利用角平分线构造全等三角形教案

课堂作业小提示
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本课小结
课后作业 布置
课后赏识评价
课后反馈
本节课教学计划完成情况：□照常完成 □提前完成
□延后完成，原因___________________________________
学生的接受程度：□完全能接受 □基本能接受
□不能接受，原因___________________________________________
学生的课堂表现：□很积极 □比较积极 □一般
□不积极，原因_____________________________________________
学生上次作业完成情况：完成数量____% 已完成部分的质量____分（5分制）
存在问题_______________________________________
配合需求：家 长________________________________________________ 学管师________________________________________________
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学管师签收
例1.证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连结BG 、EG
∵D 是BC 中点 ∴BD ＝CD 又∵DE ⊥DF
在△EDG 和△EDF 中ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EDG ≌△EDF （SAS ） ∴EG ＝EF
在△FDC 与△GDB 中⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21
∴△FDC ≌△GDB(SAS) ∴CF ＝BG ∵BG ＋BE ＞EG ∴BE ＋CF ＞EF
例1
举一反三：证明： 延长CE 至F 使EF ＝CE ，连接BF ．
∵ EC 为中线，∴ AE ＝BE ．
在△AEC 与△BEF 中，,,,AE BE AEC BEF CE EF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △AEC ≌△BEF （SAS ）．
∴ AC ＝BF ，∠A ＝∠FBE ．（全等三角形对应边、角相等）
又∵ ∠ACB ＝∠ABC ，∠DBC ＝∠ACB ＋∠A ，∠FBC ＝∠ABC ＋∠A ． ∴ AC ＝AB ，∠DBC ＝∠FBC ．∴ AB ＝BF ．
又∵ BC 为△ADC 的中线，∴ AB ＝BD ．即BF ＝BD ．
在△FCB 与△DCB 中，,,,BF BD FBC DBC BC BC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △FCB ≌△DCB （SAS ）．∴ CF ＝CD ．即CD ＝2CE ．
例2.证明：因为AB ＞AC ，则在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ．
在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）．
在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
所作，
角平分线的定义，公共边，
∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）． 又∵ BE ＝AB －AE ，∴ BE ＝AB －AC ，∴ MB －MC ＜AB －AC ．
举一反三：证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE
∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD
在△AED 与△ACD 中⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD AC AE
∴△AED ≌△ADC （SAS ） ∴DE ＝DC 在△BED 中，BE ＞BD －DC
即AB －AE ＞BD －DC ∴AB －AC ＞BD －DC
例3.证明： 作ME ⊥AF 于M ，连接EF ．
∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ ∠C ＝∠D ＝∠EMA ＝90°．
又∵ ∠DAE ＝∠FAE ，∴ AE 为∠FAD 的平分线，∴ ME ＝DE ． 在Rt △AME 与Rt △ADE 中，()()AE AE DE ME =⎧⎨
=⎩公用边，
已证，
∴ Rt △AME ≌Rt △ADE(HL)．∴ AD ＝AM(全等三角形对应边相等)． 又∵ E 为CD 中点，∴ DE ＝EC ．∴ ME ＝EC ． 在Rt △EMF 与Rt △ECF 中，()(ME CE EF EF =⎧⎨
=⎩已证，
公用边)，
∴ Rt △EMF ≌Rt △ECF(HL)．∴ MF ＝FC(全等三角形对应边相等)．
举一反三
例2
E D
C
B
A
举一反三
例3
由图可知：AF ＝AM ＋MF ，∴ AF ＝AD ＋FC(等量代换)．
举一反三：证明：延长AE 和BC ，交于点F ，
∵AC ⊥BC ，BE ⊥AE ，∠ADE=∠BDC （对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC ．即∠EAD=∠CBD ．
在Rt △ACF 和Rt △BCD 中．
所以Rt △ACF ≌Rt △BCD （ASA ）． 则AF=BD （全等三角形对应边相等）． ∵AE=
BD ，∴AE=
AF ，即AE=EF ．
在Rt △BEA 和Rt △BEF 中，
则Rt △BEA ≌Rt △BEF （SAS ）．
所以∠ABE=∠FBE （全等三角形对应角相等），即BD 是∠ABC 的平分线．
例4.证明：作∠A 的平分线，交BC 于D ，把△ADC 沿着AD 折叠，使C 点与E 点重合.
在△ADC 与△ADE 中
A C AE CAD EAD AD AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADC ≌△ADE （SAS ）∴∠AED ＝∠C
∵∠AED 是△BED 的外角， ∴∠AED ＞∠B ，即∠B ＜∠C.
举一反三：证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.
∵ ∠CAD ＝∠BAD, AD ＝AD, ∴ △AHD ≌△AMD. ∴ HD ＝MD, ∠AHD ＝∠AMD.
∵ HD ＝DB, ∴ DB ＝ MD. ∴ ∠DMB ＝∠B.
∵ ∠AMD ＋∠DMB ＝180︒,∴ ∠AHD ＋∠B ＝180︒. 即 ∠B 与∠AHD 互补. （2）由（1）∠AHD ＝∠AMD, HD ＝MD, ∠AHD ＋∠B ＝180︒.
∵ ∠B ＋2∠DGA ＝180︒,∴ ∠AHD ＝2∠DGA. ∴ ∠AMD ＝2∠DGM.
∵ ∠AMD ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ 2∠DGM ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ ∠DGM ＝∠GDM. ∴ MD ＝MG .
∴ HD ＝ MG .∵ AG ＝ AM ＋MG , ∴ AG ＝ AH ＋HD. 例5.证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：
在△ABC 和△CDE 中，,
90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．
又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．
（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°， ∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°， ∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．
举一反三：证明：∵∠BCA ＝∠ECD ， ∴∠BCA －∠ECA ＝∠ECD －∠ECA ，即∠BCE ＝∠ACD
例 4
M G H
D
C
B
A
举一反三
举一反三
在△ADC 与△BEC 中ACD=BCE AC BC CD CE =⎧⎪
∠∠⎨⎪=⎩
∴△ADC ≌△BEC(SAS) ∴BE ＝AD ．
若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等，因为还是可以通过SAS
证明△ADC ≌△BEC.。