证明柯西不等式的向量形式

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2 2 a b 2ab(a, b R) 证明重要不等式

证明基本不等式 证明三个正数的算术—几何平均不等式 abc 3 abc(a , b, c R ) 3 证明绝对值三角不等式
ab ab(a , b R ) 2
a b a b (a, b R)
一般形式的柯西不等式
排序不等式
本讲教学应注意的5个方面: 1. 强调过程
过程一:
“数形结合的强化”
定 理1 ( 二 维 形 式 的 柯 西 不式 等) 若 a , b, c , d都 是 实 数 , 则(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 ① 当且仅当 ad bc时 , 等 号 成 立 。
(二)重视数学思想方法的教学
本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法,如应用重 要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想,在重要 不等式的呈现过程中的数形结合思想,在解不等式中体 现的转化的思想,函数思想,以及证明不等式的比较法、 综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法,在证明 柯西不等式中的配方法等,对于这些数学思想和方法, 教科书都及时作归纳和总结,使学生能够结合具体的问 题加以理解和体会。
二、内容安排介绍
• 与本专题相关的知识介绍 • 本专题的知识结构和内容
与本专题相关的知识介绍
• 初中课标要求:不等式与不等式组 ①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式 的意义,并探索不等式的基本性质。 ②会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上 表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不 等式组,并会用数轴确定解集。 ③能够根据具体问题中的数量关系,列出一元 一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的问题。
约2课时 约2课时 约1课时
四、教学建议
•把握教学要求 •重视思想方法 •重视学生方式和教学方式的改进
(一)注意把握教学要求
• 不随意拓展、延伸 • 不随意加深难度 • 不过于追求技巧性 • 抓住重点、难点
教学重点: (1)不等式的基本性质、基本不等式及其应用、绝对值 三角不等式; (2)用比较法、分析法、综合法证明不等式; (3)认识柯西不等式的几种形式,理解其几何意义、用 向量递归方法讨论排序不等式、通过运用这两种不等式 分析解决一些简单问题、体会运用经典不等式的一般方 法(发现具体问题与经典不等式之间的联系,经过适当 的变形,以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关 系); (4)了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤、 会用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括 贝努利不等式)。
教学难点: (1)三个正数的算术—几何平均不等式及其应用、 绝对值不等式的解法; (2)用反证法、放缩法证明不等式的思考过程; (3)一般形式的柯西不等式和排序不等式的证明思 路;运用两个经典的不等式证明不等式; (4)认识数学归纳法的证明思路;运用数学归纳法 时,在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的 递推关系。
三个几何解释

