数学理卷·2015届江西省抚州一中高二上学期第二次月考(2013.12)

E 为 PD 中点．
⑴ 求证： AE ∥面 PBC ；
P
⑵ 求 AE 与平面 PAB 所成的角的大小．
E
D C
A
B
20．（本题满分 13 分）如图， ∆ABC 是等腰直角三角形， ∠ABC = 90° ， PA ⊥ 面 ABC ，
且 PA = AB = 2 ,又 D 为 PB 的中点， E 为 A 在 PC 上
y x
= −
0 3z
=
0
取
n
=
(
3,0,1)
AE = (− 3 ,0, 3 )
cos
<
17．（本题满分 12 分）某 校 100 名 学 生 期 中 考 试 语 文 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所
示 ，其 中 成 绩 分 组 区 间 是 ： [50, 60) ， [60, 70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100] ．
⑴ 求图中 a的值； ⑵ 根 据 频 率 分 布 直 方 图 ， 估 计 这 100 名 学 生 语 文 成 绩 的 平 均 分 ； ⑶ 若 这 100 名 学 生 语 文 成 绩 某 些 分 数 段 的 人 数 （ x ） 与 数 学 成 绩 相 应 分 数 段
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落在圆内则 a 2 + b 2 < 16 ，
①若 a = 1,b = 1,2,3 ②若 a = 2,b = 1,2,3 ③若 a = 3,b = 1,2 共8 种
故点 (a,b) 落在圆 x 2 + y 2 = 16 内的概率为 p = 8 = 2 36 9
⑵Q e >
3 2
，∴
a
2 − b2 a2
5
4
16 9
其中真命题的序号为
_________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分 12 分）已知 c > 0 且 c ≠ 1 ，设命题 p ：指数函数 y = (2c −1) x 在 R 上为减
函数，命题 q ：不等式 x + (x − 2c)2 > 1的解集为 R ．若命题 p 或 q 是真命题, p 且 q 是假命题，求 c 的取值范围．
A． 2
B． 3
C．4
D．5
８．已知椭圆x42＋y22＝1 的左右焦点分别为 F1、F2，过 F2 且倾角为 45°的直线 l 交椭圆于 A、
B 两点，以下结论中：①△ABF1 的周长为 8；②原点到 l 的距离为 1；③|AB|＝83；
正确的结论有几个
（）
A．3
B．2
C．1
D．0
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9．已知集合 P = {x | 1 ≤ x ≤ 8, x ∈ Z}，直线 y = 2x + 1 与双曲线 mx 2 − ny 2 = 1 有且只有
的射影．
P
⑴ 求证： AD ⊥ PC ；
E
⑵ 求二面角 A − PC − B 的大小；
⑶ 求三棱锥 B − ADE 的体积．
D
A
C
B
21．（本题满分 14 分）在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆 x2 + y2 = 1的左、右顶 95
点为 A 、 B ，右焦点为 F ，设过点 T (t, m) 的直线 TA 、 TB 与此椭圆分别交于点
②双曲线 x2 − y2 = 1 与椭圆 x2 + y2 = 1 有相同的焦点；
25 9
35
③方程 2x 2 − 5x + 2 = 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
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④和定点 A(5,0) 及定直线 l : x = 16 的距离之比为 5 的点的轨迹方程为 x2 − y2 = 1．
一个公共点，其中 m, n ∈ P ，则满足上述条件的双曲线共有
（）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
10．椭圆
x2 4
+
y2
= 1的左、右焦点分别为
F1, F2 ，点 P
在椭圆上，若 P, F1, F2
是一个直角
三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为
（）
A． 1 2
B． 3 3
C． 1 或 3 23
开始
12．阅读如图所示的算法框图：
若 a = 2 (cos18° − sห้องสมุดไป่ตู้n18°) ， 2
输入 a,b, c, a<b 是
b = 2 cos2 28° −1， c = 2sin16° cos16°
则输出的结果是
．（填 a,b, c 中的一个）
否
a<c
否
a=b
是
a=c
13．某校高级职称教师 26 人，中级职称教师 104 人，其他教师
R，则 R 是 P 的逆命题的
（）
A 逆命题r r r B 否命题 C 逆否命题 D 原命题 2．设向量 a, b, c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是
（）
{ } { } { } { } r r r r r
r r r rr
r r rr rr
r r r rr
A． a + b, −a + b, a B． a + b, −a + b, b C． a + b + c, a + b, c D． a + b, −a + b, c
⑵
求椭圆 x 2 a2
+
y2 b2
= 1 (a > b > 0) 的离心率 e >
3 的概率． 2
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19．（本题满分 12 分）如图，四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，
AB ∥ CD , 2 AB = 2AD = CD , AD ⊥ CD ,侧面 PAD ⊥ 面 ABCD , ∆PAD 为正三角形，
江西省抚州一中 2013-2014 学年高二上学期第二次月考 理科数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题(本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，每小题给出的 4 个选项中，只有一选
项是符合题目要求的)
1．已知命题 P：“若 x+y=0，则 x，y 互为相反数”命题 P 的否命题为 Q，命题 Q 的逆命题为
>
3 4
即 a 2 > 4b2 Q a > 0,b > 0 ∴ a > 2b
① 若 b = 1, a = 3,4,5,6 ②若 b = 2, a = 5,6 共 6 种
故离心率 e > 3 的概率为 P = 6 = 1
2
36 6
19．⑴ 证明：取 PC 中点 F ，连 EF , BF ，则 EF ∥ DC ,且 EF = 1 DC 2
M (x1, y1) 、 N (x2 , y2 ) ，其中 m > 0 ， y1 > 0 ， y2 < 0 uuur uuur uuur uuur
