证明柯西不等式的向量形式
二维形式的柯西不等式证明
二维形式的柯西不等式证明柯西不等式是数学中基本的不等式之一，在计算机科学、物理学、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二维形式，并给出其证明过程。
柯西不等式的二维形式表述如下：设a1, a2, b1, b2为任意实数，则有：(a1^2+a2^2)×(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
下面是柯西不等式的证明过程：首先，我们将(b1, b2)视为一个向量b，(a1, a2)视为一个向量a，则柯西不等式的二维形式可以写成：|a|×|b|×cosθ≥a·b其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积。
接下来，我们将a向量和b向量分别写成坐标形式：a=(a1, a2), b=(b1, b2)则有：|a|×|b|×cosθ=√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ而a·b=a1b1+a2b2因此，柯西不等式的二维形式可以重新写成：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2接下来，我们考虑将右侧的a1b1和a2b2变形，即：(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2这个变形的原理是差平方公式。
然后，我们将这个式子带回到柯西不等式的二维形式中，得到：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2由于(a1b2-a2b1)^2≥0，因此右侧的式子比柯西不等式的右侧更小或相等。
因此，我们得到了柯西不等式的二维形式：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
柯西不等式几何证明
柯西不等式几何证明柯西不等式几何证明引言：柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在几何、线性代数、概率统计等领域都有广泛的应用。
本文将通过几何证明的方式来阐述柯西不等式的相关概念和证明过程。
柯西不等式的几何证明，不仅能够帮助我们更深入地理解柯西不等式的背后原理，还能够拓展我们对数学的思维方式和几何直观。
本文将按照以下几个部分进行阐述：点乘的几何意义、柯西不等式的几何形式、几何证明的过程和结论总结。
一、点乘的几何意义在讨论柯西不等式之前，我们首先要了解点乘的几何意义。
对于向量a和b，它们的点乘表示a和b之间夹角的余弦值乘上它们的模的乘积，即a·b = |a||b|cosθ。
这一数值既能够表示两个向量之间的相关性，也可以用来衡量向量在同一方向上的投影的长度。
二、柯西不等式的几何形式柯西不等式的几何形式是说，对于任意的向量a和b，在空间中，它们的点乘的绝对值始终不大于它们的模的乘积。
换句话说，|(a·b)| ≤ |a||b|。
这一不等式表明，任意两个向量之间的夹角余弦的绝对值不会大于1，也即它们的夹角不会超过直角。
三、几何证明的过程下面我们通过几何证明来说明柯西不等式的正确性。
假设我们有两个非零向量a和b，它们的夹角为θ。
我们可以将这两个向量a和b放在同一个起点O处，并将它们延长至相同长度。
设向量a的终点为A，向量b的终点为B。
连接A和B，并在OA和OB上分别作垂线AC和BD。
根据三角形ACO和三角形BDO的特点，可以得到OC = |a|cosθ和OD = |b|cosθ。
由于余弦函数在[0,π]范围内是单调递减的，所以相应的角度θ由于是锐角，cosθ必然是正数。
因此，我们可以得到OC和OD的长度均为正数。
当OC和OD不重合时，作直线CE平行于OD，相交于CA与EB的延长线于点E。
此时，根据平行四边形OCEB的性质，可以得出OC + CE = EB + BO。
进一步可得|a|cosθ + CE = EB + |b|cosθ。
不等式的证明、柯西不等式与排序不等式 经典课件(最新)
高中数学课件
4．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特 定函数的极值．
5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
高中数学课件
知识要点梳理
高中数学课件
1．柯西不等式 (1)柯西不等式的二维形式 ① 柯 西 不 等 式 的 代 数 形 式 ： 设 a1 ， a2 ， b1 ， b2 均 为 实 数 ， 则 (a12 ＋ a22)(b12 ＋ b22)≥________(当且仅当 a1b2＝a2b1 时，等号成立)．
高中数学课件
[强化训练 2.1] (2019 年海南省海南中学高三联考)(1)若 a＞0，b＞0，求证：(a＋ b)1a＋1b≥4；
(2)设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d，若 ab＞cd，求证： a＋ b＞ c＋ d.
