二次函数线段和最值 最短路径
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。
在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。
关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。
小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。
变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。
分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。
，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。
分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。
变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。
专题06 二次函数最小值问题(解析版)
∴△QEF周长的最小值为 ，此时Q（ ， ）．
4．如图1，二次函数y＝ x2﹣2x+1的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且AO：BN＝1：7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；
（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使△QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和△QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A（3，﹣3），
＝（m﹣1）4+ （m﹣1）2+ ，
∴PM2＝PF2，
∴PM＝PF，
∴点P在MF的垂直平分线上，
（3）如图，E（ ），EF＝ ，
作QN⊥l于N，由（2）知：QN＝QF，
∴要想△QEF的周长最小，只要使EQ+QN最小，
作EN'⊥l于N'，交抛物线于Q'，
∵EQ+QN≥EN'，
∴E、Q、N三点共线时，EQ+QN最小，
∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，
∴PE×PD＝（k+1）（3﹣ k）＝﹣ k2+ k+3，
∴当k＝ 时，PE×PD最大，即：PE×PF最大，
此时G（5， ），
∵△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，
∴ BH＝B1H，GH+ BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，
二次函数中的最短路径问题课件
AA’=5 AP’=3
PE+EF+FA =P′E+EF+FA′ =A′P′
= 34
y
(0,2)A •
(0,1)P•1
..F
o CE
.-1
P′
. A′
X
练习1：如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1， 0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物的对称轴为 直线l，D为对称轴l上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求当AD+CD最小时点D的坐标； （3）以点A为圆心，以AD为半径作⊙A．
二次函数中的 最短路径问题
课本原型：（七年级下册）如图，要在街道旁修建一个奶站，
向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使 从A，B到它的距离之和最短？
A B
街道
PP
A’
基本解法: 利用对称性 基本依据：两点之间线段最短。
例：已知抛物线
y
=
1 2
x2
-
5 2
x+2
，
若一个动点Ｍ从OA的中点
求证：当AD+CD的最小时，直线BD与⊙A相切；
练习2：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 （1， ） ，B点在X轴上，△AOB的面积是
（1）求点B的坐标； （2）求过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的 周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理 由；
Ｐ出发，先到达对称轴上点F，最后运动到点A。确定使点M运
动的总路径最短的点Байду номын сангаас的位置，并求出这个最短路程的长.
AA’=5
y
PA=1
二次函数压轴题专题一 最短路径问题
二次函数压轴题专题一最短路径问题——和最小知识梳理最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下 两个方面：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短。
常用思考的方式：1、把立体转化为平面；2、通过轴对称寻找对称点。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
例题导航例1：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD,··CDA BEa∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，常见问题归纳“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DElBAllllBAOBOB＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．二次函数中最短路径例题例1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．BOB Oll练习1．（11菏泽）如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．练习2．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．例2．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a ＋1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．【思路点拨】 （1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出； （3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN•MN －12OM •OE ＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1＝－x 2＋92x ＋92 ＝－（x －94）2＋15316 ∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）． （3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值． 如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得：⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图2练习3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （﹣4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2＝d 1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．例4．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了． （1）求点A ，B ，D 的坐标； （2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可．【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12 (x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3． 由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12 (x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)21＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．例5．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ． （ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎨⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎨⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1； （2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ； （3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°．∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′，∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点．∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．l。
二次函数与“最短距离”问题
二次函数与“最短距离”问题一．教学目标1.会求二次函数的解析式及对称轴、交点坐标、顶点坐标.2.掌握二次函数中求最短距离问题的解决思路，延伸到解决三角形、四边形周长的最小值问题.3.二次函数与“最短距离”问题解题流程熟练化，能够熟练解决该类型问题. 二．疑难点分析本节课根据“两点之间，线段最短”,利用轴对称变换，将同侧的两点转化为处于异侧的两点，从而解决最短距离问题.三．教学流程四．教学环节（一）复习旧知：最短路径（将军饮马）问题唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图，将军在观望烽火后从山脚下A 点出发，走到河边饮马后再走到B 点的营地，怎样走才能使总的路程最短？解：思路分析：如图，先作点A 关于直线MN 的对称点E ，连接BE ，那么BE 与MN 的交点即为P 点，此时BP +AP =BE ，值最小.总结：将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼），把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小的问题，利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，从而转化为“两点之间，线段的最短”问题。
（二）主例题讲解例1（自编）：如左图，抛物线y=x2 +bx+c过B(1,0),A(3,0).（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴；（3）点P 是对称轴上的一点，当PD +PB 达到最小值时，求点 P 的坐标.⎨ ⎨ ⎨ ⎨ 思路分析：解：（1）将 B (1，0), A (3，0) 代入 y = x 2 + bx + c ，⎧1+ b + c = 0 得 ⎩9 + 3b + c = 0 ∴ y = x 2 - 4x + 3⎧b = -4 ，解得 ⎩c = 3,（2） 对称轴：直线 x = - b 2a= -- 4 = 2 2 （3） B 点关于对称轴的对称点为 A ，则直线 AD 与对称轴的交点即为所求的点 P .令 y = x 2 - 4x + 3 的 x = 0 ，解得 y = 3 ，所以 D (0，3) .设直线 AD 的函数表达式为： y = kx + b （k ≠ 0），将 A （3,0），D (0，3) 代入，得，⎧0 = 3k + b ⎩3 = 0 + b ，解得 ⎧k = -1 ⎩b = 3 ，∴ y = -x + 3.将 x = 2 代入 y = -x + 3 ， y = 1，∴ P (2,1)归纳：第（3）小问是“将军饮马”问题的派生，函数中求最短距离问题的解法： ①利用坐标系中点的对称性质及抛物线自身的对称性找到对称点，根据“三点共线时，两点之间，线段最短”，找到满足条件的点；②求这两点的直线表达式，当x = 2 ，求出y ，得P 的坐标. 变式 1（导教导学案）：如图，抛物线y=x2 -4x+3与y轴交于点D ，与x 轴的交点为A, B .（1）求点B, D 的坐标；（2）连接BD ，则BD = .（3）点P 是对称轴上的一动点，求∆PBD 周长的最小值.思路分析：解：（1）令y=0,x2 -4x+3=0，解得x= 3, x2=1，∴B(1，0)，A(3，0)12 2 令 x = 0, y = 3，∴ D (0，3)（2）连接 BD , Rt ∆BOD 中， 由勾股定理得， BD 2 = BO 2 + OD 2 = 32 +12 = 10，∴BD = 10 .（3） C ∆PBD = BD + PD +P B = + PD + PB ， 要使C ∆PBD 最小，只需 PD + PB 最短.如图，点关于对称轴的对称 B 点为 A ，则直线 AD 与对称轴的交点即为所求的点P ，此时 PD + PB = PD + PA = AD ，在 Rt ∆AOD 中，由勾股定理得， AD 2 = OD 2 + OA 2 = 32 + 32 =18，∴ AD = 3 ，C ∆PBD 最小 = + 3 .归纳：这是主例题的变式，是两条线段和最短问题的延伸，二次函数中三角形周长最小问题可转化为“线段最短”问题.变式 2（专题提优攻略）：如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过 A (1，0) ，B (4，0) ，C (0，3)三点.（1） 求抛物线的解析式；（2） 如图，在抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使得四边形 PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由.思路分析：10 10所以，抛物线的解析式为y =3x 2 -15x + 3 .4 4（2） A，B 关于对称轴，如图，连接 BC，∴B C与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，∴四边形PAOC的周长最小值为：OC +OA+BC ,A(1，0)、B(4,0)、C(0,3),∴OA = 1，OC = 3，BC =∴OC +OA+BC =1+ 3+ 5 = 9即四边形 PAOC 的周长最小值为 9.= 5，归纳：这是“将军饮马”问题解决方法的再一次派生，只要熟悉“线段最短” 问题，求四边形周长最小问题就迎刃而解了.（三）课堂小结方法提炼：函数中求最短距离问题的解法：二次函数中的最短距离问题和找一点使得三角形、四边形的周长最小问题，实质就是我们学过的“直线同侧两点到该直线上一点距离之和最小问题”，即“将军饮马”问题的派生，只是在函数中将“河”演变成了坐标系中的x 轴或者y 轴或抛物线的对称轴等直线，所以解法如下：（1）利用坐标系中点的对称性质及抛物线自身的对称性找到满足条件的点；（2）利用函数的相关知识求出找到的点或对称点的坐标；（1）借助两点间的距离公式或勾股定理求出最短距离。
二次函数有关的线段最短问题
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点
. (5)若M为抛物线对称轴上任 意一点，是否存在一点M使得
y (0,3) C
D(1,4)
△ACM的周长最小.若有，求 出点M的坐标，若没有，说明 理由.
