解析几何中的简化运算

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解析几何中简化运算的方法

Ｐ２ＦＰ一３
Ｂ（，６Ｏ一）和Ｑ（，）ｒ的三个顶点．ａ０为
—
ｌ．２
（）求椭圆的方程；１
（）在椭圆上任取三个不２
＜／、、、
＼
已知椭圆Ｐ，Ｐ，。
使
Ａ
１ｎ＞ｂ＞Ｏ，（，）（）Ａ０６，
Ｐ１一２ＦＰ
（１Ａ）（Ｂ）
）．
（ｃ）（２Ｄ）
轴上，Ａ，又Ｂ两点分别在抛物线及椭圆上．Ａ且Ｂ／轴， △Ｎ／求ＡＢ的周长ｚ的取值范围．
分析圆锥曲线上的点与焦点的连线，可以联想运用圆锥曲
Ｍ横标一．的坐ｚ号
而ＩＮ＝ＩＤＩ１ＤＩＢＩ — ＩＢＢ
，
所以
是一ＢＥ
＝
一
ＩＮ — Ａｌ
ｆＣｆ所以ＡＮＡＢ的周长，Ａ
√ １（一）
题的捷径．
３运用三角知识
ｆｌＺ２
一
分析平面几何知识的运用常涉及长度与
角等知识，本题直线过焦点，可运用圆锥曲线的统定义表示线段长度之间关系，设法通过图形再解设直线ｚ为椭
／－～一一ｅ
、Ｄ＼＼
～
一
中线段长度来表示直线的斜率．
Ｊｌ
０
● －～
一
线的统一定义，繁琐使

简化解析几何运算培养求简思维能力

４［０年期中国数学４２９第６０教育
．
鲎
“ 量几何法 ” 向
¨ 量代数法。和向 ’
杨云显（山东省青岛市城阳区教研室）
高中数学新教材在（（高中课程标准实验教科书・普通数学４（必修）中安排了平面向量的内容，通过平面向量及其应用举》
回归定义、概念。优化解题过程求简思维是建立在对定义、概念深入理解的基础上，掌握几何知识来解决，充分利用平面几何技巧性强、运算量少的特其本质属性，运用相关的概念、定义把对问题的定性分析和定点，起到事半功倍的效果．
、
量计算有机地结合起来，可以使解决问题的思路清晰、运算过程简捷明快．
分析：若按常规方法把方程进行化简，那么求解过程非常点间的距离公式，那么运算量较大，Ａ（１ｏ曰１）一．ｏ）（，ｏ如果运用平面几何知识把ｌＰＩＡ＋复杂，若回归定义，利用双曲线的第二定义来求解就显得非常
由此联想到双曲线的第二定义，即动点Ｐｘ）（，ｙ到定点（，一）１１与到方和，即ｌＰＩ＋ｌＰＩ＝Ａ曰２（尸＋『Ｂｌ＝＋Ｉ，又ｚ：ＩＩＯ）２２ＰｌＤＯ
尸Ｄｃ一＝，所以ＩＰｌ＋ＩｌＡ定直线＋＋４＝０的距离之比为常数、亏ｋ／一，故ｅ／ｋ，由平面几何知识知ｌｊＩ＝Ｉ０Ｉ２３＝、＞１的最小值为２．０
鲤
简化解析几何运算培养求简思维能力

解析几何中优化运算过程的策略

以同理可得曰的坐标为：
ｙ日：一４，ｎ一２，：４，ｎ２＋４，ｎ＋ｌ，ｋａｙ－— ｙＡ－ — ｙＢ：
— Biblioteka ：一１，这样
ＸＡ－－ＸＢ
一ｍ
求出点Ａ的坐标后，不做算理相同的重复运算，直接代换
出点的坐标，可使运算过程大大简化．
Ｘ１Ｘ－ｙ．・
同理可得切线ＰＢ的方程为：），＝ ÷ ＿ｙ：．
②
同的，如果求得斜率为尼。的直线对应的目标函数为。），
由直线方程① 与②过点Ｐ（４，一２），所以有一２＝ｘ．－ｙ
高中版中。？教’ ７０弱ｉ０
一
下圆的情景中类似的问题，先设出Ａ（Ｙ），Ｂ（Ｙ）．
单，而且可回避直线不存在斜率情形的讨论，使后续运算
一
由抛物线方程得寺２，１，所以切线的方程为： ’
ｙ－ｙ＝
路顺畅，为最终攻克难关打好基础．
则斜率为：的另一条直线对应的目标函数就是厂（ｋ）；用
不着重复原先的做法再算一次，这就是明察算理下的一
石二鸟，是优化解析几何运算的常用方法．
例１续解：设直线的方程为ｘ＝ｍ（ｙ一２）＋１，代入抛物线方程化简后得：一４ｍｙ＋８ｍ一４＝Ｑ因为直线与抛物线有一个交点Ｐ（１，２），由韦达定理
例２过点Ｐ（４，一２）作两直线，咫与抛物线＝Ｂｙ分别切于Ａ，Ｂ两点，求直线ＡＢ的方程．

高考数学考点归纳之解析几何计算处理技巧

高考数学考点归纳之解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0，则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ，那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ，可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )，而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直，即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|，则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ，由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小，则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线，由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26，所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，而F (c,0)，则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°，故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227，所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32，故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0，化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)，则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点，则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0，解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。

高中数学学习中的解析几何解题技巧

高中数学学习中的解析几何解题技巧解析几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一项重要内容。

在学习解析几何时，很多学生常常会遇到解题困难的情况。

本文将介绍一些高中数学学习中解析几何解题的技巧，帮助学生更好地应对解析几何题目。

一、利用图形性质确定方程解析几何问题常常涉及到图形的方程，而方程又是解题的基础。

在解析几何问题中，我们可以通过观察图形的性质，来确定方程的形式。

例如，当求解过点A和B的直线方程时，我们可以根据直线的斜率来确定方程的形式。

如果我们已知直线经过点A(-3,5)和B(2,4)，我们可以利用两点间的斜率公式来求解直线的斜率，即\[k = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} = \frac{{4-5}}{{2-(-3)}} = -\frac{1}{5}\]然后可以通过直线的斜率和已知点的坐标，使用点斜式或者斜截式公式得到直线的方程。

二、利用向量运算简化计算在解析几何中，向量是一项重要的工具。

通过向量的加减和数乘等运算，可以简化计算过程。

例如，当求解两条直线的夹角时，我们可以利用向量的点积公式来求解。

设两条直线的方程分别为\[ax+by+c=0\]和\[px+qy+r=0\]，则两条直线的夹角$\theta$满足：\[\cos{\theta}=\frac{{|ap+bq|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}\sqrt{{p^2+q^2}}}}\]通过向量的点积公式，我们可以利用方程的系数来求解直线的夹角，而无需对方程进行直接求解。

三、利用平移旋转变换简化题目解析几何中的平移、旋转等变换是解题过程中常常用到的工具。

通过适当的变换，可以将复杂的题目转化为简单的形式，便于求解。

例如，我们在求解直线与圆的位置关系时，可以通过平移变换将圆心移到坐标原点，从而简化题目。

设直线的方程为$ax+by+c=0$，圆的方程为$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，我们可以通过平移变换将圆的方程转化为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$a$和$b$为圆心的坐标。

“设而不求”在解析几何中的应用

“设而不求”在解析几何中的应用“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．一、巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求[典例1] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．[解析] 法一：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二：(点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . [答案] y ＝±22x 二、中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，此法实质上是“设而不求”的一种方法 [典例2] (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2,2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________．(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________． [解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝⎛⎭⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝⎛⎭⎫－14，－1，又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0. (2)当k ＝0时，显然成立．当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2)．[答案] (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)三、中点弦或对称问题的“点差法”求解 [典例3]已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[解] 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0，因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．(说明最后验证Δ＞0是十分必要的)四、求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，此法实质上也是设而不求[典例4] 已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．[解析] 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ()12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ()x －12，l 2：y ＝－1k()x －12由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. [答案] 8。

