圆的方程与专题复习(直线与圆圆与圆的位置关系轨迹问题)

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圆的方程、直线和圆、圆和圆的位置关系高考题和详解

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1. （2013·重庆高考文科·Ｔ4）设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ 的最小值为 ( )A. 6B.4C. 3D. 2 【解题指南】PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.【解析】选B. PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心)1,3(-到直线3-=x 的距离为6,半径为2,所以PQ 的最小值为426=-.2.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x -1)2+y 2=5相切,且与直线ax -y +1=0垂直,则a = ( ) A.12- B. 1 C. 2 D.12【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a 的值. 【解析】选C.因为点P(2,2)为圆(x -1)2+y 2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-1,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a =2.A.1B.2C.4D.【解题指南】由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。

【解析】选 C.由22(1)(2)5x y -+-=得圆心（1,2），半径r =，圆心到直线的距离1d =，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长4l ===。

4. （2013·重庆高考理科·Ｔ7）已知圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C ：22(3)(4)9x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为 ( )A.425-B.117-C.226-D.17【解题指南】根据圆的定义可知421-+=+PC PC PN PM ,然后利用对称性求解. 【解析】选A.由题意知,圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C ：22(3)(4)9x y -+-= 的圆心分别为)4,3(),3,2(21C C ,且421-+=+PC PC PN PM ,点)3,2(1C 关于x 轴的对称点为)3,2(-C ,所以252221=≥+=+CC PC PC PC PC , 即425421-≥-+=+PC PC PN PM .5.（2013·广东高考文科·Ｔ7）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（）A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=【解析】选A. 由题意知直线方程可设为0x y c +-=（0c >），则圆心到直线的距离等于半径11=，c =0x y +=.6. （2013·陕西高考文科·Ｔ8）已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 ( ) A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定【解题指南】利用点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系中的半径与距离，列出关系式，解之即可判断直线ax + by = 1与圆O 的位置关系. 【解析】选B.点M(a, b)在圆.112222>+⇒=+b a y x 外O(00)ax by 1d 1圆心，到直线距离+==<=圆的半径，故直线与圆相交.7. （2013·江西高考理科·Ｔ9），0）引直线l 与曲线y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（）B.C. ±D.【解题指南】圆心到直线的距离与直线的斜率有关,△AOB 为等腰三角形,所以AB 的长度也可用圆心到直线的距离表示,进而△AOB 的面积可表示为圆心到直线的距离d 的函数,借助二次函数思想可以求解出当△AOB 的面积取最大值时的d 值,进而可以求出直线的斜率.【解析】选B. 曲线y =(0,0)为圆心，以1为半径的上半圆.设直线l的方程为y k(x =，即kx y 0-=，若直线与半圆相交，则k 0<，圆心到直线的距离为d =（d 1<），弦长为AB =，△AOB 的面积为1s A B d 2===21d 2=时s最大，解212=得21k 3=，故k 3=-. 8. （2013·山东高考理科·Ｔ9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0 【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的几何性质解题即可. 【解析】选A. 由图象可知，(1,1)A 是一个切点，根据切线的特点可知过点 A.B的直线与过点（3,1）、（1、0）的直线互相垂直，213011-=---=AB k ，所以直线AB 的方程为()121--=-x y ，即2x+y-3=0. 二、填空题9. （2013·山东高考文科·Ｔ13）过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________【解题指南】过圆内一点的弦，最长的为直径，最短的为垂直于直径的弦.这样圆心到点()1,3的距离，与弦长的一半，半径长构成一个直角三角形.【解析】半径为2=r ，圆心为()2,2，圆心到点()1,3的距离()()2212322=-+-=d ,所求最短弦长为()2222222=-【答案】22 .10.(2013·浙江高考文科·T13)直线y=2x+3被圆x 2+y 2-6x-8y=0所截得的弦长等于 .【解题指南】由直线方程与圆的方程联立方程组,求两个交点的坐标,再求弦长. 【解析】由2223,680,=+⎧⎨+--=⎩y x x y x y ，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，所以两交点坐标为()1,1- 和()3,9，所以弦长l ==. 【答案】11. （2013·江西高考文科·Ｔ14）若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 .【解题指南】设出圆的标准方程，得出圆心坐标和半径的关系，再代入已知点. 【解析】设圆的方程为222(x a)(y b)r -+-=，因为圆C 经过点（0,0）和点（4，0），所以a =2，又圆与直线y=1相切，可得1b r -=，故圆的方程为222(x 2)(y b)(1b)-+-=-，将（0,0）代入解得3b 2=-，5r 2=，所以圆的方程为22325(x 2)(y )24-++=. 【答案】22325(x 2)(y )24-++=.12. （2013·湖北高考文科·Ｔ14）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .【解题指南】根据直线与圆的位置关系,求圆心到直线的距离,同半径的一半相比较.【解析】半径为圆心到直线l 的距离1=<故数形结合k=4. 【答案】4. 三、解答题13.(2013·江苏高考数学科·T17) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l 。

圆的方程、直线与圆的位置关系题型归纳学生版

圆的方程、直线与圆的关系题型归纳一、学法指导与考点梳理1．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内． 2．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.3．圆与圆的位置关系二、重难点题型突破重难点1 圆的方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．例1．（1）当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0（2）已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【变式训练1】．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【变式训练2】．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．重难点2 直线与圆的位置关系判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断．（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．（3）直线系法：若动直线过定点P ，则点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．例2．（1）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]【变式训练1】．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【变式训练2】．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I ）求圆心的轨迹方程；（II ）若点到直线，求圆的方程．重难点3 直线、圆方程的综合应用（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代xOy P x y P P y x P数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．（2）若,()P x y 是定圆222()()C x a y b r -+-=：上的一动点，则mx ny +和yx这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．①几何法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，圆心(,)C a b 到直线mx ny t +=的距离为22d m n=+，由d r =即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：yx即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：设yt x=，则y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．例3．（1）已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2（2）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【变式训练1】．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .【变式训练2】．在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．三、课堂定时训练（45分钟）1．（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1002．（2020山东潍坊三中高二期中）已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．（2020邢台市第八中学高二期末）方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,3)-为圆心,4为半径的圆,则D,E,F 的值分别为（） A ．4,6,3-B ．4,6,3-C ．4,6,3--D ．4,6,3--5．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离6．（2020山东泰安实验中学高二期中）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）A 或B ．C ．-D ．-7．（2020全国高二课时练）与圆()22:136C x y -+=同圆心，且面积等于圆C 面积的一半的圆的方程为_________.8．（2020·上海高二课时练习）若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为_________.9．（2020湖南师大附中高二期中）已知点()()1,2,1,4A B --，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程；（2）过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．10．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。

圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理.doc

的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)知识梳理浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳1.圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心，定长为半径.2.圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2 + y2 =厂2 ；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3.圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >0)；②圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次项③二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是4=C H 0 且B = Q；二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0且3 = 0 且D2 +E2-4AF>04.圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.[x = r cos e①鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛.八(0为参数);[y = rsin^/ 、\x = a + r cos 0②圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛(〃为参数);[y = b + rsin05.圆方程之间的互化x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)配方(E、2D2 + E2 -4F< D<=>X + —+x + —即圆心< 2丿L 2丿4 1 22厂=丄S +E： -4F o 利用(rcos0)2 +(rsin^)2 = r2得j“ °十'°°"矽为参数)2 \y = b + rsind6.确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一燉方程及参数方程都冇三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。