(-1,0) A
M
0
B(3,0) x
典例分析
例 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 2x 3
数
的图象经过A、C两点．
（1）求该二次函数的表达式； （2）F、G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连结D、E、F、G构 成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；
2.如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0) 两点．
（1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是 否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由；
Py P
Q C
(1)抛物线解析式为y x2 - 2x 3
Q(1,2)
B
A
O
x
P( 3 , 15) 24
. (1)求A、B、C、D的坐标.
y (0,3) C
D (1,4)
(2)在x轴上是否存在一点P，
使得P到C,D两点的距离之和最 小.若有，求出点P的坐标，若
(-1,0) A 0P
B(3,0) x
没有，说明理由.
典例分析
例 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 2x 3
Hale Waihona Puke 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点
. (1)求A、B、C、D的坐标.
y (0,3) C
D (1,4)
二次函数压轴题最短路径问题
最短路径问题——和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过lBAlAllAlOBOBBOB O点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．【思路点拨】ll（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋PD最短，求出CD的直线解析式，令y ＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．【解题过程】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴抛物线的顶点为：D（2，－1），当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，【方法一】∵C（0，3）、D（2，－1），设直线CD的解析式为y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝32，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（32，0）．【方法二】过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴PODE＝COCE，∴PO2＝34，解得：PO＝32，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（32，0）．2．（11菏泽）如图，抛物线y＝12x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．【思路点拨】（1）把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D 的坐标； （2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B ，C 的坐标，再得出AB ，AC ，BC 的长度，易得AC 2＋BC 2＝AB 2，得出△ABC 是直角三角形；（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，连接C 'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最短”可知MC ＋MD 的值最小．求出直线C 'D 的解析式，即可得出点M 的坐标，进而求出m 的值． 【解题过程】解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×（－1 ）2＋b ×（－1）－2＝0，解得b ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为 （32，－258）．（2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．当y ＝0时，12x 2－32x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小． 【方法一】设直线C ′D 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧n ＝232k ＋n ＝－258，解得：⎩⎨⎧n ＝2k ＝－4112．∴y ＝－4112x ＋2． ∴当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，x ＝2441．∴m ＝2441．【方法二】设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED ∥y 轴，∴∠OC ′M ＝∠EDM ，∠C ′OM ＝∠DEM ，∴△C ′OM ∽△DEM ． ∴OM EM ＝OC ′ED ，∴m 32－m ＝2258，∴m ＝2441．3．（11福州）已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝33x＋3对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．【思路点拨】（1）二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）中只有一个未知参数a，令y＝0，解出方程ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），即可得到点A，B的坐标．把点A的坐标代入直线l的解析式即可判断A是否在直线上；（2）根据点H、B关于过A点的直线l：y＝33x＋3对称，得出AH＝AB＝4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，得AC＝12AB＝2，利用勾股定理求出HC的长，即可得出点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；（3）直线BK∥AH易得直线BK的解析式，联立直线l的解析式方程组，即可求出K的坐标．因为点H，B 关于直线AK对称，所以HN＝BN，所以根据“两点之间，线段最短”得出HN＋MN的最小值是MB．作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，所以QM＝KM，易得BM＋MK的最小值为BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值，求出QB的长即可．【解题过程】解：（1）依题意，得ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），解得x1＝﹣3，x2＝1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），∵直线l：y＝33x＋3，当x＝﹣3时，y＝33×(－3)＋3＝0，∴点A在直线l上．（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y＝33x＋3对称，∴AH＝AB＝4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC＝12AB＝2，HC＝23，∴顶点H（－1，23），代入二次函数解析式，解得a＝－32，∴二次函数解析式为y＝－32x2－3x＋332，（3）直线AH 的解析式为y ＝3x ＋33，直线BK 的解析式为y ＝3x ＋33，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3y ＝3x －3，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝23，即K （3，23），则BK ＝4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，∴HN ＋MN 的最小值是MB ，KD ＝KE ＝23，过点K 作直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，则QM ＝MK ，QE ＝EK ＝23，AE ⊥QK ， ∴BM ＋MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值， ∵BK ∥AH ，∴∠BKQ ＝∠HEQ ＝90°，由勾股定理得QB ＝8， ∴HN ＋NM ＋MK 的最小值为8．4．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已【思路点拨】（1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出；（3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5， ∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN •MN －12OM •OE＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92＝－（x －94）2＋15316∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）．（3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）． 四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）； 作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）； 连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得： ⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图22．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可． 【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3． 由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12(x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)2-1＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)． 此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．6．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ． （3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ．（ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）因为抛物线的对称轴是y 轴，所以b ＝0，再代入点（0，﹣1），（2，0）即可求出抛物线的解析式； （2）由（1）设出P 的坐标，分别表示出PE ，PQ 的长度，即可得出结论；（3）（i ）因为BN ∥AM ，所以∠ABN ＋∠BAM ＝180°．由（2）的结论可得BO ＝BN ，AO ＝AM ，可得出∠BON ＝∠BNO ，∠AOM ＝∠AMO ，易得∠BON ＋∠AOM ＝90°再得到∠MON ＝90°即可；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论． 【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1；（2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt△POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ；（3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°． ∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH＝∠GHF′＝∠F′EG＝90°，FO＝FG，F′H＝F′O，∴四边形GHF′E是矩形，FO＋FD＝FG＋FD＝DG，F′O＋F′D＝F′H＋F′D，∴EG＝F′H，∴DE＜DF′，∴DE＋GE＜HF′＋DF′，∴DG＜F′O＋DF′，∴FO＋FD＜F′O＋DF′，∴F是所求作的点．∵D（1，1），∴F的横坐标为1，∴F（1，54）．【举一反三】1．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．l2．（13成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣12x2＋bx＋c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究PQNP＋BQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．