中是研究对象之间相异性和相同性的基本概念。
它是指具有某种性质的对象的总体。
在集合中，对象称为元素，也可称为成员。
用大写字母A,B,C,...表示集合，用小写字母a,b,c,...表示元素。
2. 集合的表示方法集合可以用列举法、描述法和图示法来表示。
（1）列举法：直接列举出集合中的元素，用大括号{}括起来，元素之间用逗号分隔。
例如：A={1,2,3,4,5}（2）描述法：用某种性质描述集合中的元素。
例如：A={x|x是正整数，且x<6}（3）图示法：用Venn图或欧拉图来表示集合。
例如：Venn图：A = {1,2,3,4,5}B = {3,4,5,6,7}3. 集合的基本运算（1）并集：将两个集合中的元素全部取出来，不重复地列成一个新的集合。
用符号“∪”表示。
A∪B = {x|x∈A或x∈B}（2）交集：将两个集合中公共的元素取出，组成一个新的集合。
用符号“∩”表示。
A∩B = {x|x∈A且x∈B}（3）补集：集合A对于集合B的补集是指属于B而不属于A的元素组成的集合，用符号“A'”表示。
A' = {x|x∈B且x∉A}（4）差集：集合A对于集合B的差集是指属于A而不属于B的元素组成的集合。
A-B = {x|x∈A且x∉B}二、集合的性质1. 交换律、结合律和分配律集合的并集和交集满足交换律、结合律和分配律。
即：交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C，A∩(B∩C) = (A∩B)∩C分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)2. 并集和交集的音信对于任意两个集合A和B，有：A∪A = A，A∩A = AA∪∅ = A，A∩∅ = ∅A∪U = U，A∩U = A3. 德摩根定律对于任意两个集合A和B，有：(A∪B)' = A'∩B'(A∩B)' = A'∪B'三、集合的应用1. Venn图Venn图是一种用透视或欧拉图表示集合的方法。
专题01集合(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题01集合历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】设A=[－2，4)，B={x|x2－ax－4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( )A．[−1,2)B．[−2,2]C．[0,3]D．[0,3)【答案】D【解析】因为x2−ax−4=0有两个实根x1=a2−√4+a24,x2=a2+√4+a24，故B⊆A等价于x1≥－2且x2<4，即a2−√4+a24⩾−2且a2+√4+a24<4，解之得0⩽a<3，故选D．2．【2007高中数学联赛（第01试）】已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集.若n∈A时，总有2n+2∈B，则集合AUB的元素个数最多为( )A．62B．66C．68D．74【答案】B【解析】先证|A∪B|⩽66，只需证|A|⩽33，为此只需证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈A，证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈A，如取A={1,3,5,⋯,23,2,10,14,1825,27,29,⋯,49,26,34,42,46}，B={2n+2|n∈A}，则A，B满足题设且|A∪B|=66.故选B.3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知集合A={x|5x－a≤0}，B={x|6x－b>0}，a，b∈N，且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为( )A.20B.25C.30D.42【答案】C【解析】由5x−a⩽0得x⩽a5，由6x−b>0得x>b6，要使A∩B∩N={2,3,4}，则{1⩽b6<24⩽a5<5，即{6⩽b<1220⩽a<25.所以数对(a，b)共有C61C51=30个.故选C.4．【2005高中数学联赛（第01试）】记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M={a17+a272+a373+a474|a i∈T,i=1,2,3,4}，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是( )A．57+572+673+374B．57+572+673+274C．17+172+073+474D．17+172+073+374【答案】C【解析】用[a1a2⋯a k]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得M′={a1⋅73+a2⋅72+a3⋅7+a4|a i∈T,i=1,2,3,4}={[a1a2a3a4]7|a i∈T,i=1,2,3,4}，M'中的最大数为[6666]7=[2400]10，在十进制数中，从2400起，从大到小顺序排列的第2005个数是2400−2004=396，而[396]10=[1104]7，将此数除以74，便得M中的数是17+172+073+474.故选：C.5．【2004高中数学联赛（第01试）】已知M={(x,y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}.若对所有m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[−√62,√62]B．(−√66,√62)C．(−2√33,2√33)D．[−2√33,2√33]【答案】A【解析】由M ∩N ≠∅相当于点(0，b )在椭圆x 2+2y 2=3上或它的内部. 所以2b 23⩽1，所以−√62⩽b ⩽√62. 故选A .6．【2002高中数学联赛（第01试）】知两个实数集合A ={a 1,a 2,⋯,a 100}与B ={b 1,b 2,⋯b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f (a 1)⩽f (a 2)⩽⋯⩽f (a 100)，则这样的映射共有( )A ．C 10050B ．C 9948 C ．C 10049D ．C 9949【答案】D【解析】不妨设b 1<b 2<⋯<b 50，将A 中元素a 1,a 2,⋯,a 100按顺序分为非空的50组. 定义映射f ：A →B ，使第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i =1，2，…，50).易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与A 按号码顺序分为50组的分法数相等.而对A 的分割等价于从A 中前99个元素选择49个元素依次作为前49组的最后元素得到的分割(这样保证了每组非空且与前者一一对应)，故A 的分法数为C 9949，则这样的映射共有C 9949，故选D .7．【2001高中数学联赛（第01试）】已知a 为给定的实数，那么集合M ={x|x 2－3x －a 2+2=0，x ∈R }的子集的个数为( ) A ．1B ．2C ．4D ．不确定【答案】C 【解析】M 表示方程x 2−3x −a 2+2=0在实数范围内的解集.由于Δ=1+4a 2>0，所以M 含有2个元素.故集合M 有22=4个子集.8．