圆的方程、直线与圆的位置关系题型归纳教师版

由d＝＝1，得k＝ .又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，
故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.
(2)直线OA的方程为y＝ x，即5x－3y＝0，点C到直线OA的距离为
d＝＝，又|OA|＝＝，所以S＝ |OA|d＝ .
【变式训练2】．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．
（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．
（3）直线系法：若动直线过定点，则点在圆内时，直线与圆相交；当在圆上时，直线与圆相切或相交；当在圆外时，直线与圆位置关系不确定．
例2．（1）直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝ ”的()
故所求直线的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0
【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为．
（I）求圆心的轨迹方程；
（II）若点到直线的距离为，求圆的方程．
【解析】（I）设，圆的半径为．
由题设，从而故点的轨迹方程为．
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2
两组不同实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
2、重难点题型突破
重难点1圆的方程
求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．
（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
（II）设，由已知得．

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，＋By＋C ＝0，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ01<0Δ02＝0Δ03>0几何观点d 04>rd 05＝rd 06<r2．圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)位置关系图形几何法公切线条数外离d >r 1＋r 2四条外切d＝r1＋r2三条相交|r1－r2|<d<r1＋r2两条内切d＝|r1－r2|一条内含0≤d<r1－r2无1．圆的切线方程常用的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M x N. 3．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(4)在圆中最长的弦是直径．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案B解析圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝12＝22，而0<22<1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．故选B.(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y ＝0的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切答案C解析圆O1：x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为O1(1，0)，半径为r1＝1，圆O2：x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为O2(0，－2)，半径为r2＝2，所以两圆的圆心距为|O1O2|＝（－1）2＋（－2）2＝5，所以1＝|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2＝3，因此两圆的位置关系为相交．故选C.(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是________________．答案(x－3)2＋(y＋1)2＝1解析由题意得，r＝|3×3＋4×（－1）|32＋42＝1，因此圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.(4)(人教A选择性必修第一册习题2.2T3改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为________________．答案y＝x＋1解析圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，则圆心为C(3，2)，k CM＝3－22－3 1.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知，k m·k CM＝－1，所以k m＝1，所以所求的直线方程为y－3＝1·(x－2)，即y＝x＋1.考点探究——提素养考点一直线与圆的位置关系例1(1)(2023·江西九江二模)直线l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝16的位置关系为________．答案相交解析由mx－y－2＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)－y－2＝0(m∈R)，＋1＝0，y－2＝0，解得＝－1，＝－2，所以直线l过定点(－1，－2)，又因为(－1)2＋(－2－1)2＝10<16，得(－1，－2)在圆内，所以直线l与圆C总相交．(2)(2024·广东湛江廉江中学高三第二次月考)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r 的值为________．答案±2解析由直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，得|2|12＋12＝|r|，即|r|＝2，故r的值为± 2.【通性通法】判断直线与圆的位置关系的两种方法特别地，对于过定点的直线，也可以通过定点在圆内部或圆上判定直线和圆有公共点．【巩固迁移】1．(2023·陕西榆林模拟)已知点P(x0，y0)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直线l：x0x－y0y＝2与圆C的位置关系为()A．相交B．相离C．相切D．相切或相交答案C解析由题意可得x20＋y20＝2，于是圆心C到直线l的距离d＝2x20＋y20＝22＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．答案(－32，32)解析由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝|－a|2<3，解得－32＜a＜32.考点二圆的弦长、切线问题(多考向探究)考向1弦长问题例2(1)(2024·四川西昌期末)直线l：x－3y cosθ＝0被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦长为()A．3B．5C．7D．3答案C解析因为圆x2＋y2－6x＋5＝0，所以其圆心为(3，0)，半径r＝2，于是圆心(3，0)到直线l：x－3y cosθ＝0的距离为d＝31＋3cos2θ，因为cosθ∈[－1，1]，所以cos2θ∈[0，1]，所以d＝31＋3cos2θ∈32，3，因为直线l与圆相交，所以d<2，所以d∈32，又因为弦长为2r2－d2＝24－d2，所以当d取得最小值32时，弦长取得最大值，为7.故选C.(2)(2023·海南华侨中学二模)已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．答案5解析因为圆心(0，0)到直线x－3y＋8＝0的距离d＝81＋3＝4，由|AB|＝2r2－d2，可得6＝2r2－42，解得r＝5.【通性通法】求直线被圆截得的弦长的两种方法【巩固迁移】3．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为()A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0答案B解析当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0.故选B.4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l ：x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 的面积为85”的m 的一个值：________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，由d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±2或m ＝±12.考向2切线问题例3(1)在平面直角坐标系中，过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为()A ．5x －12y ＋45＝0B ．y ＋5＝0C ．x －3＝0或5x －12y ＋45＝0D ．y －5＝0或12x －5y ＋45＝0答案C解析因为32＋52－2×3－4×5＋1>0，点(3，5)在圆外，且x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为(1，2)，半径为2.若切线的斜率不存在，即x ＝3，圆心(1，2)到直线x ＝3的距离为2，故直线x ＝3是圆的切线；若切线的斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋5＝0，则|k －2－3k ＋5|k 2＋1＝2，则|3－2k |k 2＋1＝2，两边平方得12k ＝5，k ＝512，所以y －5＝512(x －3)，即5x－12y ＋45＝0.综上，切线的方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.故选C.(2)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案7解析设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离．设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，所以|PM |的最小值为22，此时|PQ |＝|PM |2－1＝（22）2－1＝7.【通性通法】1．求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系，求得切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程，如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得到切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0.2．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求得k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．【巩固迁移】5．(2023·河南开封模拟)已知圆M 过点A (1，3)，B (1，－1)，C (－3，1)，则圆M 在点A 处的切线方程为()A ．3x ＋4y －15＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．4x ＋3y －13＝0D ．4x －3y ＋5＝0答案A解析设圆M 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.＋3E ＋F ＋10＝0，－E ＋F ＋2＝0，3D ＋E ＋F ＋10＝0，＝1，＝－2，＝－5，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋x －2y －5＝0，圆心为－12，所以直线AM的斜率k AM ＝3－11＋12＝43，所以圆M 在点A 处的切线方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.故选A.6．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝()A ．1B ．154C ．104D ．64答案B解析解法一：因为x 2＋y 2－4x －1＝0，即(x －2)2＋y 2＝5，可得圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，因为|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PC |2－r 2＝3，可得sin ∠APC ＝522＝104，cos ∠APC ＝322＝64，则sin ∠APB ＝sin2∠APC ＝2sin ∠APC cos ∠APC ＝2×104×64＝154，cos ∠APB ＝cos2∠APC ＝cos 2∠APC －sin 2∠APC ＝＝－14<0，即∠APB 为钝角，所以sin α＝sin(π－∠APB )＝sin ∠APB ＝154.故选B.解法二：圆x 2＋y 2－4x －1＝0的圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，连接AB ，可得|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PB |＝|PC |2－r 2＝3，因为|PA |2＋|PB |2－2|PA |·|PB |cos ∠APB ＝|CA |2＋|CB |2－2|CA |·|CB |cos ∠ACB ，且∠ACB ＝π－∠APB ，则3＋3－6cos ∠APB ＝5＋5－10cos(π－∠APB )，即3－3cos ∠APB ＝5＋5cos ∠APB ，解得cos ∠APB ＝－14<0，即∠APB 为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB )＝－cos ∠APB ＝14，又α为锐角，所以sinα＝1－cos2α＝154.故选B.解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝5，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝2<r，不符合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则|2k－2|k2＋1＝5，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝（k1＋k2）2－4k1k2＝215，所以tanα＝|k1－k2|1＋k1k2＝15，即sinαcosα＝15，可得cosα＝sinα15，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2α15＝1，又α则sinα>0，解得sinα＝154.故选B.7．(2024·陕西西安碑林区校级月考)已知圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点T(－3，4)，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，k1·k2＝－1，则|TM|的取值范围为________．答案[1，9]解析由题意可知，直线OP的方程为y＝k1x，直线OQ的方程为y＝k2x，∵OP，OQ与圆M相切，∴|k1x0－y0|1＋k21＝22，|k2x0－y0|1＋k22＝22，分别对两个式子进行两边平方，整理可得21（8－x20）＋2k1x0y0＋8－y20＝0，22（8－x20）＋2k2x0y0＋8－y20＝0，∴k1，k2是方程k2(8－x20)＋2kx0y0＋8－y20＝0的两个不相等的实数根，易知8－x20≠0，∴k1·k2＝8－y208－x20，又k1·k2＝－1，∴8－y208－x20＝－1，即x20＋y20＝16，则圆心M的轨迹是以(0，0)为圆心，4为半径的圆．又|TO|＝9＋16＝5，∴|TO|－4≤|TM|≤|TO|＋4，∴1≤|TM|≤9.考点三圆与圆的位置关系例4(1)(2024·广东揭阳期末)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为() A．相交B．相离C．外切D．内切答案A解析圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1.圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝3.|O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交．故选A.(2)(多选)(2023·吉林期中)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则()A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C ．两个圆心所在直线的斜率为－43D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x －8y －25＝0答案BC解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2＝1，其圆心C 1(0，0)，半径R ＝1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，其圆心C 2(3，－4)，半径r ＝1，圆心距|C 1C 2|＝9＋16＝5，则|PO |的最小值为|C 1C 2|－R －r ＝3，最大值为|C 1C 2|＋R ＋r ＝7，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心C 1(0，0)，圆心C 2(3，－4)，则两个圆心所在直线的斜率k ＝－4－03－0＝－43，故C 正确；对于D ，两圆的圆心距|C 1C 2|＝5，则|C 1C 2|>R ＋r ＝2，两圆外离，不存在公共弦，故D 错误．故选BC.(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．答案x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x＋4y －5＝0解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0，0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3，4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x ，＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l21，设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，则点O (0，0)到l 2的距离为1，所以1＝|k －43|k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直．