【参考答案】1．解：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－44a ＋2b ＋c ＝0c ＝0，解得a ＝﹣12，b ＝1，c ＝0，∴解析式为y ＝﹣12x 2＋x ． （2）由y ＝﹣12x 2＋x ＝﹣12（x ﹣1）2＋12，可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM ＝BM ， ∴OM ＋AM ＝BM ＋AM ，连接AB 交直线x ＝1于M 点，则此时OM ＋AM 最小， 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt△ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42， ∴OM ＋AM 最小值为42．2．解：（1）∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，－1），C 的坐标为（4，3），∴点B 的坐标为（4，－1）．∵抛物线过A （0，－1），B （4，－1）两点，∴ ⎩⎨⎧c ＝－1－12×16＋4b ＋c ＝－1，解得：b ＝2，c ＝－1，∴抛物线的函数表达式为：y ＝－12x 2＋2x －1．（2）（i ）∵A （0，－1），C （4，3），∴直线AC 的解析式为：y ＝x －1．设平移前抛物线的顶点为P 0，则由（1）可得P 0的坐标为（2，1），且P 0在直线AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为（m ，m －1）， 则平移后抛物线的函数表达式为：y ＝－12（x －m ）2＋m －1．解方程组：⎩⎨⎧y ＝x －1y ＝－12(x －m )2＋(m －1)，解得⎩⎨⎧x 1＝m y 1＝m －1， ⎩⎨⎧x 2＝m －2y 2＝m －3， ∴P （m ，m －1），Q （m －2，m －3）． 过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QF ∥y 轴，则PE ＝m －（m －2）＝2，QF ＝（m －1）－（m －3）＝2．∴PQ ＝22＝AP 0．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为22（即为PQ 的长）． 由A （0，－1），B （4，－1），P 0（2，1）可知，△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0＝22．如答图1，过点B 作直线l 1∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：y ＝x ＋b 1，∵B （4，－1），∴－1＝4＋b 1，解得b ＝＝－5，∴直线l 1的解析式为：y ＝x －5．解方程组 ⎩⎨⎧y ＝x －5y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝－1，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－7， ∴M 1（4，－1），M 2（－2，－7）．②当PQ 为斜边时：MP ＝MQ ＝2，可求得点M 到PQ 的距离为 2 ． 如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（2，－1）． 由A （0，－1），F （2，－1），P 0（2，1）可知：△AFP 0为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为 2 ．过点F 作直线l 2∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 2的解析式为：y ＝x ＋b 2，∵F （2，－1），∴－1＝2＋b 2，解得b 2＝－3，∴直线l 2的解析式为：y ＝x －3．解方程组⎩⎨⎧y ＝x －3y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎨⎧x 1＝1＋5y 1＝－2＋5，⎩⎨⎧x 1＝1－5y 1＝－2－5， ∴M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）． 综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（4，－1），M 2（－2，－7），M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）．（ii ）PQNP ＋BQ存在最大值．理由如下：由i ）知PQ ＝22为定值，则当NP ＋BQ 取最小值时，PQNP ＋BQ有最大值． 如答图2，取点B 关于AC 的对称点B ′，易得点B ′的坐标为（0，3），BQ ＝B ′Q ． 连接QF ，FN ，QB ′，易得FN ∥PQ ，且FN ＝PQ ，∴四边形PQFN 为平行四边形．∴NP ＝FQ ． ∴NP ＋BQ ＝FQ ＋B ′Q ≥FB ′＝22＋42＝25．∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP ＋BQ 最小，最小值为25．∴PQ NP ＋BQ 的最大值为2225＝105．F3．解：（1）设抛物线的解析式：y＝ax2，∵拋物线经过点B（﹣4，4），∴4＝a•42，解得a＝14，所以抛物线的解析式为：y＝14x2；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，∴Rt△BAE≌Rt△ACD，∴AD＝BE＝4，CD＝AE＝OE﹣OA＝4﹣1＝3，∴OD＝AD＋OA＝5，∴C点坐标为（3，5）；（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，∵点P在抛物线y＝14x2上，∴b＝14a2，∴d1＝14a2，∵AF＝OF﹣OA＝PH﹣OA＝d1﹣1＝14a2﹣1，PF＝a，在Rt△PAF中，PA＝d2＝AF2＋PF2＝(14a2－1)2＋a2＝14a2＋1，∴d2＝d1＋1；（3）由（1）得AC＝5，∴△PAC的周长＝PC＋PA＋5＝PC＋PH＋6，要使PC＋PH最小，则C、P、H三点共线，∴此时P点的横坐标为3，把x＝3代入y＝14x2，得到y＝94，即P点坐标为（3，94），此时PC＋PH＝5，∴△PAC的周长的最小值＝5＋6＝11．。
二次函数求线段最值问题
二次函数求线段最值问题二次函数求线段最值问题是指给定一个二次函数，要求求出函数在某个线段上的最大值或最小值。
以下是求解二次函数线段最值问题的详细步骤：1. 确定二次函数公式：首先，确定二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别为常数。
根据具体问题的条件，可以得到函数的具体表达式。
2. 确定线段的范围：根据问题中给定的线段范围，确定函数的自变量x的取值区间。
这个区间必须在函数的定义域内。
3. 确定最值类型：判断问题中要求求解的是最大值还是最小值。
这可以通过问题的描述或背景来确定。
4. 求解最值点：针对求解最大值或最小值的情况，进行以下步骤：- 求解函数的导数f'(x)。
导数可以通过对函数f(x)进行求导得到。
- 解求导函数f'(x)的解析解或数值解。
这些解即为函数的驻点，也就是函数取得最值的可能点。
- 验证驻点是否在线段范围内。
检查求得的驻点是否在给定的线段范围内。
如果在范围内，则进入下一步；如果不在范围内，则取线段端点的函数值作为最值点。
- 计算驻点或线段端点的函数值。
将驻点或线段端点的x值代入二次函数，计算对应的函数值。
- 比较函数值大小，找出最值点。
比较上一步中得到的函数值，找出最大值或最小值点。
5. 补充边界情况：除了在线段内求解最值以外，还需要检查函数在线段的端点处的函数值。
比较端点的函数值与之前求得的最值点的函数值，确定最终的最值点。
6. 验证最值点：最后，将求得的最值点代入二次函数，验证它们是否为最大值或最小值。
即比较最值点的函数值与其他可能的函数值，以确定最值点的正确性。
以上是求解二次函数线段最值问题的详细步骤。
通过这些步骤，可以找到函数在给定线段上的最大值或最小值点。
注意，在具体的问题中，可能需要对步骤进行一些适当的调整和修改，以适应不同的求解需求。
九年级数学上册复习专题15二次函数中最短路径问题(1)
专题15二次函数中最短路径问题【做题思路】：一般在二次函数中，会求PA+PC的最小值，且点P为动点；对于这类问题，首先将动点所在直线作为“河”，根据“将军饮马问题”的作图步骤，作出图形。
【做题步骤】：①首先找出“河”：动点所在直线就是“河”；②选出其中一个特殊定点，做关于“河”的对称点；③连接对称点与另一个定点；④连线与河的交点即为动点所在位置，连线长度即为最短路径长（可以用两点之间距离公式）；【变换类型】求一个三角形的周长最短：周长就是三条线段相加，其中有一条线段是确定的，两条线段长随着动点运动而变化，那么只需要求出与动点相连两定点的线段最小值即可，也就是求两个线段的最小值。
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】1．直线y＝23x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（）A．(－3，0)B．(－6，0)C．(－52，0)D．(－32，0)【答案】C【解析】【分析】【详解】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．直线y=23x+4与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣6，0）和点B（0，4），因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C（﹣3，2），点D（0，2）．再由点D′和点D关于x轴对称，可知点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），所以2=-3k+b-2=b⎧⎨⎩，解得：4k=-3b=-2⎧⎪⎨⎪⎩，即可得直线CD′的解析式为y=﹣43x﹣2．令y=﹣43x﹣2中y=0，则0=﹣43x﹣2，解得：x=﹣32，所以点P的坐标为（﹣32，0）．故答案选C．考点：一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．2．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M，N 分别是AB，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是（ ）A ．12B ．1C D ．2【答案】B 【解析】 【分析】先作点M 关于AC 的对称点M′，连接M′N 交AC 于P ，此时MP+NP 有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1． 【详解】 解：如图，作点M 关于AC 的对称点M′，连接M′N 交AC 于P ，此时MP+NP 有最小值，最小值为M′N 的长． ∵菱形ABCD 关于AC 对称，M 是AB 边上的中点， ∴M′是AD 的中点， 又∵N 是BC 边上的中点， ∴AM′∥BN ，AM′=BN ， ∴四边形ABNM′是平行四边形， ∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP 的最小值为1， 故选B ．3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1），在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】（﹣1，0）．【解析】试题分析：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，求出C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b，得出直线BC的解析式，求出直线与x轴的交点坐标即可．试题解析: 作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，，A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），，C（2，﹣3），设直线BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐标代入得：21 {23k bk b-+=+=-解得1 {1 kb=-=-．即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，当y=0时，﹣x﹣﹣1=0，解得：x=﹣1，，P点的坐标是（﹣1，0）．考点：1.轴对称-最短路线问题；2.坐标与图形性质．4．如图，A（3,4），B（0,1），C为x轴上一动点，当△ABC的周长最小时，则点C的坐标为_________．【答案】305⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】 【分析】先作出点B 关于x 轴的对称点'B ，连接'AB 交x 轴于点C,再用待定系数法求出直线'AB 的解析式，进而求出点C 的坐标即可. 【详解】先作出点B 关于x 轴的对称点'B ，连接'AB 交x 轴于点C,则点'B 的坐标为(0,1)-由两点之间线段最短可知，'AB 的长即为AC BC +的长，因为AB 是定值，所以此时△ABC 的周长最小 设直线'AB 的解析式为y kx b =+ 将(3,4),'(0,1)A B -代入解析式得341k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得531k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线'AB 的解析式为513y x =- 当0y = 时，5103x -=，解得35x = ∴点3(,0)5C故答案为：305⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【点睛】本题主要考查周长的最小值，能够作出点B 的对称点，掌握待定系数法是解题的关键.1．