二次函数线段和最值 最短路径

二次函数与线段和、周长最值问题

此类问题主要涉及最短路径问题的如下三种题型：

例：如图，平面直角坐标系中有两点A（3，4），B（1，0）试在y轴上找到一点P使得PA+PB 的值最小.

例：1.已知，抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，-4，与y轴的交点C的纵坐标为3.

⑴求该抛物线的解析式；

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PA+PC值最小？若存在，求出PA+PC的最小值;若不存在，

请说明理由.

⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长值最小？若存在，求出△PAC周长的最小值;

若不存在，请说明理由.

⑷在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长值最小？若存在，求出四边形PAOC周

长的最小值;若不存在，请说明理由.

2.如图，直线y=-x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+5交

于B、C两点.已知点D的坐标为（0，3）.

⑴求该抛物线的解析式；

⑵点M、N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标，并写出△DMN 周长的最小值.

3.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图像的顶点为D，与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），与y 轴负半轴交于点C.

⑴若△ABD为等腰直角三角形，求该抛物线的解析式；

⑵在⑴的条件下，抛物线与直线y=

5

4

x-4交于M、N两点（点M在点N的左侧），动点P从M点出发，先到达抛物线对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点N，若使点P运动的总路径最短，求点P运动的总路径的长.