设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t ＞0，则点O (0，0)到l 3的距离为1，所以1解得t ＝54，所以公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.综上，所求直线方程为x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0.【通性通法】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．【巩固迁移】8．(2024·安徽芜湖模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是()A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案B解析由题意，得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．故选B.9．(2023·云南丽江期中)圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0公切线的条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝36，其圆心为(3，5)，半径r ＝6；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋7)2＝49，其圆心为(－2，－7)，半径R ＝7，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－2－3）2＋（－7－5）2＝13＝R ＋r ，所以两圆相外切，其公切线有3条．故选C.10．(2024·江苏启东中学阶段考试)已知P 是圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上一动点，A ，B 是圆C ：x 2＋2x ＋y 2＋2y －2＝0上的两点，若|AB |＝23，则|PA →＋PB →|的取值范围为________．答案[42－2，82＋2]解析由题意知，点P 所在圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝2，且A ，B 所在圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (－1，－1)，半径为2.设D 是AB 的中点，连接CD ，则CD 垂直平分AB ，则|CD |1，所以点D 在以C 为圆心，1为半径的圆上，即点D 所在圆C 1：(x＋1)2＋(y ＋1)2＝1，又由PA →＋PB →＝2PD →，可得|PA →＋PB →|＝2|PD →|，|PD →|即为圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上的点与圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的点的距离，因为|MC 1|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以32－1－2≤|PD →|≤32＋1＋2，即|PA →＋PB →|的取值范围为[42－2，82＋2]．课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，直线l ：2x －y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且直线过圆C 的圆心答案B解析由x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，可得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故圆心C (－1，2)，半径r ＝5，则圆心到直线l ：2x －y －1＝0的距离d ＝|－2－2－1|22＋1＝55＝5＝r ，故直线l 与圆C 相切．故选B.2．(2024·黑龙江大庆质检)若直线kx －y ＋1－2k ＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为()A ．23B ．22C ．3D ．2答案B解析直线kx －y ＋1－2k ＝0，即k (x －2)－(y －1)＝0恒过定点M (2，1)，而(2－1)2＋12＝2<4，即点M 在圆C 内，因此当且仅当AB ⊥CM 时，|AB |最小，而圆C 的圆心C (1，0)，半径r ＝2，|CM |＝2，所以|AB |min ＝2r 2－|CM |2＝24－2＝2 2.故选B.3．(2023·河北联考一模)直线l ：ax ＋by －4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，则(a －3)2＋(b －4)2的最大值为()A ．16B ．25C ．49D ．81答案C解析由直线l 与圆O 相切可得，圆心O (0，0)到直线l 的距离等于圆的半径，即|－4|a 2＋b 2＝2，故a 2＋b 2＝4，即点(a ，b )在圆O 上，(a －3)2＋(b －4)2的几何意义为圆上的点(a ，b )与点(3，4)之间距离的平方，由a 2＋b 2＝4，得圆心为(0，0)，因为32＋42>4，所以点(3，4)在圆a 2＋b 2＝4外，所以点(a ，b )到点(3，4)的距离的最大值为圆心到(3，4)的距离与圆半径之和，即d ＋r ＝（3－0）2＋（4－0）2＋2＝7，所以(a －3)2＋(b －4)2的最大值为72＝49.故选C.4．(2023·广东汕头模拟)已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(－∞，1－6)∪(1＋6，＋∞)C ．(0，4)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因为圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，所以圆C 1与C 2外离，所以（a －3）2＋（a －3＋4）2>4，解得a >3或a <－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D.5．(2023·山东青岛模拟)已知直线l ：3x ＋my ＋3＝0，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0，则下列说法正确的是()A ．“m >1”是“曲线C 表示圆”的充要条件B ．当m ＝33时，直线l 与曲线C 表示的圆相交所得的弦长为1C ．“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件D ．当m ＝－2时，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1有两个公共点答案C解析对于A ，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0⇒(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2－1，曲线C 表示圆，则m 2－1>0，解得m <－1或m >1，所以“m >1”是“曲线C 表示圆”的充分不必要条件，A 错误；对于B ，当m ＝33时，直线l ：x ＋3y ＋1＝0，曲线C ：(x ＋2)2＋(y ＋33)2＝26，圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋3×（－33）＋1|1＋3＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝226－25＝2，B 错误；对于C ，若直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－m 2＋3|9＋m 2＝m 2－1，解得m ＝±3，所以“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当m ＝－2时，曲线C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝3，其圆心坐标为(－2，2)，r ＝3，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1的圆心距为（－2－0）2＋（2－0）2＝22>3＋1，故两圆相离，没有公共点，D 错误．故选C.6．(2024·山东淄博期末)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx －2，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线l 1，l 2，使得l 1⊥l 2，则实数k 的取值范围是()A ∞，－43∪[0，＋∞)B ∞，－43∪[0，1)C ∞，－43∪[1，＋∞)D ．－43，1答案A解析圆心C (1，0)，半径r ＝2，设P (x ，y )，因为两切线l 1⊥l 2，如图，设切点为A ，B ，则PA ⊥PB ，由切线性质定理，知PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，|PA |＝|PB |，所以四边形PACB 为正方形，所以|PC |＝2，则点P 的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆，方程为(x －1)2＋y 2＝4，直线l ：y ＝kx －2过定点(0，－2)，直线方程即kx －y －2＝0，只要直线与点P 的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d ＝|k －2|k 2＋1≤2，解得k ≥0或k ≤－43，即实数k ∞，－43∪[0，＋∞)．故选A.7．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C解析解法一：令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式，化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.故选C.解法二：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，整理得(x －2)2＋(y －1)2＝9，令x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x －y ＝3cos θ－3sin θ＋1＝32cos 1，因为θ∈[0，2π]，所以θ＋π4∈π4，9π4，则当θ＋π4＝2π，即θ＝7π4时，x －y 取得最大值32＋1.故选C.解法三：由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故选C.8．(2023·甘肃酒泉三模)若直线3x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，动点P 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，则△ABP 面积的取值范围是()A ．[2，32]B ．[3，23]C ．[3，33]D ．[22，32]答案C解析如图所示，因为直线3x －y －3＝0与坐标轴的交点A (3，0)，B (0，－3)，则|AB |＝3＋9＝23，圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心为C (0，1)，半径为r ＝1，则圆心C (0，1)到直线3x －y －3＝0的距离为d ＝|－1－3|3＋1＝2，所以圆x 2＋(y －1)2＝1上的点P 到直线3x －y －3＝0的距离的最小值为d －r ＝2－1＝1，最大距离为d ＋r ＝2＋1＝3，所以△ABP 面积的最小值为12×23×1＝3，最大值为12×23×3＝33，即△ABP 面积的取值范围为[3，33]．故选C.二、多项选择题9．(2024·湖北武汉期末)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b.若圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则b的可能值为()A．－1B．－2C．1D．2答案BD解析由圆x2＋y2＝4，可得圆心为(0，0)，半径为2，要使圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则圆心到直线的距离为1，所以|b|2＝2－1，所以b＝± 2.故选BD.10．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则() A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2答案ABD解析对于A，因为两圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为|1＋1| 2＝2，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2，D正确．故选ABD.三、填空题11．(2023·广东深圳校考二模)过点(1，1)且被圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0所截得的弦长为22的直线方程为________．答案x＋y－2＝0解析圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆心为(2，2)，半径r＝2，若弦长l＝22，则圆心到直线的距离d＝2，显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0，所以d＝|2k－2－k＋1|k2＋（－1）2＝2，解得k＝－1，所以直线方程为x＋y－2＝0.12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．答案8解析圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.因为|C1C2|>r1＋r2，所以圆C1与圆C2外离．又A 为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.13．(2024·浙江校考模拟预测)已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1，则过点MC1，C2都相切的直线方程为________(写出一个即可)．答案x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)解析若过M的切线斜率不存在，即为x＝2，此时显然与两圆都相切；若过M的切线斜率存在，不妨设为y－43＝k(x－2)，则C1(0，0)，C2(3，2)到y－43＝k(x－2)的距离分别为d1＝|2k－43|k2＋1＝2，d2＝|k－23|k2＋1＝1，解得k＝－512，即y－43＝－512(x－2)，即5x＋12y－26＝0.综上，过M且与两圆都相切的直线方程为x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)．14．(2024·云南大理一模)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，过点A(1，1)的相互垂直的两条直线分别交圆C于点M，N和P，Q，则四边形MQNP面积的最大值为________．答案7解析圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，点A(1，1)在圆C内部，设圆心C到直线PQ和MN的距离分别为d1，d2，则有|PQ|＝24－d21，|MN|＝24－d22，且d21＋d22＝|CA|2＝1，所以四边形MQNP的面积S＝12|PQ|·|MN|＝24－d21·4－d22≤7，当且仅当d1＝d2＝22时，等号成立，故四边形MQNP面积的最大值为7.四、解答题15．(2024·辽宁大连月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．解(1)由题意知，圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，则圆心到直线的距离为d＝r，即|2k－3－4k－1|1＋k2＝2，解得k＝－34，所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3－3|2＝ 2.故所求弦长为2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.16．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．解(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题意，得CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故直线l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为|－8|12＋32＝4105，所以|PM |＝2＝4105，所以S △POM ＝12×4105×4105＝165.17．(多选)(2023·重庆一中模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5，5)作圆E 的两条切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中正确的是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与圆E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与圆E 交于G ，H 两点，则当△EHG 的面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2，1)，半径为2，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5，5)，所以|PE |＝（5－2）2＋（5－1）2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F ＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0，0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S ＝12EH ·EG sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取最大值2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．故选ABD.18．(2023·福建龙岩统考二模)已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝2上一个动点，且直线l 1：m (x －3)－n (y －2)＝0与直线l 2：n (x －2)＋m (y －3)＝0(m ，n ∈R ，m 2＋n 2≠0)相交于点P ，则|PM |的最小值是____________．答案2解析由两直线方程可知，l 1，l 2分别过定点A (3，2)，B (2，3)，且两直线互相垂直，设AB的中点为O ，则如图所示，则两直线的交点P 的轨迹为以O 为圆心，AB 为直径的圆O ，|AB |＝2，|OC |＝522，可知两圆相离，设直线OC 交圆C 于点E ，交圆O 于点D ，显然|PM |≥|ED |＝|OC |－|CE |－|OD |＝522－2－22＝ 2.。