如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y= 12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标__________.【答案】31-22（，） 【解析】分析:易得点A，0，1），那么把A，B 坐标代入y=12x 2+bx+c 即可求得函数解析式,然后求出对称轴,找到C 关于对称轴的对称点B ，连接AB 交对称轴的一点就是M ．应让过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标．详解: ，1）将A，0，1，，B，1，0）坐标代入y=12x 2+bx+c, 得1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩, 解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解折式为y=12x 2-32x+1， ∴抛物线的对称轴为x=32， ∵B，C 关于x=32对称， ∴MC=MB，要使|AM -MC|最大，即是使|AM -MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M 在同一直线上时|AM -MB|的值最大． 易知直线AB 的解析式为y=-x+1∴由132y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴M，32，-12，， 点睛: 本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点,求两条线段和或差的最值，要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．2．如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，M 点在抛物线的对称轴上，当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时，点M 的坐标为_____．【答案】（﹣1，2）． 【解析】 【分析】因为点B 关于对称轴的对称点为点A ，连接AC ，设直线AC 与对称轴x =，1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小，再求得点M 的坐标即可， 【详解】∵抛物线y =，x 2，2x +3与x 轴交于A ，B 两点，令y =0，得，，x 2，2x +3=0，解得，x =，3或x =1，∴点A ，，3，0，，C ，0，3，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，把A ，，3，0，，C ，0，3）分别代入直线y =kx +b ，得，303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得，13k b =⎧⎨=⎩，∴直线AC 解析式为y =x +3， 设直线AC 与对称轴x =，1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小， 把x =，1代入直线y =x +3得，y =2，∴M ，，1，2，，即当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（﹣1，2，，故答案为，，1，2，，【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，轴对称﹣最短路线问题，求得直线AC 的解析式是解答本题的关键， 3．如图，已知直线1y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1,0)．在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM MC -的值最大，求出点M 的坐标___【答案】31,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】 找到C 关于对称轴的对称点B ，连接AB 交对称轴的一点就是M ．应让过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标．【详解】解：将A （0，1）、B （1，0）坐标代入212y x bx c =++ 1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解折式为213-122y x x =+ ∴抛物线的对称轴为x ＝32，∵B 、C 关于x=32对称， ∴MC=MB ， 要使|AM -MC|最大，即是使|AM -MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时|AM -MB|的值最大．易知直线AB 的解析式为y=-x+1321x y x ⎧=⎪∴⎨⎪=-+⎩ ∴3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了抛物线与直线的问题，求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．阅读材料：例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．P （x ，0）是x 轴上P 与点A （0，1P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA ＝PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB ＝3，所以A′B＝．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式【答案】（1）B（2，3）或（2，－3）；（2）10．【解析】试题分析：（1（2P （x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．试题解析：（1的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，±3）的距离之和，故答案为：B（2，3）或（2，－3）；（2∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，﹣7），A′C=6，A B'==，故答案为：10．BC=8，∴10考点：1．轴对称-最短路线问题；2．坐标与图形性质；3．探究型．已知()()1,2,7,4A B ，M ，N 是x 轴上两动点（M 在N 左边），3MN =，请在x 轴上画出当AM MN NB ++的值最小时，M ，N 两点的位置．【答案】见解析【解析】【分析】作点A 关于x 轴的对称点()1,2'-A ，再将点B 向左平移3个单位得到点B '，连接A B ''，与x 轴的交点即为点M ，将A '向右平移3个单位得到点C ，连接CB ，与x 轴的交点即为N ．点M ，N 即为所求．【详解】如图，作点A 关于x 轴的对称点()1,2'-A ，再将点B 向左平移3个单位得到点B '，连接A B ''，与x 轴的交点即为点M ，将A '向右平移3个单位得到点C ，连接CB ，与x 轴的交点即为N ．点M ，N 即为所求．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质和最短路线问题，准确计算是解题的关键．1.如图1，抛物线2y ax bx =+与x 轴交于点A ，对称轴与抛物线交于点()2,2B -，与x 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式．（2）点D 是y 轴上的动点，求DAB ∆的最小周长．（3）如图2，点P 是抛物线上一个动点，,PA PO 分别与BC 交于点,M N ．①若动点P 在第一象限，问MC NC -的值是否发生变化．若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由． ②若动点P 在第二象限，请给出①中类似的关于MC 与NC 长的结论（不必证明）．【答案】（1）2122y x x =-；（2）；（3）①MC NC －的值不发生变化，4MC NC －＝，理由见解析；②当点P 在第二象限时，有4NC MC －＝．【解析】【分析】（1）将表达式写为顶点式，再利用待定系数法求解即可；（2）取A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '与y 轴交于点D ，此时ABD △的周长最小，再利用勾股定理计算即可； （3）①设()21,242P m m m m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，利用待定系数法求出直线PO 、直线PA 的表达式，从而求出MC 、NC 计算即可；②以①为基础求出MC 、NC 计算即可．【详解】解：（1）由题意，点()2,2B -是顶点，解析式可写为()222y a x =--， 又∵抛物线经过原点，∴420a -=， ∴12a =，∴解析式为()21222y x =--，即2122y x x =-； （2）由21202x x -=，得0x =，或4x =， ∴()4,0A ，如图，取()4,0A 关于y 轴的对称点()4,0A '-，连接BA '与y 轴交于点D ，此时CD A D '=，∴CD BD A D BD A B ''+=+=，由“两点之间线段最短”可知，此时ABD △的周长最小，最小周长等于AB A B '+==（3）①MC NC －的值不发生变化，理由如下： 设()21,242P m m m m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，直线PO 为y kx =，直线PA 为y k x n '=+， 将P 点坐标代入直线PO ，得：2122km m m =-， ∴122k m =-， ∴直线PO 为122y m x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当2x =时，4y m =-，∴4NC m =-，将点,P A 的坐标代入直线PA ，得：212240m m mk n k n ⎧-=+⎪⎨⎪+='⎩'，解得：12k m '=，2n m =-， ∴直线PA 为122y mx m =-， 当2x =时，2y m m m =-=-，∴MC m =，∴4MC NC －＝，∴MC NC －的值不发生变化，4MC NC －＝；②当点P 在第二象限时，有4NC MC －＝，理由如下：以①为基础，当点P '在第二象限时，0m ＜，直线P O '为122y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线P A '为122y mx m =-， ∴P O '与BC 的交点为()2,4N m -，P A '与BC 的交点为()2,M m -，∴(4)NC m =--，MC m =-，∴4NC MC －＝．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数及轴对称，熟练掌握待定系数法求表达式是解题的关键．2．已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -,、()0,2C -．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）在对称轴上是否存在一点P ，使得PBC ∆的周长最小．若存在请求出点P 的坐标．若不存在请说明理由．【答案】（1）224233y x x =+-；（2）存在，P(-1，43-) 【解析】【分析】 （1）将点()30A -,，()0,2C -和对称轴公式代入即可求出a 、b 、c 的值，从而求出结论； （2）点A 、B 关于直线1x =-对称，连接AC 交直线1x =-于点P ，由对称的性质可得此时△PBC 的周长=PB ＋PC ＋BC= PA ＋PC ＋BC=AC ＋BC ，根据两点之间线段最短即可求出此时△PBC 的周长最小，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，即可求出结论．【详解】解：（1）函数()20y ax bx c a =++≠过点()30A -,，()0,2C -，且对称轴为1x =-， 则：129302b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=-⎪⎩解得：23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩224233y x x ∴=+- （2）答：存在点A 、B 关于直线1x =-对称，连接AC 交直线1x =-于点P ，∴PA=PB此时△PBC 的周长=PB ＋PC ＋BC= PA ＋PC ＋BC=AC ＋BC根据两点之间线段最短可得此时△PBC 的周长最小设直线AC 为1y kx b =+，代入()30A -,和()0,2C -得：11302k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得：1232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 为：223y x =-- 将1x =-代入223y x =--中， 24(1)233y =-⨯--=- ∴P （-1，43-）【点睛】此题考查的是求二次函数的解析式和轴对称性质的应用，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和轴对称的性质是解决此题的关键．