二项式定理的应用--求系数
二项式定理应用常见类型及其解题方法
二项式定理应用常见类型及其解题方法一、知识点回顾： 1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意准确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，按降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，按升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意准确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数，包含符号）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用二项式定理是数学中的一条重要定理，它揭示了如何展开和求解(x + y)ⁿ这种形式的表达式。
本文将介绍二项式定理的公式及其应用，并探讨其在数学和实际问题中的意义。
1. 二项式定理的公式二项式定理的公式如下所示：(x + y)ⁿ = C(n,0) · xⁿ · y⁰ + C(n,1) · xⁿ⁻¹ · y¹ + C(n,2) · xⁿ⁻² · y² + ... + C(n,n-1) · x · yⁿ⁻¹ + C(n,n) · x⁰ · yⁿ其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也可以表示为n! / (k! · (n-k)! )。
在展开(x + y)ⁿ时，每一项的系数就是组合数C(n,k)，指数是x和y的幂次。
2. 二项式定理的应用2.1 二项式系数二项式定理中的组合数C(n,k)被称为二项式系数，它具有很多重要的性质。
其中最为著名的是杨辉三角形，每一行的数字都是由上一行相邻两个数字相加而来。
杨辉三角形也是计算二项式系数的一种常用方法。
2.2 展开式的应用二项式定理的展开式可以用于求解多项式的乘法、计算多项式在某一点的值等问题。
通过展开(x + y)ⁿ，可以直观地观察到每一项的系数和指数之间的关系，从而简化计算。
2.3 组合恒等式二项式定理可以通过一些代数推导得到一些有用的组合恒等式，如：- C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2ⁿ- C(n,0) - C(n,1) + C(n,2) - ... + (-1)ⁿ · C(n,n) = 0这些恒等式在组合数学、概率论等领域中有着重要的应用。
3. 二项式定理的意义二项式定理的意义不仅仅局限于数学领域，它在实际问题中也有广泛的应用。
二项式定理求系数
二项式定理求系数二项式定理是代数学中的重要定理，它描述了一个二次多项式的展开式中各项的系数。
在这篇文章中，我们将详细介绍二项式定理以及如何利用该定理求解系数。
一、二项式定理的表达式二项式定理可以用以下表达式表示：$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$其中，$n$为非负整数，$C_n^k$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数，$a$和$b$为任意实数。
二、二项式定理的求解过程利用二项式定理求解系数的过程如下：1.确定展开式中的幂次。
根据二项式定理，展开式的幂次从0到$n$，其中$n$为给定的非负整数。
2.确定各项的系数。
根据二项式定理的表达式，可以看出展开式中各项的系数由组合数$C_n^k$决定。
$C_n^k$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数，可以用公式$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$计算得出。
3.确定各项的幂指数。
根据二项式定理的表达式，可以看出第$k$项的幂指数为$a^{n-k}b^k$。
4.计算各项的值。
根据确定的系数和幂指数，可以计算出展开式中各项的值。
三、例题分析现在我们通过一个例题来进一步理解二项式定理的求解过程。
例题：将$(a+b)^3$展开。
根据二项式定理，展开式为：$(a+b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3$展开式的各项系数如下：第一项的系数为$C_3^0=1$，幂指数为$a^3b^0=a^3$。
第二项的系数为$C_3^1=3$，幂指数为$a^2b^1=ab$。
第三项的系数为$C_3^2=3$，幂指数为$a^1b^2=a^2b^2$。
第四项的系数为$C_3^3=1$，幂指数为$a^0b^3=b^3$。
因此，展开式为：$(a+b)^3=a^3+3ab+a^2b^2+b^3$四、总结通过以上例题的分析，我们可以看出，二项式定理是求解二次多项式展开式中各项系数的有力工具。
二项式定理
－ － －
＋ n· 2n－1＝(n＋2)· 2n－1， 故 3n>(n＋2)· 2n－1.
2 n 例 4：已知( x－ 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 x 项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
2 3 1 ( x 2) 【 3】 展开式中的常数项是_______. 2 x
20
1 1 3 3 C x C 2 C1 ( 2) C3 (2) x
1 3 2 1 2
20.
( x 2 12 2)3 ( x 1 )6 x x
Tr +1 = (1) C x
r n－ r r n－ r r a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝Cn2 · 3 x y ，其中 r Cn
2n－r3r 就是 Tr＋1 项的系数．
求展开式中的特定项或特 定项的系数
1 x＋ n 例 1 在二项式 4 的展开式中，前三项的系数成等 2 x 差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
4 所以x的系数为 C4 5 3 2 240.