证明：(1)∵a＞0，b＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， 1a＋1b≥2 a1b＞0， ∴(a＋b)1a＋1b≥2 ab·2
高中数学课件
【反思·升华】 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧．常见的放缩
方法有：
①
变
换
分
式
的
分
子
和
分
母
，
如
1 k2
<
1 k（k－1）
，
1 k2
>
1 k（k＋1）
，
1 k<
2 k＋
k－1
，
1 k
> k＋2 k＋1.上面不等式中 k∈N*，k>1；②利用函数的单调性；③利用结论：“若 0<a<b，
m>0，则ab<ab＋ ＋mm”．
2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
所以n(a12+a22+…+an2) ≥(a1+a2+…+an)2
即 1 n
a1 a2 ... an
2
a12 a22 ... an2
.
例2
已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明 a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.
分析
上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的 式子，特别是右边式子的字母排列顺序启 发我们，可以用柯西不等式进行证明.
此时，有唯一实数x0，使aix0+bi=0(i=1,2,…,n).
若若xx00=≠00，，则则有b1k=b2=…abii =，bn=总0之,(*，)式当成且立仅；
当bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)时， 等号成立.
定理（一般形式的柯西不等式）
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得 ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.
2
ab
bc
cd
da
2
,
即a2 b2 c2 d 2ab bc cd da
例3
已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值.
分析 由x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的形式，联 系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32） 作为一个因式而解决问题.
柯西不等式的证明_柯西不等式
柯西不等式的证明_柯西不等式二维形式(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1(柯西不等式)所以(a^2+b^2+c^2)>=1/3(1式)又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...(平方的和的乘积不小于乘积的和的平方)证明|a|*|b|≥|a*b|,a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1]推广(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤(a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+.. .+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
一般形式(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
(应为之积的几何平均之和)概率论形式√E(X)√E(Y)≥∣E(XY)∣二维形式的证明(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²=a²·c²+2abcd+b²·d²+a²·d²-2abcd+b²·c²=(ac+bd)²+(ad-bc)²≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用
1.柯西不等式的证明：
柯西不等式的最常见的证明是基于构造内积的思路。
假设有两个n维
向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，我们可以定义它们的内积为a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。
柯西不等式就是说，对于任意两个向量a和b，有，a·b，≤，a，b。
这个不等式可以通过构造内积的平方来进行证明。
具体的证明过程可以参考高等数学相关教材或参考资料。
2.柯西不等式的应用：
-线性代数：柯西不等式可以用来证明向量范数的性质，如欧几里得
范数和曼哈顿范数的非负性、三角不等式等。
-概率论：柯西不等式可以用来证明概率论中的一些重要定理，比如
马尔可夫不等式、切比雪夫不等式等。
-信号处理：柯西不等式可以用来证明信号处理中的一些重要性质，
比如能量守恒定理、奇异值分解等。
-函数分析：柯西不等式可以用来证明函数分析中的一些重要定理，
比如巴拿赫空间的完备性定理等。
-矩阵论：柯西不等式可以用来证明矩阵论中的一些重要性质，比如
矩阵的条件数、病态度等。
总之，柯西不等式是一条十分重要的不等式，具有广泛的应用价值。
它不仅是高等数学中的重要工具，还可以应用于其他学科的研究中。
通过
了解柯西不等式的证明和应用，我们可以更好地理解和运用它，进一步深
化数学和相关学科的学习。
柯西不等式二维形式证明
柯西不等式二维形式证明
柯西不等式是指对于任意实数集合A和B，有以下不等式成立：
（∑(a_i * b_i))^2 ≤ (∑a_i^2) * (∑b_i^2)
其中∑表示求和，a_i和b_i分别是A和B中的元素。
现在我们来证明柯西不等式的二维形式。
假设有两个二维向量
a=(a1,a2)和b=(b1,b2)。
根据柯西不等式的二维形式，我们有：
(a1*b1 + a2*b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2) * (b1^2 + b2^2)
我们将要证明这个不等式。
首先，假设a1,b1,a2,b2是任意实数。
我们可以通过将不等式两边展开后进行移项来开始证明。
展开不等式后，我们得到：
(a1^2 * b1^2 + 2*a1*b1*a2*b2 + a2^2 * b2^2) ≤ (a1^2 * b1^2 + a2^2 * b1^2 + a1^2 * b2^2 + a2^2 * b2^2)
接下来，我们可以通过移项将右侧的四项相加合并，并将左右两侧的相同项合并。
合并同类项后，不等式变为：
2*a1*b1*a2*b2 ≤ a1^2 * b2^2 + a2^2 * b1^2
我们注意到左侧是两个实数相乘的结果，右侧是两个实数平方的和。
由于(x+y)^2 ≥ 0对于任意实数x和y成立，我们可以推导出右侧是非负数。
因此，我们证明了柯西不等式的二维形式。
通过类似的推理，我们可以证明柯西不等式的多维形式。
证明柯西不等式