【2000高中数学联赛（第01试）】设全集是实数，若A ={x|√x −2≤0}，B ={x|10x 2−2=10x }，则A ∩B̅是( ) A ．{2} B ．{−1}C ．{x|x ≤2}D ．∅【答案】D【解析】由√x −2≤0得x =2，注意到A 中只有一个元素，于是将x =2代入B ，方程成立，故A ∩B ̅=∅. (注：这样思考，即使B 更复杂一些，计算起来都很简单)9．【1998高中数学联赛（第01试）】若非空集合A ={x|2a +1≤x ≤3a －5}，B ={x|3≤x ≤22}，则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a的集合是( )A．{a|1⩽a⩽9}B．{a|6⩽a⩽9}C．{a|a⩽9}D．∅【答案】B【解析】由题意得A⊆B，所以{2a+1⩾33a−5⩽223a−5⩾2a+1，解得6⩽a⩽9.10．【1993高中数学联赛（第01试）】集合A，B的并集A∪B={a1,a2,a3}，当A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数有A．8B．9C．26D．27【答案】D【解析】已知A∪B={a1,a2,a3}，则作为其子集的A，B最多只有3个元素.(1)若A={a1,a2,a3}，则满足题意的B可以是空集，或是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元素的集合，这样的B有C30+C31+C32+C33=23个，这时(A，B)有C33⋅23对.(2)若A为二元素的集合，则有C32种，其对应的B的23个(C20+C21+C22=22)，这时(A，B)有C32⋅22对.(3)若A为单元素的集合，则有C31种，其对应的B有2个，这时(A，B)有C31⋅2对.(4)若A是空集，则有C30种，其对应的B有一个.这时(A，B)有C30⋅1对.所以这样的(A，B)共有C33⋅23+C32⋅22+C31⋅2+C30⋅20=33=27个，因此答案是D．.11．【1991高中数学联赛（第01试）】设S={(x，y)|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)|sin(2πx2)−sin(2πy2)= cos(2πx2)−cos(2πy2)，x，y∈R}.则( )A．s⊂T B．T⊂S C．S=T D．S∩T=∅【答案】A【解析】当y2=x2+奇数时，易见sin(2πx2)−sin(2πy2)=cos(2πx2)−cos(2πy2)成立.故当(x,y)∈S时，它必属于T，于是S⊆T，又满足x=y的点(x,y)∈T但不属于S.故S⊆T12．【1990高中数学联赛（第01试）】点集{(x,y)|lg(x3+13y3+19)=lgx+lgy}中元素的个数为( )A．0B．1C．2D．多于2【答案】B【解析】由lg (x 3+13y 3+19)=lgx +lgy 得x 3+13y 3+19=xy (x >0,y >0).由均值不等式x 3+13y 3+19⩾3√x 3(13y 3)⋅19=xy ，当且仅当{x 3=1913y 3=19，上式等号成立，解方程得x =√193,y =√133.故点集中有唯一点为(√193,√133).13．【1989高中数学联赛（第01试）】若M ={z|z =t 1+t+i1+t t,t ∈R,t ≠−1,t ≠0}，N ={z|z =√2[cos(arcsint)+ icos (arccos t)],t ∈ℝ,|t|⩽1}，则M ∩N 中元素的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】A【解析】M 中的点在曲线M:{x =t 1+ty =1+t t(t ∈R,t ≠0,−1) 上，N 中的点在曲线N:{x =√2(1−t 2)y =√2t(t ∈R,|t|⩽1) 上，曲线M 和N 的普通方程是M:xy =1 (x ≠0,1)，N:x 2+y 2=2 (0⩽x ⩽√2). 于是曲线M 和N 的交点在横坐标满足x 2+1x 2=2，即x =±1，显见M ∩N =∅.14．【1989高中数学联赛（第01试）】集合M ={u|u =12m +8n +4l,m,n,l ∈Z }，N ={u|u =20p +16q +12r,p,q,r ∈Z }，的关系为( ) A ．M =NB ．M ⊈N,N ⊈MC ．M ⊂ND ．M ⊃N【答案】A【解析】对N 中任一元素u ，有u =20p +16q +12r =12r +8(2q)+4(5p)∈M . 从而N ⊆M .另一方面，对M 中任一元素u ，有u =12m +8n +4l =20n +16l +12(m −n −l)∈N . 从而M ⊆N . 故M =N .15．【1982高中数学联赛（第01试）】如果凸n 边形F (n ≥4)的所有对角线都相等，那么( ) A ．F ∈{四边形}B ．F ∈{五边形}C ．F ∈{四边形}∪{五边形}D ．F ∈{边相等的多边形}{内角相等的多边形}【答案】C【解析】由正五边形所有的对角线都相等，可见选项A不正确.任作两条等长的相交线段AC和BD，这样所得的四边形ABCD对角线相等，可见选项B．不正确.其实，选项A与选项B都是选项C的真子集，可不必考虑，因若选项A或选项B成立，则选项C必成立.显然，联结两条等长且相交的线段端点所得的四边形未必边相等或内角相等，又得到选项D不正确16．【1982高中数学联赛（第01试）】设M={(x,y)||xy|=1,x>0}，N={(x,y)|arctanx+arccoty=π}.那么( )A．M∪N={(x,y)||xy|=1}B．M∪N=MC．M∪N=ND．M∪N={(x,y)||xy|=1,且x,y不同时为负数}.【答案】B【解析】由arctanx+arccoty=π①即arctanx=π−arccoty.所以tanarctanx=tan(π−arccoty)，因此x=−1y②如果式②成立，当x>0，y<0时，有arctanx∈(0,π2),π−arccoty∈(0,π2)，可知式①成立；当x<0，y>0时，有arctanx∈(−π2,0),π−arccoty∈(π2,π)，可知式①不成立所以N={(x,y)|xy=−1,x>0}.而M={(x,y)||xy=−1或1,x>0}.所以N⊂M，因此M∪N=M.17．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合X={1,2,⋯,20},A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为.【答案】190【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的(a,b)的取法共有C202=190种,所以这样的集合A的个数为190.18．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.【答案】−32【解析】假如x≥0，则最大、最小元素之差不超过max{3，x}，而所有元素之和大于max{3，x}，不符合条件.故x<0，即x为最小元素.于是3－x=6+x，解得x=−32.19．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为.【答案】−3【解析】条件等价于1，2，3，x中除最大数以外的另外三个数之和为0.显然x<0，从而1+2+x=0，得x=－3. 20．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设集合A={1，2，3，…，99}，B={2x|x∈A},C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为.