高考数学解析几何-第13讲构造同构式方程简化运算

高考数学解析几何第13讲构造同构式方程简化运算知识与方法1.同构式方程“同构式方程”指“结构相同的方程”,是指除了变量不同,其余结构均相同的等式.如11220Ax By C Ax By C ++=⎧⎨++=⎩22(0)A B +≠,两式中除了,x y 的下标不同之外,其余结构完全相同,两式为同构式方程.说明()()1122,,,A x y B x y 两点坐标满足直线方程:0Ax By C ++=，则直线AB 的方程为:0Ax By C ++=.又如21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩(0)a ≠,两式中除了x 的下标不同之外,其余结构完全一致,说明12,x x 为方程20ax bx c ++=的两根,由韦达定理可得:1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2.解析几何中同构式的应用同构思想简化运算的基本思路：构造方程,巧用韦达定理.①构造两个直线方程;②构造一个二次方程的两根（坐标,斜率,定比）.典型例题【例1】已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>内有一点()1,1P ,过P 的两条直线12,l l 分别于椭圆Γ交于,A C 和,B D 两点,且满足,(AP PC BP PD λλ==其中0λ>,且1)λ≠,若λ变化时,AB 的斜率总为14-,则椭圆E 的离心率为______________.【例2】已知拋物线22y px =上三点()2,2,,A B C ,直线AB AC ，是圆22(2)1x y -+=的两条切线,则直线BC 的方程为（）A. 2630x y ++= B.3640x y ++= C.2630x y ++= D.320x y ++=【例3】过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点,交y 轴于P ,若12PA AF λ= ,22PB BF λ=,求证:12λλ+为定值.【例4】在平面直角坐标系中,点()00,M x y 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，从原点O 向圆()()22200:M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ,若直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ,且2122b k k a=-(1)求证:2222||;OP OQ a b +=+(2)求证:22222a b r a b =+.强化训练1.过抛物线21:C y x =上一点()2,4P -作圆222:(2)1C x y +-=的两条切线分别交1C 于点,A B ,求直线AB 的方程.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,离心率为32,又椭圆内接四边形ABCD （点,,,A B C D 在椭圆上）的对角线,AC BD 相交于点11,4P ⎛⎫⎪⎝⎭,且2AP PC =,2BP PD= (1)求椭圆的方程;(2)求直线AB 的斜率.3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为),离心率为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.4.过点()1,1P 的直线l 与椭圆22143x y +=交于点A 和B ,且AP PB λ= .点Q 满足AQ QB λ=-,若O 为坐标原点,则OQ 的最小值为_________________.5.已知抛物线21:C x y =,圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线1C 的准线的距离;(2)已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点）,过点P 作圆2C 的两条切线,交抛物线1C 于,A B 两点,若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ,求直线l 的方程.6.设O 为坐标原点,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32,以椭圆C 的长轴长,短轴长分别为两邻边的矩形的面积为8.(1)求椭圆C 的方程;(2)若,,P Q M 是椭圆上的点,且圆M 与直线,OP OQ 相切,14OP k k ⋅=-,求圆M 的半径.7.已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右焦点是圆22:(1)1E x y -+=的圆心.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,分别交y 轴于点 M N ，.试推断是否存在点P ,使14||3MN =?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内两点,A B ,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r的值.9.已知圆22:()()9M x a y b -+-=,圆心M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上,圆M 过原点且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)设点(0,)(0)Q t t ->,点P （与Q 不重合）在直线:l y t =-上运动,过点P 作C 的两条切线,切点分别为,A B ,求证:AQO BQO ∠=∠.10.已知抛物线2y x =和C ,过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 斜率;（2）求面积ABP ∆的最小值.11.如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB ∆面积的取值范围.参考答案【例1】已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>内有一点()1,1P ,过P 的两条直线12,l l 分别于椭圆Γ交于,A C 和,B D 两点,且满足,(AP PC BP PD λλ==其中0λ>,且1)λ≠,若λ变化时,AB 的斜率总为14-,则椭圆E 的离心率为______________.【答案32e =】【解析】设()11,A x y ,则2211221x y a b +=.由AP PC λ= ,得1111,.x y C λλλλ+-+-⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22221x y a b +=,得()()22112222111x y a b λλλλ+-+-+=.整理,得()()()()2211222222121111x y a b a bλλλλλ++++--++=，即112212x y a b λ-+=①设()22,B x y ,同理可得22221.2x y a b λ-+=②由①②可得直线AB 的方程为2212x y a b λ-+=,所以AB 直线斜率为2214b a -=-,即224a b =,易得椭圆E 的离心率为2e =.【例2】已知拋物线22y px =上三点()2,2,,A B C ,直线AB AC ，是圆22(2)1x y -+=的两条切线,则直线BC 的方程为（）A. 2630x y ++=B.3640x y ++= C.2630x y ++= D.320x y ++=【答案】B【解析】解法1:同构式1+韦达定理由抛物线22y px =过()2,2A ,得22221p p =⨯⇒=,拋物线方程为22y x =.设22,,,22b c B b C c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则():20BC x b c y bc -++=,同理():2220AC x c y c -++=,由AB 与圆相切得1=,整理得231280c c ++=.同理有:231280b b ++=,于是,b c 是方程231280x x ++=的两根,所以84,3b c bc +=-=,得:3640.BC x y ++=故选:B.【注】过拋物线任意两点()()1122,,,x y x y 的直线方程为()121220px y y y y y -++=.解法2：同构式2由抛物线22y px =过()2,2A ,得22221p p =⨯⇒=,拋物线方程为22y x =.设()()1122,,,B x y C x y ,则2112y x =,直线()11:2220AB x y y y -++=,由AB 与圆相切得1=,整理得211380y y +=将2112y x =代入,得1161280x y ++=,即113640x y ++=①同理可得223640x y ++=②①②两式说明：直线3640x y ++=经过,B C 两点而过,B C 两点的直线有且只有一条,故直线BC 的方程为3640x y ++=.故选:B.【例3】过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点,交y 轴于P ,若12PA AF λ= ,22PB BF λ=,求证:12λλ+为定值.【答案】见解析.【解析】证明:设()0,P m ,由21PA AF λ= 得,111,11c m A λλλ⎛⎫⎪++⎝⎭,代入椭圆方程得:()()2222222221120b a c a b a b m λλ-++-=,同理可得:()()2222222222220b a c a b a b m λλ-++-=，所以,,λμ是二次方程()()22222222220b a c a b a b m λλ-++-=的两根,故()22212222222a b a b b a c λλ+=-=--为定值.【例4】在平面直角坐标系中,点()00,M x y 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，从原点O 向圆()()22200:M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ,若直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ,且2122b k k a=-(1)求证:2222||;OP OQ a b +=+(2)求证:22222a b r a b =+.【答案】见解析.【解析】（1）()()2,0,1,0A B ,设()()1122,,,P x y Q x y ,由2122,b k k a=-得212212y y b x x a =-,所以4224221212a y y b x x =.,P Q 在椭圆上,22222222112212122222221,1,1,1x y x y x x y y a b a b a a ∴+=+=∴=-=-,于是22222242212122211x x a b a b b x x a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,即()()2222221212a x a x x x --=,化简得22212x x a +=.所以()22222222222222121212122||2b OP OQ x x y y x x b x x a b a+=+++=++-+=+(2)设直线,OP OQ 的方程分别为1y k x =与2y k x =,过原点O 作圆的切线y kx =,由圆心()00,M x y 到直线0kx y -=的距离等于半径，r =,即()()222001,k r y kx +=-即()22222000020x r k x y k y r --+-=因为12,k k 是方程的两根,所以2220122220y r b k k x r a -==--,所以222220022a yb x r a b +=+因为()00,M x y 在椭圆上,所以2200221x y a b+=,即22222200b x a y a b +=,所以22222a b r a b =+.强化训练1.过抛物线21:C y x =上一点()2,4P -作圆222:(2)1C x y +-=的两条切线分别交1C 于点,A B ,求直线AB 的方程.【答案】4310x y -+=【解析】解法1:()12,4P -,设()()1122,,,A x y B x y 则221212121212AB y y x x k x x x x x x --===+--同理122,2PA Pb k x k x =-=-,直线PA 的方程为()()1422y x x -=-+,即()11220x x y x --+=,由直线PA 与圆相切,1=,即()()22112221x x -=-+,化简得2114310x x -+=,即114310x y -+=.由直线PB 与圆相切，同理可得224310x y -+=.说明()()1122,,,A x y B x y 两点都在直线4310x y -+=上，故直线AB 的方程为4310x y -+=.解法2:由题意知，切线的斜率均存在，设过点()2,4P -且与圆相切的直线方程为()42y k x -=+,即240kx y k -++=,1=,所以22(22)1k k +=+,即23810k k ++=，设12,PA PB k k k k ==,则12,k k 是上面方程的两根,所以12128,13k k k k +=-=,由()242y k x y x ⎧-=+⎨=⎩得2240x kx k ---=,即()()220,2,2x x k x x k +--=≠-∴=+ .设()()1122,,,A x y B x y ,则11222, 2.x k x k =+=+进而1212844433x x k k +=++=-+=()()()1212121216122241533x x k k k k k k =++=+++=-+=-而221212121212ABy y x x k x x x x x x --===+--,直线AB 的方程为()()21121y x x x x x -=+-即()1212y x x x x x =+-,即4133y x =+,即4310x y -+=.解法3:设()()1122,,,A x y B x y ,则()1212:0AB x x x y x x +--=,同理()11:220PA x x y x --+=,由PA 与圆相切得:1=,整理得2113410x x --=,将211y x =代入，得114310x y ++=,同理有:2223410x x --=,于是12,x x 是方程23410x x --=的两根,所以121241, 33x x x x +==-,得:4310AB x y -+=.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,离心率为32,又椭圆内接四边形ABCD （点,,,A B C D 在椭圆上）的对角线,AC BD 相交于点11,4P ⎛⎫⎪⎝⎭,且2AP PC =,2BP PD=(1)求椭圆的方程;(2)求直线AB 的斜率.【答案】(1)2214x y +=,(2)1-【解析】（1）依题意,2222221314c aa b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得2241a b ⎧=⎨=⎩,所求椭圆的方程为22 1.4x y +=(2)设()11,A x y ,则221114x y +=.