【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化 为二项式．
例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数． 解法二：因为 (x2 十 3x 十 2)5 ＝ (x2 十 3x 十 2)(x2 十 3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2), 所以 (x2 十 3x 十 2)5 展开式的各项是由五个 因式中各选一项相乘后得到的. 则它的一次项只能从五个因式中的一个取 一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
二项式定理求系数
二项式定理求系数一、引言二项式定理是高中数学中的重要概念之一，它描述了一个二项式的展开式中各项的系数。
本文将以二项式定理求系数为主题，介绍二项式定理的概念、公式推导以及应用实例，力求使读者对二项式定理有一个全面的了解。
二、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意的实数a、b和非负整数n，都有以下等式成立：$(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + ... + C_n^kb^{n-k} + ... + C_n^na^0b^n$其中，$C_n^k$表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
三、二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过数学归纳法进行。
首先，当n=0时，等式左边为$(a+b)^0=1$，等式右边只有一项$C_0^0a^0b^0=1$，两边相等。
假设当n=k时等式成立，则当n=k+1时，根据组合数的性质，有$C_{k+1}^0 = 1$，$C_{k+1}^k = 1$，以及$C_{k+1}^i = C_k^i + C_k^{i-1}$（其中0<i<k+1），将这些结果代入等式右边进行展开，可得到与等式左边相同的结果。
因此，根据数学归纳法，二项式定理成立。
四、二项式定理的应用实例1. 求二项式展开式的特定项系数若要求$(a+b)^n$展开式中第k项的系数，可以使用二项式定理中的组合数来计算。
根据二项式定理的推导可知，第k项的系数为$C_n^k$。
例如，展开$(x+y)^5$，要求第3项的系数，即$C_5^3$，可计算得到35。
2. 计算二项式系数的性质二项式定理中的组合数$C_n^k$具有一些重要的性质。
例如，对于任意的非负整数n和k，有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
这一性质被称为二项式系数的对称性。
另外，二项式系数满足杨辉三角形的性质，即$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$。
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用1. 引言二项式定理是数学中的一个重要定理，它描述了如何展开二项式的幂。
该定理在代数、组合数学、数论以及其他数学领域有着广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的数学表达式、证明过程以及一些常见的应用。
2. 二项式定理的表达式二项式定理可以用以下的数学表达式来描述：$$(a + b)^n = C(n,0) \\cdot a^n \\cdot b^0 + C(n,1) \\cdot a^{n-1} \\cdot b^1+ ... + C(n,k) \\cdot a^{n-k} \\cdot b^k + ... + C(n,n) \\cdot a^0 \\cdot b^n$$ 其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合数量。
3. 二项式定理的证明为了证明二项式定理，我们可以使用数学归纳法。
首先，考虑当n=1时的情况：(a+b)1=a+b显然，上述等式成立。
假设当n=m时，二项式定理成立，即：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 我们需要证明当n=m+1时，二项式定理也成立。
首先，考虑展开(a+b)m+1：$$(a + b)^{m+1} = (a + b) \\cdot (a + b)^m$$根据归纳假设，我们可以将(a+b)m展开为：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 将上述展开式代入$(a + b) \\cdot (a + b)^m$中，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = (C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdota^{m-1} \\cdot b^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdota^0 \\cdot b^m) \\cdot (a + b)$$将上式展开并合并同类项，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^{m+1} \\cdot b^0 + (C(m,1)\\cdot a^m \\cdot b^1 + C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^1) + ... + (C(m,k) \\cdota^{m-k+1} \\cdot b^k + C(m,k-1) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^{k+1}) + ... + a^0 \\cdot C(m,m) \\cdot b^{m+1}$$我们可以通过重新排列项来证明上式等于展开式(a+b)m+1的每一项。
二项式定理及其应用
赋值法求解.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37
②
(1)∵a0=
C
0 7
=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7=
1 37 2
=-1 094.
(3)(①+②)÷2,得
点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集 项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性 和简捷性. 3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数 及项数的整数性.
4.性质1是组合数公式Crn Cnnr 的再现，性质2是从 函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是 利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的 和.
基础自测
1.二项式（a+2b）n展开式中的第二项的系数是8，则
它的第三项的二项式系数为
A.24
B.18 C.16
（ D） D.6
解析 T2= C1n an1(2b)1 C1n 2an1b,
所以2n=8，n=4,所以
C
2 n
=
C
2 4
=6.
2.（2009·浙江理，4）在二项式 (x2 1的)5展开式中， x
1
2
∴8 2n·（n2n-=11）+，81 n（n-1），
解得n=8或n=1（不合题意，舍去），
Tk1
C8k
x
8k 2
二项式定理的应用
二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
二项式定理的数值计算与应用
二项式定理的数值计算与应用二项式定理是代数学中的一条重要定理，描述了二项式的幂的展开形式。
它在数值计算和实际应用中具有广泛的应用。
本文将探讨二项式定理的数值计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、二项式定理的数值计算二项式定理的一般形式为：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n,n-1)* x^1 * y^(n-1) + C(n,n) * x^0 * y^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