【答案】24【解析】由条件知，B∩C={2,4,6,⋯,198}∩{12,1,32,2,⋯,992}={2,4,6,⋯,48}，故B∩C的元素个数为24.21．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设集合A={2，0，1，8}，B={2a|a∈A}则A∪B的所有元素之和是.【答案】31【解析】易知B={4，0，2，16}，故A∪B={0，1，2，4，8，16}.A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.22．【2014高中数学联赛（第01试）】设集合{3a+b|1⩽a⩽b⩽2}中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M−m的值为.【答案】5−2√3【解析】由1⩽a⩽b⩽2知3a +b⩽31+2=5，当a=1，b=2时，得最大元素M=5，又3a +b⩾3a+a⩾2√3a⋅a=2√3，当a=b=√3时，得最小元素m=2√3.因此M−m=5−2√3.23．【2013高中数学联赛（第01试）】设集合A={2，0，1，3}，集合B={x|－x∈A，2－x2∈A}.则集合B中所有元素的和为.【答案】−5【解析】易知B⊆{−2,0,−1,−3}，当x=－2，－3时，2－x2=－2，－7，有2−x2∉A；而当x=0，－1时，2－x2=2，1，有2－x2∈A.因此，根据集合B的定义可知B={−2,−3}.所以，集合B中所有元素的和为－5.24．【2011高中数学联赛（第01试）】设集合A={a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B={－1，3，5，8}，则集合A=.【答案】{－3，0，2，6}【解析】显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了三次，所以3(a1+a2+a3+a4)=(−1)+3+5+8=15，故a1+a2+a3+a4=5.于是集合A的四个元素分别为5−(−1)=6，5−3=2，5−5=0，5−8=−3.因此，集合A={－3，0，2，6}.25．【2003高中数学联赛（第01试）】已知{A=x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}.若A⊆B，则实数a的取值范围是.【答案】−4⩽a⩽−1【解析】易得A=(1，3)，设f(x)=21−x+a，g(x)=x2−2(a+7)x+5，要使A⊆B，只需f(x)，g(x)在(1，3)上的图像均在x轴下方其充要条件是：同时有f(1)⩽0,f(3)⩽0,g(1)⩽0,g(3)⩽0.由此推出−4⩽a⩽−1.26．【1996高中数学联赛（第01试）】集合{x|−1⩽log1x 10<−12,x∈N}的真子集的个数是.【答案】290−1【解析】首先考察该集合元素的个数.对x∈N，有−1⩽log1x 10<−12，所以−2<lg1x⩽−1，则1⩽lgx<2，因此10⩽x<100.于是集合大小是90，于是真子集个数是290−1.27．【1995高中数学联赛（第01试）】设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15 x∉A，则A中元素的个数最多是.【答案】1870【解析】用n(A)表示集合A所含元素的个数.由题设，k与15k(k=9，10，…，133)这两个数中至少有一个不属于A，所以至少有125(125=133－9+1)个数不属于A，即n(A)⩽1995−125=1870.另一方面，可取A={1,2⋯,8}∪{134,135⋯,1995}，A满足题设条件，此时n(A)=1870.所以n(A)的最大值就是1870.引申对于这种集合问题，一般的解决办法就是作出若干个数对，每个数对里至多有一个数包含在集合里.比如，如果题目条件说集合里任两个数之差不为a，则可将两个差为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之和不为a，则可将两个和为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之积不为a，则可将两个积为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里.总之，掌握这种原则之后，将不难解决这种问题.28．【1991高中数学联赛（第01试）】将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有2n－1个奇数进行分组：{1}(第一组)，{3，5，7}(第二组)，{9，11，13，15，17}(第三组)，…则1991位于第组中.【答案】32【解析】因为1+3+5+⋯+(2n−1)=n2，故第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2－1，可见有不等式2(n−1)2+1⩽1991⩽2n2−1.由前一不等式(n−1)2⩽995，故需n⩽32，由后一不等式，需满足2n2⩾1992，n⩾32，故n=32.29．【1991高中数学联赛（第01试）】设集合M={1，2，…，1000}，现对M的任一非空子集X，令a x表示X 中最大数与最小数之和，那么，所有这样的a x的算术平均值为.【答案】1001【解析】将M中非空子集进行配对，对每个非空集X̅⊂M，令X′={1001−x|x∈X}，则当X1也是M的一非空子集，且X'≠X时，有X′≠X1′.于是所有非空子集分成两类：(1)X'≠X；(2)X′=X.对于情形(2)中的X，必有a x=1001.对于情形(1)中的一对X与X'，有a x+a x′=1001×2=2002.由此可见，所有a x的算术平均值为1001.优质模拟题强化训练1．已知M={(x,y)|y≥x2} ， N={(x,y)|x2+(y−a)2≤1}.则使M∩N=N成立的充要条件是（）.A．a≥54.B．a=54.C．a≥1.D．0<a<1.【答案】A【解析】由M∩N=N得N⊂M,所以圆x2+(y−a)2=1在抛物线内部或上，所以a≥1+14=54，选A.2．已知集合M={1,2,...,10}，A为M的子集，且子集A中各元素的和为8.则满足条件的子集A共有（）个.A．8B．7C．6D．5【答案】C【解析】注意到，元素和为8的子集A有｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6个.选C.3．已知a为给定的实数，那么，集合M={x|x2−3x−a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（）A．1B．2C．4D．不确定【答案】C【解析】由方程x2−3x−a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素，得集合M有22=4个子集.选C.4．集合A={2,0,1,3}，集合B={x|-x∈A,2-x2∉A}，则集合B中所有元素的和为（）A．−4B．−5C．−6D．−7【答案】B【解析】由题意可得B={-2，-3}，则集合B中所有元素的和为-5.故选：B.5．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,3,4,5,6}则集合C={(a,b)|a∈A,b∈B，且关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根}的元素个数为( )．