⑴ 设动点 P 满足 (PF + PB)(PF − PB) = 13 ，求点 P 的轨迹方程；
⑵
设 x1
= 2 ， x2
=
1 ，求点T 3
的坐标；
y
⑶ 若点 T 在点 P 的轨迹上运动，问直线 MN 是否
（）
A． ∀x ∈ R,有(x − 2)2 > 0
B． ∀x ∈ Q,有x2 > 0
C． ∃x ∈ Z,使3x = 812
D． ∃x ∈ R,使3x2 − 4 = 6x
6．在区域
00
≤ ≤
x y
≤ ≤
11内任意取一点
P( x,
y)
，则 x 2 + y 2 > 1 的概率是
（）
A．0
B． π − 1
42
经过 x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若
不是，说明理由．
A
O
F
B
x
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抚州一中 2013—2014 学年度上学期高二年级第二次月考
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B
D
C
A
D
D
C
A
二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
的 人 数 （ y ） 之 比 如 下 表 所 示 ， 求 数 学 成 绩 在 [50, 90) 之 外 的 人 数 ．
分数段 [50, 60) [60, 70) [70,80) [80,90)
x: y
1:1
2 :1
3:4
4:5
18．（本题满分 12 分）某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为 a ， b ． ⑴ 求点 (a,b) 落在圆 x 2 + y 2 = 16 内的概率；
分数段 [50, 60) [60, 70) [70,80) [80,90)
x: y
1:1
2 :1
3:4
4:5
x
5
40
30
20
y
5
20
40
25
数 学 成 绩 在 [50, 90) 之 外 的 人 数 为 100 − (5 + 20 + 40 + 25) = 10 人 ．
18．解：⑴ 点 (a,b) ，共 36 种，
3．设α ∈[0,π ] ，则方程 x2 sinα + y2 cosα = 1 不能表示的曲线为
（）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
4．已知 A(1,－2,11)，B(4,2,3)，C(6,－1,4)，则△ABC 是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形
5．下列命题是真命题的是
（） D．等腰三角形
C． π 4
D．1 − π 4
7．下列说法中错．误．的个数为
（）
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本
身一定为真；③
x y
> >
1 2
是
x+ y> xy > 2
3
的充要条件；④
a=
b 与 a = b 是等价的；⑤
“ x ≠3”是“ x ≠3”成立的充分条件.
11． − 65 12． b 13． 182 14． 1
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分）
16．解: 解：当 p 为真时，
15． ②③④
Q函数 y = (2c −1) x 在 R 上为减函数 ∴ 0 < 2c − 1 < 1，
∴当 p 为为真时， 1 < c < 1； 2
当 q 为真时，
则 c 的取值范围是 (1 , 5] U (1, +∞) . 28
17.解：⑴由 (0.04 + 0.03 + 0.02 + 2a) ×10 = 1，解得： a = 0.005
9
10
A
C
⑵设这 100 名 学 生 语 文 成 绩 的 平 均 分 x ， 则
x = 55× 0.05 + 65× 0.4 + 75× 0.3 + 85× 0.2 + 95× 0.05 = 73 ⑶ 对 x, y 的 值 列 表 如 下 ：
2
并将“”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下
是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于 6 的正整数；乙：A 是 B 成立的充分不必
要条件；丙：A 是 C 成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对，则“”中的数为
．
15．以下四个关于圆锥曲线的命题中： uuur uuur ①设 A、B 为两个定点，k 为正常数，| PA | + | PB |= k ，则动点 P 的轨迹为椭圆；
以 HA 为 x 轴，过 H 平行于 DC 的直线为 y 轴， HP 为 z 轴，建立坐标系，
设 AB = 2 , A(1,0,0), B(1,2,0), P(0,0, 3), E(− 1 ,0, 3 ) 22
设平面 PAB 的法向量 n = (x, y, z) PA = (1,0,− 3), AB = (0,−1,0)
∵不等式 x + (x − 2c)2 > 1的解集为 R ，
∴当 x ∈ R 时， x 2 − (4c −1)x + (4c 2 −1) > 0 恒成立．
∴ ∆ = (4c −1)2 − 4 ⋅ (4c 2 −1) < 0 ，∴ − 8c + 5 < 0
∴当 q 为真时， c > 5 ． 8
由题设，命题 p 或 q 是真命题, p 且 q 是假命题，
又 AB ∥ DC 且 AB = 1 DC ,∴ EF ∥ AB 且 EF = AB 2
∴四边形 ABFE 为平行四边形，∴ AE ∥ BF 又 BF ⊂ 平面 PBC ∴ AE ∥平面 PBC ⑵取 AD 中点 H ，则 PH ⊥ AD ，又侧面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，∴ PH ⊥ 平面 ABCD ，
D． 1 或1 2
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的横线上） 11．已知 a + b = 2i − 8 j + k , a − b = −8i + 16 j − 3k ( i, j, k 两两互相垂直单位向量)，
那么 a ⋅ b = ．
输出 a
若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样
从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查，已知从其它教师中
共抽取了 16 人，则该校共有教师
人．
结束
14．为激发学生学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合： A = {x | []x −1 < 0} ， x
B = {x | x 2 − 3x − 4 ≤ 0}， C = {x | log 1 x > 1} ；然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，