由2AP PC = ,得11334,.28x y C --⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程2214x y +=,得21213342 1.48x y -⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭整理,得()22111131904216x y x y +-+-=,即111.8x y +=-①设()22,B x y ,同理可得221.8x y +=-②由①②可得直线AB 的方程为18x y +=-,所以AB 直线斜率为1-.3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为),离心率为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【答案】(1)221;94x y +=(2)2213x y +=.【解析】(1)222553,9543c c e a b a c a a ====∴=----=，椭圆C 的标准方程为22194x y +=.(2)若两切线斜率都存在,设切线方程为()00y y k x x -=-,代入椭圆方程得:()()()22200009418940k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦,由判别式为零得:()()()22220000(18)364940k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦,整理得:()2220009240x k x y k y --+-=，所以k 是方程()2220009240x k x y k y --+-=的一个根，同理1k-是方程()2220009240x k x y k y --+-=的另一个根,所以20204119y k k x -⎛⎫⋅-==- ⎪-⎝⎭,即220013x y +=;若两切线中有斜率不存在,则()3,2P ±±,也满足220013;x y +=故点P 的轨迹方程为2213x y +=.4.过点()1,1P 的直线l 与椭圆22143x y +=交于点A 和B ,且AP PB λ= .点Q 满足AQ QB λ=-,若O 为坐标原点,则OQ 的最小值为_________________.【答案】125【解析】设点,,Q A B 的坐标分别为()()()1122,,,,,x y x y x y ,由题设有,,,,PA AQ BQ Q A P B=∣∣四点共线,故可设(),0,1PA AQ PB BQ μμμ==-≠±,于是111111x x y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩①2211 11x x y y μμμμ-⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩②点()11,A x y 在椭圆22143x y +=上,将①代入椭圆方程整理得()()22234122341250x y x y μμ+-++--=③点()22,B x y 在椭圆上，将②代入，同理可得()()22234122341250x y x y μμ+--+--=④由③④知:,μμ-是方程()()22234122341250x y t x y t +--+--=的两根,由韦达定理得34120x y +-=,点Q 的轨迹方程为34120x y +-=,故||OQ 的最小值就是点O 到直线34120x y +-=的距离125d ==.5.已知抛物线21:C x y =,圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线1C 的准线的距离;(2)已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点）,过点P 作圆2C 的两条切线,交抛物线1C 于,A B 两点,若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ,求直线l 的方程.【答案】(1)17;4(2)4y =+.【解析】(1)抛物线21:C x y =的准线为14y =-,圆心(0,4)M ,点M 到准线的距离174d =.（2）解法1:设点()()()222001122,,,,,P x x A x x B x x ,由题意知00120,1,x x x x ≠≠±≠.设过点P 的圆2C 的切线方程为：()00y y k x x -=-,由直线与圆2C相切有()()()22200001124410d x k x y k y ==⇒-+-+--=设,PA PB 的斜率为12,k k ,则()00122241x y k k x -+=-.由于2210101101010y y x x k x x x x x x --===+--,02201201,4AB PM x k x x k x x k y -=+=+==-.因此()000122002414x y x k k x y -+==--,解得20235x =,即235P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以直线l方程为4y =±.解法2:设()()()2221122,,,,,P t t A x x B x x ,由题意得120,1,t t x x ≠≠≠,可得1212,,AB AP BP k x x k t x k t x =+=+=+,所以直线()()21:AP y t t x x t -=+-化简得()11y t x x tx =+-.因为AP 与圆相切,所以1d =,化简得()221116150t x tx -++=同理可得()222216150t x tx -++=.所以12,x x 是方程()2216150tx tx -++=的两根.所以121222615,11t x x x x t t -+==--.又24MPt k t-=,由,1AB MP MP AB k k ⊥⋅=-,解得2235t =.即点P的坐标为235⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以直线l 的方程为31154115y x =±+.6.设O 为坐标原点,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>以椭圆C 的长轴长,短轴长分别为两邻边的矩形的面积为8.(1)求椭圆C 的方程;(2)若,,P Q M 是椭圆上的点,且圆M 与直线,OP OQ 相切,14OP k k ⋅=-,求圆M 的半径.【答案】(1)2214x y +=;(2)r =【解析】(1)由已知得222228c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆的方程为2214x y +=.(2)过原点O 作圆的切线y kx =,设()00,M x y ,圆半径为(0)r r >,由圆心()00,M x y 到直线0kx y -=的距离等于半径,r =,即()()222001k r y kx +=-,即()22222000020x r k x y k y r --+-=,,OP oQ k k 是方程的两根,2222200022041,45OP oQy r x y k k r x r -+∴==-∴=-,因为()00,M x y 在椭圆上，所以222004251,,455x y r r +=∴=∴=.7.已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右焦点是圆22:(1)1E x y -+=的圆心.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,分别交y 轴于点 M N ，.试推断是否存在点P ,使14||3MN =?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2212x y +=;(2)存在点21,2P ⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭满足条件.【解析】(1)设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>,半焦距为c ,因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心,则1c =,又因为22e =,即2a =,从而2221b a c =-=,故椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点()()000,0,(0,),(0,)P x y x M m N n <,则直线PM 的方程为00y my x m x -=+,即()0000y m x x y mx --+=,因为圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1,即()0022001y m x my m x-+=-+,即()()()222220000002y m x y m x m y m x m -+=-+-+,即()2000220x m y m x -+-=,同理()2000220x n y n x -+-=.由此可知,,m n 为方程()2000220x x y x x -+-=的两个实根,所以00002,22y xm n mn x x +=-=---,()()22220000220004444||||()4222y x x y x MN m n m n mn x x x +-=-=+-=+=---因为点()00,P x y 在椭圆C 上,则220012x y +=，220012x y =-则||MN ===,143,则()2029x -=,因为00x <,则01x =-，22001122xy =-=，即0y =故存在点21,2P ⎛-± ⎪⎝⎭满足条件.8.如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内两点,A B ,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB 恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r 的值.【答案】(1));+∞(2)12r =【解析】（1）设4:,(0)5l x ty t =->,代入24y x =,得22166440,16055y ty t -+=∆=->,得t >设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1212164,5y y t y y +==()121212124445y y k k t y y y y ++=+==>,所以12k k +的取值范围是)+∞.（2）由（1）知1211165k k y y ==,设过原点且与圆相切的直线为y kx =,r =,整理得()2221440r k k r --+-=2122451r k k r -==-,得214r =,所以12r =.9.已知圆22:()()9M x a y b -+-=,圆心M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上,圆M 过原点且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)设点(0,)(0)Q t t ->,点P （与Q 不重合）在直线:l y t =-上运动,过点P 作C 的两条切线,切点分别为,A B ,求证:AQO BQO ∠=∠.【答案】(1)28x y =;（2）见解析【解析】（1）∵圆M 与抛物线准线相切,∴32p b =-.又圆过0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭和原点,∴4p b =.∴324p p-=,解得4p =.∴抛物线C 的方程为28x y =.(2)设()()1122,,,,(,1),A x y B x y P m C -方程为211.84y x y x =∴'=,∴抛物线在点A 处的切线的斜率114k x =,∴切线PA 的方程为()11114y y x x x -=-,即()21111184y x x x x -=-,化简得:2111184y x x x =-+,又因过点(,1)P m -,故可得21111184x x m -=-+,即211280x x m --=.同理可得:222280x x m --=.∴12,x x 为方程2280x mx --=的两根,∴12122,8x x m x x +==-.∴()()221212121212121211882208888AQ BQx x x x y y x x m m k k x x x x x x ++++++-+=+=+=+==∴AQO BQO ∠=∠.10.已知抛物线2y x =和C ,过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 斜率;（2）求面积ABP ∆的最小值.【答案】(1)4;3k =(2)23.【解析】（1）抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,设切线PB 的斜率为k ,则切线PB 的方程为:14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即104kx y k --=.1(1)1041k k⋅--⋅-=,解得：43k =±.∵()()0004,1,3P x y y k ∴=（2）设切线方程为y kx m =+,由点P 在直线上得：00y m k x -=圆心C1=,整理得:2210m km --=将(1)代入(2)得:()2000220x m y m x +--=设方程的两个根分别为12,m m ,所以001212002,22y xm m m m x x +==-++,从而12||AB m m =-==,)001||12ABPS AB x x x ∆==≥记函数()2223()(1)(2)x x x g x x x +=≥+,则()22321118()0(2)x x x g x x ++'=>+,()min 2,3PAB ABP S S ∆∆==的最小值为23,当01x =取得等号.11.如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB ∆面积的取值范围.【答案】（1）见解析;(2)4⎡⎢⎣⎦.【解析】(1)设()22120012,,,,,44y y P x y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则PA 中点为20011,282x y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,由AP 中点在抛物线上,可得2201014228y y x y ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得2210100280y y y x y -+-=,显然21y y ≠,且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=,所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根,所以1212002,2M P y y y y y y y y ++====,即PM 垂直于x 轴.(2)()()()120121122M P M M M S x x y y y y x x y y =--+-=--,由（1）可得()()()()222212012000000122,8,248840y y y y y x y x y y x y y +==-∆=--=->≠,此时()00,P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上,∴()()()222000000848414321y x x x x x ⎡⎤∆=-=--=--⎣⎦,∵01210,0,||x y y a -<∴∆>∴-===()()()22222200001212120000428644238888M P y x y x y y y y y y x x x x x x ---+-+-=-=-==()20031x x =--,所以()2301200112M S x x y y x x =--=--=,51,2t ⎡=⎢⎣⎦,所以315104S ⎡=∈⎢⎣⎦,即PAB∆的面积的取值范围是4⎡⎢⎣⎦.21。