高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系通用版

高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系通用版【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1. 圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，方程表示圆心为(),C a b ，半径为r 的圆。

2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x⑴当0422>-+F E D 时，表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的圆； ⑵当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ⑶当0422<-+F E D 时，它不表示任何图形。

3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x 和2y 的系数相同，都不等于０；②没有xy 这样的二次项。

二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①2x 和2y 的系数相等且不为零，即0A C =≠；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+F E D ，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。

4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩()*，并且对于t 的每一个允许值，由方程组()*所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程组()*就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。

cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩()θ为参数表示圆心为()a ，b ，半径为r 的圆。

5. 直线与圆的位置关系： ⑴点与圆的位置关系：若圆()()222x a y b r -+-=，那么点()000,P x y 在⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020)()()()()()(r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。

高考数学考点总复习课件第55讲直线与圆、圆与圆的位置关系

A．相交
B．相离
C．相切
D．无法确定
【解析】因为 d＝450＝8<10＝r，所以直线与圆相交．
2.以点(2，－1)为圆心，且与直线 3x－4y＋5＝0 相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
【点评】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2 项得到．
素材2
若⊙O：x2＋y2＝5 与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 4 .
综上所述，动圆圆心轨迹方程是 x2＝4(y＋1)(y＞0)及 x2＝－4(y－1)(y＞0)，其轨迹为两条抛物线位于 x 轴上方的部分．作简图如图所示．
(2)假设直线 l 存在，可设 l 的方程为 y＝31x＋b，依题意，它与曲线 x2＝4(y＋1)交于点 A、D，与曲线 x2＝－4(y－1) 交于点 B，C.
相切② 圆与直线相离③
相交④
(几何法)．
2
判别式法：由方程组
Ax By x a2
C y
0 b2
r2
得关于x(或y)的一元二次方程，则判别式
0⑤ 0⑥
0⑦
(代数法)．
3直线与圆相离时，圆上各点到直线的距离
中的最大值和最小值的求法可用线心距法．
4 直线与圆相交时，弦长的求法可利用弦心
7x－y－15＝0 (3)由x－12＋y－22＝2
，解得 A(152，95)．

直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题及高考题和答案

直线与圆、圆与圆位置关系【考纲说明】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。

2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

【知识梳理】一、直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法（1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式24b ac ∆=-0∆>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点0∆=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点0∆<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点2、圆的切线方程若圆的方程为222x y r +=，点P 00(,)x y 在圆上，则过P 点且与圆222x y r +=相切的切线方程为2o o x x y y r +=.经过圆22()()x a y b r -+-=上一点P 00(,)x y 的切线方程为222()()22o o x x y y a b r ++-+-=. 3、直线与圆相交直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有2224l r d =+，即l =二、圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。

2、判断圆与圆的位置关系常用方法（1）几何法：设两圆圆心分别为12,O O ，半径为1212,()r r r r ≠，则1212OO r r >+⇔圆1O与圆2O 相离⇔有4条公切线 1212OO r r =+⇔圆1O与圆2O 外切⇔有3条公切线 121212||r r OO r r -<<+⇔圆1O与圆2O 相交⇔有2条公切线 1212||OO r r =-⇔圆1O与圆2O 内切⇔有1条公切线 1212||OO r r <-⇔圆1O与圆2O 内含⇔有0条公切线. （2）代数法：方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩ 有两组不同的实数解⇔两圆相交；有两组相同的实数解⇔两圆相切；无实数解⇔两圆外离或内含。

高考数学复习讲义：圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系

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[方法技巧]
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 2 方法
几当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，何即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即法可求出k的值，进而写出切线方程代当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，数即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一法元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
d＝|－11＋＋k32k|＝1，|－1＋ 3k|＝ 1＋k2，解得 k＝0 或 k＝ 3，
故选 D. 答案：D
返回
弦长问题
[典例] 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋y2－4x＝0 及点 A(－1,0)，B(1，2)．
2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2 返回
＝1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1＝0 对称，则圆 C2
的方程为
()
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
C 到直线 x＋y＋2＝0 的距离为|2＋22|＝2 2，可得 dmax＝2 2＋
r＝3 2，dmin＝2 2－r＝ 2.由已知条件可得|AB|＝2 2，所以 △ABP 面积的最大值为12|AB|·dmax＝6，△ABP 面积的最小值
为12|AB|·dmin＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．答案：A
(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
返回
[解] 由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，
所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，

2023版高考数学一轮总复习：圆的方程及直线圆的位置关系课件文

第九章
直线和圆的方程
第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系
要点提炼
考点1
圆的方程
1. 圆的定义与方程
定长
(a,b)
考点1
圆的方程
规律总结
(1)若没有给出r>0,则圆的半径为|r|.