A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】由题意得Δ=4a2−4b2≥0∴a≥b∴元素个数为0+1+2+3+4=10,选D.6．集合A={x∈Z|log2x≤2}的真子集个数为（）A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】log2x≤2，所以0<x≤4，因为x∈Z,所以A={1,2,3,4},所以集合A的真子集个数为24-1=15.故答案为：C7．如果集合A={1,2,3,⋯,10}，B={1,2,3,4}，C是A的子集，且C∩B≠∅，则这样的子集C有（）个. A．256B．959C．960D．961【答案】C【解析】满足C∩B=∅的子集C有26个，所以满足C∩B≠∅的子集C有210−26=960个.故答案为：C8．设A=[−2,4),B={x|x2−ax−4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）.A．[−3,0)B．[−2,0)C．[0,2)D．[0,3)【答案】D【解析】因为f(x)=x2−ax−4开口向上，且{x|x2−ax−4≤0}⊆[−1,4)，故{f(−2)≥0,f(4)>0.解得a∈[0,3).故答案为D9．设集合P={x|x∈R,|x+3|+|x+6|=3}，则集合C R P为( )．A．{x|x〈6,或x〉3}B．{x|x〈6,或x〉−3} C．{x|x〈−6,或x〉3}D．{x|x〈−6,或x〉−3}【答案】D【解析】因为|x+3|+|x+6|=3,所以由绝对值的几何意义得-6≤x≤-3.则P ={x|−6≤x ≤−3}.故C R P ={x|x〈−6,或x〉−3}.选D.10．已知集合M ={x|x =sin(2m−3)π6,m ∈Z},N ={y|y =cos nπ3,n ∈Z}，则M,N 的关系是（ ） A ．M ⊊NB ．M =NC ．N ⊊MD ．M ∩N =∅ 【答案】B【解析】易由周期性知M =N ={±1,±12}.11．在复平面上，任取方程z 100−1=0的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________.【答案】39200【解析】易知z 100−1=0的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2π100，即将单位圆均匀分成100段小弧.首先选取任意一点A 为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B 和顶点C ，设AB 弧有x 段小弧，CB 弧有y 段小弧，AC 弧有z 段小弧，则△ABC 为锐角三角形的等价条件为：{x +y +z =1001⩽x,y,z ⩽49⇒{x +y +z =970⩽x,y,z ⩽48① 计算方程组①的整数解个数，记P 1={x|x +y +z =97,x ⩾49}，P 2={y|x +y +z =97, y ⩾49}，P 3={z|x +y +z =97,z ⩾49}，S ={(x,y,z)|x +y +z =97,x,y,z ⩾0}，则|P̅1∩P ̅2∩P ̅3|=|S|−|P 1∪P 2∪P 3| =C 992−(|P 1|+|P 2|+|P 3|−∑|P i ∩P j |i<j +|P 1∩P 2∩P 3|)=C 992−3C 502=1176.由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为100×11763=39200.故答案为：39200．12．已知集合A={k+1，k+2，…，k+n}，k、n为正整数，若集合A中所有元素之和为2019，则当n取最大值时，集合A=________.【答案】{334，335，336，337，338，339}【解析】由已知2k+n+12×n=3×673.当n=2m时，得到(2k+2m+1)m=3×673⇒m=3,n=6,k=333；当n=2m+1时，得到(k+m+1)(2m+1)=3×673⇒m=1,n=3.所以n的最大值为6，此时集合A={334,335,336,337,338,339}.故答案为：{334,335,336,337,338,339}．13．已知yz≠0，且集合{2x，3z，xy}也可以表示为{y，2x2，3xz}，则x=____________.【答案】1【解析】易知xyz≠0，由两集合各元素之积得6x2yz=6x3yz,x=1.经验证，x=1符合题意.故答案为：1．14．已知实数a≥−2，且A={x|−2≤x≤a}，B={y|y=2x+3,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}.若C⊆B，则a的取值范围是______________。
高中数学集合知识点总结6篇
高中数学集合知识点总结6篇篇1一、集合的基本概念集合是数学中非常重要的概念，它是具有某种特定性质的事物的总体。
集合通常由大括号{}括起来，其元素之间用逗号隔开。
集合分为有限集合和无限集合，有限集合的元素个数是有限的，无限集合的元素个数是无限的。
例如，自然数集合就是一个无限集合。
二、集合的表示方法集合的表示方法有多种，包括列举法、描述法、图示法等。
列举法是将集合中的元素一一列举出来；描述法是通过描述元素的一般性质来确定集合；图示法则是通过画图来表示集合。
在实际应用中，可以根据需要选择适当的表示方法。
三、集合的分类根据元素的性质，集合可以分为多种类型，包括数集、点集、线集等。
数集是最常见的集合类型，它包含具有一定数学规律的数的总体。
点集则是包含具有某种几何性质的点的总体，如平面上的点集。
线集则包含直线、线段等几何图形的总体。
四、集合的基本运算集合的基本运算包括并集、交集、差集和对称差等。
并集是两个或多个集合中所有元素的集合；交集是两个集合中共有的元素的集合；差集是一个集合中不属于另一个集合的元素的集合；对称差是两个集合的并集中去掉它们的交集后的元素构成的集合。
在进行集合运算时，需要明确各个运算的定义和性质。
五、数集的表示及基本性质数集是数学中最重要的集合之一，它包含具有一定数学规律的数的总体。
常见的数集包括自然数集、整数集、有理数集和无理数集等。
自然数集包括所有非负整数；整数集包括所有正整数、负整数和零；有理数集包括所有可以表示为两个整数之比的数；无理数集则是无法表示为两个整数之比的数。
数集具有一些基本性质，如可数性、有序性等。
这些性质在进行数学运算和证明时非常重要。
六、高中数学中的其他相关知识点高中数学中还有许多与集合相关的知识点，如区间与邻域的概念、数列与序列的概念、映射与函数的概念等。
这些知识点都与集合有着密切的联系，在进行数学学习时需要掌握这些知识点。
区间和邻域的概念对于理解数列和函数的性质非常重要；数列和序列的概念有助于理解数学中的有序结构；映射和函数的概念则是数学中非常重要的基础概念之一。
高中数学竞赛-集合(含解析)