证明柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.当且仅当ad bc =时，等号成立.证明：证法一：作差比较法证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+∵ m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n ⋅=<>，则||||||m n m n ⋅≤.∴ …..证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…【常见变式】（122||c d ac bd +≥+（222||||c d ac bd +≥+（3ac bd +. 【简单应用】例1：已知a,b 为实数，求证2332244)())((b a b a b a +≥++例2：设a,b 是正实数，a+b=1，求证411≥+ba 分析：注意到)11)((11ba b a b a ++=+，有了)11)((b a b a ++就可以用柯西不等式了。
例3：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=.其它方法 （数形结合法）例4：求函数x x y 21015-+-=的最大值。
解：函数的定义域为【1，5】，且y>036427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x xx y 当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27127=x 时，函数取最大值36 定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ⋅≤.当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立 定理3：（二维形式的三角不等式）设1122,,,x y x y R ∈，则2.一般形式的柯西不等式：定理：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++即211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
柯西不等式与排序不等式
柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. 证明：（一）代数证明：2222222222222a c b c b d a d a c b d abcd ⇐+++≥++222220b c abcd a d ⇐-+≥2()0bc ad ⇐-≥当且仅当ad bc =时，等号成立.（二）向量证明：构造向量(,),(,)a b c d αβ== ，则有cos αβαβθ⋅=⋅αβαβ⋅≤⋅其坐标形式即为ac bd +≤ 当且仅当,αβ 共线或0β=时等号成立，即当且仅当ad bc =时，等号成立.推论1ac bd ≥+（来源于向量证明中）推论2ac bd +（将原式中,,,a b c d 都变为,,,a b c d ） 定理2：柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量，则⋅≤αβαβ当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=kβ时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕 定理3：二维形式的三角不等式设1122,,,x y x y R ∈≥证明：22222112222221112122222221112122222121222()()()x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x x y y =+++≥+++++≥+-+++=-+-≥（二）一般形式的柯西不等式设123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. 简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：222()20i i i i i f x a x a b x b =++≥，222()()()2()0iii iiF x f x a x ab x b ==++≥∑∑∑∑（二）归纳法和平均值不等式：（1）当2n =时，有22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++即命题成立（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由于2222112211112211221111()()2()k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++=++++++++由平均值不等式，得222222221122111121122()()()k k k k k k k k a b a b a b a b a b b b b a a a +++++++≤+++++++由归纳假设得2222112211112211221111222222222221122112112112222222121211()()2()()()()()()(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a b a a a b b b a b +++++++++++++++=++++++++≤++++++++++++≤+++++++ 22222222221121122222222121121)()()()kk kk k k k k k b b b a a a a ba a a ab b b b +++++++++++++=++++++++由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列{}n S ，其中222222*********()()()n n n n n S ab a b a b a a a b b b =+++-++++++则22211111()()0S ab a b =-=22222221112211121121222222211221212[()()()][()()()]n n n n n n n n nnS S a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b +++++-=+++-++++++-+++-++++++22222222222211221111121112112()()()n n n n n n n n n n n n ab a b a b a b a b a a a b a b b b a b ++++++++=++++-+++-+++-2221111212111[()()()]0n n n n n n n n a b ba a b b a a b b a ++++++=--+-++-≤即1n n S S +≤，所以{}n S 单调减少，从而对一切1n ≥，有10n S S ≤=，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论：1ni