3．如图，已知直线33y x =-分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P ，使ABP ∆的周长最小，并求出最小周长和P 点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使ABM ∆为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标.【答案】（1）223y x x =+- ；(2) ；（3）存在，1(1M -，2(1,M -，3(1,0)M -，4(1,1)M --.【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得A 、B 两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）连接BC ，直线BC 与对称轴的交点即为点P.求出直线BC 的解析式，求出点P 的坐标，即可求解.（3）分MA=AB ，MB=AB ，MB=MA 三种情况进行讨论.【详解】解：（1）直线y 3x 3x ,y A,B =-分别交轴轴于两点()()1,0,0,3A B 可得∴-，把A ，B 两点的坐标分别代入2y x bx c =++得：10233b c b c c ++==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩解得 ∴抛物线的解析式为223y x x =+- (2)连接BC ，直线BC 与对称轴的交点即为点P.易求直线BC 的解析式为3y x =--，抛物线对称轴为直线1x =-，当P(-1，-2)（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：()1,M 1,m :x =--假设存在满足题意讨论：①当MA=AB 时，∵OA=1，OB=3:AB m ∴==解得((12,1,M M --,②当MB=AB 时， 34:0,6m m ===-解得（不合题意） ()31,0M -,③当MB=MA :1m 解得==- ()41,1M --, 故共存在四个点 ((()()1234,1,,1,0,1,1ΔABM M M M M -----使为等腰三角形.【点睛】考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在解题中的应用.4．如图，一元二次方程x2+2x，3=0的两根x1，x2，x1，x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A，3，6，，，1）求此二次函数的解析式；，2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，则P点坐标为，G点坐标为，，3）在x轴上有一动点M，当MG+MA取得最小值时，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=12x2+x，32，，2，抛物线顶点P的坐标为（﹣1，，2，，G点坐标为（﹣1，2，，，3，M点坐标为（0，0，【解析】【分析】，1）可先根据一元二次方程求出x1，x2的坐标，也就求出了B，C两点的坐标，然后可用交点式的二次函数通式来设二次函数的解析式，根据已知的A点的坐标求出二次函数的解析式．，2）根据（1）二次函数解析式可得出顶点P的坐标和对称轴的解析式，G点就是直线AC与抛物线对称轴的交点，可先根据A，C的坐标，用待定系数法求出AC所在直线的解析式，然后将P点的横坐标代入求得的一次函数的解析式中即可求出G的坐标．，3）本题的关键是先确定M点的位置，可先做A关于x轴的对称点A′然后连接A′C，与x轴的交点就是点M，那么可根据A′，C两点的坐标求出A′C所在直线的解析式，又已知了M在x轴上即可求出M点的坐标．【详解】解：（1）解方程x2+2x，3=0得x1=，3，x2=1，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C，，3，0，，B，1，0，，设抛物线的解析式为y=a，x+3，，x，1，，∵A，3，6）在抛物线上，∴6=a，3+3，•，3，1，，∴a=1 2，∴抛物线解析式为y=12x2+x，32，，2）由y=12x 2+x，32=12，x+1，2，2， ∴抛物线顶点P 的坐标为（﹣1，，2），对称轴方程为x=，1，设直线AC 的解析式为y=kx+b，∵A，3，6，，C，，3，0）在该直线上，∴3630k b k b +⎧⎨-+⎩＝＝ , 解得：k=1,b=3,∴直线AC 的解析式为：y=x+3，将x=，1代入y=x+3得y=2，∴G 点坐标为（﹣1，2，，，3）作A 关于x 轴的对称点A′，3，，6，，连接A′G，A′G 与x 轴交于点M 即为所求的点．设直线A′G 的解析式为y=kx+b，∴362k b k b +-⎧⎨-+⎩＝＝ ，解得：02b k ⎧⎨-⎩＝＝ ， ∴直线A′G 的解析式为y=，2x ，令x=0，则y=0，∴M 点坐标为（0，0，，【点睛】考查了用待定系数法求一次函数与二次函数解析式的方法．确定M 点的位置是解题的关键．5．如图，以D 为顶点的抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点A ，(6,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上有一点P ，使PO PA +的值最小，求点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21262y x x =-++；（2）点P 的坐标为1824,77⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，当Q 的坐标为(0,0)或(18,0)时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCD 相似．【解析】【分析】（1）将点B 和点C 的坐标代入二次函数解析式中即可求出结论；（2）先求出点A 的坐标，利用待定系数法求出BC 的解析式，作点O 关于BC 的对称点O ′，连接AO ′交BC 于点P ，连接OP ，O ′B ，根据两点之间线段最短，此时PO PA +最小，求出点O ′的坐标，利用待定系数法求出AO ′的解析式，联立方程即可求出结论；（3）求出顶点D 的坐标，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出CD 、BC 、CD 和AC ，根据勾股定理的逆定理证出△BCD 是直角三角形，然后根据相似三角形的对应情况分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出结论．【详解】解：（1）将点B 和点C 的坐标代入2y ax 2x c =++中，得036126a c c =++⎧⎨=⎩解得：126a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为21262y x x =-++；（2）把y=0代入21262y x x =-++中，得 210262=-++x x 解得：x 1=-2，x 2=6，∴点A 的坐标为（-2,0）设直线BC 的解析式为y=kx ＋b将点B 和点C 的坐标代入，得066k b b =+⎧⎨=⎩解得：16k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为6y x =-+作点O 关于BC 的对称点O ′，连接AO ′交BC 于点P ，连接OP ，O ′B根据对称可得PO=PO ′，OB=O ′B此时PO PA +='+PO PA =O A '根据两点之间线段最短，此时PO PA +最小∵OB=OC=6，∠BOC=90°∴∠OBC=45°∴∠OBO ′=90°∵OB= O ′B =6∴点O ′的坐标为（6,6）设直线AO ′的解析式为y=mx ＋n将点A 和点O ′的坐标代入，得0266m n m n =-+⎧⎨=+⎩解得：3432m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AO ′的解析式为33y x 42=+ 联立63342y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得：187247x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P 的坐标为1824,77⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）∵21262y x x =-++=()21282--+x ∴点D 的坐标为（2,8）∴======CD BCBD =AC∴CD 2＋BC 2=80=BD 2∴△BCD 为直角三角形，且∠BCD=90°点Q 在点A 左侧时，△QAC 为钝角三角形，∴△QAC 不可能与△BCD 相似∴点Q 必在点A 右侧，设点Q 的坐标为（q ，0），则AQ=q －（-2）=q ＋2∵tan ∠CAO=632==CO AO ，tan ∠BDC=3==BC CD ∴∠CAO=∠BDC当△CQA ∽△BCD 时， ∴=AC AQ BD CD= 解得：q=0∴点Q 的坐标为（0,0）；当△QCA ∽△BCD 时， ∴=AC AQ CD BD=解得：q=18∴点Q 的坐标为（18,0）；综上：点Q 的坐标为(0,0)或(18,0)．【点睛】此题考查的是二次函数、一次函数和图形的综合大题，掌握利用待定系数法求出二次函数解析式、一次函数解析式、两点之间线段最短、联立方程求交点坐标、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数的性质是解决此题的关键． 6．如图，抛物线y=12x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A(一1，0)． (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）213222y x x =--, D (32, 258-);（2）△ABC 是直角三角形,证明见解析; （3）M （2441，0）. 【解析】 试题分析：，1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；，2）根据勾股定理的逆定理，可得答案；，3）根据轴对称的性质，两点之间线段最短，可得M 点是对称轴与BC 的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．试题解析：(1)∵点A (−1,0)在抛物线22y x bx =+-上， ∴()()2111202b ⨯-+⨯--=， 解得 32b =-， ∴抛物线的解析式为213 2.22y x x =-- ∵221313252()22228y x x x =--=--， ∴顶点D 的坐标为325,.28⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)△ABC 是直角三角形，理由如下：当x =0时，y =−2，∴C (0,−2)，则OC =2.当y =0时, 21320.22x x --= ∴121,4,x x =-= 则B (4,0)，∴OA =1，OB =4，∴AB =5.222222225,5,20AB AC OA OC BC OC OB ==+==+=，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 是直角三角形；(3)由题意A. B 两点关于对称轴对称，故直线BC 与对称轴的交点即为点M .由B (4,0),C (0,−2)设直线BC :y =kx −24k −2=0，1.2k = 所以直线1: 2.2BC y x =- 当32x =时,1352.224y =⨯-=- 所以35,.24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A，，1，0，B，3，0）两点，与y轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点．，1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；，2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；，3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】，1）抛物线解析式为y=，x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3，，2）点M的坐标为（0，3，，，3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，，139，，【解析】分析：（1）设交点式y=a，x+1，，x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C，0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；，2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′，-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；，3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a，x+1，，x，3，，即y=ax2，2ax，3a，∴，2a=2，解得a=，1，∴抛物线解析式为y=，x2+2x+3，当x=0时，y=，x2+2x+3=3，则C，0，3，，设直线AC的解析式为y=px+q，把A，，1，0，，C，0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3，，2，∵y=，x2+2x+3=，，x，1，2+4，∴顶点D的坐标为（1，4，，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′，，3，0，，∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3，，，3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=，13x+b，把C，0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=，13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209，，过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=，x+b，把A，，1，0）代入得13+b=0，解得b=，13， ∴直线PC 的解析式为y=，13x，13， 解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，，139，. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为，73，209，或，103，，139，. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．8．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为2122y x x =-;抛物线的对称轴为直线x ;P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴232a-=⨯-12a=，∴抛物线的解析式为212y x x=-，∵212222bxa=-=-=⨯，∴抛物线的对称轴为直线x=.（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x=，∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B关于轴的对称点1B，得1(B-，设直线AB1的解析式为y kx b=+，把点3)A-，点1(B-代入得3bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x=--.∴直线94y x=-与y轴的交点即为P点.令0x=得9y4=-，∵P点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A-，//AC x轴，∴AC=3OC=，∴11322AOCS OC AC∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQS S∆∆=，∴3AOQ AOCS S∆∆==设Q点坐标为21(,)2m m，如图情况一，作QR CA⊥，交CA延长线于点R，∵2AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m -=，解得1m =，2m =-如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形∴221111m)3()222222m m m ⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()2m m --+=，化简整理得2180m -=，解得1m =，2m =-∴Q 点坐标为或(-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.9．如图，直线43y x =与抛物线268y x x =-+交于A ，B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与抛物线的对称轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点B 的坐标为()6,8，在抛物线的对称轴上找一点F ，使35BF CF +的值最小，求满足条件的点F 的坐标．【答案】233,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 作B 点关于对称轴的对称点B′，过点B '作B M BC '⊥于点M ，交对称轴于点F ，连接BF ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．再通过解直角三角形求出NF 的长，进而即可找出点F 的坐标．【详解】解：如图，作点B 关于对称轴的对称点B '，交抛物线对称轴于点N ，过点B '作B M BC '⊥交直线BC 于点M ，交对称轴于点F ，连接BF ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．易得抛物线268y x x =-+的对称轴为直线3x =．∵直线BC 的解析式为43y x =， ∴点C 的坐标为()3,4．∵FM BC ⊥， ∴3tan tan 4OE FCM OCD CE ∠=∠==． ∴3sin 5FM FCM FC ∠==，即35FM CF =． ∵B 、B '关于对称轴对称，∴BF B F '=． ∴35BF CF B F FM '+=+．当点B '、F 、M 三点共线且B M FM '⊥时，B F FM '+的值最小，∵点B 的坐标为()6,8，抛物线对称轴为直线3x =，∴点B '的坐标为()0,8．又∵B M BC '⊥，∴NB F FCM '∠=∠． ∴3tan 4NF NB F B N '∠=='． ∴9tan 4NF B N NB F ''=⋅∠=． ∴点F 的纵坐标为：923844-=． ∴点F 的纵坐标为233,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、轴对称的性质，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意寻找F 点的位置是关键，此处在直角三角形中利用了角的三角函数值寻找到点F 的位置．。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。
二次函数压轴题最短路径问题
最短路径问题一一和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）•如图所示，在直线 丨上找一点P 使得P%PB 最小•当点P 为直线AB 与直线丨的交点时，PA + PB 最小.B-r | P ,B'B4 P .B'③如图所示，在/ AOB 勺边AO B0上分别找一点 C D 使得PO C 戻PD 最小•过点P 分别作关于 AO BO 的对称点E ，F ，连接EF,并与AO B0分别交于点C, D,此时PO C 戻PD 最小，则点C D 即为所求.④如图所示，在/ AOB 勺边AO BO 上分别找一点 E F 使得D 可EF + CF 最小•分别过点 C , D 作关于AO BO 的对称点D ； C ；连接DC,并与AO BC 分别交于点E, F ,此时DE^EF + CF 最小，则点E, F 即为所求.⑤如图所示，长度不变的线段 CD 在直线丨上运动，在直线丨上找到使得AO BD 最小的CD 的位置•分别过 点A ,D 作AA// CD DA// AC AA 与 DA 交于点A ；再作点B 关于直线丨的对称点B',连接A'B 与直线丨交于【方法归纳】在直线丨上找一点B 使得线段AB 最小•过点A 作AB1丨，垂足为B,则线段AB 即为所求.在直线 ②如图所示，点P ，此时PA^ PB 最小，则点P 即为所求.丨上找一点P 使得PA^ PB 最小•过点B 作关于直线丨的对称点B'，BB'与直线丨交于BFB点D ,此时点D 即为所求.1⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线(y = 4X 1 2)上的一点，点A ( 0, 1)在y 轴正半轴.点P在什么位置时PA+PB 最小？过点B 作直线I : y =— 1的垂线段BH, BH 与抛物线交于点 P ,此时PA+ PB最小，则点P 即为所求.【思路点拨】 (1)由二次函数的图象经过坐标原点 0(0，0)，直接代入求出 m 的值即可;1 (13广东)已知二次函数 y = x2 — 2m 灶卅一1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点 0(0, 0)时，求二次函数的解析式；(2) 如图，当m= 2时，该抛物线与y 轴交于点C ,顶点为D 求C 、D 两点的坐标；(3) 在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 P ,使得PO PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由.BBB'(2) 把m= 2代入求出二次函数解析式，令 X = o ,求出y 的值，得出点C 的坐标；利用配方法或顶点坐标 公式求岀顶点坐标即可； (3) 根据当P C 、D 共线时根据"两点之间，线段最短"得出PC +PD 最短，求出CD 的直线解析式，令y=0，求出x 的值，即可得出P 点的坐标. 【解题过程】解：(1)T 二次函数的图象经过坐标原点0(0，0)，•••代入二次函数y = X 3 4 5-2m 对m — 1,得出：m — 1 = 0,解得：m=± 1， •••二次函数的解析式为：y =x 2— 2x 或y = X 2 + 2x ;(2) v m= 2， •二次函数 y = x 2 — 2m 灶 m - 1 得：y = x 2— 4x + 3=( x — 2) 2 — 1，•抛物线的顶点为：D (2，— 1)，当 x = 0 时，y = 3，• C 点坐标为：(0, 3)，• C (0, 3)、D( 2，— 1 )； (3) 当P 、C D 共线时PO PD 最短，【方法一】：C ( 0, 3)、D( 2,— 1),设直线CD 的解析式为y = kx + 3，代入得：2k + 3=— 1 ,• k =— 2, • y = — 2x + 3, 3 3当y = 0时，一2x + 3= 0,解得x = 2，二PO PD 最短时，P 点的坐标为：P ( 2，0). 【方法二】过点D 作DEL y 轴于点E ,3• PO PD 最短时，P 点的坐标为：P (2，0).12. (11菏泽)如图，抛物线 y = 2x 2 + bx - 2与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于C 点，且A (- 1, 0).3 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；4 判断△ ABC 勺形状，证明你的结论；5 点M(m 0)是x 轴上的一个动点，当 M G MD 的值最小时，求 m 的值.v PO/ DEPO =CODE" CE P0=32 = 4,解得:3 P0=2,【思路点拨】(1)把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D 的坐标；(2) 观察发现A ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明. 由抛物线的解析式，分别求出点B , C 的坐标，再得出AB AC BC 的长度，易得AC + BC = AB ，得出△ ABC 是直角三角形； (3) 作出点C 关于x 轴的对称点C ；连接C D 交x 轴于点M 根据“两点之间，线段最短”可知 MO MD 的值最小•求岀直线 C D 的解析式，即可得岀点 M 的坐标，进而求岀 m 的值. 【解题过程】1 2 1 23解：(1) v 点 A (- 1, 0)在抛物线 y =於 + bx — 2 上, /• 2^ (- 1 ) + b x (- 1) — 2= 0，解得 b =- ，1 2 31 32 25 一3 25二抛物线的解析式为 y =—必—2= 2 (x — 2)— 8，二顶点D 的坐标为 (2，— 8)•(2)当 x = 0 时 y = — 2,「. C (0,— 2)，OC= 2•, 亠 1 2 3当 y = 0 时，2X — q x — 2 = 0,二 X 1=— 1, X 2= 4，•: B (4, 0),「• OA= 1, OB= 4, AB= 5.V A B = 25, A C = oA + oC = 5, B C = OC + OB = 20,「. A C + B C = A B • •••△ ABO 直角三角形. (3) 作出点C 关于x 轴的对称点C',则C'(0, 2), OC = 2,连接C'D 交x 轴于点M 根据轴对称性及两点之间线段最短可知， MO MD 勺值最小.【方法一】设直线C'D 的解析式为y = kx +n ,则3丄=_ 25，解得:2k + n = — ~8 41 24 24.当 y = 0 时，一12x + 2 = 0, x = 41 • . n== 41 • 【方法二】设抛物线的对称轴交x 轴于点E.v ED/ y 轴，OCM=/ EDM /C‘OM= / DEM .△ C’Og DEM .OM =OC . = 2 . 24…EM = E D 3 = 25，n 41 •2 — m 百n = 2十4141 .. y = — —x + 2 k =— • y 12x 十 23. (11福州)已知，如图，二次函数 y = ax 2+ 2ax - 3a (a H))图象的顶点为 H,与x 轴交于A B 两点(B 在A 点右侧)，点H B 关于直线丨：y=£x +冷3对称.(1 )求A 、B 两点坐标，并证明点 A 在直线丨上； (2) 求二次函数解析式；(3) 过点B 作直线BK// AH 交直线丨于K 点，M N 分别为直线AH 和直线丨上的两个动点，连接 HN NM MK 求HN^ NMF MK 和的最小值.