在实际计算中，当n较大时，直接展开计算会导致复杂的运算和较长的计算时间。
为了节省计算资源，我们可以利用二项式定理的性质进行数值计算。
首先，我们可以利用组合数的性质，C(n,k) = C(n, n-k)。
这个性质可以帮助我们化简计算过程。
其次，我们可以使用递推公式，C(n,k) =C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，来计算组合数，从而减少计算量。
例如，我们要计算 (2 + 3)^5 的展开式。
根据二项式定理，展开式为：C(5,0) * 2^5 * 3^0 + C(5,1) * 2^4 * 3^1 + C(5,2) * 2^3 * 3^2 + C(5,3) * 2^2 * 3^3 + C(5,4) * 2^1 * 3^4 + C(5,5) * 2^0 * 3^5通过利用组合数的性质和递推公式，我们可以得到：1 * 2^5 * 3^0 + 5 * 2^4 * 3^1 + 10 * 2^3 * 3^2 + 10 * 2^2 * 3^3 + 5 *2^1 * 3^4 + 1 * 2^0 * 3^5进一步计算，得到最终结果：1 * 32 * 1 + 5 * 16 *3 + 10 * 8 * 9 + 10 *4 * 27 +5 * 2 * 81 + 1 * 1 * 243= 32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243= 3125因此，(2 + 3)^5 = 3125。
利用二项式定理解决多项式系数问题
利用二项式定理解决多项式系数问题在代数学中，二项式定理是一个基本的公式，描述了将两个项相加的幂的展开式。
但是它也可以用于解决多项式系数问题，因为多项式系数可以表示成二项式系数的和。
本文将详细讨论如何利用二项式定理解决多项式系数问题。
首先，我们来回顾一下二项式定理。
二项式定理表示：$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$其中，$\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个元素中选出 $k$ 个元素的组合数，公式为：$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$现在考虑一个多项式$(x+y)^n$，我们想要求出其中某一项的系数。
假设这一项是 $ax^by^c$，其中 $a,b,c$ 都是整数。
根据二项式定理，我们可以展开 $(x+y)^n$ 并且找到具有这个项（$ax^by^c$）的项：$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$现在，我们来考虑如何找到具有 $ax^by^c$ 这一项的系数 $a$。
我们需要找到哪些 $k$ 可以使得 $x^{n-k} y^k$ 的指数分别为 $b$ 和 $c$。
我们可以得到下面这个方程：$$n-k = b, k = c$$解这个方程可以得到：$$k = c, n-k = b \Rightarrow k = c, n-b = k \Rightarrow k = c, n-b = c$$因此，我们可以计算出 $k$ 的值，而这个值正是 $x^{n-b} y^c$ 的系数，即：$$\binom{n}{c}$$因此，系数 $a$ 的值就是 $\binom{n}{c}$。
举个例子，假设我们要求解 $(x+y)^5$ 中 $x^2 y^3$ 的系数。
根据上面的方法，我们可以得到：$$\binom{5}{3} = \frac{5\times4\times3}{3\times2\times1} = 10$$因此，$x^2 y^3$ 的系数是 $10$，即 $(x+y)^5$ 中 $x^2 y^3$ 的系数为 $10$。
二项式定理的应用求解二项式系数的数值
二项式定理的应用求解二项式系数的数值二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
在数学中，二项式系数通常表示为nCr，代表了从n个元素中选择r个元素的组合数。
求解二项式系数的数值是一项常见的数学问题，它有着广泛的应用范围。
1. 二项式定理的基本原理二项式定理表述了一个二项式的幂展开式，它可以表示为：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + C(n,2) * x^(n-2) * y^2 + ... + C(n,n-1) * x^1 * y^(n-1) + C(n,n) * x^0 * y^n其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素的组合数。
2. 求解二项式系数的数值为了求解二项式系数的数值，我们可以利用二项式定理的原理，结合组合数的定义，使用公式进行计算。
一般来说，二项式系数的数值可以通过排列组合的方式求解。
举例来说，假设我们需要求解C(5,2)的数值。
根据组合数的定义，C(5,2)表示从5个元素中选择2个元素的组合数。
我们可以使用如下公式进行计算：C(5,2) = 5! / (2! * (5-2)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
将上述公式带入计算，可以得到：C(5,2) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!)/ (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10因此，C(5,2)的数值为10。
3. 二项式系数的应用二项式系数在概率论、组合数学、代数等领域有着广泛的应用。
在概率论中，二项式系数可以用来计算二项分布的概率。
二项分布描述了在一系列独立的、同分布的伯努利试验中，成功次数为r的概率。
而二项分布的概率可以通过二项式系数进行计算。
在组合数学中，二项式系数可以用来解决排列组合的问题。
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
第六章二项式定理
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.如果
3
x2＋1xn
的展开式中，x2
项为第
3
项，则自然数
n＝__8__，其
x2
项
的系数为_2_8__.
解析
Tk＋1＝Ckn( 3
x2)n－k1xk＝Ckn
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn等于
A.1
B.－1
√C.(－1)n
D.3n
解析 原式＝(1－2)n＝(－1)n.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.
x－2x6 的展开式中的常数项为
√A.60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝_2__.(用数字填写答案) 解析 二项展开式的通项为 Tk＋1＝Ck10x10－kak，当 10－k＝7 时，k＝3，T4 ＝C310a3x7， 则 C310a3＝15，故 a＝12.
5.2二项式系数的性质
展开式的通项为
4
1
3 3
r=4,可得
r=3,故C
a
=7,易得
a=
.
8
3
2
1
答案 2
4
Tr+1=C8 ar 8-3 ,令
8-
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题型二
1 10
(2)解① +
的展开式的第
2
1 4
1 4 12
1 4
105 10
4
=
C
·
·
x
·
=
x .
10
2
2
8
2
②设第 k+1 项为常数项,则
1
A.-1
B. 2
解析C5
知识梳理
10,则实数 a 等于(
C.1
2r-5=3,得 r=4.
D.2
)
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1
2
3
4
知识梳理
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5
3.设(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则
a1+a2+…+a6=
.
答案:120
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1
2
4
2
-10
又第 6 项为常数项,∴ 3 =0,∴n=10.