解析几何十一种方法

解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。

以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。

2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。

3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。

4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。

通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。

5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。

6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。

7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。

8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。

9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。

10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。

11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。

以上就是解析几何的11种方法。

需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。

操千曲而晓声,观百剑而识器——简化解析几何运算的策略

时，Ａ＝｝为最小；将
直线绕点Ｐ逆时针旋转至相切（，重合）有Ａ＝Ｉ；回转至Ａ（０，一３），Ｂ（０，３）有Ａ－５为最大，故有Ａ＝
— 、Ａ（Ｂ）
０
Ｂ（ａ）
图１
＼
例３．椭圆内车＋车＝１有一点Ｐ（１，１），一直线
为、／的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义．此轨迹
为双曲线．选Ｃ．点评：本题采用了 “ 回归定义”的策略，达到准
确判断、灵活解题、避免大量运算的麻烦．其实，很多解析几何问题都是由定义派生出来的，这时理解定
免繁琐的推理运算，往往事半功倍、别样精彩．
ｆ－Ｏｆｌ－成等差数列，￣Ｂ－ｆ与同向，求双曲线的离
心率．
求简思维是建立在对定义、概念深入理解的基础
上，掌握其本质属性，运用相关的概念、定义对问题
的定性分析和定量计算有机结合起来，可以使运算过程简捷明快，因此我们在解题中若能回归定义，则很
以事半功倍．解析：由、／（ｘ＋３）２＋（ｙ一１）一Ｉｘ — ｙ＋３１＝０，得
一
平分线盼眭质定理得＝槲，再由等比性质可得］＝＝斟＝
１
，
即ｔａｎ０
，由渐近线方程由＝，再
我们备战高考同样如此本文笔者通过认真研究近6年来的广东高考数学选做题发现对几何证明选讲部分内容的考查多集中在与圆相关的性质定理和相似三角形相似三角形的判定和性质定理射影定理圆的切线的判定和性质定理圆周角定理弦切角定理相交弦定理割线定理切割定理圆内接四边形的性质和判定定理等知识上难度不算大一般为中等难度题目

解析几何中减少运算量的常用方法

定义是事物本质属性的概括与反映’ 圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的 & 对某些圆锥曲线问题 & 若采取? 回归定义 @ 的策略& 把定量的计算和定性的分析有机地结合达到准确判断 * 合理运算 * 灵活解题的目的 ’ 例 > 3 年全国卷 B& 已知双曲线 $ $ A C 4
-
R
巧用对称
以美启真
对称既是数学美的主要表现形式& 又是一种重要的数学思想方法 ’ 解析几何中具有对称美的内容可谓比比皆是 & 灵活恰当的应用对称思想能起到优化解题思路和简化解题过程的功效 ’ 特别是普遍化的逻辑意义上的地位对等 & 更能简化一些复杂的解题过程 & 其表现形式如 ? 同理可得 @ 不妨设 @ 等’ * ? 例 R 如图 &在的三个顶点 ST U V T * U * V处分别有动点 W * X * , & 并且它们分别沿射线 T U * 向做匀速直线 U V * V T 运动’ 已知它们同时出发 & 并同时分别到达 U * V * T 图 -
年第 % 期 $ $ Y " == = == = " = 方法技巧 = = = 与维 = " =思 == =" =
中学数学
# A
解析几何中减少运算量的常用方法
# $ $ $ # % 北京宏志中学王芝平张超月
解析几何是在坐标系的基础上 & 用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科 ’ 因此& 代数运算就不可避免地出现在解析几何问题中 ’ 在解决某些解析几何问题时 & 如果方法选择不当 & 往往会导致计算繁琐 & 不仅会浪费宝贵的时间 & 而且还不易得到正确的结果 ’ 那么如何恰当地选择方法 & 减少运算量呢 ( 下面介绍几种常用的方法 & 供同学们参考 ’

解析几何问题中优化运算的技巧策略

ʏ南京大学附属中学于冬解析几何是历年高考中的主干知识点之一,涉及解析几何的考题还经常出现在各种题型中的压轴题位置,运算量大,综合性强㊂优化数学运算,简化解题过程是圆锥曲线问题中追求的一个目标㊂在解答解析几何问题时,合理探究一些必要的策略技巧,选用适当方法,优化数学运算,往往可以收到事半功倍的效果㊂一㊁挖掘内涵,回归定义例1 (2022届辽宁省丹东市高三下学期复习质量测试(二)数学试题)已知圆M经过点(0,1),且与直线y =-1相切,圆心M 的轨迹为曲线C ㊂(1)求曲线C 的方程;(2)经过点N (0,2)且不平行于x 轴的直线与C 交于P ,Q 两点,点P 关于y 轴的对称点为R ,证明:直线Q R 经过定点㊂解析:(1)设圆心M (x ,y ),根据题意可知点M 到点(0,1)的距离与到直线y =-1的距离相等,结合抛物线的定义,可知圆心M 的轨迹是以(0,1)为焦点,y =-1为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为x 2=4y ㊂(2)由题意知直线P Q 的斜率存在且不为0,设直线P Q 的方程为y =k x +2(k ʂ0),P x 1,x 214,Q x 2,x 224,则R -x 1,x 214,联立x 2=4y ,y =k x +2,消去y 整理得x 2-4k x -8=0,则Δ=16k 2+32>0,x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8㊂因为k Q R =x 224-x 214x 2+x 1=x 2-x 14,所以直线Q R 的方程为y -x 224=x 2-x 14(x -x 2),整理得y =x 2-x 14x +x 1x 24,即直线Q R 的方程为y =x 2-x 14x -2,所以直线Q R 经过定点(0,-2)㊂点评:熟练掌握圆锥曲线的定义可以有效解决解析几何问题,回归定义,揭示问题的本质属性,从而直接确定圆锥曲线的类型与对应的方程,为解析几何的进一步分析与解决提供条件㊂充分理清题意,挖掘内涵,回归本源,利用定义,化繁为简,直达目的㊂二㊁数形结合,平几直观例2 (2022届江西省赣州市高三3月摸底考试(一模)数学试卷)在平面直角坐标系x O y 中,A (-2,0),B (2,0),M (-1,0),N (1,0),P 是平面内的动点㊂若以A B为直径的圆O 与以P M 为直径的圆T 内切㊂(1)证明:|P M |+|P N |为定值,并求点P 的轨迹E 的方程㊂(2)设斜率为12的直线l 与曲线E 交于C ,D 两点,试问:在E 上是否存在一点Q ,使得直线Q C ㊁Q D 与y 轴所围成的三角形是底边在y 轴上的等腰三角形若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)依题意有,|O T |=|A B |2-|P M |2=2-|P M |2,如图1,连接P N ,由O 和T 分别是MN 和P M 的中点,可知|O T |=|P N |2,故|P N |2=2-|P M |2,整理得|PM 图1|+|P N |=4,其为定值㊂又因为4>2=|MN |,所以点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,而2a =4,c =1,则有b 2=a 2-c 2=3,故点P 的轨迹E 的方程为x 24+y23=1㊂42 解题篇创新题追根溯源高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(2)假设存在满足条件的点Q ㊂依题意知k Q C +k Q D =0,设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),Q (x 0,y 0),则3x 20+4y 20=12㊂由k Q C +k Q D =0,可得y 1-y 0x 1-x 0+y 2-y 0x 2-x 0=0,整理得x 1y 2+x 2y 1-y 0(x 1+x 2)-x 0(y 1+y 2)+2x 0y 0=0㊂设直线l 的方程为x =2y +t ,代入椭圆方程,整理得16y 2+12t y +3t 2-12=0,由Δ=144t 2-64(3t 2-12)>0得t 2<16,由韦达定理得y 1+y 2=-34t ,y 1y 2=3t 2-1216㊂又因为x 1=2y 1+t ,x 2=2y 2+t ,所以x 1y 2+x 2y 1-y 0(x 1+x 2)-x 0(y 1+y 2)+2x 0y 0=4y 1y 2+(t -2y 0-x 0)(y 1+y 2)-2t y 0+2x 0y 0=3t 2-124-34t (t -2y 0-x 0)-2t y 0+2x 0y 0=14[(3x 0-2y 0)t +8x 0y 0-12]=0,则有(3x 0-2y 0)t +8x 0y 0-12=0,可得3x 0-2y 0=0,8x 0y 0-12=0,解得x 0=1,y 0=32,或x 0=-1,y 0=-32,以上解显然满足3x 20+4y 20=12,所以在E 上存在一点Q ,使得直线Q C ㊁Q D 与y 轴所围成的三角形是以øC QD 为顶角的等腰三角形,此时点Q 的横坐标为ʃ1㊂点评:数形结合法是处理解析几何问题时常用的思想方法之一,可以使某些抽象的解析几何更加直观化㊁生动化,能够变抽象思维为形象思维,还原解析几何的平面几何本质,有助于把握数学问题的本质,构建与之相吻合的关系式,使得问题迎刃而解,直观形象㊂三㊁合理构建,设而不求例3 (2022年江苏省南京市盐城市高考数学二模试题)已知双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)经过点(3,1),且渐近线方程为y =ʃx ㊂(1)求a ,b 的值㊂(2)A ,B ,D 是双曲线C 上不同的三点,且B ,D 两点关于y 轴对称,әA B D 的外接圆经过原点O ㊂求证:直线A B 与圆x 2+y2=1相切㊂解析:(1)依题意可得3a 2-1b 2=1,a =b ,解得a =b =2,所以双曲线C 的方程为x 2-y 2=2㊂(2)易知直线A B 一定不为水平直线,设直线A B 的方程为x =m y +n ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则D (-x 2,y 2),其中y 1ʂy 2,联立x 2-y 2=2,x =m y +n ,消去x 整理得(m 2-1)y 2+2m n y +n 2-2=0,由韦达定理得y 1y 2=n 2-2m 2-1,由于әA B D 的外接圆过原点且关于y 轴对称,设外接圆的方程为x 2+y 2+E y =0,则有x 21+y 21+E y 1=0,x 22+y 22+E y 2=0,所以E =-x 21+y 21y 1=-x 22+y 22y 2,所以y 21+2+y 21y 1=y 22+2+y 22y 2,结合y 1ʂy 2,可得y 1y 2=1,所以y 1y 2=n 2-2m 2-1=1,即n 2=m 2+1,则原点到直线A B 的距离为d =|n |m 2+1=1,故直线A B 与圆x 2+y 2=1相切㊂点评:本题借助直线方程的设置,巧妙融合参数的关系式,采用设而不求法进行整体代换处理,借助相关知识加以综合与应用,合理过渡,巧妙转化,优化运算,从而提升解题效率㊂以上只是结合几类比较常见的破解解析几何问题的技巧策略加以剖析㊂当然,在实际解答解析几何问题时,关键是抓住问题的本质,掌握通性通法 ,结合一些常见的技巧策略,诸如巧引参数㊁整体构建㊁极端策略㊁特例思维等,灵活应用解析几何中的定义㊁方程与几何性质,综合相应的技巧策略,以更加简捷明快的方式来分析与处理问题,优化数学运算,简化解题过程,提升数学能力,培养核心素养㊂(责任编辑王福华)52解题篇创新题追根溯源高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

