概率论第二章一二节分解

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引例2
例2 设盒中有两个白球“1”和“2”、两个黑球“3” 和“4”，从中随机取两个球.
记Y为被取到的两个球中黑球的数量.
用 (i, j)表示取到的球的标号.
(1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 3) (2, 4) (3, 4)
Y0
1
1
1
1
2
0 当 (1, 2)
Y Y () 1 当 (1,3),(1, 4),(2,3),(2, 4)
X123456
S 1,2 ,3
4 ,5 ,6
1 2 第二章 3 4 5 6
2
S 1,2 ,3
4 ,5 ,6
1 2 34 5 6
将i 与一个实数对应起来
X X (i ) i
(1)S
(2) X 是根据样本点i变化而变化的一个量
? —变量；
而样本点是由随机试验所产生的，
所以X称为“随机变第二量章 ”。
x1 ， x2 ， ， xn ，
并设 P(X x ) p k 1,2， ， n，
k
k
则称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
2、分布律的表格形式：
X x1 x2 … xn …
pk p1 p2 … pn …
第二章
9
3 分布律的性质:
(1)对 任 意 的 自 然 数k,有 pk 0;
第二章 随机变量及其分布
内容: 一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布律 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布
第二章
1
引例1
例1 掷骰子，观察出现的点数.换一种表达方式
S {1,2 ,3,4 ,5,6}
i “出现i点” 记X为出现的点数.
1 2 3 4 5 6
记作 X ~ b1， p 其中 0 p 1 为参数
1重伯努利分布
第二章
14
2、二项分布
如果随机变量 X 的分布律为
PX
k
C
k n
pk
1
p nk
k 0， 1， ， n
其中n为自然数，0 p 1 为参数
则称随机变量X 服从参数为(n, p)的二项分布.
记作 X ~ b(n, p).
2 当 (3, 4)
第二章
4
一、 定 义 设S是 随 机 试 验E的 样 本 空 间,如 果 对 e S,都 有 惟 一 确 定 的 实 数X (e)和 它 对 应, 即 存 在 一 个 定 义 于S的 单 值 实 函 数X X (e)， 则 称X为E的 一 个 随 机 变 量.
简记为r.v.X .
i}
a
2 i
,
i 1,2,3;
3
(2)
P{ X
i}
a
2 i
,
3
i 1,2,3,;
分别求上述各式中的常数a.
解 （1）由于 1
3 i 1
pi
3 i 1
a
2 i
3
Baidu Nhomakorabea a 38 27
a 27. 38
2
（2）由于
1
i 1
pi
a
2
i
a
3
i1 3
1 2
2a,
a 1.
通常用大写英文字母X、Y、Z等表示随
机变量, 而采用小写字母x,y,z等表示随机变 量所取的值.
第二章
5
二、用随机变量表示随机事件
例3：掷一个骰子，观察其出现的点数。 S1 {1,2,3,4,5,6}.
我们记掷出的点数为X，则X 是一个随机变量． 它的取值为1，2，3，4，5，6．
{X 1} 表示随机事件“掷出的点数是1
3 10
P(
X
1)
C
2 3
C21
C
3 5
6 10
且
3
P(X i) 1
i 1
第二章
10
表格形式为：
X0
1
2
pk
1 10
6 10
3 10
图示法
PK
0.6 0.3
0.1
0 12
k
公式法
P(X k)C33Ck53C2k , k 0,1,2
第二章
11
例2 设离散型随机变量X的概率分布为
(1)
P{ X
3
2
第二章
12
例3 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信 号灯,每盏信号灯以概率0.5禁止汽车通过. 以 X 表 示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的盏数, 求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的). 解：X可能取的值是0,1,2,3,4. 且
P{X k} (1 0.5)k 0.5, k 0,1, 2, 3，P{ X 4} (1 0.5)4
离散型随机变量
所有取值可以 逐个一一列举
随机变量 连续型随机变量
非离散型随机变量 其它
全部可能取值不仅无穷 多,而且还不能一一列举,
而是充满一个区间.
第二章
8
§2.2 离散型随机变量
一、定义 全部不同的可能值只有有限个或可列无 限多个的随机变量称为离散型随机变量.
二、分布律
1、定义: 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为
因此X 的分布律为：
X0 1
2
pk 0.5 0.25 0.125
3 0.0625
4 0.0625
第二章
13
三、几种常用的离散型分布
1、两点分布（01分布） 如果随机变量 X 的分布律为
A或A成立 P(A) p
X0 1 pk 1 p p
(0< p <1)
则称随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布．
X 4 表示点随”机．事件“ 掷出的点数不超过
X 取偶4数”.表示随机事件“掷出的点数为偶数”
事件“掷出．至多3点” e | 1 X (e) 3
1 X 3
第二章
6
例4：测试某灯泡的使用寿命(单位：小时)。 样本空间 S2 {t | t 0}.
我们记灯泡的使用寿命为X，则X是一个随机变量. 它的取值为所有非负实数．
(2)
k
pk
1.
通过性质来检验分布律是否正确或求某 些未知量
例1 一口袋中装有5个大小、形状完全相同的球, 其
中3个红球, 2个白球. 从袋中任取3 个球, 以X表
示取到的白球数，求 X 的分布律.
解： 随机变量X可能取的值是0,1,2，
P(
X
0)
C33 C53
1 10
P(
X
2)
C31C
C
3 5
2 2
{X 10000}
表示随机事件“该灯泡的使用寿命为10000小
时”． X 500
表示随机事件“该灯泡的使用寿命不超过500小时”
．
X 1000
表示随机事件“该灯泡的使用寿命大于 1000小时”
“．灯泡的使用寿命在500小时到1000小时之间”
500 X 1000
第二章
7
三、随机变量的分类
C pk k 0kn n
1 p
nk 1 成立！
注意：随机变量X的取值为k=0, 1, 2, …, n是 有限的！
第二章
15
例4： 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗， 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的， 并且概率为2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的 分布律和分布函数.