5
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r
二项式定理项的系数
二项式定理项的系数二项式定理是一条概括了数学中多项式系数计算的重要定理。
它告诉我们，一个二项式的每一项的系数可以用以下方式计算：(n) (x + y)n = x^n + Cn-1xy + Cn-2x^2y^2 + ... + y^n。
n是系数，x和y是两个量，而Cn-1，Cn-2，...则是系数。
在讨论二项式定理之前，我们必须先来了解多项式系数的定义。
多项式系数指的是每个多项式项的系数，它可以是正数、负数、零或者带小数的实数。
在进行计算时，多项式系数扮演着极其重要的角色，因为它们可以帮助我们计算出多项式的结果。
二项式定理的概念是可以追溯到 17 世纪的英国数学家Issac Newton发明的，他是最早发现了这项定理的科学家之一。
当时，他发现某个数学问题在解决的时候，可以用二项式定理来解答。
因为发现了这个定理，许多数学家研究了它，包括十九世纪的数学家Bernoulli，他们研究了二项式定理为何成立以及如何从定理证明系数。
他们发现，二项式定理的系数可以用组合数计算出来。
也就是说，当一个二项式的每一项的系数可以根据它的阶数求出时，它的系数就是组合数的结果。
比如，当一个二项式的阶数是6时，它的系数就是C6，C5，C4，C3，C2，C1中任意一个。
在大多数情况下，我们都是通过组合数来计算二项式定理项的系数。
组合数是指在给定n个数的情况下，可以从这n个数中任意取出k个数，形成一种排列组合，所取得的可能性数量。
组合数的计算公式为：Cn,k = n!/(k!*(n-k)!)。
其中，n!表示从1到n之间的整数的乘积，k!表示从1到k之间的整数的乘积，而(n-k)!则表示从1到(n-k)之间的整数的乘积。
根据组合数的计算公式，我们可以简单粗暴地计算一个二项式定理项的系数，只需要知道其阶数n的值即可。
通常，当一个二项式的阶数是n时，其系数就等于组合数Cn,k中任意一个，而Cn,k的值就是n!/(k!*(n-k)!)，因此我们可以用计算机程序来简化计算过程，实现可以快速求解出系数的效果。
例析二项式定理的六种应用
本文对二项式定理常见的六种应用进行总结，希望对同学们的学习有所帮助.一、求展开式中指定项例1 （x-1x）8的展开式中，常数项为 .（用数字作答）解：Tr+1=Cr8x8-r（-1x）r=（-1）rCr8x8-2r，由题意知，8-2r=0，r=4，即展开式的第5项为常数项，T5=C48=70.评析：直接利用通项公式进行求解，令x的幂指数等于0即可.例2 （|x|2+1|x|+2）5的展开式中整理后的常数项为 .解：（|x|2+1|x|+2）5=（|x2|+|1x|）10Tr+1=Cr10（|x2|）10-r（|1x|）r=Cr10（12）10-r（|x|）10-2r由题意知，（|x|2+1|x|）=0，r=5，即展开式的第6项为常数项，T6=C510（12）5=6322.评析：多项展开式往往化归为二项展开式，再利用通项公式去求解.本题亦可把（|x|2+1|x|）看作一个整体，再利用二项式定理展开.例3 （x+3x）12的展开式中，含x的正整数幂的项数共有 .解：设展开式中第r+1项的幂为正整数，则Tr+1=Cr12（x）12-r（3x）r=Cr12x12-r2+r3=Cr12x6-r6.依题意，r是6的倍数，且0≤r≤12，所以r共有3个值.即（x+3x）12的展开式中，含x的正整数幂的项数共有3个.小结：在求展开式中某个指定项时，利用二项展开式的通项公式求解是常规办法.首先要知道指定项都有哪些特点，再根据题意具体求解.例如常数项就是x的指数为0，而有理项就是x的指数为整数.二、求展开式中的系数或系数和例4 （x-2y）10的展开式中x6y4项的系数是 .解：Tr+1=Cr10x10-r（-2y）r由题意知，10-r=6，r=4，即展开式中x6y4项的系数为C410（2）4=840.评析：注意区别某一项的系数和它的二项式系数.例5 在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展开式中，含x3的项的系数是 .法一：由等比数列求和公式得：原式=（1-x）5[1-（1-x）4]1-（1-x）=（1-x）5-（1-x）9x.要求展开式中含x3的项的系数.即求（1-x）5中的x4的系数与（1-x）9中x4的系数的差.而（1-x）5中含x4的项为T5=C45?1?（-x）4=5x4，（1-x）9中含x4的项为T5=C49?15?（-x）4=126x4，所以在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展开式中，含x3的项的系数是5-126=-121.法二：（1-x）n的二项展开式通项为Tr+1=Crn（-x）r，令r=3得x3的系数为-C3n，故本题所求的项的系数为-（C35+C36+C37+C38）=-121.例6 （1）若（x+1x）n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为 ;（2）求（2x+1x）4的展开式中各项的二项式系数和及各项系数和.解：（1）因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C2n=C6n，所以n=6+2=8，所以展开式的通项为Tk+1=Ck8?x8-k?（1x）k=Ck8x8-2k，令8-2k=-2，解得k=5，所以T6=C58?（1x）2，所以1x2的系数为C58=56.（2）该展开式的各项二项式系数和为：C04+C14+C24+C34+C44=24=16.令二项式中变量x=1，得各项系数之和为34=81.小结：二项式系数和项的系数是二项式定理的基本概念，两者本质区别为：展开式中第r+1项的二项式系数是Crn（r=0，1，2，…，n），而第r+1项的系数是指经过化简整理后该项未知数前的最简系数（含正负）.三、证明整除或余数问题例7 试证大于（1+3）2n（n∈N）的最小整数能被2n+1整除.证明：因为-1<1-3<0，所以（1-3）2n∈（0，1）.由二项式定理可得（1+3）2n+（1-3）2n=2（3n+C22n3n-1+…）是偶数，记为2k（k∈N），则大于（1+3）2n的最小整数为2k.又因为2k=（1+3）2n+（1-3）2n=[（1+3）2]n+[（1-3）2]n=2n[（2+3）n+（2-3）n]，由二项式定理知（2+3）n+（2-3）n是偶数，记为2k1（k1∈N），所以2k=2n+1k1.即命题得证.评析：本题的难点在于如何表示题中的最小整数.由（1+3）2n联想到其对偶式（1-3）2n∈（0，1），然后考虑二者之和即可.二项式定理在其中的用处为利用其展开式证明二者之和为偶数.例8 当n∈N*时，求证：32n+2-8n-9能被64整除.证明：32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=（1+8）n+1-8n-9=C0n+1+C1n+1?8+C2n+1?82+C3n+1?83+…+Cnn+1?8n+Cn+1n+1?8n+1-8n-9 =1+（n+1）?8+C2n+1?82+C3n+1?83+…+Cnn+1?8n+Cn+1n+1?8n+1-8n-9=82（C2n+1+8C3n+1+…+8n-2?Cnn+1+8n-1?Cn+1n+1），因为C2n+1+8C3n+1+…+8n-2?Cnn+1+8n-1?Cn+1n+1是整数.