集合练习1.【2021年新疆预赛】若实数集合{3,6,9,x}的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则x的值为 .【答案】94【解析】若x是最大元素，则3x=18+x,解得x=9,不合题意；；若x是最小元素，则9x=18+x,解得x=94若x既不是最大元素也不是最小元素，则27=18+x,解得x=9,不合题意；.所以x=942.【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设集合A={1,2,m},其中m为实数.令B={a2∣a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为.【答案】−8【解析】由条件知1,2,4,m,m2(允许有重复）为C的全部元素.注意到,当m为实数时,1+2+4+m+m2>6,1+2+4+m2>6,故只可能是C={1,2,4,m},且1+2+4+m=6.于是m=−1(经检验符合题意),此时C的所有元素之积为1×2×4×(−1)=−8.3.【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合X={1,2,⋯,20},A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为 . 【答案】190【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的(a,b)的取法共有C202=190种,所以这样的集合A的个数为190.4.【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数x的最大整数,集合A={x∣x2−x−6<0},B= {x∣2x2−3[x]−5=0}.则A∩B= .}【答案】{−1,√222【解析】易知,A=(−2,3).若x∈A,则[x]=−2,−1,0,1,2.当[x]=−2时,若x∈B,则2x2+6−5=0,x不存在.当[x]=−1时,若x∈B,则2x2+3−5=0⇒x=±1.经检验,x=1不符合要求,x=−1符合要求.当[x]=0时,若x∈B,则2x2−0−5=0⇒x=±√102，均不符合要求.当[x]=1时,若x∈B,则2x2−3−5=0⇒x=±2,均不符合要求.当[x]=2时,若x∈B,则2x2−6−5=0⇒x=±√222.经检验,x=√222符合要求,x=−√222不符合要求.故A∩B={−1,√222}.5.【2020年甘肃预赛】设集合:A={(x,y)∣log a x+log a y>0},B=|(x,y)|x+y<a}.若A∩B=∅,则a的取值范围是 .【答案】(1,2]【解析】若a>1,则A={(x,y)∣xy>1}.而当x+y=a与xy=1相切时，x+1x=a⇒x2−ax+1=0⇒a=2.于是,当a∈(1,2]时,A∩B=∅.若a<1,则A={(x,y)∣xy<1},此时，A∩B≠∅.综上,a∈(1,2].6.【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成20a+8b+27c(a ,b ,c∈N)形式,就称其为“好数".则集合{1,2,⋯,200}中好数的个数为 .【答案】153【解析】先考虑20a+8b=4(5a+2b).5a+2b可取2,4,5,6,⋯,50.则20a+8b可取8,16,20,24,⋯,200.故当c=0时共有48个非零好数(4k型）；c=1时共有42个好数(4k+3型),此时好数为27,35,43,47,⋯,199;c=2时共有35个好数(4k+2型),此时好数为54,62,70,74,⋯,198;c=3时共有28个好数(4k+1型),此时好数为81,89,97,101,⋯,197.综上,共有48+42+35+28=153个好数.7.【2020年新疆预赛】已知集合A={1,2,3,⋯,2020},对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为 .【答案】2020【解析】集合A的22020−1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1×3⋯,2019×2020,⋯,1×2×⋯×2020,它们的倒数和为1+12+⋯+12020+11×2+11×3+⋯+12019×2020+⋯+11×2×⋯×2020=(1+1)(1+12)⋯(1+12020)−1=2×32×⋯×20212020−1=2020.8.【2019年全国】若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为 .【答案】−32【解析】由题意知，x为负值，∴3−x=1+2+3+x⇒x=−32.9.【2019年江苏预赛】已知集合A={x|x2−3x+2≥0}，B={x|√x−a≥1}，且A∩B= {x|x≥3}，则实数a的值是 .【答案】2【解析】A={x|x≥2或x≤1}，B={x|x≥a+1}.又A∩B={x|x≥3}，故a+1=3，解得a=2.10.【2019年江西预赛】将集合{1,2,⋯,19}中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为.【答案】16815【解析】所求的和为12[(1+2+⋯+19)2−(12+22+⋯+192)]=12[36100−2470]=1681511.【2019年浙江预赛】已知集合A ={k +1,k +2,⋯,k +n },k,n 为正整数，若集合A 中所有元素之和为2019，则当n 取最大值时，集合A = .【答案】A ={334,335,336,337,338,339} 【解析】由已知2k+n+12⋅n =3×673.当n =2m 时，得到(2k +2m +1)m =3×673⇒m =3,n =6,k =333; 当n =2m +1时，得到(k +m +1)(2m +1)=3×673⇒m =1,n =3. 所以n 的最大值为6，此时集合A ={334,335,336,337,338,339}.12.【2019年福建预赛】已知f (x )=x 2-2x ，集合A ={x |f (f (x ))=0}，则集合A 中所有元素的和为.【答案】4【解析】方程f (f (x ))=0化为f (x 2-2x )=0，即(x 2−2x )2−2(x 2−2x )=0.∴ (x 2−2x )(x 2−2x −2)=0.解得，x 1=0, x 2=2, x 3=1−√3, x 4=1+√3. ∴A ={0,2,1−√3,1+√3}，A 中所有元素的和为4.13.【2019年福建预赛】已知集合U ={1，2，3，4，5}，I ={X|X ⊆U}，从集合I 中任取两个不同的元素A 、B ，则A ∩B 中恰有3个元素的概率为 .【答案】562【解析】当A ∩B 确定后，如A ∩B ={3，4，5}时，设A =A ′∪{3,4,5}，B =B ′∪{3,4,5}. ，A ′∩B ′=∅，则{A ′,B ′}的情况有:{∅,{1}}，{∅,{2}}，{∅,{1,2}}，{{1},{2}}，共4种情形. ∴所求的概率为C 53×4C 322=10×4×232×31=562.14.【2019年贵州预赛】已知集合A ={1,2,3,……,2019},对于集合A 的每一个非空子集的所有元素,计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为.【答案】2019【解析】解法1:集合A 的22019−1个非空子集中,每一个集合的所有元素之积分别为: 1,2,…,2019,1×2,1×3,2018×2019,……，1×2×⋯×2019,它们的倒数和：1+12+⋯+12019+11×2+11×3+⋯+12018×2019+⋯+11×2×⋯×2019 =(1+1)(1+12) (1)12019)−1=2×32×⋯×20202019−1=2019解法2:当A={1}时,结果是1;当A={1,2}时,结果是1+12+11×2=2；当A={1,2,3}时,结果是1+12+13+11×2+11×3+12×3+11×2×3=3.由数学归纳法可证(省略):当A={1,2,3,…,2019}时,结果是2019.15.【2019高中数学联赛B卷（第01试）】已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为 .【答案】−3【解析】条件等价于1，2，3，x中除最大数以外的另外三个数之和为0.显然x<0，从而1+2+x=0，得x=－3.16.【2018年江苏预赛】在1，2，3，4，…，1000中，能写成a2−b2+1(a∈N)的形式，且不能被3整除的数有________个。
