解析几何中的简化运算

解析几何中的简化运算

发表时间：2013-04-23T11:33:42.797Z 来源：《教育学文摘》2013年3月总第79期供稿作者：◆杨福强

[导读] 朗读的形式纷繁多样，不一而足，但各种形式的朗读有各自的功能和适用范围。

◆杨福强山东省平度开发区高中266700

在解析几何题目时，经常有这样的感觉，思路易找，但计算量太大，往往只开个头做不出正确结果。因而在教学中引导学生探索简便易行的方法降低运算量，是培养和提高学生分析解决问题能力的重要一环。

下面介绍几种简化解析几何运算的方法和技巧：

一、定义法

与圆锥曲线的焦点、焦半径有关的问题，可用定义简化解题步骤。

例1.已知双曲线16x2-9y2=144，设F1、F2为双曲线的左右焦点，设P在双曲线上且|PF1|.|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。解：∵方程是- =1，∴a=3，c=5；

又||PF1|-|PF2||=6且|PF1|·|PF2|=32，

∴|PF1|2+|PF2|2-64=36，∴|PF1|2+|PF2|2=100，

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴∠F1PF2=90°。

二、点差法

与直线和圆锥曲线相交于弦的中点，与斜率有关的问题，运用点差法可获得简捷而巧妙的解题方法。

例2.已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一弦使它恰好被点P平分，求此弦所在的直线方程。

解：设弦的两端点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），斜率为k，

∵y12=6x1，y22=6x2，

两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2），

∴= 。∵y1+y2=2，∴k=3，

∴所求弦所在直线方程为y-1=(3(x-4)，

即3x-y-11=0。

例3.已知椭圆+y2=1，求过点A（2，1）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。

解：设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），中点为（x，y），则：

+y12=1，+y22=1；两式相减得：

+（y1+y2）（y1-y2）=0

∴＋(y1+y2) =0，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y，

∴x+2y =0；又= ，

∴x+2y =0，∴x2+2y2-2x-2y=0，

∴所求的弦中点的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）。

三、几何法

在解决直线与二次曲线的问题时，若恰当运用平面几何性质可避免烦琐的运算。

例4.在直线L：2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆Q：x2+y2-4x=0引的切线长最短。

解：（x-2）2+y2=4，如图，设切点为A，∴∠PAQ=90°；∵|PA|2=|PQ|2-4，∴当|PQ|最小时|PA|取最小值。

这时PQ⊥l。∵PQ的方程是y= （x-2），

由，

可得P点坐标是

（- ，- ）。

四、对称法

解析几何中有许多题都涉及到对称，如光线反射、角平分线、中垂线等，巧妙运用对称可使思路清晰明了，问题化繁为简。例5.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B与∠C的平分线分别是x=0和y=x，求直线BC的方程。