所以32n+2-8n-9能被64整除.例9 今天是星期日，再过10100天后是星期几？解：10100=10050=（98+2）50=C0509850+C1509849×2+…+C495098×249+C5050250，因为前50项都能被7整除，只需考查250除以7所得余数.250=4×248=4×816=4×（7+1）16=4[C016716+C116715+…+C15167+C1616].于是得余数为4，故10100天后是星期四.小结：证明整除性问题，或求余数问题.关键是找准指数式中的底数和除数的联系，将指数式分拆成与除数有关联的两个数的和或差，再用二项式定理展开，要注意余数为非负数且不大于除数.四、求近似值例10 求（0.997）5的近似值（精确到0.001）.分析：（0.997）5=（1-0.003）5，简单构造二项式定理模型，展开按精确度要求取前两项计算便得符合条件的结果.解：（0.997）5=（1-0.003）5=1-C150.003+C25（0.003）2-…-C55（0.003）5≈1-5×0.003=0.985.例11 某地现有耕地10000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.结果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数）.解：设耕地平均每年至多只能减少x公项，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M 吨/公顷.依题意得不等式M×（1+22%）×（104-10x）P×（1+1%）10≥M×104P×（1+10%）化简得x≤103×[1-1.1×（1+0.01）101.22].因为103×[1-1.1×（1+0.01）101.22]=103×[1-1.11.22×（1+C110×0.01+C210×0.012+…）]≈103×[1-1.11.22×1.1045]≈4.1所以x≤4（公顷）答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.小结：求近似值问题常用二项式定理展开，根据精确度决定所取项数.五、证明恒等式或不等式例12 证明：C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn=2?4n-1+2n-1（n为偶数，n∈N*）.证明：因为n为偶数，所以（1+3）n=C0n+3C1n+32C2n+…+3nCnn，（1-3）n=C0n-3C1n+32C2n-…+3nCnn两式相加得4n+2n=2（C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn），所以C0n+32C2n+34C4n…+3nCnn=2?4n-1+2n-1.例13 求证C1n+2C2n+…+nCnn=n2n-1.证明：由二项式定理有：（1+x）n=xn+C1nxn-1+…+Cn-1nx+Cnn.对上式以x为自变量求导得：n（1+x）n-1=nxn-1+C1n（n-1）xn-2+C2n（n-1）xn-3+…+Cn-1n.取x=1有n2n-1=n+（n-1）C1n+（n-2）C2n+…+Cn-1n.又因组合数性质：Cmn=Cn-mn得n?2n-1=nCnn+（n-1）Cn-1n+（n-2）Cn-2n+…+2C2n+C1n，∴原式得证.小结：关于组合恒等式的证明，关键在于熟悉二项式定理的展开形式及结构特点，要善于把所证问题用数学方法合理的转化为二项式定理的表达式形式.例14 求证：2≤（1+1n）n≤3-12n-1，（n∈N*）.证明：由二项式定理得（1+1n）n=C0n+C1n1n+C2n1n2+…+Cnn1nn=1+1+C2n1n2+…≥2.又（1+1n）n=C0n+C1n1n+C2n1n2+…+Cnn1nn=2+12！（1-1n）+13！（1-1n）（1-2n）+…+1n！（1-1n）（1-2n）?…?（1-n-1n）≤2+12！+13！+…+1n！≤2+12+122+123+…+12n-1=3-12n-1.例15 设a，b∈R+，n∈N，求证：an+bn2≥a+b2n.分析：设a=s+d，b=s-d，（s，d∈R+且s>d），则a+b=2s，再用二项式定理解题.证明：设a=s+d，b=s-d，（s，d∈R+且s>d），于是有an+bn=（s+d）n+（s-d）n=2[C0nsn+C2nsn-2d2+…]≥2sn.又因为a+b=2s，所以an+bn2≥2sn2=sn=a+b2n.即题目得证. 评析：此题表面看似与二项式定理无关，但换元后便露出其本质.它的结论也可以写成nan+bn2≥a+b2.二项式定理是证明这一不等式简捷且有效的方法.例16 设a，b∈R+，且1a+1b=1.求证：对每个n∈N*都有（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1.分析：因为a，b∈R+，且1a+1b=1，所以ab≥2，（a+b）n-an-bn=12[（an-1b+abn-1）C1n+（an-2b2+a2bn-2）C2n+…+（abn-1+an-1b）Cn-1n]，再利用均值不等式求证.证明：由1=1a+1b≥2abab≥2，及二项式定理得（a+b）n-an-bn=C0nan+C1nan-1b+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn-an-bn=C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cn-2na2bn-2+Cn-1nabn-1=12[（an-1b+abn-1）C1n+（an-2b2+a2bn-2）C2n+…+（abn-1+an-1b）Cn-1n]≥（ab）n（C1n+C2n+…+Cn-1n）≥2n（2n-2）=22n-2n+1.小结：利用二项式定理证明不等式，是二项式定理的一个重要应用.一般情况，在二项式展开式中取舍若干项，即可将相等关系转化为不等关系，从而获得相关不等式.特别在有关幂不等式和组合不等式方面有独特作用.六、在求值问题中的应用例17 已知等式（x2+2x+2）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，其中ai（i=0，1，2，…，10）为实常数，求：（1）∑10n=1an的值;（2）∑10n=1nan的值.解：（1）令x=-1，得a0=1;令x=0，得a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32.故∑10n=1an=a1+a2+…+a10=31.（2）等式（x2+2x+2）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10两边对x求导，得5（x2+2x+2）4?（2x+2）=a1+2a2（x+1）+…+9a9（x+1）8+10a10（x+1）9.在5（x2+2x+2）4?（2x+2）=a1+2a2（x+1）+…+9a9（x+1）8+10a10（x+1）9中，令x=0，整理得∑10n=1nan=a1+2a2+…+9a9+10a10=5?25=160.