云南省昭通市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题含解析

云南省昭通市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．2-C ．1-D ．2【答案】D【解析】【分析】由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B u u u u v u u u u v =.设直线l 的方程x ＝m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即y 1＝﹣3y 2①，联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝-24m -②，y 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C ：2214x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 20），设直线l 的方程x ＝，m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±2y ，∴m≠±2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B u u u u v u u u u v =，∴y 1＝﹣3y 2①由22{440x my x y =--=，得()22410m y -++=∴△＝（）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，∴y 1+y 2＝y 1y 2＝214m -③，联立①②得220y -=>，联立①③得2221304y m -=<-，2y ∴=2221123y m =-即：221123m =-⎝⎭，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2， 故选D ．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．A．1 0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B．211,e e⎛⎫⎪⎝⎭C．222,e e⎛⎫⎪⎝⎭D．221,e e⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】令()()0g x f x ax=-=，可得()f x ax=.在坐标系内画出函数()lnf x x=的图象（如图所示）.当1x>时，()lnf x x=.由lny x=得1yx'=.设过原点的直线y ax=与函数y xln=的图象切于点00(,ln)A x x，则有00ln1x axax=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1x eae=⎧⎪⎨=⎪⎩.所以当直线y ax=与函数y xln=的图象切时1ae=.又当直线y ax=经过点()2B,2e时，有22a e=⋅，解得22ae=.结合图象可得当直线y ax=与函数()lnf x x=的图象有3个交点时，实数a的取值范围是221,e e⎛⎫⎪⎝⎭.即函数()()g x f x ax=-在区间()20,e上有三个零点时，实数a的取值范围是221,e e⎛⎫⎪⎝⎭.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.3．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =．故选:C【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.4．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D【解析】【分析】 ππ⎡⎤【详解】 因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.5．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22 B ．3 C ．23 D ．3 【答案】D【解析】【分析】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得12m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．【详解】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==，设1PF m =，2PF n =，则12m n =，且有2m n a +=，解得23a m =，43a n =，设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切2QF 于点N ，则2223a NF MF ==，1QN QF t ==， 由2222a a t QF QN NF t -==+=+，解得23a t =，4a PQ m t ∴=+=，2243a PF QF ==Q ，所以2PF Q ∆为等边三角形， 所以，34223a c =⋅，解得33c a =. 因此，该椭圆的离心率为3. 故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A ．3B ．23C ．3D ．23【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =，由2420R ππ=，得25R =．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则212AG R =-=． 在ABC ∆中，由正弦定理可得：24BC AG ==，即23BC =， 由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++…， 4xy ∴…．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为11234sin120232⨯⨯⨯︒⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2或3D ．2或3 【答案】D【解析】【分析】设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7m MF PN PF PF PF F ===∠=， 为双曲线上的点，则2PF PF a -=，即52m m a -=，得，，又122F F c =，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯， 整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题． 8．函数()()241x f x x x e =-+⋅的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案.【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ． 故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．9．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩……的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-…；2:(,),22p x y D y x ∃∈-…；3:(,),22p x y D y x ∀∈-…；4:(,),24p x y D y x ∃∈-….其中的真命题是A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p【答案】A【解析】【分析】 作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.【详解】作出可行域如图所示，当1,2x y ==时，max (2)3y x -=，即2y x -的取值范围为(,3]-∞，所以1(,),25,x y D y x p ∀∈-…为真命题；2(,),22,x y D y x p ∃∈-…为真命题；34,p p 为假命题.故选：A【点睛】此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 10．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D【分析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sinαα==2cos sin 2αα+=48255+=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.11．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】化简得到34z i =--，得到答案.【详解】 ()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i i z i i i i -----====--++-，对应点在第三象限. 故选：C .【点睛】 本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.12．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PABV 的面积为S ，则S AB -的最小值为( )A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427- 【答案】D【解析】【分析】设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --= 则124x x k +=，()21212242y y k x x k +=++=+ 则21244AB y y p k =++=+ 由24x y =，得24x y = 12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则012x k = 02x k ⇒=，20y k =则点P 到直线1y kx =+的距离1d =≥从而()21212S AB d k =⋅=+()()()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．令()3224f x x x =- ()()2681f x x x x ⇒-'=≥ 当413x ≤≤时，()0f x '<；当43x >时，()0f x '> 故()min 464327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，即S AB -的最小值为6427- 本题正确选项：D【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。