ii a b=≤∑ （1）当2n =时，22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由归纳假设11111kk i i k k i ii i a b a b a b +++===≥≥+=∑∑由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式变形1：已知123,,,,n a a a a 都是实数，求证：222212121()()n n a a a a a a n+++≤+++说明：此变形为1(1,2,,)i b i n == 的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式12n a a a n +++≤变形2：已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >= 则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++变形3：已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利.（四）排序不等式设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是123,,,,n b b b b 的任一排列，则121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++ ，当且仅当123n a a a a ==== 或123n b b b b ==== 时，反序和等于顺序和简记作：反序和≤乱序和≤顺序和证明：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，因为12,,,n b b b 得全排列有!n 个，所以1122n n S a c a c a c =+++ （1）的不同值也只有有限个（个数!n ≤），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若11c b ≠，则有某11(1),k k c b k c c =>> ，将（1）中1,k c c 对换，得11k k n n S a c a c a c '=+++ （2）111111()()0k k k k k k S S a c a c a c a c a a c c '-=+--=--≥这说明将（1）中的第一项调换为11a b 后，和式不减小.若11,c b =则转而考察2c ，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为11a b ，第二项换为22a b 后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是{}i c 由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和≥乱序和 同样可证，最小和数是反序和，即乱序和≥逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】 （一）求最值例1：设,0a b >，求证：11()()4a b a b++≥．例2：设,,0a b c >，求证：9)111)((≥++++c b a c b a 例3：设,,0a b c >，求证：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 例4：21x y +=，求22x y +的最小值________15例5：22236x y +≤，求2x y +的最大值 1. 1,a b +=22a b +的最小值为_________122.,a b R +∈，111,a b a b+=+最小值为_________4 3. 1111,,,,a b c a b c R a b c+++=∈++最小值为__________94.已知0,0x y >>且21x y +=，则11u x y=+的最小值为___________3+5.已知,,,1,a b c R a b c +∈++=则149x y z++的最小值为_______366.,,,a b c R a b c +∈++=_________7. ,a b R +∈，a b +=8. 求函数y =的最大值__________________5解：22222(34)25≤++=9. 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是10. 若,,a b c R +∈，且2313a b c ++=的最大值是11. 若实数,,,m n x y 满足2222,(),m n a x y b a b +=+=≠则mx ny +的最大值是12.若2222(0,),0,()2cos sin a b a b f πθθθθ∈>>=+的最小值为_________2()a b + 13.设*11,,na b c n N a b b c a c>>∈+≥---且恒成立，则n 的最大值是_________4 14. （06陕西）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （C ）（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）215.（08浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C ) （A ）12ab ≤（B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 16．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（ B ）A ．111<+ba B ．111≥+ba C ．211<+ba D ．211≥+ba 17.设实数,,,,abcde 满足8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，求e 的最大值解：8a b c d e +++=-，2222216a b c d e +++=-，根据柯西不等式有22(8)4(16)e e -≤-，解得1605e ≤≤，当65a b c d ====时，e 有最大值165e = （二）证明例：,,a b c R +∈求证：222a b c a b c b c a++≥++ 1. 已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2.已知12,,,n x x x R +∈ ，且121n x x x +++= ，求证：222121211111n n x x x x x x n +++≥---- 3.,,a b c 为三角形三边，求证：1119a cb bc a a c b a b c++≥+-+-+-++4. 已知，,,a b c R +∈，236,a b c ++=求证：222236a b c ++≥5.设,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 6. 