评析：“取特殊值法”是解决二项式系数问题常用的方法――根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.第二问要先利用导数得到nan的形式，然后再赋值求解.例18 用{x}表示实数x的小数部分，若a=（513+18）99，则a{a}的值为多少？解：令b=（513-18）99，因为（513-18）∈（0，1），所以b∈（0，1），由二项式定理有a=（513+18）99=C099（513）99+C199（513）98×18+…+Cr99（513）99-r×18r+…+C9899（513）×1898+C99991899，b=（513-18）99=C099（513）99-C199（513）98×18+…+（-1）rCr99（513）99-r×18r+…+C9899（513）×1898-C99991899，因为a-b=2[C199（513）98×18+…+C99991899]是正整数，所以{a}=b，所以a{a}=（513+18）99（513-18）99=[（513+18）（513-18）]99=1.评析：此题表面看较为困难，但若能发现0<513-18<1，且（513+18）（513-18）=1，巧妙构造b=（513-18）99来替代{a}，问题便能迎刃而解.本题所用方法与例7相同.（作者：李苇，江苏省黄桥中学）。
二项式定理——求特定项系数
高三数学补弱二项式定理——求特定项系数一、二项式系数的计算=nm C例：=35C =68C练习：=46C =310C二、已知二项式求其特定项（或系数）例1.（1）（2021•宝山区一模）已知二项式612⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ，则其展开式中的常数项为 ．（2）（2020•松江区一模）522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为 ．（3）（2020•3月份模拟）771⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的第2项为 ．（4）（2020•潍坊模拟）二项式62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中含3x 项的系数是160，则a 的值是 ．跟踪训练：1．（2020•东城区一模）在62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为 ．（用数字作答）2．（2020•北辰区模拟）在621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含3x 项的系数为 ．（用数字作答）3．（2020•驻马店模拟）8212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式的第5项的系数为 ．4．（2020•吴忠模拟）()52y x -的展开式中，32y x 的系数为 ．5．（2020•天津二模832⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的展开式中常数项为112，则实数a 的值为 ．三、已知因式之积求其特定项（或系数）例2.（1）（2020•桃城区模拟）在()8311⎪⎭⎫⎝⎛--x x x 的展开式中含21x 项的系数等于 ．（2）（2020•衡水模拟）()5221⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 的展开式中的常数项为 ．（3）（2020•福建模拟）()()62y x y x -+的展开式中，43y x 的系数为 ．跟踪训练：1．（2020•运城模拟）()()125+-x x 的展开式中，x 3的系数是 ．2．（2020•山东模拟）展开式中的常数项为．3．（2020•青岛模拟）（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为．4．（2020•宜春模拟）在()()52yxyx-+的展开式中，24yx的系数为．四、已知三项式求其特定项（或系数）例3.（1）（2020•攀枝花模拟）()322--xx的展开式中，含4x的项的系数是．（2）（2020•梅州二模）322441⎪⎭⎫⎝⎛++xx展开式的常数项为．（3）（2020•广东二模）()62++yx的展开式中，3xy的系数为．跟踪训练：1．（2020•山西模拟）展开式中，常数项是．2．（2020•临汾模拟）()522yxx++的展开式中，25yx的系数为．3．（2020•九江一模）的展开式中x2的系数为．4．（2020•汕头一模）在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为．5．（2020•河南模拟）的展开式中，常数项为．高三数学补弱二项式定理1——求特定项系数五、二项式系数的计算=nm C例：=35C =68C练习：=46C =310C六、已知二项式求其特定项（或系数）例1.（1）（2021•宝山区一模）已知二项式（2x +）6，则其展开式中的常数项为 ． 【解答】二项式展开式的通项公式为T r +1＝•（2x ）6﹣r •x ﹣r ＝26﹣r ••x 6﹣2r ，令6﹣2r ＝0，求得r ＝3，故展开式中的常数项为 23•＝160，故答案为：160．（2）（2020•松江区一模）（x 2+）5的展开式中x 4的系数为 40 ． 【解答】根据题意得，T r +1＝（x 2）5﹣r（）r＝2r x10﹣3r，令10﹣3r ＝4，得r ＝2∴（x 2+）5的展开式中x 4的系数为22＝40；故答案为40．（3）（2020•3月份模拟）（x ﹣）7的展开式的第2项为 ．【解答】（x ﹣）7的展开式的第2项为T 2＝••x 5＝﹣x 5，故答案为：﹣x 5．（4）（2020•潍坊模拟）已知二项式的展开式中含x 3项的系数是160，则实数a 的值是 2 ． 【解答】二项式的展开式的通项公式为 T r +1＝•a r •x 12﹣3r ，令12﹣3r ＝3，求得r ＝3，可得展开式中含x 3项的系数是 •a 3＝160，解得实数a ＝2，故答案为：2． 跟踪训练：1．（2020•东城区一模）在（x +）6的展开式中常数项为 ．（用数字作答）【解答】在的展开式中的通项公式为T r+1＝•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．2．（2020•北辰区模拟）在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为．（用数字作答）【解答】由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中x3的系数是＝20，故答案为：20．3．（2020•驻马店模拟）（2x﹣）8展开式的第5项的系数为70 ．【解答】解：（2x﹣）8展开式的第5项为T5＝••24•x2，故第5项的的系数为＝••24＝70，故答案为：70．4．（2020•吴忠模拟）（2x﹣y）5的展开式中，x2y3的系数为．