优化解析几何运算一些方法论文

优化解析几何运算的一些方法摘要：高中学生在学习解析几何知识，在解决相关的问题时感到很困难。

困难的主要原因，在知识体系中，就横向而言，解析几何本身所包含的定义、性质、解题方法繁多复杂，就纵向而言，它又和其它知识（如向量、不等式、二次函数等）之间联系很紧密，除此之外，解析几何是用代数的方法研究图像的问题，集中应用数形结合、方程思想，无论知识内容还是解题的方法，对学生而言都是很困难的。

学生普遍遇到有些解析几何题会做，但用时很多，特别是在考试中，在有限的时间，不敢做。

这是同学们很困惑的一件事，针对解析几何题目运算量大的问题，我想从以下一些试题的解法中，谈一些个人的看法。

关键词：题型、性质、方法中图分类号：g633.63 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）10-051-05直线和圆锥线相交的问题平时我们经常会遇到直线和圆锥线相交的问题。

在解决这类问题时，一般是联立直线和圆锥曲线组成方程组，消x或y得到一个关于x或者y的一元二次方程组，形成两根之和，两根之积，δ＞0，再把题中告知的有关条件，转化成两根之和，两根之积的关系(一般地,由δ＞0确定范围或解决是否存在问题)，来解题。

例1：在直角坐标系中，点p到两点，的距离之和等于4，设点p的轨迹为，直线与c交于a，b两点．（ⅰ）写出c的方程；（ⅱ）若，求k的值；解：（ⅰ）设p（x，y），由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线c的方程为．（ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，故．若，即．而于是，化简得，所以．还有一种是不能转化为两根之和，两根之积的关系，这时要根据题目的条件找到与之间的含参关系，代入两根之积两根之和，消、得到一个关于参数的方程或不等关系解决。

例 2:已知椭圆方程为，过定点的直线交椭圆于不同两点、（点在、之间），且满足，求的取值范围.解：当直线斜率存在时，设直线的方程为代入椭圆方程得由得①设，，则，②又，，即③将③代入②得，消去得整理得由①得解得又又当直线斜率不存在时，方程为，，的取值范围是应该说大多数直线与圆锥曲线相关的问题都可以解决，能掌握到这个程度，同学们的解析几何能力已经很不错了。

明确运算方向,优化运算思路——探析解析几何中的数学运算

作者：江小娟[1]
作者机构： [1]江苏省苏州中学,215008
出版物刊名：数学之友
页码： 59-61页
年卷期： 2021年第2期
摘要：数学运算是解决数学问题的基本手段,数学运算素养的水平体现学生分析问题、解决问题的能力,是学生解决数学问题的必备品质.通过数学运算,促进学生数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成严谨求实的科学态度.因此,数学运算不是简单的"算",更重要的是"运":明确运算方向、优化运算思路、设计运算程序、得到运算结果.下面,笔者从数学运算素养的三个水平,以"解析几何"为例,谈谈如何在数学运算中,先"运"再"算",探究运算思路,求得运算结果.。

高考解析几何问题中优化运算的策略

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高考解析几何问题中优化运算的策略
作者：胡国新张学礼朱永华
来源：《新高考·高三数学》2013年第02期
从各地高考和模拟考试反馈的信息来看，解析几何大题得分均不高.究其原凶，不仅在于
解析几何对于数形结合容易构题，试题富于变化，信息量大，综合性强，运算要求高，而且在于同学们往往选择思维方式最简易、计算量最大的方法，这样字母越来越多，式子越来越繁，消不去，算不到，常被卡，费时多，很难将运算进行到底，导致半途而废.这就引发了笔者对“优化运算”的思考：如何运用恰当方法简化解析计算，优化解题过程？下面笔者以高考和模拟试题为例，将平时归纳的若干策略整理成文，供读者参考。

解析几何中简化运算的常用技巧

解析几何中简化运算的常用技巧技巧一：弦长公式的“巧用”.①直线AB的方程为，与曲线联立后的一元二次方程为，所以直线与二次曲线相交的弦长公式又可以化为：②1.对于公式①在直线弦长的运用.例题1.已知椭圆C（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；（Ⅱ)O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.(1)(2) 由第(1)知 ,设直线与直线：x+2y=4联立得与直线椭圆联立得:点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了弦长公式，该弦长的一个端点在直线上，另一个端点在曲线上，大大简化了计算量.1.对于公式②在直线弦长的运用.例题2. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（I）（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，， .由得 .过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 .故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为 .当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为 .点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了简化后的弦长公式，绕开了韦达定理，大大简化了运算量.技巧二：巧设直线方程在直线与圆锥曲线联立的问题中，设直线的点斜式方程是最常用的一种手段，但具体在已知直线过点设方程的是时候，还是很有讲究.当给定的点不在坐标轴上，最好设直线的斜截式方程，计算完后再代点，可大大简化运算量.当给定的点在坐标轴上的时候，则选择直线的点斜式方程为多.【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．方法二：若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，将之代入椭圆方程得：即显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．点评：本题采用设直线的斜截式方程，大大简化了计算量.若果才用设直线的点斜式方程，则计算量和计算难度会繁琐很多.技巧三：巧用平面几何性质已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A． B．C． D．【解析】设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为OE ＝2ON，所以有＝·，解得e＝＝，故选A．【答案】A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．技巧四：设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E 于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为( )A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.优解：由kAB ·kOM＝－得，×＝－得，a2＝2b2，又a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.【答案】D本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．技巧五巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【解】(1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝)．由已知可得e2＝＝，所以a2＝4b2，即a＝2b，可得c＝b①.S△AFB＝×|AF|×|OB|＝(a－c)b＝1－②.将①代入②，得(2b－b)b＝1－，解得b＝1，故a＝2，c＝.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故有m2＝1＋k2③.由消去y，得x2＋2kmx＋m2－1＝0.由题可知k≠0，即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝④.将③代入④中，得|x1－x2|2＝，故|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝×＝.故△OMN的面积S＝|MN|×1＝××1＝.令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝，代入上式，得S＝2＝＝＝＝＝，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．。