若,a b R +∈，求证：2211()()422a b b a+++≥ 7. ,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：222111100()()()3a b c a b c +++++≥证明：222222222222211111111111()()()(111)(()()())()33111111111100(1())(1()())(19)3333a b c a b c a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c +++++=+++++++≥+++++=+++=+++++≥+=8.i a R +∈且11ni i a ==∑，求证：22211(1)()ni i i n a a n =++≥∑证明：同上9.在ABC ∆中，设其各边长为,,a b c ，外接圆半径为 R ， 求证:2222222111()()36sin sin sin a b c R A B B++++≥ 10.设12,,,n x x x为任意实数，求证：1222222211212111n nx x x x x x x x x +++<+++++++ 证明：由柯西不等式得222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅++++++++++++++ 对2k ≥，有2222222222222222121212121()1(1)(1)(1)k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x -=≤++++++++++++++++ 222222121121111k kx x x x x x -=-++++++++ 对1k =，有22211122222111111()11(1)(1)1(1)1x x x x x x x x =≤=-+++++，故有 2221222222222222222221121211121211211111[()()()]111111111n n k kx x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++≤-+-++-+++++++++++++++++++ 222121111kx x x =-<++++则有222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅<++++++++++++++ 原命题得证【排序不等式应用】例1：已知,,a b c 为正数，求证：222a b c ab bc ac ++≥++例2：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++（利用同向可加性） 1.（08江西）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（A ） A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．1221a b a b + D ．122.b a ab ba Rb a +≥+∈+，求证：已知,3．,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 证明：由对称性不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，111b c c a a b≤≤+++，则 222a b c b c c a a b +++++为顺序和，则有222222a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同理222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同向相加，有2222222222()a b c b c a c b a b c c a a b b c c a a b+++++≥++++++++ 因为2222()()b c b c +≥+，所以222b c b c b c ++≥+，同理222a c a c c a ++≥+，222b a a ba b ++≥+ 原式得证4.设123,,,,,k a a a a 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，均有2111nnk k k a k k==≥∑∑（IMO20-5）证明：设123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的从小到大的有序排列，即123n b b b b ≤≤≤≤ 因为i b 是互不相同的正整数，则1231,2,3,,nb b b b n ≥≥≥≥ ，又因为222111123n>>>> ，所以由排序不等式可得 32122223n a a a a n ++++ （乱序）32122223n b b b b n ≥++++ （倒序）111123n≥++++ 原命题成立，此题即为课后练习题5.设123,,,,n a a a a 为正数，求证：2222231121232341n n n n a a a a a a a a a a a a a a -+++++≥++++（可用排序和柯西两种不等式证明）6.在ABC ∆中，求证：32aA bB cC a b c ππ++≤<++证明：不妨设a b c ≤≤，于是A B C ≤≤由排序不等式得aA bB cC aA bB cC ++=++，aA bB cC bA cB aC ++≥++，aA bB cC cA aB bC ++≥++同向相加可得3()()()()aA bB cC a b c A B C a b c π++≥++++=++，从而3aA bB cCa b cπ++≤++又由0,0,0b c a a b c a c b <+-<+-<+-，有0()()()A b c a Ca b c Ba c b <+-++-++-()()()()2()a B C A b A C B c A B C a b c aA bB cC π=+-++-++-=++-++从而2aA bB cC a b c π++<++由此原命题得证。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
二维形式的柯西不等式知识点梳理(经典系统全面知识点梳理)