【思路点拨】(1 )二次函数y = ax 2+ 2ax - 3a(a 旳)中只有一个未知参数 a ，令y = 0,解出方程ax 2 + 2ax - 3a = 0(a ^D )， 即可得到点A ，B 的坐标•把点A 的坐标代入直线丨的解析式即可判断 A 是否在直线上；(2) 根据点H B 关于过A 点的直线丨：y = jx + 3对称，得出AH= AB= 4，过顶点H 作HCL AB 交AB 于1C 点，得AC= 2AB= 2,利用勾股定理求出 HC 的长，即可得出点 H 的坐标，代入二次函数解析式，求出 a ，即可得到二次函数解析式；(3) 直线BK// AH 易得直线BK 的解析式，联立直线 丨的解析式方程组，即可求出 K 的坐标•因为点 H B 关于直线AK 对称，所以HN= BN 所以根据“两点之间，线段最短"得出 HN b MN 的最小值是MB 作点K 关 于直线AH 的对称点Q 连接QK 交直线AH 于 E ，所以Ql = KM 易得BW MK 的最小值为BQ 即BQ 的长是 HN F NMF MK 勺最小值，求出 QB 的长即可. 【解题过程】解：(1)依题意，得 ax' + 2ax - 3a = 0 ( a®，解得 X 1=- 3，X 2 = 1，v B 点在A 点右侧，A 点坐标为(-3，0)，B 点坐标为(1，0)，丁直线丨：y =3，当x =- 3时，y = X - 3) + 3 = 0,点A 在直线丨上.过顶点 H 作 HCLAB 交 AB 于 C 点，贝U AC= 2AB= 2, HC= 2 3, 顶点H ( — 1, 2寸3),代入二次函数解析式，解得 a =—芈 二次函数解析式为y = — 2^x 2 — ^ 3x + ~2^,(2) v 点H 、B 关于过A 点的直线丨：二 AH= AB= 4,(3)直线AH 的解析式为y = »：;3x + 3 3,直线BK 的解析式为y =-J 3x + 3寸3, 由y=老X 十护，解得x- 3即K ( 3, 2、0,则BK= 4,y - 3x - 3 y - 6 7 3T 点H B 关于直线 AK 对称，••• HW M N 勺最小值是 MB KD= KE - 2*3,过点K 作直线AH 的对称点 Q 连接QK 交直线AH 于巳_则QM= MK QE F EK= ^-3, AE 1QK 二B 冊 MK 勺最小值是 BQ 即BQ 的长是HN b NM- MK 勺最小值， v BK// AHBK —/HE(- 90° ° 由勾股定理得 QB= 8 , 二HN - NM- MK 勺最小值为8.当a -1时,求四边形 MEFP 勺面积的最大值，并求此时点 P 的坐标;若厶PCM!以点P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 PMEF 周长最小？请说明理由.(2) (3)4. (14海南) 如图，对称轴为直线x - 2的抛物线经过A (- 1 , 0), C(0 , 5)两点，与x 轴另一交点为 B-已知 M (0, 1),E (a , 0),F (a +1, 0),点P 是第一象限内的抛物线上的动点.(1) 求此抛物线的解析式;【思路点拨】(1 )由对称轴为直线x = 2,可以得出顶点横坐标为 2,设二次函数的解析式为 y = a (x -2) 2+ k ,再把点 A , B 的代入即可求出抛物线的解析式； (2) 求四边形MEF 的面积的最大值，要先表示出四边形MEF 面积•直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN4L y 轴于点N,由S 四边形MEFP = S 梯形OFP — S ^PM — S OM 即可得出；(3) 四边形PMEF 勺四条边中，线段 PM EF 长度固定，当M H PF 取最小值时，四边形 PMEF 勺周长取得最 小值•将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得到点M (1，1)，作点M 关于x 轴的对称点M (1, —1),连接PM ，与x 轴交于F 点，此时MB PF = PM 最小.【解题过程】解：(1 )v 对称轴为直线x = 2,.••设抛物线解析式为 y = a (x — 2) °+ k .2 2.y = —( x — 2) + 9= — x +4x + 5.(2)当 a = 1 时，E (1 , 0) , F ( 2, 0) , OE= 1 , OF= 2•设 P( x , — x 2 + 4x + 5), 如答图2，过点P 作PNL y 轴于点N,则PNhx , O = — x 2+ 4x + 5,.Mf = ONF OM= — x 2 + 4x + 4.1 1 1MEF= S梯形 OFP— S A PM — ® OM =2 ( PI H OF ?O — 2PN?M — 2OMOE1 1 1=2 (x + 2) (— x +4x + 5) — ?x ?( — x + 4x + 4) —1 X 19 153 9 153•••当x = 4时，四边形MEFP 勺面积有最大值为16，此时点P 坐标为(4, 16 .(3)v M( 0, 1), C (0, 5) ,△ PCM!以点P 为顶点的等腰三角形，•点 P 的纵坐标为3 . 令 y =— X 2 + 4X + 5 =3,解得 x = 2± 6.T 点 P 在第一象限，• P (2 + 6, 3). 四边形PMEF 勺四条边中，PM EF 长度固定， 因此只要MH PF 最小，则PMEF 勺周长将取得最小值.如答图3,将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M (1, 1)； 作点M 关于x 轴的对称点M ，则M (1,- 1);连接PM,与x 轴交于 F 点，此时 M 曰PF = PM 最小.设直线PM 的解析式为y = m>H n ,将P(2 + 6, 3) , M ( 1,- 1)代入得:将 A (— 1, 0), C (0, 5 )代入得:9a + k = 04a + k = 5，解得a =— 1 k = 9 S四边形9 =-(X -4)153 16(m +n =6—T n = 3，解得：m =呼6+ 5当y = 0时，解得x = 4,0). 丁 a +1 =•斗咛1时，四边形PME 周长最小.4 6+ 4 n =5 ，顶点为D 了.（1） 求点A B , D 的坐标；（2） 连接CD 过原点O 作O 吐CD 垂足为H, OE 与抛物线的对称轴交于点 E,连接AE AD 求证：/ AEO=Z ADC（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点 切点为Q,当PQ 的长最小时,求点 P 的坐标,并直接写岀点 Q 的坐标.【思路点拨】1（1） 由顶点式直接得出点 D 的坐标，再令y = 0,得2（x 3）2 1 = 0解出方程,即可得出点 A B 的坐标； （2） 设HD 与AE 相交于点F ,可以发现厶ADF 组成一个“ 8字型” •对顶角/ HFE=Z AFD 只要/ FHE=/FAD 即可•因为/ EHF= 90 °,只需证明/ EAD= 90°即可•由勾股定理的逆定理即可得出△ ADE 为 直角三角形，得/FHE=Z FAD= 90°即可得出结论；（3） 先画出图形.因为PQ 为。
二次函数中最值问题(教师版)
二次函数与几何综合专题----线段最值问题将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！原理：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；对称（翻折）、平移．策略：对称（翻折）→化同为异、化异为同；化折为直．两村一路（异侧）和最小两村一路（同侧）和最小两路一村和最小两村两路和最小两村一路和最小两村一路（同侧）差最大两村一路（异侧）差最大例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．PN y轴交AC于N，求线段PN的最大值及此时点P （2）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作//的坐标．于H，求线段PH的最大值及此时点P的坐标．（3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH AC（4）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作//PN y 轴交AC 于N ，过点P 作PH AC 于H ，求PNH △周长的最大值及此时点P 的坐标．（5）在抛物线对称轴上找一点N ，使得BCN △的周长最小，求BCN △周长的最小值及此时点N 的坐标．⊥交AC于点M，求CM的最小值．（6）在线段OA上找一点N，连接NC，作NM NCMN=，求四边形BNMC周长的最小值及（7）在抛物线对称轴上有两动点N、M（点N在点M上方），且1此时M的坐标．（8）在对称轴上找一点N ，使得NA NC -最大，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）；（2）PN 的最大值为94，此时P （－32，154-）；（3）当PN 最大为94时，PH 92P （－32，154-）；（4）当PNH △周9294，此时P （－32，154-）；（5）1032N （－1，－2）；（6）1262-（7）6105（8）10131,M （713-，-）；（9）N 的坐标为：（－1，－6）． 【详解】（1）解：∵3OA OC ==， ∴A （－3，0），C （0，－3），∴()20333b c c ⎧=--+⎪⎨-=⎪⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）． （2）解：设P （x ，223x x +-），则N （x ，－x －3），∴PN ＝－x －3－（223x x +-）＝23x x --＝23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴当x ＝－32时，PN 的最大值为94，此时P （－32，154-）．（3）解：过点P 作PN ∥y 轴，交AC 于点N ， ∵OA ＝OC ＝3， ∴∠ACO ＝45°， ∵PN ∥y 轴，∴∠PNH ＝45°，即：PNH 是等腰直角三角形，∴PH 2PN ， 设P （x ，223x x +-），则N （x ，－x －3），∴PN ＝－x －3－（223x x +-）＝23x x --＝23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴当x ＝－32时，PN 的最大值为94，∴当PN 最大为94时，PH 最大值＝94×22＝928，此时P （－32，154-）．（4）解：∵OA ＝OC ＝3， ∴∠ACO ＝45°， ∵PN ∥y 轴，∴∠PNH ＝45°，即：PNH 是等腰直角三角形， ∴PH ＝NH 2， ∴PNH △周长＝ PH ＋NH ＋PN 22PN 22PN ＋ PN ＝(21)PN ， 设P （x ，223x x +-），则N （x ，－x －3），∴PN ＝－x －3－（223x x +-）＝23x x --＝23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴当x ＝－32时，PN 的最大值为94，∴当PN 最大为94时，PNH △周长最大值＝94×)219294，此时P （－32，154-）．（5）解：连接AC 交对称轴于点N ′，∵A、B关于对称轴对称，∴AN′＝BN′∴BCN△的周长＝BC＋CN′＋BN′＝BC＋CN′＋AN′＝BC＋AC，∴此时BCN△的周长最小值＝BCN'的周长＝BC＋AC222213331032++∵直线AC的解析式为：y＝－x－3，∴当x＝－1时，y＝－2，即N（－1，－2）．（6）解：由题意得：点N在以CM为直径的圆上，设CM的中点为E，连接EN，则当圆E与x轴相切时，即：EN⊥x轴时，EN最小，此时CM＝2EN最小，设M（x，－x－3），则E（622x x--，），∴EN＝62x+，CM()222332x x x+--+=∴2×62x +22x 662x =-62x =+， ∴M （662-629）， ∴CM ()()2266262931262-+-+-（7）解：过点N 作作NQ ∥MC 交y 轴于点Q ，连接AQ 交DE 于点N ′，连接BN ′，则Q （－2，0），∵NQ ∥MC ，MN ∥CQ ， ∴四边形MNQC 是平行四边形， ∴CM ＝QN ，∴四边形BNMC 的周长＝BC ＋BN ＋MN ＋CM ＝BC ＋BN ＋1＋QN 101＋BN ＋QN ， ∵B 、A 关于DE 对称， ∴AN ′＝BN ′，∴四边形BNMC 101＋BN ′＋QN ′101＋AN ′＋QN 101＋AQ 101＋222310131+，∵直线AQ 的解析式为：223y x =--，∴N ′（413-，-），∴此时M （713-，-）．（8）解：连接BC ，并延长交ED 于点N ′，连接BN ，∵A 、B 关于DE 对称， ∴AN ＝BN ，∴NA NC -＝NB NC -≤BC ＝N B N C ''-， ∵B （1，0），C （0，－3）， ∴直线BC 的解析式为：33y x =-， 令x ＝－1代入33y x =-得：y ＝－6， ∴N ′（－1，－6），∴NA NC -最大时，N 的坐标为：（－1，－6）．二次函数与几何综合专题---- 胡不归和阿氏圆问题【胡不归最值问题】 求BC +kAC 的最小值．解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN=k ，即CHk AC，CH=kAC ．将问题转化为求BC+CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示． （1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．CH=kACsin α=CH AC=kHDαA BCM MCBAαDH2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M 为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．3．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，−83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AE AB的值．