减少解析几何题运算量的六种策略

减少解析几何题运算量的六种策略
<u>减少解析几何题运算量的六种策略</u>
针对解析几何中的运算量多的局面，渊博的学习者应该掌握几项策略，以降低复杂性，减少运算量。

下面主要介绍六种经济有效的策略。

第一种策略是使用对对称的简化技巧。

它试图结合反射、旋转和翻转等操作，以更有效地简化问题。

例如，若我们遇到三角形ABC，以点D在BC边上，要求
绘制M型图形，则可以使用这一技术，翻转ABC经由D为锚点，将ABC沿CD
轴翻转，从未的形象中出发，再绘制类似的ADC。

第二种策略是寻找必要性条件，以加快抓取重要信息的进程。

学习者需要学习推理技巧，弄清问题的本质，确定最关键的信息；另外，还需要利用图形法，快速构建更清晰的问题模型，以节省大量时间。

第三种策略是采用火柴人，也就是说以火柴拼接出图形，预测可能性和排除常见错误，从而练习绘制、计算解答的技能，这样可以使学习者拥有强大的几何思维。

第四种策略是运用共线判定。

这是一种快速而有效的几何判断技术，能够使学习者不断判断直线、圆弧等运算，从而缩减大量运算步骤。

第五种策略是使用数学的方法，主要是依靠高等代数，试图从运算量上求得优化解。

最后，使用几何软件也是得特别提及的一种策略。

这些软件大多具有精确、提示，能够快速有效地完成复杂的几何计算，从而使学习者有更多的精力在其他方面做更多的功课。

以上就是减少解析几何题运算量的六种策略。

它们均可以给学习者以有益的支撑，以降低复杂性，减少运算量。

只有掌握这些策略，才能更好地应对挑战，取得更加满意的成绩。

高考数学复习考点题型专题讲解28 解析几何中优化运算的方法

高考数学复习考点题型专题讲解专题28 解析几何中优化运算的方法1.焦点三角形的面积(1)设P点是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2tanθ2.(2)设P点是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2tanθ2.2.中心弦的性质设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，P为该曲线上异于A，B的点.(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k PA k PB＝－b2a2＝e2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k PA k PB＝b2a2＝e2－1.3.中点弦的性质设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则k AB＝－b2xa2y，k AB·k OM＝－b2a2＝e2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则k AB＝b2xa2y，k AB·k OM＝b2a2＝e2－1.(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则k AB＝py0 .4.圆锥曲线的切线方程设M(x0，y0)为圆锥曲线上的点，(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>1)，则椭圆在M处的切线方程为xxa2＋yyb2＝1.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则双曲线在M处的切线方程为xxa2－yyb2＝1.(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p>0)，则抛物线在M处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).5.与抛物线的焦点弦有关的二级结论过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)两焦半径长为p1－cos θ，p1＋cos θ；(3)1|AF|＋1 |BF|＝2p；(4)|AB|＝2psin2θ，S△AOB＝p22sin θ.类型一优化运算的基本途径途径1 回归定义当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长.例1 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P .若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程. 解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由题设得F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，故结合抛物线的定义可得|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9，从而－12（t －1）9＝52，解得t ＝－78，所以直线l 的方程为y ＝32x －78.途径2 设而不求在解决直线与圆锥曲线的相关问题时，通过设点的坐标，应用“点差法”或借助根与系数的关系来进行整体处理，设而不求，避免方程组的复杂求解，简化运算. 例2 已知点M 到点F (3，0)的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小2. (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点P (m ，0)(m >0)作互作垂直的两条直线l 1，l 2，它们与(1)中轨迹E 分别交于点A ，B 及点C ，D ，且G ，H 分别是线段AB ，CD 的中点，求△PGH 面积的最小值.解(1)由题意知，点M到点F(3，0)的距离与到直线l′：x＋3＝0的距离相等，结合抛物线的定义，可知轨迹E是以F(3，0)为焦点，以直线l′：x＋3＝0为准线的抛物线，则知p2＝3，解得p＝6，故M的轨迹E的方程为y2＝12x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝12x1，y22＝12x2，以上两式作差，并整理可得y1－y2x1－x2＝12y1＋y2＝6yG.即k AB＝6y G ，同理可得k CD＝6yH，易知直线l1，l2的斜率存在且均不为0，又由于l1⊥l2，可得k AB·k CD＝36yGyH＝－1，即y G y H＝－36，所以S△PGH＝12|PG|·|PH|＝12·1＋1k2AB|y G| ·1＋1k2CD|y H|＝182＋1k2AB＋1k2CD≥182＋2|k AB k CD|＝182＋2＝36，当且仅当|k AB|＝|k CD|＝1时，等号成立，故△PGH面积的最小值为36. 途径3 换元引参结合解决问题的需要，根据题目条件引入适当的参数或相应的参数方程，巧妙转化相应的解析几何问题，避开复杂的运算.例3 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 证明法一设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ<2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cos θ，b 2sin θ.|AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1. 又A (－a ，0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ . 2ak AQ ＝b 2＋a 2k 2AQ sin(θ－α)， tan θ＝ak AQb，从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ <a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |<33，故|k |＝1|k AQ |> 3.法二依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0).由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.①由|AP |＝|OA |及A (－a ，0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入①，得(1＋k 2)·4a 2（1＋k 2）2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.法三依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0).联立⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b 2.① 由|AP |＝|OA |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.训练1 (1)(2022·杭州质检)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62(2)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点(1，－2)，经过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，A 在x 轴的上方，Q (－1，0)，若以QF 为直径的圆经过点B ，则|AF |－|BF |＝( ) A.23B.2 5 C.2 D.4答案 (1)D (2)D解析 (1)由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得 ⎩⎨⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝2，所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.(2)由于抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点(1，－2)，则有4＝2p ，解得p ＝2，设直线l 的倾斜角为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，根据焦半径公式，可得|AF |＝21－cos α，|BF |＝21＋cos α，由于以QF 为直径的圆经过点B ，则有BQ ⊥BF ，在Rt△QBF 中，|BF |＝2cos α，则有|BF |＝21＋cos α＝2cos α，即1－cos 2α＝cos α，所以|AF |－|BF |＝21－cos α－21＋cos α＝4cos α1－cos 2α＝4cos αcos α＝4，故选D. 类型二优化运算之二级结论的应用圆锥曲线中有很多的二级结论，应用这些结论能够迅速、准确地解题. 应用1 椭圆中二级结论的应用例4 (1)A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，M 是椭圆上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为－49，则椭圆C 的离心率为( )A.23B.33C.23D.53(2)已知椭圆方程为x 25＋y 2＝1，右焦点为F ，上顶点为B .直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若MP ∥BF ，则直线l 方程为________.答案 (1)D (2)x －y ＋6＝0解析 (1)椭圆上不同于A ，B 的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－b 2a 2，∴－b 2a 2＝－49，∴b 2a 2＝49，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a2＝1－49＝53. (2)设点M (x 0，y 0)为椭圆x 25＋y 2＝1上一点.由过点M 与椭圆相切的结论，可设l ：x 0x 5＋y 0y ＝1，在直线MN 的方程中，令x ＝0，可得y ＝1y 0，由题意可知y 0>0，即点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1y 0. 直线BF 的斜率为k BF ＝－b c ＝－12，所以，直线PN 的方程为y ＝2x ＋1y 0.在直线PN 的方程中，令y ＝0，可得x ＝－12y 0，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12y 0，0.因为MP ∥BF ，则k MP ＝k BF ，即y 0x 0＋12y 0＝2y 202x 0y 0＋1＝－12，整理可得(x 0＋5y 0)2＝0，所以x 0＝－5y 0.又因为x 205＋y 20＝1，所以6y 20＝1.因为y 0>0，故y 0＝66，x 0＝－566，所以直线l 的方程为－66x ＋66y ＝1，即x －y ＋6＝0. 训练2 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)(2022·金华模拟)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，当∠F 1PF 2＝π3时，S △F 1PF 2＝43；当线段PF 1的中点落到y 轴上时，tan∠F 1PF 2＝43，则椭圆的标准方程为( )A.x216＋x212＝1 B.x216＋y29＝1C.x225＋y212＝1 D.x225＋y29＝1答案(1)D (2)A解析(1)由题意知c＝3，即a2－b2＝9，AB的中点记为P(1，－1)，由k AB·k OP＝－b2 a2，则(－1)×－1－01－3＝－b2a2，∴a2＝2b2，又a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，∴E的方程为x218＋y29＝1.(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，当∠F1PF2＝π3时，由题意知S△F1PF2＝b2tanθ2，即43＝b2tan π6，所以b2＝12.当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴.由tan∠F1PF2＝43，得|F1F2||PF2|＝43，即n ＝3c 2，则m ＝52c ，且n ＝b 2a ＝12a.所以联立⎩⎪⎨⎪⎧3c 2＋5c 2＝2a ，3c 2＝12a ，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝2，所以椭圆标准方程为x 216＋y 212＝1.应用2 双曲线中二级结论的应用例5 (1)已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 (2)已知P (1，1)是双曲线外一点，过P 引双曲线x 2－y 22＝1的两条切线PA ，PB ，A ，B为切点，求直线AB 的方程为________. 答案 (1)B (2)2x －y －2＝0解析 (1)由题意可知k AB ＝－15－0－12－3＝1，k MO ＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦性质得k MO ·k AB ＝b 2a 2，即54＝b 2a2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.(2)设切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则PA ：x 1x －y 1y 2＝1，PB ：x 2x －y 2y 2＝1，又点P (1，1)代入得x 1－12y 1＝1，x 2－12y 2＝1，∴点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在直线x －12y ＝1上，∴过直线AB 的方程为x －12y ＝1，即2x －y －2＝0.训练3 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，实轴的两个端点为A ，B ，点P 为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA 与PB 的斜率之积为________.(2)已知P 是椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的一个交点，F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，e 1，e 2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F 1PF 2＝π3，则e 1·e 2的最小值为________. 答案 (1)3 (2)32解析 (1)由题意知c a ＝2，即c 2a 2＝4，∴c 2＝4a 2，∴a 2＋b 2＝4a 2，∴b 2＝3a 2，∴k PA ·k PB ＝b 2a2＝3.(2)因为点P 为椭圆和双曲线的公共点，F 1，F 2是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得S △PF 1F 2＝b 21tan π6＝b 22tanπ6，化简得b 21＝3b 22，即a 21－c 2＝3(c 2－a 22)，等式两边同除c 2，得1e 21－1＝3－3e 22，所以4＝1e 21＋3e 22≥23e 1·e 2，解得e 1·e 2≥32，所以e 1·e 2的最小值为32.应用3 抛物线中二级结论的应用例6 (1)(2022·泰州调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10(2)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若BA →＝4BF →，则△AOB 的面积为( ) A.833 B.433C.823 D.423答案 (1)A (2)B解析 (1)如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知 |AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ，|DE |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝4cos 2θ， ∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ≥4⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θ22＝16，当且仅当sin 2θ＝cos 2θ，即sin θ＝cos θ，即θ＝π4时取“＝”.