高中数学集合知识点总结8篇
高中数学集合知识点总结8篇篇1一、集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一，它是由具有某种共同属性的事物组成的总体。
在数学中，我们常常用集合来表示一些数、点、线等的总体。
集合的基本特性包括确定性、互异性、无序性以及可表示性。
常见的集合表示方法有列举法、描述法以及图像法等。
对于集合的学习，首先要明确集合的概念及其表示方法，这是后续学习的基础。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
并集表示两个或多个集合中所有元素的集合；交集表示两个集合中共有的元素组成的集合；差集表示在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合；补集则表示属于某个集合的所有元素之外的所有元素组成的集合。
在解题过程中，要根据题目的要求，选择合适的集合运算方法。
三、集合的基本关系集合之间的关系包括子集、真子集、相等集合等。
子集表示一个集合的所有元素都在另一个集合中；真子集表示一个集合是另一个集合的子集，且两者不相等；相等集合表示两个集合完全相同。
此外，还要了解空集的概念，即不含有任何元素的集合。
掌握集合的基本关系，有助于理解集合的运算及其性质。
四、数列与集合数列是一种特殊的集合，它按照一定规律排列的数序列。
等差数列和等比数列是数列中最常见的两种形式。
等差数列中的任意两项之差相等，等比数列中的任意两项之比相等。
在解决数列问题时，要充分利用数列的性质和公式，简化计算过程。
五、函数的定义域与值域与集合的关系函数的定义域与值域是函数概念的重要组成部分。
函数的定义域是指函数自变量的取值范围，值域则是函数因变量的取值范围。
这两个范围都可以用集合来表示。
在求解函数的定义域和值域时，要充分利用函数的性质，结合数轴或不等式等方法进行求解。
六、总结与应用掌握高中数学集合知识点，首先要明确集合的基本概念、表示方法以及运算性质。
在此基础上，要理解数列与集合的关系，掌握函数的定义域与值域与集合的联系。
在实际应用中，要灵活运用所学知识，解决数学问题。
高联的集合问题
高联的集合问题
高联，全称为全国高中数学联赛，是一项全国性的数学竞赛。
集合问题在高联中是一个重要的考点，涉及集合的概念、性质、运算等多个方面。
在集合问题中，通常会考察集合的表示、子集与补集、交集与并集等基本概念，以及集合的性质和运算律。
此外，还会涉及到集合与函数、数列、不等式等其他数学概念的综合应用。
解决集合问题需要掌握集合的基本概念和性质，熟悉集合的运算和关系，同时还需要具备一定的逻辑推理和问题解决能力。
在解题过程中，需要注意集合的表示方法、符号的含义以及运算的优先级等问题。
总之，高联的集合问题需要掌握扎实的基础知识，理解集合的概念、性质和运算律，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
同时，还需要注意细节和逻辑推理，避免出现错误和遗漏。
高一数学集合知识点笔记整理
高一数学集合知识点笔记整理
高一数学集合是高中数学学习的基础，以下是对集合相关知识点进行的整理：
一、集合的基本概念
1.集合：由具有某种特定性质的对象的全体组成的一个整体。
2.元素：构成集合的每个个体。
3.集合的表示方法：列举法和描述法。
二、集合的运算
1.交集：属于两个或两个以上集合的元素所组成的集合。
2.并集：由属于两个或两个以上集合的元素所组成的集合。
3.补集：属于一个集合的元素中，不属于另一个集合的元素组成的集合。
三、集合的关系
1.子集：一个集合是另一个集合的子集，则称它们之间存在包含关系。
2.真子集：如果一个集合是另一个集合的真子集，那么称它们之间存在真包含
关系。
3.空集：没有任何元素的集合称为空集。
空集是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集。
四、集合的运算律
1.交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3.分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
五、集合的特性
1.无序性：集合中的元素没有固定的顺序，可以根据需要调整。
2.确定性：每个元素都属于某个集合，没有不确定性。
3.互异性：集合中的元素互不相同，没有重复。
4.独立性：集合的元素不会因为集合的改变而改变，即集合的元素与集合本身
是独立的。
高中数学集合的知识点总结归纳
高中数学集合的知识点总结归纳
高中数学中的集合知识点包括：
1. 集合的基本概念：集合是由若干个元素组成的整体，元素在集合中不重复。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法、集合的特性。
3. 集合的运算：交集、并集、补集、差集等。
4. 集合的关系：包含关系、相等关系、子集关系等。
5. 集合的性质：空集的特点、全集的特点等。
6. 集合的应用：解决实际问题时，常常需要运用集合的概念和相关知识进行分析和解决。
7. 一元二次不等式的解集：将一元二次不等式的解集用集合的概念表示。
在学习集合知识时，需要注意以下几个方面：
1. 掌握集合的基本概念，了解集合的表示方法和运算规则。
2. 熟练掌握集合的运算法则，理解不同集合的交集、并集、补集等概念。
3. 注意理解集合的关系，如包含关系、相等关系、子集关系等。
4. 学会应用集合的知识解决实际问题，善于将问题抽象成集合的形式进行分析和解决。
5. 需要深入理解一元二次不等式的解集的概念，熟练掌握如何用集合的形式表示解集。
总之，集合是高中数学中的一个重要知识点，掌握集合理论和应用技巧对于学好数学
非常有帮助。
高三数学集合知识点归纳
高三数学集合知识点归纳数学是一门需要系统性学习和总结的学科，而数学中的集合理论是其中的一门重要和基础的内容。
高三数学中的集合知识点涵盖了集合的基本定义、运算规则、集合的表示方法和集合间的关系等多个方面。
下面将对高三数学集合知识点进行归纳和总结。
一、集合的基本定义在数学中，集合是由一些确定的元素组成的整体。
集合内的元素是无序的，即元素的位置不影响集合的本质。
集合的基本符号是大写字母，例如A、B等，集合中的元素用小写字母表示，例如a、b等。
集合的基本定义包括空集、单集、全集和非空有限集等。
1. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
2. 单集：只包含一个元素的集合，用符号{a}表示。
3. 全集：包含所有可能元素的集合，用符号U表示。
4. 非空有限集：由有限个元素构成的集合。
二、集合的运算规则在数学中，集合可以进行并、交、差、补等运算。
1. 并运算：将两个或多个集合中的所有元素放在一起构成的新集合，用符号∪表示。
2. 交运算：包含两个或多个集合中共有的元素所构成的新集合，用符号∩表示。
3. 差运算：从一个集合中去除与另一个集合中相同的元素所构成的新集合，用符号/或\表示。
4. 补运算：一个集合相对于全集中的元素而言的补集，用符号'表示。
三、集合的表示方法在数学中，集合可以通过列举法、描述法和解释法来表示。
1. 列举法：直接列举集合中的元素，用大括号括起来。