（3）在（2）的条件下，点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，√55FC +BF 的值最小．并求出这个最小值．（4）点C 关于x 轴的对称点为H ，当√55FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．【阿氏圆最值问题】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB ②计算出这两条线段的长度比OPk OB= ③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(3A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且33OB OA OC ==，OAC ∠的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值； （3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作H ，点Q 为H 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为⊙B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ 的最小值．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B．点E为⊙B上的动点，连接A，DE，求DE+AE的最小值．（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H 上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．4．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C 上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．【课后训练】1．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．3.抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+√22CF的值最大时，求点E的坐标．4.如图①，直线y＝﹣x﹣3分别与x轴、y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c经过B，C两点，且与x轴的另一交点为A（1，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图①，点P在第三象限内的抛物线上．①连接AC，PB，PC，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，G为x轴上一点，当PG+√55AG取得最小值时，求点G的坐标；（3）如图②，Q为x轴下方抛物线上任意一点，D是抛物线的对称轴与x轴的交点，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N．问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．21Math唐老师22。
二次函数线段和最值--最短路径
二次函数与线段和、周长最值问题此类问题主要涉及最短路径问题的如下三种题型:例：如图，平面直角坐标系中有两点A（3，4)，B(1,0)试在y轴上找到一点P使得PA+PB 的值最小。
例:1。
已知，抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，—4，与y轴的交点C的纵坐标为3.⑴求该抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PA+PC值最小？若存在，求出PA+PC的最小值；若不存在，请说明理由。
⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长值最小？若存在，求出△PAC周长的最小值；若不存在,请说明理由。
⑷在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长值最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由.2。
如图，直线5+-=x y 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C,抛物线c bx x y ++-=2与直线5+-=x y 交于B 、C 两点.已知点D 的坐标为（0,3）.⑴求该抛物线的解析式；⑵点M 、N 分别是直线BC 和x 轴上的动点，则当△DMN 的周长最小时，求点M ，N 的坐标,并写出△DMN 周长的最小值.3。
如图,二次函数)0(2>++=a c bx ax y 图像的顶点为D ，与x 轴的交点为A （—1,0),B(3，0)，与y 轴负半轴交于点C.⑴若△ABD 为等腰直角三角形,求该抛物线的解析式； ⑵在⑴的条件下，抛物线与直线4-45x y =交于M 、N 两点(点M 在点N 的左侧），动点P 从M 点出发，先到达抛物线对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点N ，若使点P 运动的总路径最短，求点P 运动的总路径的长.。
中考数学教学指导：二次函数与最短路程问题
二次函数与路径最值问题一、二次函数与方程、不等式综合【例1】 已知P （3,m -）和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．【例2】 已知抛物线1C ：22y x x =-的图象如图所示，把1C 的图象沿y 轴翻折，得到抛物线2C 的图象，抛物线1C 与抛物线2C 的图象合称图象3C ．（1）求抛物线1C 的顶点A 坐标，并画出抛物线2C 的图象；（2）若直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切.若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求b 的值；（3）结合图象回答，当直线y x b =+与图象3C 有两个交点时，b 的取值范围．【例3】 关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数.（1）求c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.【例4】 关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【例5】 已知关于x 的一元二次方程()2130x m x m --+-=．（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线()13y m x =-+与函数2y x m =+的图象1C 的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()2130x m x m --+-=的解．（3）在（2）的条件下，将抛物线()213y x m x m =--+-绕原点旋转180︒，得到图象2C ，点P 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于M N 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标．【例6】 已知关于x 的一元二次方程220ax x ++=（1）求证：当0a <时，方程220ax x ++=一定有两个不等的实数根； （2）若代数式22x x -++的值为正整数，且x 为整数时，求x 的值； （3）当1a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(,0)M m ；当2a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点)0,(n N ；若点M 在点N 的左边，试比较1a 与2a 的大小.二、二次函数与路径最值问题【例7】 已知抛物线21y ax bx =++经过点()13A ，和点()21B ，．（1）求此抛物线解析式；（2）点C D ，分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值； （3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE定点F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）【例8】 如图：抛物线经过()()()300440A B C -，，，，，三点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知AD AB =（D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的条件下，M 为抛物线的对称轴上一动点，当MQ MC +的值最小时，请求出点M 的坐标．【例9】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过A （2，0）、B （4，0）两点，直线122y x =+交y 轴于点C ，且过点(8,)D m ． （1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上找一点P ，使CP DP +的值最小，求出点P 的坐标；（3）将抛物线2y x bx c =++左右平移，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ，当四边形''A B DC 的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形''A B DC 周长的最小值．【例10】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(0,2)，点D 在x 轴的正半轴上，30ODB ∠=︒，OE为△BOD 的中线，过B 、E两点的抛物线2y ax c =++与x 轴相交于A 、F 两点（A 在F 的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上，求AE 及AM 的长；（3）点P 为△ABO 内的一个动点，设m PA PB PO =++，请直接写出m 的最小值,以及m 取得最小值时，线段AP 的长.【例11】 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A B ，的坐标分别为()03A ，和()50B ，，连结AB ．（1）现将AOB △绕点O 按逆时针方向旋转90°，得到COD △，（点A 落到点C 处），请画出COD △，并求经过B 、C 、D 三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F．P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连结PE PF取得最大值时，，，当PE PF求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使EPF△为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．。
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二次函数与线段和、周长最值问题
此类问题主要涉及最短路径问题的如下三种题型：
例：如图，平面直角坐标系中有两点A（3，4），B（1，0）试在y轴上找到一点P使得PA+PB 的值最小.
例：1.已知，抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，-4，与y轴的交点C的纵坐标为3.
⑴求该抛物线的解析式；
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PA+PC值最小？若存在，求出PA+PC的最小值;若不存在，
请说明理由.
⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长值最小？若存在，求出△PAC周长的最小值;
若不存在，请说明理由.
⑷在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长值最小？若存在，求出四边形PAOC周
长的最小值;若不存在，请说明理由.
2.如图，直线y=-x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+5交
于B、C两点.已知点D的坐标为（0，3）.
⑴求该抛物线的解析式；
⑵点M、N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标，并写出△DMN 周长的最小值.
3.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图像的顶点为D，与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），与y 轴负半轴交于点C.
⑴若△ABD为等腰直角三角形，求该抛物线的解析式；
⑵在⑴的条件下，抛物线与直线y=
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x-4交于M、N两点（点M在点N的左侧），动点P从M点出发，先到达抛物线对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点N，若使点P运动的总路径最短，求点P运动的总路径的长.。