【解答】T r+1＝（2x）5﹣r（﹣y）r，令r＝3，可得：x2y3的系数为×22×（﹣1）3＝﹣40．故答案为：﹣40．5．（2020•天津二模）的展开式中常数项为112，则实数a的值为．【解答】通项公式为T r+1＝•（﹣）r＝（﹣2a）r••x，令＝0，解得r＝2，所以常数项为（﹣2a）2•＝112，解得a＝±1．七、已知因式之积求其特定项（或系数）例2.（1）（2020•桃城区模拟）在的展开式中含项的系数等于．【解答】∵（﹣）8的通项公式为T r+1＝••（﹣）r＝（﹣1）r••x，令﹣8＝﹣5得r＝2；令﹣8＝﹣2得r＝4；根据二项式定理，含项的系数等于．（2）（2020•衡水模拟）的展开式中的常数项为．【解答】∵的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x5﹣2r，∴（x2+x+1）＝（x2+x+1）（x5﹣10x3+40x﹣80x﹣1+80x﹣3﹣32x﹣5），则的展开式中的常数项为﹣80．（3）（2020•福建模拟）（x+2y）（x﹣y）6的展开式中，x3y4的系数为．【解答】因为（x+2y）（x﹣y）6的展开式中，所以含x3y4的项为x••x2•（﹣y）4+2y••x3•（﹣y）3＝（﹣2）•x3•y4＝﹣25x3y4．跟踪训练：1．（2020•运城模拟）（2﹣x）5（x+1）的展开式中，x3的系数是．【解答】（2﹣x）5展开式的通项公式是T r+1＝•25﹣r•（﹣x）r；则x3的系数是•22•（﹣1）3+•23•（﹣1）2＝﹣40+80＝40．2．（2020•山东模拟）展开式中的常数项为．【解答】∵＝（1﹣x2）（x6﹣6x4+15x2﹣20+15x﹣2﹣6x﹣4+x﹣6），故展开式中的常数项为﹣20﹣15＝﹣35．3．（2020•青岛模拟）（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为．【解答】（x﹣）6展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•＝（﹣1）r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3，∴T3+1＝（﹣1）3•＝﹣20；令6﹣2r＝﹣2，解得r＝4，∴T4+1＝（﹣1）4••＝15•；∴（x2+2）（x﹣）6展开式中常数项为：2×（﹣20）+15＝﹣25．4．（2020•宜春模拟）在（2x+y）（x﹣y）5的展开式中，x4y2的系数为．【解答】在（2x+y）（x﹣y）5的展开式中，要得到含x4y2的项，可以用2x乘以（x﹣y）5的展开式中含x3y2的项；也可以用y乘以（x﹣y）5的展开式中含x4y的项，故含x4y2的项系数为2+•（﹣1）＝15．八、已知三项式求其特定项（或系数）例3.（1）（2020•攀枝花模拟）（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是．【解答】∵（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），含x4的项的系数为3﹣6×3+12＝﹣3．（2）（2020•梅州二模）（+4x2+4）3展开式的常数项．【解答】∵（+4x2+4）3＝[]3＝，（1+2x2）6的展开式中的通项公式为T r+1＝•2r x2r，r＝0，1，…，6，∴T4＝•23x6＝160x6，所以（+4x2+4）3展开式的常数项为160．（3）（2020•广东二模）（x+y+2）6的展开式中，xy3的系数为．【解答】把（x+y+2）6的展开式看成6个因式（x+y+2）的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含xy3的项；故含xy3项的系数为：•×22＝240．故选：C．故原式展开后，常数项为﹣220．跟踪训练：1．（2020•山西模拟）展开式中，常数项是．【解答】由于，本题即求分子展开式中x6项的系数．分子二项展开式的通项为，令24﹣2r＝6，解得r＝9，此时，x6项的系数为2．（2020•临汾模拟）（x2+2x+y）5的展开式中，x5y2的系数为．【解答】由（x2+2x+y）5＝[（x2+2x）+y]5，通项公式可得：T r+1＝•（x2+2x）5﹣r•y r；∵要求x5y2的系数；故r＝2，此时（x2+2x）3＝x3•（x+2）3；其对应x5的系数为：•x2•21＝6．∴x5y2的系数为：×6＝60．3．（2020•九江一模）的展开式中x2的系数为28．【解答】∵，∵（x﹣1）8中x6的系数为＝28．∴展开式中x2的系数为．4．（2020•汕头一模）在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为．（﹣2）3+C C（﹣2）2＝120．5．（2020•河南模拟）的展开式中，常数项为145．【解答】根据题意，＝[（3x﹣）﹣1）]4，其展开式的通项T r+1＝C4r（3x﹣）4﹣r（﹣1）r，r＝0、1、2、3、4，当r＝0时，有T1＝（3x﹣）4，其中常数项为C42（3x）2（﹣）2＝216，当r＝2时，有T3＝C42（3x﹣）2，其中常数项为C42C21（3x）1（﹣）1＝﹣72，当r＝4时，有T5＝（﹣1）4，其中常数项为1，则的展开式中，常数项为216﹣72+1＝145；故答案为：145。
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两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
§251 二项式定理的应用——求系数
一、求指定项的系数(等价于求指定项)：
1. (a b)n 型： 2.(a b)m ○* (c d)n 型： 3. (a b c)n 型：
4.导பைடு நூலகம்型：
二、求系数和(差) ：
1.赋值法： 2.其他法：
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
x
为－20，则自然数n＝_______
法2：由多项式乘法法则，结合组合的知识可得
(x 1 2)n x
的通项为
Cnk
Cnrk
x
k
(
1 x
)r
(2)nk
r
Cnk
Cr nk
x
k
r
(2)
nk
r
由题意得
kr 0
Cnk
Cr nk
(2)
nk
r
20
后续工作等同法1，操作量较大……
(3)(2004年安徽春考)若 (x 1 2)n 的展开式中常数项
lnim[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ] ____
析①:ln因im[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ]
(a0a1a2a3 a2n)(a0a1a2a3 a2n)
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
注④：①○相邻(捆绑法)
②○不邻(插空法)
析②:令
x=1，代入（
2 2
x)2n
a0
a1x a2 x2
... a2n1x2n1
a2n x2n
得
a 0 a1a 2 a3
a2n
(
2 1)2n 2
析③:令x=-1，代入（
2 2
x)2n
a0
a1x
a 2
x2
...