课题：二维形式的柯西不等式1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用.2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用.3、学生必须掌握的内容：1．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．3．二维形式的三角不等式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.注意：1．二维柯西不等式的三种形式及其关系定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示．2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件(1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．(2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号．(3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．3．掌握二维柯西不等式的常用变式(1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.(2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|.(3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd.(4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2.4．基本不等式与二维柯西不等式的对比(1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式．(2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效．4、容易出现的问题：在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置的对应易出错。
柯西不等式证明过程
柯西不等式证明过程一、介绍柯西不等式是线性代数中一条重要的不等式，它描述了欧几里得空间中任意两个向量内积的上界。
在本文中，我们将详细探讨柯西不等式的证明过程。
二、柯西不等式的陈述柯西不等式可以用如下方式来陈述：对于给定的n维向量a和b，它们的内积满足以下不等式：｜a·b｜≤ ｜a｜｜b｜其中，a·b表示向量a和向量b的内积；｜a｜表示向量a的模。
三、证明过程为了证明柯西不等式，我们将使用数学归纳法。
假设柯西不等式对于n-1维向量是成立的，即对于任意n-1维向量a和b，有｜a·b｜≤ ｜a｜｜b｜。
我们要证明对于n维向量也成立。
3.1 归纳起始首先，我们来证明当n=2时柯西不等式成立。
设a=(a1, a2)和b=(b1, b2)为二维向量，它们的内积为a·b=a1b1+a2b2，而两个向量的模分别为｜a｜=√(a1^2 + a22)和｜b｜=√(b12 + b2^2)。
那么柯西不等式变为：｜a·b｜≤ ｜a｜｜b｜⇒|a1b1+a2b2| ≤ √(a1^2 + a22)√(b12 + b2^2)我们可以通过平方的方式来证明该不等式。
首先，假设a1≠0，那么可以将不等式两边平方，得到：(a1b1+a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a22)(b12 + b2^2)简化上式得到： a12b22 - 2a1b1a2b2 + a22b12 ≤ a12b22 + a22b12上式中左右两边都有a12b22和a22b12，所以将它们约去，得到： - 2a1b1a2b2 ≤ 0上式显然成立。
如果a1=0，那么a·b=0，任何不等式都成立。
所以综上所述，当n=2时柯西不等式成立。
3.2 归纳假设我们假设当n=k时柯西不等式成立，即对于k维向量a和b，有｜a·b｜≤ ｜a｜｜b｜。
3.3 归纳步骤现在，我们要证明当n=k+1时柯西不等式也成立。
设a=(a1, a2, …, ak, ak+1)和b=(b1, b2, …, bk, bk+1)为k+1维向量，它们的内积为a·b=a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1，而两个向量的模分别为｜a｜=√(a1^2 +a2^2 + … + ak^2 + ak+12)和｜b｜=√(b12 + b2^2 + … + bk^2 + bk+1^2)。
(2021年整理)柯西不等式各种形式的证明及其应用
（完整）柯西不等式各种形式的证明及其应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）柯西不等式各种形式的证明及其应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）柯西不等式各种形式的证明及其应用的全部内容。
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky —Schwarz 不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要,灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解. 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中,12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件:()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明:()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：222111nnn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑三角形式的证明：()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-+ 注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明： ()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式向量形式证明
柯西不等式向量形式证明柯西不等式是线性代数中的重要定理，它用于衡量向量内积的大小关系。
柯西不等式的向量形式可以用于证明不等式的成立。
本文将就柯西不等式的向量形式进行证明，并阐述其应用。
柯西不等式的向量形式如下：对于任意的n维实数向量x和y，有：|(x, y)| ≤ ||x|| ||y||在这个不等式中，x和y表示n维实数向量，(x, y)表示向量x和y 的内积，||x||表示向量x的模。
柯西不等式说明了向量内积的大小关系，即向量内积的绝对值不大于向量模的乘积。
为了证明柯西不等式的向量形式，我们可以利用向量的性质和数学推理进行证明。
首先，我们可以将向量x和y表示为它们的分量形式，即：x = (x1, x2, ..., xn)y = (y1, y2, ..., yn)根据向量内积的定义，我们可以将向量x和y的内积表示为：(x, y) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn根据向量模的定义，我们可以将向量x和y的模表示为：||x|| = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)||y|| = √(y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)接下来，我们可以利用数学推理证明柯西不等式的向量形式。
我们可以将向量x和y的内积表示为它们的模和夹角的余弦值的乘积：(x, y) = ||x|| ||y|| cosθ其中，θ表示向量x和y之间的夹角。
