空间向量在几何证明题解法

空间向量在几何体中例题

1如图，在四棱椎P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC,E 、F 分别是AB 、PB 的中点。

（1）求证：EF ⊥CD ；

（2）证明：PA// 平面DEF

3．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，

⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且1

2

PA AD DC ===，

1AB =，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

F E

D C

B

A

P

16．（本题满分14分）求ax 2

+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件。

6．（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于121

0x x a

=

<⇒ a ＜0 若方程有两负根，等价于440201

0Δa a a

⎧

⎪=-≥⎪⎪-<⇒⎨⎪⎪>⎪⎩0＜a ≤1

综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1

由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根

故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2

+2x+1=0至少有一负根的充分条件 所以ax 2

+2x+1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件是a ＜0或0＜a ≤1

5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移 （1）证明：11D E A D ⊥；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为

4

π. 解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，

建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C

（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为

（2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，

)1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨

⎧=⋅=⋅,

0,

01AD n AC n 也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩

⎨⎧==c a b

a 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面1ACD 的距离为

.3

1

3212|

|||1=-+=

⋅=

n n E D h

（3）设平面1D EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE

由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,

0,01x b a c b CE n C D n 令1,2,2b c a x =∴==-， ∴).2,1,2(x n -= 依题意.2

25

)2(22

2

|

|||||4

cos

211=

+-⇒=

⋅⋅=

x DD n DD n π

∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴23AE =-时，二面角1D EC D --的大小为4

π

.

6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上

一点，PF EC ⊥. 已知,2

1,2,2=

==

AE CD PD 求（Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E PC D --的大小.

解：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为

,,x y z 轴建立空间直角坐标系.

由已知可得(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)D P C 设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>

).0,2

3

,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E 由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，

即.23,0432

==-

x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,2

3

,23()0,21,23(， 又PD DE ⊥，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线

PD ,CE 的距离为1.

（Ⅱ）作DG PC ⊥，可设(0,,)G y z .由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==

DG y z 故可取作EF PC ⊥于F ，设(0,,)F m n ，

则).,2

1,23(n m EF --

= 由0212,0)2,2,0(),2

1

,23(0=--=-⋅--

=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).2

2

,21,23(,22,1,222-===+-

=EF n m m n 故 因,,PC DG PC EF ⊥⊥故E PC D --的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角. 故,4,22|

|||cos πθθ==

⋅=EF DG EF DG 即二面角E PC D --的大小为.4

π

7．如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点，

求证：MN ⊥平面PCD.(12分)

.

,,,;

0)|||(|2

1

|||(|21)()(21;

0)(21

)(210,0,0,,,,)(2

1

)(2121)(2121.},,{,,,2222PCD MN D PD DC PD MN DC MN AP AD a c a c c a PD MN b c b a b c a DC MN a c c b b a AD

AB AD PA AB PA ABCD PA a c PD b AB DC c a c b a b AC AP b AM AN MN c b a c AD b AB a AP 平面又故且矩形则为空间的一个基底则设⊥∴=⋂⊥⊥∴=--=--=-⋅+-=⋅=⋅+⋅-=⋅+-=⋅=⋅=⋅=⋅∴⊥⊥⊥∴⊥-===+-=++-=+-=

-====Θ

8．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所

成的角．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则113(000)(00)(002)222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，，，，，，，，，，，a

A B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，