2 2 a b 2ab(a, b R) 的几何解释 重要不等式
基本不等式 绝对值不等式的几何解释
ab ab(a , b 0) 2
的几何解释
四个应用

不等式基本性质的应用 基本不等式的应用 绝对值三角形不等式的应用 绝对值不等式的应用
五个证明
学习总结报告:
一、知识的总结 对本专题介绍的知识及其中蕴涵的数学思想 方法和数学背景进行总结; 二、拓展 通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立 思考,进一步探讨不等式的应用; 三、学习体会 学习本专题的感受、体会和看法。
三、课时安排
本专题教学约需18课时,具体分配如下(仅供参考): 第一讲 不等式和绝对值不等式 一、不等式 二、绝对值不等式 第二讲 证明不等式的基本方法 一、比较法 二、综合法与分析法 三、反证法与放缩法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一、二维形式的柯西不等式 二、一般形式的柯西不等式 三、排序不等式 单元小结 约1课时 第四讲 数学归纳法证明不等式 一、数学归纳法 二、用数学归纳法证明不等式 学习总结报告 约2课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时 约1课时
2 2 2 a b ( a b ) i i ii i 1 i 1 i 1 n n n
5.用向量递归方法讨论排序不等式。 6.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学 归纳法证明一些简单问题。 7.会用数学归纳法证明贝努利不等式: (1+x)n>1+nx(x>-1,n为正整数)。 了解当n为实数时贝努利不等式也成立。 8.会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平 均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。 9.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法: 比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 10.完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内 容:(1)知识的总结。对本专题介绍的不等式中 蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结;(2) 拓展,通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立 思考,
选修4-5《不等式选讲》解读
余杭高级中学 吴寅静
主要内容
• 教学目标解读 • 教学内容介绍 • 课时安排 • 教学建议
一、教学目标解读
1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。 2.理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何 意义证明以下不等式: (1)∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; (2)∣a- b∣≤∣a-c ∣+∣c-b∣; (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ∣ax+b∣≤c ;∣ax+b∣≥c ;∣x-c∣+∣x-b∣≥a。 3.认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义。 (1)证明柯西不等式的向量形式:|α||β|≥|α· β|。 (2)证明:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2。 (3)证明: ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 ( x1 x3 )2 ( y1 y3 )2 4.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:
第一讲 不等式和绝对值不等式
不等式的基本性质
绝对值三角不等式
基本不等式
解含有绝对值 的简单不等式
三个正数的 算术—几何不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
“一个推广,两个类比,三个几何解释,四个证明,五个应用”
一个推广: 把基本不等式推广到三个பைடு நூலகம்数的算术 —几何平均不等式, 再推广到一般形式的均值不等式 两个类比: 通过类比等式的性质得到不等式的基本性质 通过类比不等式基本性质的得出过程,猜想绝对值不等 式的性质
与本专题相关的知识介绍
• 必修5 (1)不等关系; (2)一元二次不等式; (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题; (4)基本不等式。 • 文科选修1-2中第2.2节用综合法和分析法证 明不等式 • 理科选修2-2中第2.2节用综合法和分析法证 明不等式,数学归纳法的基本原理。
本专题的知识结构
绝对值三 角不等式
向量形式
代数形式
第二讲
证明不等式的基本方法
证明不等式 的基本方法
比较法
分析法与综合法
反证法与放缩法
本讲教学注意的3个方面:
1. 关注五法的教学特点和要求; 2. 关注证明思路和方法的选择;
3. 适当增加练习,避免过多技巧。
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二维形式的柯西不等式
三维形式的柯西不等式
过程二: “探究——猜想——证明——应用”
本讲教学应注意的5个方面: 1. 2. 3. 4. 5. 强调过程 强化数形 模型意识 关注运用 控制难度
第四讲 数学归纳法证明不等式
数学归纳法
用数学归纳法证明不等式
学习总结报告
本讲教学应强调的几个方面:
1. 体会用有限证明无限的思想; 2.关注步骤; 3.关注适用范围; 4.合理使用归纳假设; 5.恰当介绍贝努利不等式; 6.控制难度。
定 理2 ( 柯 西 不 等 式 的 向 量式 形) 设 , 是 两 个 向 量 , 则


当且仅当 是 零 向 量 , 或 存 在 实 k 数 , 使 k 时 , 等 号 成 立 。
( x1 x3 ) 2 ( y1 y3 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2④
(三)重视引导学生学习方式和教学方 式的改进
改进教学方式,鼓励学生主动探究,引导学生通过类比 提出问题及其解决方法,对于数学结论进行特殊化、作推 广 。如: “对于三个正数会有怎样的不等式成立呢?”
“对比二维形式三维形式的柯西不等式,你能猜想一般形式 的柯西不等式吗?” “一般形式的三角不等式应该是怎样的?如何应用一般形式 的柯西不等式证明它?请同学自己探究。”
谢谢! 欢迎各位批评指正!

证明绝对值三角不等式的一般形式
a c a b b c (a, b, c R)
本讲教学应注意的7个方面: 1、重视基本性质; 2、把握基本不等式 ; 3、多角度认识绝对值三角不等式; 4、把握绝对值不等式的要求; 5、关注条件; 6、重视几何背景; 7、关注思想方法。
数的运算
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