例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}表示集合A包含元素1、2、3、4和5。
2. 描述法：通过描述元素的性质和条件来表示集合。
例如：B = {x | x是正整数，且x < 6}表示集合B包含小于6的正整数。
3. 解释法：通过文字解释来说明集合的含义。
例如：C = {人}表示集合C包含所有人的集合。
四、集合间的关系在数学中，集合之间可以有包含关系、相等关系和互斥关系。
1. 包含关系：一个集合包含另一个集合的所有元素。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {2, 3}，则B是A的子集，记作B⊆A。
数学知识点高中总结集合
数学知识点高中总结集合一、集合论1. 集合的概念集合是将具有共同特征的事物汇总在一起的概念。
集合中的元素可以是数字、字母、图形等各种事物。
2. 集合的表示方式通常用大写字母A、B、C...表示集合，用小写字母a、b、c...表示集合中的元素，集合中的元素用大括号{}括起来。
3. 集合的运算(1) 并集：集合A和集合B的并集，记为A∪B，表示集合A和B中所有的元素的集合。
(2) 交集：集合A和集合B的交集，记为A∩B，表示集合A和B中公共的元素的集合。
(3) 补集：集合A的补集，记为A'，表示对于给定的全集U，与A不相交的元素的集合。
4. 集合的运算性质(1) 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A(2) 结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C，A∩(B∩C) = (A∩B)∩C(3) 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，A∪(A'∩B) = A∪B，A∩(A'∪B) = A∩B(4) 对偶律：(A∩B)' = A'∪B'，(A∪B)' = A'∩B'5. 集合的应用集合论在数学逻辑、概率统计、离散数学等领域有着广泛的应用，包括数理逻辑、概率计算、数据分析、数据库管理等方面。
二、函数与映射1. 函数的概念函数是一个或多个自变量通过某种规则与一个因变量之间的对应关系。
2. 函数的表示方式通常用f(x)或y来表示函数，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示x经过某种规则后得到的结果。
3. 函数的性质(1) 定义域：函数的所有可能的自变量的取值的集合。
(2) 值域：函数所有可能的因变量的取值的集合。
(3) 单调性：函数在定义域上单调递增或单调递减。
(4) 奇偶性：函数的奇偶性由函数的对称中心来决定。
(5) 周期性：若存在正数T，使对于函数f(x)有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T 称为函数f(x)的周期。
高中数学集合知识点归纳
高中数学集合知识点归纳一、集合的概念1. 集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
2. 元素的特性确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的。
互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的。
无序性：集合中的元素没有先后顺序之分。
二、集合的表示方法1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
2. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
3. 图示法：包括韦恩图（Venn 图）、数轴等。
三、集合的分类1. 有限集：含有有限个元素的集合。
2. 无限集：含有无限个元素的集合。
3. 空集：不含任何元素的集合，记为∅。
四、集合间的关系1. 子集：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 称为集合 B 的子集，记为 A⊆B。
2. 真子集：如果 A⊆B，且存在元素x∈B 但 x∉A，那么集合 A 称为集合 B 的真子集，记为 A⊂B。
3. 集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为 A = B。
五、集合的运算1. 交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，记为A∩B。
A∩B = {x | x∈A 且x∈B}2. 并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，记为A∪B。
A∪B = {x | x∈A 或x∈B}3. 补集：设 U 为全集，集合 A 是 U 的子集，由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 在 U 中的补集，记为∁UA。
∁UA = {x | x∈U 但 x∉A}六、常用数集及其符号1. 自然数集：N2. 正整数集：N+ 或 N3. 整数集：Z4. 有理数集：Q5. 实数集：R。
高中数学奥林匹克竞赛---集合
A B C A (B C)(结 合 律)； （4）A B C A B A C A B C A B A C（ 分 配 律 ） ; (5)A B A A, A A B A（ 吸 收 律 ） ;
（6） 设 全 集U，A, B为U的 子 集 ， 则
3、设A a1, a 2 , a3 ,...,a n ,则A的所有子集中元素之总和为
S 2n1(a1 a 2 ... a n ),其中a i Z
4、 集 合 间 的 交 集 、 并 集、 补 集 有 以 下 性 质 ： （1）A A A, A A A（ 幂 等 律 ） ； （2）A B B A, A B B A（ 交 换 律 ） ；
赛题精讲:
例4 （: 1994年北京市高一数学竞赛初试）已知x R, y R ，
集合A
x2
x
1,x,x
1
,B
y,
y 2
,
y
1.若A
B,
则x 2 y2
CU (A B) (CU A) (CU B)
CU (A B) (CU A) CU B
赛题精讲:例1（:ຫໍສະໝຸດ 1996 年全国高中数学联赛一试）
求集合A
x
1
log
10 1
x
1，1 2
x
N的真子集的个数.
赛题精讲:
例2 （: 1983年上海市一试）在集合1,2,...,n中，随意取出一个子集，
高中数学奥林匹克竞赛 ---集合
1、集合中的元素具有三个特征 : 确定性、互异性、无序性.
2、 若 非 空 有 限 集A中 有n个 元 素 ， 则 有 如 下 结 论： (1)A的子集的个数是2n ; (2)A的“非空子集”和“真子集”的个数都是2n 1; (3)A的“非空真子集”的个数是2n 2.
高中数学联赛-集合整理
显然有 a 2b A, a 2b A 故 A
1 x
例3 已知集合 A= x 2 x a , B y y 2 x 3, x A , C z z x 2 , x A 若 C B ，求实数a的取值范围。
A 2, a B y y 2 x 3, x A 1, 2a 3
x 2 2 x 3 0或x 2 3 x1 3, x2 1, x3 3, x4 3
B 3, 1, 3, 3
（3）设A={c}，即二次方程 f ( x) x 0有唯一解c，亦即c为 2 2 f ( x) x 0 的重根。 f x x x c , 即f x x c x
2 a , 4 , 2 a 0, 0, 4 , 0 a 2, 2 0, a , a 2.