2
2
2
2
(2)在圆的一般方程中:当D +E -4F=0时,方程x +y +Dx+Ey+F=0表示一个点(- ,- );
( ✕)
( √ )
(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.
( ✕)
(5)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.
( ✕)
(6)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的
直线方程.
( √ )
(7)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直
R-r<d <R+r
____________
___________
d_________
>R+r ___________
_____
4
_____
3
________
2
1
0
考点3
圆与圆的位置关系
2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0
(*),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
y2=1,即x2+y2-2x=0.

高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－－12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)，即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410，所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B

高三数学知识点总结35之29：圆的方程和直线与圆的位置关系

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一．圆的三种方程（1）方程)0()()(222>=-+-r r b y a x 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程. （2）方程022=++++F Ey Dx y x .①当0422>-+F E D 时，表示圆，圆心为)2,2(E D --，半径为2422FE D -+，称为一般方程.②当0422=-+F E D 时，表示点).2,2(E D --③当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程是).2,0[,sin cos πααα∈⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 其中α是以圆心C 为顶点且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角.参数方程可用来解决与圆有关的最值问题.例：若实数y x ,满足，014222=+-++y x y x 求y x 43-的范围.答：].1,21[-- 注1：求圆的方程的主要方法：1．代数法：利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于r b a ,,或F E D ,,的方程组．2. 几何法：利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)圆心和圆上任一点的距离等于半径.(4)两圆相切时，切点与两圆心三点共线. 注2：半圆问题.例:若直线b x y +=与曲线21y x -=恰有一个交点，则实数b 的取值范围是_________．答：11|{≤<-b b 或}2-=b 注3：阿波罗尼斯圆：平面内到两个定点B A ,的距离之比)1,0(≠>=λλλMBMA的点M 的轨迹是一个圆.二．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-位置关系的判断方法 ①点在圆内⇔<⇔r PC 22020)()(r b y a x <-+- ②点在圆上⇔=⇔r PC 22020)()(r b y a x =-+-③点在圆外⇔>⇔r PC 22020)()(r b y a x >-+-三．直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法（主要方法）：比较圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小 ①⇔>r d 相离；②⇔=r d 相切；③⇔<r d 相交. （2）代数法：联立直线和圆的方程，计算ac b 42-=∆的大小 ①⇔<∆0相离；②⇔=∆0相切；③⇔>∆0相交.四. 圆与圆的位置关系的判断方法位置关系外离外切相交内切内含圆心距与半径的关系 21r r d +> 21r r d += 2121||r r d r r +<<- ||21r r d -=||21r r d -<图示公切线的条数 4 321 0五．计算直线与圆相交的弦长问题主要核心方法：围绕“弦心距，弦长的一半和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）注：代数法：运用韦达定理及弦长公式2221||(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-.(正设直线00()y y k x x -=-） 2221||(1)[()4]A B A B A B AB m y y m y y y y =+-=++-.(反设直线00()x x m y y -=-）六．处理直线与圆相切的问题主要核心方法：围绕“圆心与直线上的点这两点的距离，切线长和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）（1）求切线方程的方法： ①几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值.②代数法：设出切线的方程，利用0=∆，求出未知数的值. 注意：1.设直线方程时要注意直线方程的局限性.如设成点斜式),(00x x k y y -=-要注意讨论斜率不存在的情况；设成斜截式1=+bya x ，要注意讨论直线过原点的情况. 2.点在圆外，有两条切线；点在圆上，只有一条切线；点在圆内，无切线. （2）求切线长的最小值.切线长的最小值=22(r -圆心到直线的距离）七．直线与圆相离的最值问题（1）若直线和圆相离，则圆上的点到直线距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到直线的距离，r 为半径）（2）若点在圆外，则圆上的点到已知点距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到已知点的距离，r 为半径）八．计算两圆相交的弦长问题（1）公共弦所在的直线方程若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D （2）公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.九．处理两圆相切的问题（1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.（2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时).十．用几何意义处理与圆有关的最值问题（1）形如ax by --的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如by ax z +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值.（3）形如22)()(b y a x -+-的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；十一．有用的结论（需要记住）（1）若圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 与x 轴相切，则|;|b r =与y 轴相切，则|;|a r = 与两坐标轴相切，则.||||b a r ==（2）当点),(00y x 在圆222r y x =+上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.200r y y x x =+ 推广：当点),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（3）设点),(00y x P 是圆222r y x =+外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.200r y y x x =+推广：设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（4）以),(),,(2211y x B y x A 为直径的圆的方程为.0))(())((2121=--+--y y y y x x x x （5）圆系方程：①若直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 有两个交点，则过直线与圆的交点的圆可设为：.0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y xλ②若两圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 有两个交点，则过圆与圆的交点的圆可设为：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ（)1-≠λ.注：①1-=λ时，表示两圆的公共弦所在直线的方程.②方程不能表示,2C 留心检验.（6）圆和圆的重要性质①两圆相切时，两圆圆心与切点在同一条线上.②两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的中垂线即为两圆心的连线. （7）圆上有几个点到直线的距离为几的问题假设圆的半径为,r 圆心到直线的距离为,D 圆上的点到直线的距离为d ，则①||d D r -< 0个；②||d D r -= 1个；③d D r d D +<<-|| 2个；④d D r += 3个； ⑤d D r +> 4个（8）过圆内一点的所有弦中，最长的是过该点的直径，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦.1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。

第3讲-圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系

圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系学习提纲1、了解圆的方程2、了解直线和圆、圆与圆的位置关系及其判断标准3、了解圆的切线方程，相交弦方程1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．这个定点叫做圆的圆心，定长称为该圆的半径。