根据三角函数的性质，夹角的余弦值不大于1，即：cosθ ≤ 1将上述不等式代入前面的等式中，可以得到：(x, y) ≤ ||x|| ||y||因此，柯西不等式的向量形式成立。
柯西不等式的向量形式在线性代数中具有广泛的应用。
它可以用于衡量向量的相似度、判断向量是否正交、估计向量的模等。
例如，在信号处理中，柯西不等式可以用于衡量信号的相似度，从而实现信号的匹配和分类。
此外，在优化问题中，柯西不等式可以用于构造优化算法的目标函数，从而实现最优化。
向量n维柯西不等式的证明
向量n维柯西不等式的证明向量n维柯西不等式是感性思维与数学逻辑相结合的杰出产物。
它广泛应用于数学、物理、工程，是一个非常重要的数学定理。
本文将分为以下几部分，分别从感性思维与数学逻辑两个方面对向量n维柯西不等式进行证明。
一、感性思维证明我们先想象一下，当两个向量在同一个方向上时，它们中间的夹角为0度，此时它们的内积应该是最大的。
反之，当两个向量垂直时，它们中间的夹角为90度，此时它们的内积应该是0。
这种直观的理解就可以证明两个向量之间的内积一定小于等于它们的模的积。
即向量n维柯西不等式。
二、数学逻辑证明向量n维柯西不等式的数学证明是基于数学运算和逻辑推理的。
这里给出一种利用数学归纳法证明向量n维柯西不等式的方法。
首先，对于n=2的情况，向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，它们的内积可以表示成a1b1+a2b2，它们的模可以表示成sqrt(a1^2+a2^2)和sqrt(b1^2+b2^2)。
根据一元二次方程的解法，(a1b1+a2b2)^2<=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)，即(a1b1+a2b2)/(sqrt(a1^2+a2^2)sqrt(b1^2+b2^2))<=1。
然后，假设对于n=k的情况，向量a=(a1,a2,...,ak)和b=(b1,b2,...,bk)，它们的内积可以表示成a1b1+a2b2+...+akbk，它们的模可以表示成sqrt(a1^2+a2^2+...+ak^2)和sqrt(b1^2+b2^2+...+bk^2)。
根据归纳法假设，有(a1b1+a2b2+...+akbk)/(sqrt(a1^2+a2^2+...+ak^2)sqrt(b1^2+b2^2+...+bk^2)) <=1。
最后，我们需要证明对于n=k+1的情况，也有(a1b1+a2b2+...+akbk+ak+1bk+1)/(sqrt(a1^2+a2^2+...+ak^2+ak+1^2)sqrt(b1^2+b2^2+...+bk^2+bk+1^2))<=1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三个几何解释
2 2 a b 2ab(a, b R) 的几何解释 重要不等式
基本不等式 绝对值不等式的几何解释
ab ab(a , b 0) 2
的几何解释
四个应用
不等式基本性质的应用 基本不等式的应用 绝对值三角形不等式的应用 绝对值不等式的应用
五个证明
教学难点： （1）三个正数的算术—几何平均不等式及其应用、 绝对值不等式的解法； （2）用反证法、放缩法证明不等式的思考过程； （3）一般形式的柯西不等式和排序不等式的证明思 路；运用两个经典的不等式证明不等式； （4）认识数学归纳法的证明思路；运用数学归纳法 时，在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的 递推关系。
定 理2 （ 柯 西 不 等 式 的 向 量式 形） 设 ， 是 两 个 向 量 ， 则
②
当且仅当 是 零 向 量 ， 或 存 在 实 k 数 ， 使 k 时 ， 等 号 成 立 。
( x1 x3 ) 2 ( y1 y3 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2④
二、内容安排介绍
• 与本专题相关的知识介绍 • 本专题的知识结构和内容
与本专题相关的知识介绍
• 初中课标要求：不等式与不等式组 ①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式 的意义，并探索不等式的基本性质。 ②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上 表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不 等式组，并会用数轴确定解集。 ③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元 一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。
2 2 2 a b ( a b ) i i ii i 1 i 1 i 1 n n n
5．用向量递归方法讨论排序不等式。 6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学 归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1＋x)n＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。 了解当n为实数时贝努利不等式也成立。 8．会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平 均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。 9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 10．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内 容：（1）知识的总结。对本专题介绍的不等式中 蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结；（2） 拓展，通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立 思考，
选修4-5《不等式选讲》解读
余杭高级中学 吴寅静
主要内容
• 教学目标解读 • 教学内容介绍 • 课时安排 • 教学建议
一、教学目标解读
1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。 2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何 意义证明以下不等式： （1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣； （2）∣a－ b∣≤∣a－c ∣＋∣c－b∣； （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ∣ax＋b∣≤c ;∣ax＋b∣≥c ；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。 3．认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义。 （1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α· β|。 （2）证明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。 （3）证明： ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 ( x1 x3 )2 ( y1 y3 )2 4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：