2 （1）当 2 a 0 时，由 C B ，得 a 4 2a 3 无解
C z z x2 , x A
1 （2）当 0 a 2 时，由 C B ，得 4 2a 3 解得 a 2 2 2 （3）当 a 2 时，由 C B ，得 a 2a 3 解得 2 a 3
综上所述，实数a的取值范围是 ,3 . 1 2
（2） A 1,3 1 f 1 ,3 f 3
即 1 1 a b,3 9 3a b 解得a 1, b 3 f x x 2 x 3
2 2 x f f x 可化简为 x x 3 x 即 x x 3 x 2 2
4.有限集合元素的个数与子集的个数 card（A B）=card( A) card( B) card( A B) （1 ） （2）若 card(A)=n ，则有限集A的子集个数为2n,A的真子 集个数为2n-1ຫໍສະໝຸດ 一已知函数，且集合
高中数学竞赛讲义-集合(练习题)新人教A版
课后练习1．下列八个关系式:①{0}=φ②φ=0 ③φ{φ} ④φ∈{φ}⑤{0}⊇φ⑥0∉φ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ} 其中正确的个数（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ⊆B ，则下列式子成立的是（）（A ）C U A ⊆C U B （B ）C U A C U B=U （C ）A C U B=φ（D ）C U A B=φ3．已知M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）（A ）M （B ）N （C ）P （D ）P M4．设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（） （A ）N M ⊆（B ）M N ⊆（C ）N M =（D ）Φ=N M5．设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.6．集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_________________.7．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a -5}，B={x|3≤x≤22},则能使A ⊆A∩B 成立的a 的取值X 围是_______________.8．若A={x|0≤x 2+ax+5≤4}为单元素集合，则实数a 的值为___________________.9．设A={n|100≤n≤600,n ∈N}，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.10．己知集合A={x|x=f(x)}，B={x|x=f(f(x))},其中f(x)=x 2+ax+b (a,b ∈R)，证明：（1）A ⊆B （2）若A 只含有一个元素，则A=B .11．集合A={（x,y ）022=+-+y mx x },集合B={（x,y ）01=+-y x ,且02≤≤x }， 又A φ≠B ，某某数m 的取值X 围.≠⊂课后练习答案1-4 C C B A5．解：由于1995=15⨯133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870。
全国高中数学联赛试题分类汇编： 1集合
{2,
3} 2
，15
分
结合
a1
Q
，只可能
a1
1 4
．
由此易知， a1
1 4
, a2
1 2
, a3
4, a4
6 或者
a1
1 4
, a2
1 2
, a3
4, a4
6．
检验知这两组解均满足问题的条件．
故 a1 a2
a3
a4
9 4
．
20
分Hale Waihona Puke 2015A 二、（本题满分 40 分）设 S A1, A2 ,, An ，其中 A1, A2 ,, An 是 n 个互不相同的
是过点 P 的圆 的一条切线．故圆 的圆心 M (1, l）到直线 l 的距离等于圆的半径 2 ， 故 | k 1 k 3 | 2 ．结合图像，应取较小根 k 2 3 ．
另一方面，取 a4k3 a4k2 a4k1 a4k k （ k 1, 2,, 5 ）， bi 6 ai （ i 1, 2,, 20 ），
则对任意 i, j （1 i j 20 ），有 (ai a j )(bi bj ) (ai a j )((6 ai ) (6 a j )) (ai a j )2 0 等号成立当且仅当 ai a j ，这恰好发生 5C42 30 次，此时 X 的元素个数达到 C220 30 160 综上所述， X 的元素个数的最大值为 160.
2015B 6、设 k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集 A (x, y) x2 y2 2(x y) 和
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2
{x c
x c 2 x c 0
故f f x x 也只有唯一解 x c ，即 B c , A B
例2
设 A a 2b a 2 2b 2 1, a Z , b Z 已知 x A, y A
1 A x
于是f f x f x c f x
2
x c 2 x c x c 2 0 f f x x f x c f x x
又
ac 2bd 2 ad bc a 2 2b 2 c 2 2d 2 1,
2 2
xy A
2 2 1 1 a 2b a 2b, (a 2b 1) 2 （2） 2 x a 2b a 2b a 2(a 2 2b 2 1)
2 a , 4 , 2 a 0, 0, 4 , 0 a 2, 2 0, a , a 2.
2 （1）当 2 a 0 时，由 C B ，得 a 4 2a 3 无解
C z z x2 , x A
x 2 2 x 3 0或x 2 3 x1 3, x2 1, x3 3, x4 3
B 3, 1, 3, 3
（3）设A={c}，即二次方程 f ( x) x 0有唯一解c，亦即c为 2 2 f ( x) x 0 的重根。 f x x x c , 即f x x c x
高中数学联赛
集合
第一章 集合
写在前面的话：集合是数学中最 基本的概念，它是一个原始概念， 集合论是数学的基础，在数学竞赛 中，极大部分问题都可以用集合的 语言来叙述。本章主要介绍在数学 竞赛中时常出现的集合问题。
第一节 集合的概念与运算
1.集合的概念 （1）集合：所谓集合，就是具有某一共同性质的对象的总体， 组成集合的对象称为该集合的元素 （2）集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 （3）集合中元素可以是有限的，也可以是无限的，我们分别称 之为有限集和无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作 2.集合与集合之间的关系 （1）子集 若集合A中的元素都是集合B中的元素，则称A为B的子集，记 作 A B 若B中至少有一个元素 b A，则称A为B的真子集，记 作 AØ B 若A B 且 B A 则 A B 。
（2）集合的运算性质
①、A A=A,A A=A（等幂律） ②、A U=A,A U=U,A , A A （同一律）
③、A 痧 U A , A
U
A U ,痧 U(
U
A) A,
痧 （互补律） U U , U U ④、A ( B C ) ( A B ) ( A C ); A ( B C ) ( A B ) ( A C（分配律） ) A\(B\C)=(A\B)(A C) ⑤、痧 U ( A B) (
（2）子集的性质
A, Ø B( B ); A B, B C , 则A C
A B B A B; A B A A B;
3.集合的运算 （1）交集、并集、补集和差集 差集的定义：记A，B是两个集合，则所有属 于A且不属于B的元素构成的集合。 记作：A \ B, A \ B x x A且x B
求证：（1 ）xy A，（2 ）
（1）设 x a 2b, y c 2d (a, b, c, d Z ), 则
a 2 2b2 1, c 2 2d 2 1
xy a 2b c 2d ac 2bd 2 ad bc .
Hale Waihona Puke 显然有 a 2b A, a 2b A 故 A
1 x
例3 已知集合 A= x 2 x a , B y y 2 x 3, x A , C z z x 2 , x A 若 C B ，求实数a的取值范围。
A 2, a B y y 2 x 3, x A 1, 2a 3
（2） A 1,3 1 f 1 ,3 f 3
即 1 1 a b,3 9 3a b 解得a 1, b 3 f x x 2 x 3
2 2 x f f x 可化简为 x x 3 x 即 x x 3 x 2 2
U
A) (痧 U B );
U
( A B ) (痧 U A) ( U B )
⑥、A \ ( B C ) ( A \ B ) ( A \ C ); A \ ( B C ) ( A \ B) ( A \ C ) ⑦、A ( A B ) A, A ( A B ) A （吸收律）
4.有限集合元素的个数与子集的个数 card（A B）=card( A) card( B) card( A B) （1 ） （2）若 card(A)=n ，则有限集A的子集个数为2n,A的真子 集个数为2n-1
例一
已知函数
，且集合
（1）求证： （2）当 时，用列举法表示B； （3）若A只含有一个元素，则A=B （1）证明：任取 则