a x2n1 2n1
a2n
x2n
得
a 0 a1a 2 a3
a2n (
2 1)2n 2
故所有项的系数和为1+2+3+2+1=9
法2：设 f (x) (1 x x2 )2 a 0a1x a 2 x2 a 3 x3 a 4 x4
故所有项的系数和为 f (1) (111)2 9
(6)(2009年湖北)设（
2 2
x)2n
a0
a1x
a 2
x2
...
a x2n1 2n1
a2n x2n
f (1) a0a1a2a3a4a5 (a0a2a4 ) (a1a3a5 )
③
a0a2a4
f (1) f (1) 2
a1a3a5 f (1) f (1)
2.其他法：
2
练习2.求系数和(差) ：
(4)(2012年上海春考)若 (2x 1)5 a0a1x a2x2 a5x5
则 a0a1a2 a5 _______
⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法
⑩染色——递推法
1.相邻问题捆绑法：
先捆可邻成大元 次变个数全排列
2.不邻(相离)问题插空法：
先排可邻后插空 多元切忌间接法
二元可用间接法 亮灯空位是变式
引：相间问题位置法
相邻相离综合体 一般解法位置法
3.在与不在 4.含与不含 5.至多与至少
——
特殊优先直接法 正难则反间接法
要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，
则不同的染色方法有多少种？
法3：环型域递推法：
h1 k h2 k(k 1)
A1 An
A2
An1
A3
A4
h3 k(k 1)(k 2)
hn (k 2)hn1 (k 1)hn2 (n 4)
注：二三环型点算法 四块以上递推法
异色插入第一类 同色剪开第二类
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn
注1：相关概念： ①项与项数： 类似于学号与同学的关系
②系数与二项式系数：Cnr 称为二项式系数 ;容斥关系
注2：上下前后及某项 知四有一两头同(中间差)
组合数的性质
1.对称性： Cnr
C nr n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
幂的运算性质
③ amn am an
④ amn am an
⑤ amn (am )n (an )m
③○在与不在 ④○含与不含 ⑤○至多与至少
直接法 间接法
⑦○分配 均匀分配 非均匀分配
⑨○定序
⑥○分组
相同元素 不同元素
二元1种 ⑧○错排 三元2种
⑩○染色 四元9种
注⑤：设n元某计数问题共有an种方法 若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式
1.分类加法计数原理：
完成一件事有n类方式, 在第一类方式中有m1种不同 的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类 方式中有mn种不同的方法.
4.导数型：
二、求系数和(差) ：
1.赋值法： 2.其他法：
练习1.求指定项的系数
(1)(2012年全国)若 (x 1)n 的展开式中第3项与第7项的
x
二项式系数相等，则该展开式中
1 x2
的系数为____
析:由题意56得 Cn2 Cn6 ,解n 得2 n=62+68=8
故 Tr1 C8r x8r ,令 8 82r2r 2 ，2 得r r5 5
(3)不同元素的均匀分组：
①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有 C2nnCnn 种分法
2!
②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有 C3nnC2nnCnn 种分法 (4)不同元素的混合分组：先均匀后非均匀 3!
9.分配：
(1)不同元素的分配： 先分组后分配
(2)相同元素的分配(分组)：0—1法
10.染色问题：
4.可和性：
系数求和赋值法 方法要熟正负1
① C0n C1n C2n C3n Cnn 2n ② C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n-1
§251 二项式定理的应用——求系数
一、求指定项的系数(等价于求指定项)：
1. (a b)n 型： 2.(a b)m ○* (c d)n 型： 3. (a b c)n 型：
那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理： 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同
的方法，做第2步有m2种不同的方法……,做第n步有mn种 不同的方法 那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法
3.容斥计数原理: 先把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来
注2. 常用的排列数： An0 1 An1 n Ann n！
注3.常用的组合数： Cn0 1 Cn1 n Cnn 1
两理两数四原则 十大题型递推法
排列与组合的关联：
① 排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序
② 先组后排：排列可以看作是先取组合，再做全排列
Anm Cnm m!
两理两数四原则 十大题型递推法
析④:即求 lim [( 2 1)2n ( 2 1)2n ] lim ( 1 )n 0
2 n
2
n 4
(7)化简：
C1 2014
2C22014
3C23014
2014C22001144
法1：因 kCnk nCnk11 (参课本P：25 练习5)
(1)条型域：
如图，1 2 3 … n ,用k种颜色染n块区域，相邻
区域不能同色, 则共有 tn k(k 1)n1 种染法
注1：染色基础是条型 方法多多随爱好 从头到尾逐个染 乘法原理显神功
注2：隐含了颜色有剩余
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，
则不同的染色方法有多少种？
法1：通项公式：
hn (k 1)n (1)n (k 1)
法2：化环型域为条型域：
h1 k
A1 An
A2
An1
A3
A4
h2 k(k 1) , h3 k(k 1)(k 2)
tn hn hn1 (n 4)
注：思路显然，但操作量过大
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
析:令 x=1，代入 (2x 1)5 a0a1x a2x2 a5x5 得 a0a1a2 a5 (211)5 1