第一讲 不等式和绝对值不等式
不等式的基本性质
绝对值三角不等式
基本不等式
解含有绝对值 的简单不等式
三个正数的 算术—几何不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
“一个推广，两个类比，三个几何解释，四个证明，五个应用”
一个推广： 把基本不等式推广到三个正数的算术 —几何平均不等式， 再推广到一般形式的均值不等式 两个类比: 通过类比等式的性质得到不等式的基本性质 通过类比不等式基本性质的得出过程，猜想绝对值不等 式的性质
与本专题相关的知识介绍
• 必修5 （1）不等关系； （2）一元二次不等式； （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题； （4）基本不等式。 • 文科选修1-2中第2．2节用综合法和分析法证 明不等式 • 理科选修2-2中第2．2节用综合法和分析法证 明不等式，数学归纳法的基本原理。
本专题的知识结构
谢谢！ 欢迎各位批评指正！
2 2 a b 2ab(a, b R) 证明重要不等式
证明基本不等式 证明三个正数的算术—几何平均不等式 abc 3 abc(a , b, c R ) 3 证明绝对值三角不等式
ab ab(a , b R ) 2
a b a b (a, b R)
学习总结报告：
一、知识的总结 对本专题介绍的知识及其中蕴涵的数学思想 方法和数学背景进行总结； 二、拓展 通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立 思考，进一步探讨不等式的应用； 三、学习体会 学习本专题的感受、体会和看法。
三、课时安排
本专题教学约需18课时，具体分配如下（仅供参考）： 第一讲 不等式和绝对值不等式 一、不等式 二、绝对值不等式 第二讲 证明不等式的基本方法 一、比较法 二、综合法与分析法 三、反证法与放缩法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一、二维形式的柯西不等式 二、一般形式的柯西不等式 三、排序不等式 单元小结 约1课时 第四讲 数学归纳法证明不等式 一、数学归纳法 二、用数学归纳法证明不等式 学习总结报告 约2课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时 约1课时
过程二： “探究——猜想——证明——应用”
本讲教学应注意的5个方面: 1. 2. 3. 4. 5. 强调过程 强化数形 模型意识 关注运用 控制难度
第四讲 数学归纳法证明不等式
数学归纳法
用数学归纳法证明不等式
学习总结报告
本讲教学应强调的几个方面:
1. 体会用有限证明无限的思想； 2.关注步骤； 3.关注适用范围； 4.合理使用归纳假设； 5.恰当介绍贝努利不等式； 6.控制难度。
一般形式的柯西不等式
排序不等式
本讲教学应注意的5个方面: 1. 强调过程
过程一：
“数形结合的强化”
定 理1 （ 二 维 形 式 的 柯 西 不式 等） 若 a , b, c , d都 是 实 数 ， 则(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 ① 当且仅当 ad bc时 ， 等 号 成 立 。
证明绝对值三角不等式的一般形式
a c a b b c (a, b, c R)
本讲教学应注意的7个方面: 1、重视基本性质； 2、把握基本不等式 ； 3、多角度认识绝对值三角不等式； 4、把握绝对值不等式的要求； 5、关注条件； 6、重视几何背景； 7、关注思想方法。
数的运算
（三）重视引导学生学习方式和教学方 式的改进
改进教学方式，鼓励学生主动探究，引导学生通过类比 提出问题及其解决方法，对于数学结论进行特殊化、作推 广 。如： “对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？”
“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式 的柯西不等式吗？” “一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式 的柯西不等式证明它？请同学自己探究。”
绝对值三 角不等式
向量形式
代数形式
第二讲
证明不等式的基本方法
证明不等式 的基本方法
比较法
分析法与综合法
反证法与放缩法
本讲教学注意的3个方面:
1. 关注五法的教学特点和要求； 2. 关注证明思路和方法的选择；
3. 适当增加练习，避免过多技巧。
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二维形式的柯西不等式
三维形式的柯西不等式
约2课时 约2课时 约1课时
四、教学建议
•把握教学要求 •重视思想方法 •重视学生方式和教学方式的改进
（一）注意把握教学要求
• 不随意拓展、延伸 • 不随意加深难度 • 不过于追求技巧性 • 抓住重点、难点
教学重点： （1）不等式的基本性质、基本不等式及其应用、绝对值 三角不等式； （2）用比较法、分析法、综合法证明不等式； （3）认识柯西不等式的几种形式，理解其几何意义、用 向量递归方法讨论排序不等式、通过运用这两种不等式 分析解决一些简单问题、体会运用经典不等式的一般方 法（发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过适当 的变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关 系）； （4）了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤、 会用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式（包括 贝努利不等式）。
（二）重视数学思想方法的教学
本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重 要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要 不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体 现的转化的思想，函数思想，以及证明不等式的比较法、 综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法，在证明 柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法， 教科书都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问 题加以理解和体会。