2．圆的标准方程在平面直角坐标系中，设动点(,)P x y ，圆心(,)C a b ，半径为r ，由圆的定义有22()()x a y b r -+-=，即222()()x a y b r -+-=此即为：以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程．特别地，以原点为圆心，半径为(0)r r >的圆的标准方程为222x y r +=3．圆的一般方程有时，我们也把圆的方程写成如下形式220x y Dx Ey F ++++= （*）由于22222240()()224D E D E F x y Dx Ey F x y +-++++=⇔+++= 因此，（*）表示圆的方程，前提是2240D E F +-> 事实上，如2240D E F +-=，方程（*）表示一个点(,)22D E -- 如2240D E F +-<，则方程（*）不表示任何图形．4、点00(,)P x y 与圆222()()(0)x a y b r r -+-=>的位置关系(1)若22200()()x a y b r -+->，则点P 在圆外；(2)若22200()()x a y b r -+-=则点P 在圆上；(3)若22200()()x a y b r -+-<，则点P 在圆内． 5．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：直线方程与圆的方程联立，化简得一元二次方程，令其判别式为∆，则0∆<⇔相离； 0∆=⇔相切； 0∆>⇔相交；(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d r <⇔相交； d r =⇔相切； d r >⇔相离．6．圆与圆的位置关系的判定设⊙1C ：2221111()()(0)x a y b r r -+-=>， ⊙2C ：2222222()()(0)x a y b r r -+-=>，则有： 1212||C C r r >+⇔⊙1C 与⊙2C 相离；1212||=C C r r +⇔⊙1C 与⊙2C 外切；121212||||r r C C r r -<<+⇔⊙1C 与⊙2C 相交；121212||||()C C r r r r =-≠⇔⊙1C 与⊙2C 内切；1212||||C C r r <-⇔⊙1C 与⊙2C 内含；一条规律过圆外一点M 可作两条直线与圆相切，求切线方程时，可先设出方程，再用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出切线的斜率．求直线被圆所截得弦长的两种常用方法(1)几何方法圆心到弦所在直线的距离、半弦长、半径构成直角三角形，用勾股定理．(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式 222||1||1()4A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． CA B D7、切线方程，切点弦方程，相交弦方程（1）点00(,)P x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上，则过P 的切线之方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--=（2）点00(,)P x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>外，则过P 可作两条切线，设切点为,A B ，则切点弦AB 所在直线的方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3）如果圆22211:()()C x a y b r-+-=与22222:()()C x c y d r -+-=交于,A B 两点，则相交弦AB 所在直线的方程为 22222212()()[()()]x a y b x c y d r r -+---+-=-例1（1）若点(1,1)在圆22()()4x a y a -++=的内部，则实数a 的取值范围是( )．A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a >或1a <-D ．1a =±（2）方程(1)(7)(2)(10)0x x y y --+--=表示什么曲线？【解】（1）因为点(1,1)在圆的内部，∴22(1)(1)4a a -++<∴11a -<< （2）(1)(7)(2)(10)0x x y y --+--=22812270x y x y ⇒+--+=22(4)(6)25x y ⇒-+-=故，原方程表示的曲线为以点(4,6)为圆心，5为半径的圆。

圆的方程、直线与圆的位置关系

例 4 . 已知圆满足 ① 截 y轴所得弦长为 2 ； ② 被 x轴分成两段圆
弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线 l : x-2y 0 的距离为 5
5 求该圆的方程为.
题型二：直线与圆的位置关系
考点1.直线与圆位置关系的判定
例 5 . 直线 l : mx y 1 m 0 与圆 C ： x2 ( y 1)2 5
例13.若直线 y x b与曲线 x 1 y2 恰有一个公共点，求 b
的取值范围？
题型二：确定参数的值或取值范围
例13.若直线 y x b与曲线 x 1 y2 恰有一个公共点，求 b
的取值范围？
定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
方程
圆心：(_a_，__b_)_ 半径：r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心：－D2 ，－E2
方程 (D2＋E2－4F＞0)
半径：r＝ D2＋E2－4F 2
注：确定圆心位置的方法： • ①圆心在过切点且与切线垂
是（）. A.相交
B.相切
C.相离
的位置关系 D.不确定
例 5 . 直线 l : mx y 1 m 0 与圆 C ： x2 ( y 1)2 5 的位置关系
是（）. A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
例8.从直线 l : x y 1 上一点 P 向圆 C : x2 y2 4x 4y 7 0
【解析】方法一：设所求圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2 ，

由题意得

圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理[1]

直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题知识梳理一、直线的方程1、倾斜角：范围0≤α＜180，若x l //轴或与x 轴重合时，α=00。

若l x ⊥轴时，α=900。

2、斜率： k=tan α 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） P 2（x 2,y 2）⇒k=1212x x y y --当1x =2x 时，α=900，k 不存在。

α为锐角时，k>0; α为钝角时，k<0;几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0 ③平行于x 轴：y=b④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx 或x=0⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5．过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6．点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=. 注：（1）．两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2221BA C C d +-=.二、有关圆的基础知识要点归纳1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2．圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()0222>=-+-r r b y a x ，其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r y x =+；3．圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D ； ② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项 ③ 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件是0≠=C A 且0=B ； //////// 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是0≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D4．圆的参数方程① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==r y r x 为参数）； ② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数）； 5．圆方程之间的互化 022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D配方⇔44222222F E D E x D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+即圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E ，D ，半径F E D r 42122-+=⇔利用()()222sin cos r r r =+θθ得θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数）6．点与圆的位置关系设圆()()222:r b y a x C =-+-，点()00,y x M 到圆心的距离为d ，则有：(1)r d >⇔点M 在圆外； (2)r d = ⇔点M 在圆上； (3)r d < ⇔点M 在圆内． 7．直线与圆的位置关系设圆()()222:r b y a x C =-+-，直线l 的方程为0=++C By Ax （B A ,不全为0），圆心()b a ,，判别式为△，则有：(1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断 ①r d < ⇔直线与圆相交；②r d =⇔直线与圆相切；③ r d >⇔直线与圆相离；(2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 ① △＞0⇔有两组不同的实数解⇔ 直线与圆相交； ② △=0⇔有两组相同的实数解⇔ 直线与圆相切； ③ △＜0⇔无实数解⇔ 直线与圆相离.(3) 直线与圆相交的弦长问题①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有2222r d l =+⎪⎭⎫⎝⎛.③弦长公式：设直线交圆于()()2211,,,y x B y x A ，则B A AB x x k AB -⋅+=21或B A y y k AB -⋅+=211. (4) 圆的切线方程：① 设切点公式法：已知圆2221:r y x O =+；()()2222:r b y a x O =-+-；0:223=++++F Ey Dx y x O ，则以()00,y x M 为切点的圆1O 切线方程为：200r y y x x =+；圆2O 切线方程为：()()()()200r b y b y a x a x =--+--；圆3O 切线方程为：()()0220000=++++++F y y E x x D yy xx . ②设切线斜率用判别式法：用点斜式写出直线方程并与圆方程联立方程组，消x（y ），再用判别式0=∆解出切线斜率k ；若点在圆上，切线一条，点在圆内无切线，点在圆外，有两条切线；对切线斜率不存在的情况，可单独考虑。

高中数学《圆的方程与直线、圆的位置关系》复习和习题课件PPT

知识清单
知识点二直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
（2）若直线y=kx+m与圆( − ) +( − ) = 相交于( , )，
( , )两点，则直线被圆截得的弦长为 =
+ − .
（3）以圆 + = 上一点( , )为切点的切线方程为 + =
.
典例精析
例
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§第三节圆的方程与直线、圆的位置关系
（复习+习题练习）
真题在线
知识清单
知识点一圆的方程
1.圆的方程
圆的方程如表8-3所示.
知识清单
知识点一圆的方程
2.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系的常见方法有以下两种：
（1）几何法：比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小关系.
> ⟺点在圆内；
= ⟺点在圆上；
< ⟺点在圆外.
（2）根据点的坐标 0 , 0 与圆的方程 −
0 −
2
+ 0 −
2
> 2 ⟺点在圆外；
0 −
2
+ 0 −

2021艺体生高考数学一轮复习专题22 圆的方程、直线与圆的位置关系(解析版)

专题22 圆的方程、直线与圆的位置关系一、圆的有关概念和方程1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标(),C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=3、圆的一般方程：圆方程为220x y Dx Ey F ++++=（1）22,x y 的系数相同（2）方程中无xy 项（3）对于,,D E F 的取值要求：2240D E F +-> 4、确定圆的方程的方法和步骤;确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程. 5.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 二、直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则： ① 当r d >时，直线与圆相交 ② 当r d =时，直线与圆相切 ③ 当r d <时，直线与圆相离（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。

