数字信号处理北邮第三章3

第三章 主要内容
离散傅里叶级数（DFS) 离散傅里叶变换(DFT) 快速傅里叶变换（FFT)
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DFT 的应用
利用 DFT 求离散线性卷积
条件 条件：N≥N1+N2-1 方法：时域转换到频域，处理后再转换回时域
N 3 N 3 1 log g 2 N 2] ] N( (1 log g 2 ) N ( log g2 N ) 2 2 2 2 2
线性卷积：每一个输入值x(n)都必须和全部的h(n)值乘一次，因此， 总共需要 N1N2 次乘法运算， 次乘法运算 ML=N N1N2。 ML N1 N 2 C 设 m M C ( N 1 N 2 1) 1.5 log 2 ( N 1 N 2 1) 0.5 若 N1=N2 时，则
yL ( n)
L ( n) y
N 2 1N1 1
N1 N 2 1
N1
N2 2
yc (n)
N1 N1 N 2 1
yc (l ) yL (l ), ) l N2 1 1, N 2 , , N1 1
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DFT 的应用：线性卷积求解（13）
乘法次数
循环卷积：在上述 DFT 求解线性卷积过程中，需要 3 次DFT（FFT） 运算，后面我们会讲到 算 们 N 点 FFT 所需要的乘法次数为 乘 数 N log g N 2 ，因 2 此，用 DFT 求线性卷积所需要的总的乘法次数：
2
M C N 3[ [
DFT 的应用：线性卷积求解（8）
讨论
若序列x(n)的长度为N1，序列h(n)的长度为N2，且有N1大 于N2，那么，x(n)和h(n)的N 那么 ( )和h( )的N1点循环卷积结果为： 点循环卷积结果为
yc (n) x(m)h1 ((n m)) N1 n 0,1, ( N1 1)
Cm下降，循环卷积快速算法的优点不能发挥出来。 克服的办法：分段卷积 克服的办法 分段卷积
将长序列分段，每一段分别与短序列进行循环卷积（即用 FFT 运算） 分为重叠相加法，重叠保留法。
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DFT 的应用：线性卷积求解（11）
用 DFT 求解线性卷积
DFT DFT 设 x(n) X(k), h(n) H(k)
若 y(n) x(n) h(n) Y(k) X(k)H(k)
DFT
即时域循环卷积 即时 循环
频域相乘 相乘 频
DFT 映射
N 1
N点循环卷积：
y c ( n ) x ( n ) Nh ( n ) x ( m ) h (( n m )) N
m 0
线性卷积：
yc(n)长度为N
N 1 1 m 0
yl ( n ) x ( n ) * h ( n )
x(m )h(n m )
yl(n)长度为N1+N2-1
x(n) N h(n) x(n) )* h(n)
N N1 N2 1 0 n N1 N2 2
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DFT 的应用：线性卷积求解（7）
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则 y ( n ) IDFT Y ( k )
IDFT X ( k ) H ( k )
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DFT 的应用：线性卷积求解（12）
如果循环卷积的长度 N 满足 N≥N1+N N2-1 1，则此循环卷积 yc(n) 就等于 x(n) 和 h(n) 的线性卷积。用流程图表示法求 yl(n)=x(n) (n)=x(n)*h(n) h(n) 的过程如下：
x(n) 补N-N1个零 N点DFT N点IDFT h(n) 补N-N2个零 N点DFT
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m


x ( m )h( n m )
y(n) = x(n)*h(n)
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DFT 的应用：分段卷积（1）
上面介绍的是两个有限长序列 x1(n)、x2(n) 的线性卷积。 的线性卷积
但有时其中某个序列会很长或无限长，若等长序列存储 或输入完后再做卷积运算，将产生问题 或输入完后再做卷积运算，将产生问题： 存储量过大，运算量也太大； 等待输入的时间很长，引起不能忍受的延迟； 采用 DFT/FFT 快速算法的效率降低
yc (n) x(n) h(n) yc (n)RN (n) yl (n rN) RN (n) r
0 n N 1
一般地讲，循环卷积是线性卷积的一种混叠形式。但当 N≥N1+N2-1，没有混迭产生，此时线性卷积 yl(n) 和循环卷积 yc(n) 相等。
m 0
[ x(m)h(n rN m)]RN (n)
r m 0