(2)由题意知|AF ||BF |＝3，设l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p1＋cos θ，∴1＋cos θ1－cos θ＝3，cos θ＝12，sin θ＝32， S ＝p 22sin θ＝43＝433. 训练4 (1)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( ) A.24 B.8 C.12 D.16(2)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为( )A.±2B.±2 2C.±22D.±24答案(1)A (2)B解析(1)由题意知p＝2，S△AOB＝p22sin θ＝26，∴sin θ＝16，∴|AB|＝2psin2θ＝24.(2)由抛物线的焦点弦的性质知1|MF|＋1|NF|＝2p＝1，又|MF|＝2|NF|，解得|NF|＝32，|MF|＝3，∴|MN|＝92，设直线l的倾斜角为θ，∴k＝tan θ，又|MN|＝2psin2θ，∴4sin2θ＝92，∴sin2θ＝89，∴cos2θ＝19，∴tan2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k＝±2 2.一、基本技能练1.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.334 B.938C.6332D.94 答案 D解析抛物线C ：y 2＝3x 中，2p ＝3，p ＝32，故S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94.2.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案 B解析由周角定理得k PA 1·k PA 2＝－b 2a 2＝－34，又k PA 2∈[－2，－1]， ∴k PA 1＝－34k PA 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.3.已知斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，△OFM 的面积等于3，则k ＝( ) A.14B.13C.12D.263答案 B解析设AB的中点M(x0，y0)，由中点弦的性质得k＝py(y0≠0).由抛物线方程知p＝2，所以k＝2y0，另焦点F(1，0)，又S△OFM＝3，可知12×1×y0＝3，所以y0＝6，再代入k＝2y＝13.4.椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是( )A.3B.11C.22D.10 答案 D解析设椭圆x216＋y24＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－25，所以d max＝|－42－2|5＝10，故选D.5.已知点A(0，－5)，B(2，0)，点P为函数y＝21＋x2图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为( ) A.1＋25B.7 C.3 D.不存在答案 B解析由y ＝21＋x 2，得y 24－x 2＝1(y ＞0).设点A ′(0，5)，即点A ′(0，5)，A (0，－5)为双曲线y 24－x 2＝1的上、下焦点.由双曲线的定义得|PA |－|PA ′|＝4，则|PA |＋|PB |＝4＋|PA ′|＋|PB |≥4＋|BA ′|＝7，当且仅当B ，P ，A ′共线时取等号，故选B.6.(2022·丽水调研)已知椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Г相交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，则k ＝( ) A.1 B.2 C.3D. 2 答案 D解析依题意a ＝2b ，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，因为AF →＝3FB →，所以λ＝3，设直线的倾斜角为α，则e ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1（λ＋1）cos α 得32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－1（3＋1）cos α，|cos α|＝33，又k >0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝33，所以k ＝tan α＝ 2. 7.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π6的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为________. 答案y 2＝2x 解析∵|AB |＝2psin 2θ＝2psin 2π6＝8p ＝8，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .8.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为椭圆：x 22＋y 2＝1内一定点，经过点P 引一条弦，使此弦被点P 平分，则此弦所在的直线方程为________. 答案 2x ＋4y －3＝0解析直线与椭圆交于A ，B ，P 为AB 中点.由k AB ·k OP ＝－b 2a 2得k AB ×1＝－12，即k AB ＝－12，则直线方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.9.(2022·南京模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为2a 2，则双曲线的离心率为________. 答案 3解析如图.设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，因为以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F (c ，0)，所以S △AF ′F ＝S △ABF ＝2a 2且∠F ′AF ＝∠θ＝π2，根据双曲线焦点三角形面积公式，得S △AF ′F ＝b 2tanθ2.所以2a 2＝b 2，即b 2a2＝2，e ＝1＋b 2a2＝ 3. 10.(2022·武汉调研)已知双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)与C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有相同的渐近线，若C 1的离心率为2，则C 2的离心率为________. 答案233解析设双曲线C 1，C 2的半焦距分别为c 1，c 2，因为C 1的离心率为2，所以C 1的渐近线方程为y ＝±b 1a 1x ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫c 1a 12－1x ＝±22－1x ＝±3x ，所以C 2的渐近线方程为y ＝±a2b 2x ＝±3x ，所以a 2b 2＝3，所以C 2的离心率为c 22a 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝233.11.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l ：y ＝kx ＋a ，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与y 轴交于点P ，O 为坐标原点.(1)若k ＝1，且N 为线段MP 的中点，求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆长轴的一个端点为Q (2，0)，直线QM ，QN 与y 轴分别交于A ，B 两点，当PA →·PB →＝1时，求椭圆C 的方程.解 (1)由题意知直线l ：y ＝x ＋a 与x 轴交于点(－a ，0)， ∴点M 为椭圆C 的左顶点，即M (－a ，0). 设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1得14＋a 24b 2＝1，即b 2a 2＝13，则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝23，∴e ＝63，即椭圆C 的离心率e ＝63. (2)由题意得a ＝2，∴椭圆C ：b 2x 2＋4y 2＝4b 2(b >0)，联立⎩⎨⎧b 2x 2＋4y 2＝4b 2，y ＝kx ＋2，消去y 得(4k 2＋b 2)x 2＋16kx ＋16－4b 2＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16b 2（4k 2＋b 2－4）>0，x M＋x N＝－16k 4k 2＋b 2，x M ·x N ＝16－4b24k 2＋b2，∵直线QM ：y ＝y M x M －2(x －2)，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2y M x M －2，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y M ＋2x M －42－x M . ∵y M ＝kx M ＋2， ∴y M －2＝kx M ，即PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2（k ＋1）x M 2－x M ，同理PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2（k ＋1）x N 2－x N ， ∴PA →·PB →＝4（k ＋1）2x M x Nx M x N －2（x M ＋x N ）＋4＝4－b 2＝1，即b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 解 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1).(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为零，设直线AB 的方程为y－t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )⎝ ⎛⎭⎪⎫x A >12，x B>12，由题意知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21，所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x A －12，|TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12（x A ＋x B ）＋14＝(1＋k 21)⎣⎢⎡－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21－12·⎦⎥⎤2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16. 同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0. 二、创新拓展练13.(2022·广东四校联考)倾斜角为π3的直线经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF →＝λFB →(λ≥5)，则双曲线C 的离心率的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43C.(1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2答案 D解析 tan π3>b a ⇒b a <3⇒b 2<3a 2⇒c 2－a 2<3a 2⇒c 2<4a 2，∴c 2a 2<4，即e <2；|e cos θ|＝|λ－1||λ＋1|⇒e 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1λ＋1＝λ－1λ＋1＝1－2λ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1，即23≤e 2<1，故43≤e <2.14.(多选)(2022·海南调研)已知斜率为3的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AB |＝8，则以下结论正确的是( ) A.1|AF |＋1|BF |＝1 B.|AF |＝6C.|BD |＝2|BF |D.F 为AD 中点答案 BCD解析法一如图，过点B 作x ＝－p 2的垂线，垂足为B ′，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率为3，则直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，得12x 2－20px ＋3p 2＝0. 解得x A ＝3p 2，x B ＝p6，由|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝8p3＝8，得p ＝3.所以抛物线方程为y2＝6x.则|AF|＝x A＋p2＝2p＝6，故B正确；所以|BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝|BB′|cos 60°＝|BF|cos 60°＝4，∴|BD|＝2|BF|，故C正确；所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点，故D正确；而1|AF|＋1|BF|＝23，故A错误.法二设直线AB的倾斜角为θ，利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|＝2psin2θ＝8，则p＝3，|AF|＝p1－cos θ＝6，|BF|＝p1＋cos θ＝2，1 |AF|＋1|BF|＝2p＝23，在Rt△DBB′中，cos θ＝|BB′||BD|，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6，因此F为AD中点.故选BCD.15.已知A，B是抛物线y2＝4x上的两点，F是焦点，直线AF，BF的倾斜角互补，记AF，AB的斜率分别为k1，k2，则1k22－1k21＝________.答案 1解析F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的对称性，且两直线的倾斜角互补，所以(x 2，－y 2)在直线AF 上，直线AF ：y ＝k 1(x －1)，代入y 2＝4x ，化简可得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，根据韦达定理，可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21，x 1x 2＝1，又k 2＝y 2－y 1x 2－x 1＝4x 2－4x 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1，所以k 22＝4x 1＋x 2＋2x 1x 2＝42k 21＋4k 21＋2＝k 21k 21＋1，故1k 22－1k 21＝1.16.已知P 是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上一动点，过点P 作抛物线x 2＝8y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 斜率的最大值为________. 答案34解析由题意可知，PA ，PB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设P (m ，n )，过点P 的抛物线的切线为y ＝k (x －m )＋n ，联立⎩⎨⎧y ＝k （x －m ）＋n ，x 2＝8y ，得x 2－8kx ＋8km －8n ＝0，因为Δ＝64k 2－32km ＋32n ＝0，即2k 2－km ＋n ＝0，所以k1＋k2＝m2，k1k2＝n2，又由x2＝8y得y′＝x 4，所以x1＝4k1，y1＝x218＝2k21，x 2＝4k2，y2＝x228＝2k22，所以k AB＝y2－y1x2－x1＝2k22－2k214k2－4k1＝k2＋k12＝m4，因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，所以1≤m≤3，因此14≤m4≤34，即直线AB斜率的最大值为3 4 .17.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝83相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.(1)解圆B的圆心为B(－2，0)，半径r＝42，|BC|＝4. 连接MC，由已知得|MC|＝|MA|，∵|MB |＋|MC |＝|MB |＋|MA |＝|BA |＝r ＝42>|BC |，∴由椭圆的定义知：点M 的轨迹是中心在原点，以B ，C 为焦点，长轴长为42的椭圆，即a ＝22，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4， ∴点M 的轨迹方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明当直线EF 的斜率不存在时，直线EF 的方程为x ＝±83， E ，F 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫83，83，⎝⎛⎭⎪⎫83，－83或⎝⎛⎭⎪⎫－83，83，⎝⎛⎭⎪⎫－83，－83， OE →·OF →＝0.当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为y ＝kx ＋m ， ∵EF 与圆O ：x 2＋y 2＝83相切，∴|m |1＋k2＝83，即3m 2＝8k 2＋8. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∴OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，(*)联立⎩⎨⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， ∴x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，代入(*)式得OE→·OF→＝(1＋k2)·2m2－81＋2k2－4k2m21＋2k2＋m2＝3m2－8k2－81＋2k2，又∵3m2＝8k2＋8，∴OE→·OF→＝0，综上，以EF为直径的圆恒过定点O.31 / 31。