设直线：0Ax By C ++=，圆：220x y Dx Ey F ++++=，则：22Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩消去y 可得关于x 的一元二次方程，考虑其判别式的符号 ① 0∆>，方程组有两组解，所以直线与圆相交 ② 0∆=，方程组有一组解，所以直线与圆相切 ③ 0∆<，方程组无解，所以直线与圆相离2、直线与圆相交：弦长计算公式：2222AB AM r d ==-3、直线与圆相切：（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径三、方法技巧1、是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.2、求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程. ③几何法：利用圆的几何性质列方程.④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.例1、(2017镇江期末）圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的标准方程为________．【答案】. (x －1)2＋(y ＋4)2＝8【解析】解法1 设圆心为(a ，－4a )，则有r ＝|a －4a －1|2＝a －32＋－4a ＋22，解得a ＝1，r ＝22，则圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.解法2 过点P (3，－2)且垂直于直线x ＋y －1＝0的直线方程为x －y －5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，则圆心坐标为(1，－4)，半径为r ＝1－32＋－4＋22＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.变式1、(2017苏州暑假测试）圆心在抛物线y ＝12x 2上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为________．【答案】(x ±1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 【解析】思路分析求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与y 轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径．因为圆心在抛物线y ＝12x 2上，所以设圆心为(a ，b )，则a 2＝2b .又圆与抛物线的准线及y 轴都相切，故b ＋12＝|a |＝r ，由此解得a ＝±1，b ＝12，r ＝1，所以所求圆的方程为(x ±1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 变式2、(2019苏州期末）在平面直角坐标xoy 中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________．【答案】. (x －5)2＋(y －2)2＝17【解析】思路分析由圆心既的线段AB 的垂直平分线上，又在直线x －2y －1＝0上，先求出圆心的坐标．线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫52，92，斜率k AB ＝1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－⎝⎛⎭⎫x －52，即x ＋y ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，x －2y ＝1，得圆心C(5，2)，半径r ＝CA ＝17，圆C 的方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17. 解后反思因为圆的标准方程中有三个待定量，所以只要建立一个含三个方程的方程组．设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，（4－a ）2＋（6－b ）2＝r 2，a －2b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2，r 2＝17.所以圆的方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17.变式3、(2018镇江期末）已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为________．【答案】 (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18【解析】由几何知识可知，圆心C 在圆 x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0的圆心与原点的连线y ＝x 上，又在OA 的垂直平分线y ＝－3上，所以C(－3，－3)，易得圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.例2、（2016年江苏高考）. 在平面直角坐标系xoy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为．【答案】2555【解析】圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－f(3r(5,5)2)＝2555. 变式1、(2017扬州期末）已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长度为________. 【答案】. 23【解析】圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，由垂径定理得AB ＝2R 2－d 2＝24－1＝23，故弦AB 的长度为2 3.变式2、(2019苏锡常镇调研（二））过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为．【答案】..21【解析】因为1222-=-=OP r OP PA ，所以当OP 最小时，切线长PA 最小.OP 的最小值即点O 到直线l 的距离2)1(120022=-+--=d ，所以1min =PA ，此时PAB ∆为等腰直角三角形，所以PAB ∆的面积.2121=⨯⨯=PB PA S例3、(2018苏州暑假测试）已知点A(1，0)和点B(0，1)，若圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0上恰有两个不同的点P ，使得△PAB 的面积为12，则实数t 的取值范围是________．【答案】：⎝⎛⎭⎫12，92思路分析题设“圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0上恰有两个不同的点P ，使得△PAB 的面积为12”等价于“圆上有且只有两个点到直线AB 的距离为22”，进而思考圆心到直线AB 的距离在什么范围内符合题意．圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝5－t ，设点P 到直线AB 的距离为h ，则S △PAB ＝12×2×h ＝12，解得h ＝22，而圆心到直线AB 的距离为2，欲使得圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0上恰有两个不同的点P ，使得△PAB 的面积为12，则需要圆上有且只有两个点到直线AB 的距离为22，故圆的半径5－t ∈⎝⎛⎭⎫2－22，2＋22，解得t ∈⎝⎛⎭⎫12，92. 变式1、(2019苏锡常镇调研（一））若直线l ：ax ＋y －4a ＝0上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤－33，33 ．【解析】记线段AB 的中点为M ，因为△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，所以点C 在以M 为圆心，半径为1的圆上，又因为点C 在圆O 上，所以圆M 和圆O 有公共点，即0≤OM≤2，故圆心O 到直线l 的距离d ＝|－4a|a 2＋1≤2，解得－33≤a≤33，所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33. 变式2、(2019通州、海门、启东期末）在平面直角坐标系xoy 中，已知A(0，a)，B(3，a ＋4)，若圆x 2＋y 2＝9上有且仅有四个不同的点C ，使得△ABC 的面积5，则实数a 的取值范围是________．【答案】. ⎝⎛⎭⎫－53，53 【解析】因为A(0，a)，B(3，a ＋4)，所以AB ＝5，直线AB 的方程为y ＝43x ＋a ，因为S △ABC ＝12AB·h ＝52h＝5，故h ＝2，因此，问题转化为在圆上存在4个点C ，使得它到直线AB 的距离为2.因为圆的半径为3，因此，圆心O 到直线AB 的距离小于1，即：|3a|5<1，解得－53<a<53.例4、(2019镇江期末）已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为________．【答案】－2≤a≤2.【解析】思路分析考察点P 的轨迹C ，轨迹C 与圆M 有公共点．利用圆与圆的位置关系求解．由PA ⊥PB ，PA ⊥AO ，PB ⊥OB ，PA ＝PB ，得四边形PAOB 是正方形，所以P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆．又点P 也在圆M 上，所以OM≤2＋2，得a 2＋22≤8，解得－2≤a≤2.变式1、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】 [ 思路分析：根据条件可得动点M 的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理.解题过程：设),(y x M ，因为2210,MA MO +≤所以10)2(2222≤+++-y x y x ，化简得03222≤--+x y x ，则圆012:22=-++x y x C 与圆032:22'=--+x y x C 有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为21-=x ，代入03222≤--+x y x 可得2727≤≤-y ，所以点M 的纵坐标的取值范围是[．变式2、(2018南京、盐城一模）在平面直角坐标系xoy 中，若直线y ＝k(x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP →＝3OQ →，则实数k 的最小值为________．【答案】－3【解析】思路分析由于点Q 在圆上运动，导致点P 也随之移动，所以可以根据OP →＝3OQ →，得出点P 的轨迹方程，从而转化为直线与曲线的位置关系问题．设点P(x ，y)，由OP →＝3OQ →可得Q ⎝⎛⎭⎫x 3，y 3.又点Q 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，可得⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 3－12＝1，即x 2＋(y －3)2＝9，所以点P 既在圆x 2＋(y －3)2＝9上，又在直线y ＝k(x －33)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d ＝||－3－33k 1＋k 2≤3，解得－3≤k≤0.例5、(2019宿迁期末）已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x －a ＋1)2＋(y －a －2)2＝1上存在点M 满足MA →·MB →＝3，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 [－2，1]【解析】解法1(坐标法求轨迹) 设M(x ，y)，因为MA →·MB →＝3，所以点M 的轨迹方程为(－1－x ，－y)·(1－x ，－y)＝3即x 2＋y 2＝4，表示圆．又因为点M 在圆(x －a ＋1)2＋(y －a －2)2＝1上，所以两圆有交点，所以2－1≤（0－a ＋1）2＋（0－a －2）2≤1＋2，即a 2＋a －2≤0，解得－2≤a≤1.解法2(基底法求轨迹) 3＝MA →·MB →＝(MO →＋OA →)·(MO →＋OB →)＝(MO →＋OA →)·(MO →－OA →)＝MO →2－OA →2＝MO →2－1，所以|MO →|＝2，所以点M 在以O 为圆心，2为半径的圆上．又因为点M 在圆(x －a ＋1)2＋(y －a －2)2＝1上，所以两圆有交点，所以2－1≤（0－a ＋1）2＋（0－a －2）2≤1＋2，即a 2＋a －2≤0，解得－2≤a≤1. 