N 1
[ y l ( n rN )]RN (n)
r

? y (n) l
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DFT 的应用：线性卷积求解（5）
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DFT 的应用：线性卷积求解（4）
讨论循环卷积的长度
对h(n)、yl(n)周期延拓：
N 1
(n) h(n rN) h
r

l (n) yl (n rN) y
r
把长序列分段，每一分段分别与短序列进行卷积
解决此问题的思路：
——分段卷积。 具体方法：重叠相加法、重叠保留法
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DFT 的应用：分段卷积（2）
误差分析 在分析分段卷积之前，我们首先分析两个有限长度 序列的循环卷积的误差情况。 序列的循环卷积的误差情况 设 x(n) 为 N1 点序列，h(n) 为 N2 点序列，由前面分 析知道，线性卷积 yl(n) 和循环卷积 yC(n) 关系为：
m0
N1 1
其中 其中，
h(n ) h1 ( n ) 0
n 0,1, ( N 2 1) n N 2 ,( N 2 1), ( N1 1)
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DFT 的应用：线性卷积求解（9）
DFT 的应用：线性卷积求解（15）
线性卷积求解小结 时域直接求解 y( n) x ( n) * h( n)
z变换法 X ( z ) Z [ x ( n )] H ( z ) Z [ h( n )] y( n) Z 1[Y ( z )] Z 1 [ X ( z ) H ( z )] DFT法

循环卷积： yc (n) x(m)h(( n m)) N 循环卷积
N 1 ( n m) R ( n) ( m) h x N m0 N 1
r
m 0
[ x ( m ) h ( n rN m )] R N ( n )
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DFT 的应用：线性卷积求解（2）
循环卷积和线性卷积的关系
设： x ( n ) h(n) 0 n N1 1 0 n N2 1
令 N max[ N 1 , N 2 ]
x(n) 长度 N1 h(n) 长度N2 N 点 DFT X (k) X (k)H (k) N 点 DFT N 点 IDFT yc (n)=yl (n)
H(k)
N N1 N2 1
因为 DFT、IDFT 都有快速算法，因此，线性卷积可以实 现快速算法 现快速算法。
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结论 结论：N1=N2 越长，循环卷积的优越性越 越长，循环卷积的优越性越大。但当其中一个 但当其中 个 序列很长时，例如当x(n) 很长时，即：
N 1 N 2 , N1 N 2 1 N1
N1 N 2 这时 C m ( N 1 N 2 1)(1.5log )( g 2 ( N 1 N 2 1) ) 0.5) ) N1 N 2 N2 N 1 1.5 Biblioteka Baidulog g 2 N 1 1.5log g2 N1
当长度 N 增大时，线性卷积的运算量较大，需寻找实用的线性卷积 的快速计算方法！
循环卷积的时频映射
快速算法 FFT
IDFT x ( n) h( n) X (k ) H (k )
频域中进行两个 N 点 DFT 相乘时，在时域中映射为循环卷积（而 不是通常的线性卷 是通常的线性卷 积！！！）。 积！！！）
DFT 的应用：线性卷积求解（10）
) 0 n 7 ）和 h(n) 例 现存在两个有限长序列 x(n 例：现存在两个有限长序列 （
0 n 19 ），其20点循环卷积结果为 yc (n)，而其线性卷 （
积结果为 yL (n) ，问：
（1）7～19点 （2）27点
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DFT 的应用：线性卷积求解（3）
讨论线性卷积 yl( (n)=x(n)*h(n) ) ( ) ( ) 的长度
从 x(m) 看， 非零值区为： 0≤m≤N1-1 从 h(n h(n-m) m) 看，非零值区为： 看 非零值区为： 0≤n 0≤n-m≤N m≤N2-1 1 将二不等式相加 得到 yl(n) 的非零区： 将二不等式相加，得到 0 ≤ n ≤ N1+N2-2 在此区间之外，不是 x(m)=0，就是 h(n-m)=0，即yl(n)=0，因此， yl(n) 的长度为： N1+N2-1
N 12 N1 Cm 2 N 1 (1.5log (1 5l 2 2 N 1 0.5) 0 5) 2(2.5 2(2 5 log l 2 N1 )
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DFT 的应用：线性卷积求解（14）
N点循环卷积yc (n)是线性卷积yl (n)以N为周期 的周期延拓序列的主值序列。 而yl (n)的长度为N1 N 2 1 只有当N N1 N 2 -1时，yl (n)以N 为周期进行
周期延拓才无混叠现象
即 当循环卷积长度N N1 N 2 1时， 时 N 点循环卷积能代表线性卷积
用 DFT 进行信号频谱分析
参数选择 频谱泄漏 栅栏效应
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DFT 的应用：线性卷积求解（1）
线性移不变离散系统
x(n) h(n)
n 0, h(n) 0
y(n)
y( n) x ( n) h( n)