从一道高考题谈解析几何运算的简化策略

，
解得ｅ：旦＝．
（）２由② 知，ｃ一＋２ｔｔａ＝Ｃ，③
本解法不仅在这里适用，实际上在解法１和解法２中也适
用，这样可以省去求根公式的繁琐运算，快速求得问题的答案，
从而节省宝贵的时间．
因Ｉ孚，以ＢＩ＝．为Ｂ＝所Ｉｚ｝ＡｌＦ＝
关系，构造两个三角形，通过余弦定理，找到了关于ａ、ｔ、ｃ的
两个方程，而且巧妙地采用设而不求的方法求出离心率．运算过
ｌ１Ａ．曰ｌ
因为：蔚，所以ＩＦｌ２Ｂ２Ａ：ＩＦＩ．
程简捷、明快，解法赏心悦目，给人以和谐之美．本解法很好地诠释了数形结合在简化解析几何运算中的地位．五、活用参数，提纲挈领
四、数形结合。巧妙构造
所以ｃａ２ｃａ，解得ｅ＝旦＝．＋２＝一（一２）另解：其实进一步分析后，若得到关于ｔ的一元二次方程后，不解出方程的解ｔ。，也可结合韦达定理和条件ｔ：一ｔ、ｔ。２：得到椭圆的离心率，方法如下．将直线的参数方程代入椭圆整理后得到（十ｂ）＋４￣一３２ｚｂｃｆｔ
３２
产生的原因．但比较上述两种解法，发现解法２是消去后利用
纵坐标之间的变量关系进行计算，比解法１的运算相对快捷、

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解析几何中的简化运算
发表时间：2013-04-23T11:33:42.797Z 来源：《教育学文摘》2013年3月总第79期供稿作者：◆杨福强
[导读] 朗读的形式纷繁多样，不一而足，但各种形式的朗读有各自的功能和适用范围。

◆杨福强山东省平度开发区高中266700
在解析几何题目时，经常有这样的感觉，思路易找，但计算量太大，往往只开个头做不出正确结果。

因而在教学中引导学生探索简便易行的方法降低运算量，是培养和提高学生分析解决问题能力的重要一环。

下面介绍几种简化解析几何运算的方法和技巧：
一、定义法
与圆锥曲线的焦点、焦半径有关的问题，可用定义简化解题步骤。

例1.已知双曲线16x2-9y2=144，设F1、F2为双曲线的左右焦点，设P在双曲线上且|PF1|.|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。

解：∵方程是- =1，∴a=3，c=5；
又||PF1|-|PF2||=6且|PF1|·|PF2|=32，
∴|PF1|2+|PF2|2-64=36，∴|PF1|2+|PF2|2=100，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴∠F1PF2=90°。

二、点差法
与直线和圆锥曲线相交于弦的中点，与斜率有关的问题，运用点差法可获得简捷而巧妙的解题方法。

例2.已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一弦使它恰好被点P平分，求此弦所在的直线方程。

解：设弦的两端点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），斜率为k，
∵y12=6x1，y22=6x2，
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2），
∴= 。

∵y1+y2=2，∴k=3，
∴所求弦所在直线方程为y-1=(3(x-4)，
即3x-y-11=0。

例3.已知椭圆+y2=1，求过点A（2，1）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。

解：设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），中点为（x，y），则：
+y12=1，+y22=1；两式相减得：
+（y1+y2）（y1-y2）=0
∴＋(y1+y2) =0，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∴x+2y =0；又= ，
∴x+2y =0，∴x2+2y2-2x-2y=0，
∴所求的弦中点的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）。

三、几何法
在解决直线与二次曲线的问题时，若恰当运用平面几何性质可避免烦琐的运算。

例4.在直线L：2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆Q：x2+y2-4x=0引的切线长最短。

解：（x-2）2+y2=4，如图，设切点为A，∴∠PAQ=90°；∵|PA|2=|PQ|2-4，∴当|PQ|最小时|PA|取最小值。

这时PQ⊥l。

∵PQ的方程是y= （x-2），
由，
可得P点坐标是
（- ，- ）。

四、对称法
解析几何中有许多题都涉及到对称，如光线反射、角平分线、中垂线等，巧妙运用对称可使思路清晰明了，问题化繁为简。

例5.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B与∠C的平分线分别是x=0和y=x，求直线BC的方程。