解后反思解法2的本质是极化恒等式：3＝MA →·MB →＝14＝14＝14＝MO →2－OA →2＝MO →2－1.其中极化恒等式：a ·b＝14a ＋b )2－(a －b )2]，a ，b 为共起点的两个向量，此公式源于2016年江苏高考第13题的应用．变式、(2019无锡期末）已知点 P 在圆 M: (x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1 上， A ，B 为圆C: x 2 ＋(y －4)2 ＝4上两动点，且AB ＝23，则 PA →·PB →的最小值是________．【答案】 19－122【解析】设弦AB 的中点为D ，则PA →＝PD →＋DA →，PB →＝PD →＋DB →，所以PA →·PB →＝(PD →＋DA →)·(PD →＋DB →)＝PD →2＋PD →·(DA →＋DB →)＋DA →·DB →＝PD →2－3因为|CD|＝|AC|2－⎝⎛⎭⎫|AB|22＝1，所以点D 在以C 为圆心，1为半径的圆上故PD min ＝MC min －CD －PM ＝MC min －2又因为|MC|＝（a －0）2＋2＝2a 2－12a ＋36＝2（a －3）2＋18≥32故|PD|≥32－2，所以 PA →·PB →≥(32－2)2－3＝19－12 2.1. 若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是．【答案】0≤m ≤10【解析】因为22(1)(2)1x y ++-=，所以由题意得：|342|15m -+⨯-≤,化简得55m -≤即0≤m ≤10.2. 在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线012=---m y mx (∈m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．【答案】(x －1)2＋y 2＝2.【解析】由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 3、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xoy 中，已知过点A(2，－1)的圆C 与直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________________．【答案】. (x －1)2＋(y ＋2)2＝2【解析】解法1(几何法) 点A(2，－1)在直线x ＋y ＝1上，故点A 是切点．过点A(2，－1)与直线x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，y ＝－2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以圆心C(1，－2)．又AC ＝（2－1）2＋（－1＋2）2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.解法2(方程法) 由圆心在直线y ＝－2x 上，可设圆心为(a ，－2a)，圆的标准方程为(x －a)2＋(y ＋2a)2＝r 2(r>0)．要确定两个待定量a ，r 2的值，只需建立两个含a ，r 2的等式，建立方程组求解．由圆C 过点A(2，－1)，且与直线x ＋y ＝1相切，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－1＋2a ）2＝r 2，|a －2a －1|2＝r ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a 2－8a ＋5＝r 2，a 2＋2a ＋1＝2r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，r 2＝2.所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 4、(2018苏北四市期末）在平面直角坐标系xoy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r>0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________．【答案】. [2－1，2＋1]【解析】设圆C 1上存在点P(x 0，y 0)满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q(y 0，x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋（y 0－1）2＝r 2，（y 0－2）2＋（x 0－1）2＝1，故只需圆x 2＋(y －1)2＝r 2与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1有交点即可，所以|r －1|≤（1－0）2＋（2－1）2≤r ＋1，解得2－1≤r≤2＋1.5、(2019扬州期末）已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ，Q 两点，则CP →·CQ →＝________．【答案】. 0【解析】解法1(坐标法) 圆心C(2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，（x －2）2＋（y －1）2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即P(2，2)，Q(3，1)，CP →·CQ →＝(0，1)·(1，0)＝0.解法2(定义法) 设弦PQ 的中点为M ，则圆心C(2，1)到直线l ：x ＋y －4＝0的距离d ＝CM ＝|2＋1－4|2＝22，因此MQ ＝R 2－d 2＝1－12＝22.因为CM ＝MQ ，所以∠MCQ ＝π4，从而∠PCQ ＝π2，即有CP →⊥CQ →，所以CP →·CQ →＝0.解法3(极化恒等式法) 设弦PQ 的中点为M ，则圆心C(2，1)到直线l ：x ＋y －4＝0的距离d ＝CM ＝|2＋1－4|2＝22，因此MQ ＝R 2－d 2＝1－12＝22，CP →·CQ →＝(CM →＋MP →)·(CM →＋MQ →)＝(CM →－MQ →)·(CM →＋MQ →)＝CM 2－MQ 2＝12－12＝0.6、、(2019南京、盐城一模）设A ＝{(x ，y)|3x ＋4y≥7}，点P ∈A ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r>0)的两条切线PA ，PB ，若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为________．【答案】. 1【解析】解法1 设圆心为C.因为∠APB ＝2∠APC ，所以∠APC 的最大值为π6，所以PC 的最小值为2r ，则||3×（－1）＋4×0－732＋42＝2＝2r ，即r ＝1.解法2 如图，求出满足使∠APB 最大值的点P 轨迹，连接P 点和圆心，由解法1可知点P 到圆心的距离为2r.点P 满足轨迹(x ＋1)2＋y 2＝4r 2，因为存在唯一最大值．所以该圆和直线3x ＋4y －7＝0 相切，此时满足圆心到直线的距离d ＝2r ，又因为d ＝2，解得r ＝1.7、在平面直角坐标系xoy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．【答案】32【解析】思路分析因为直线l 1，l 2分别经过定点A (0,2)，B (2,0)，且l 1⊥l 2，所以点P 在以AB 为直径的圆C 上．解法1 当k ＝0时，点P (2,2)到直线x －y －4＝0的距离为22；当k ≠0时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2＝0，x ＋ky －2＝0得两直线交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 1＋k 2，2＋2k 1＋k 2，所以点P 到直线x －y －4＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k 1＋k 2－2＋2k 1＋k 2－42＝4⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12，为求得最大值，考虑正数k ，则有k 1＋k 2＝11k＋k ≤12，所以4⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12≤4×322＝3 2.解法2 圆C 的圆心为C (1,1)，半径r ＝ 2.因为圆心C 到直线l ：x －y －4＝0的距离为d ＝|1－1－4|2＝22，所以点P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝3 2.8、(2016扬州期末）已知直线l 过点P (1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．【答案】3x －4y ＋5＝0或x ＝1【解析】当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，即kx －y －k ＋2＝0.因为S ＝12CA ·CB ·sin ∠ACB ＝1，所以122·2·sin ∠ACB ＝1，所以sin ∠ACB ＝1，即sin ∠ACB ＝90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为3x －4y ＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.9、（2018年苏州一模）在平面直角坐标系xoy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．【答案】 32【解析】思路分析 P 在直线AB ：y ＝x ＋4上，设P(a ，a ＋4)，可以求出切点弦CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，易知CD 过定点，所以M 的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值．解法1(几何法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P(a ，a ＋4)，设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，所以PC方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD ：x 2x ＋y 2y ＝4，将P(a ，a ＋4)分别代入PC ，PD 方程，⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋（a ＋4）y 1＝4，ax 2＋（a ＋4）y 2＝4，则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a(x ＋y)＝4－4y ，所以直线CD 过定点N(－1，1)，又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，所以AM 的最大值为⎝⎛⎭⎫－4＋122＋⎝⎛⎭⎫122＋22＝3 2.解法2(参数法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P(a ，a ＋4)，同解法1可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a(x ＋y)＝4－4y ，得a ＝4－4y x ＋y .又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝4xy －x.因为a ＝4－4y x ＋y ＝4x y －x，所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12(除去原点)，所以AM 的最大值为⎝⎛⎭⎫－4＋122＋⎝⎛⎭⎫122＋22＝3 2.10、(2018盐城三模）定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ．【答案】3(,]4-∞-【思路分析】由“,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0”知，动点C 在一条直线上，又因为点C 在圆上，故问题转化为该直线与圆有公共点，此时圆心(0,18)到该直线的距离小于等于半径9.解析：设直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=，设点00(,)C x y ，则点,,A B C 三点到直线m的有向距离分别为1d ==，2d ==，3d ==，由1230d d d ++=得，0=，即0090kx y k --=，又因为点在C圆上，故9d =≤，即34k ≤-.。