材料力学：第12章：能量法

解： M ( ) PR (1 cos ) M ( ) R (1 cos )
0
AB 2
0

3 PR 3 EI
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 2 M ( ) M ( ) PR (1 cos ) R d 2 R d EI EI 0 0

d

例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自 由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，
的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的
垂直位移。已知GIp、EI为常量。
解：T ( ) PR(1 cos ) , M ( ) PR sin T 2 ( ) M 2 ( ) U Rd Rd 2G I p 2E I l l
3 P R P R 4G I p 4E I 1 W P AV 2
M ( x) M ( x) dx EI
0
l

M ( x ) Px ,
M ( x ) 1
B
l
M ( x) M ( x) dx EI
0

0
l
2 Px Pl dx EI 2 EI

例：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用
下切口的张开量 Δ AB 。EI=常数。
2
2
2 2 2 P 2b 2 a 3 P2a 2 b3 P a b 2 2 6 EI l 2 EI l 3 2 EI l 3
1 W P vC 2
由U W，得： Pa 2 b 2 vC 3EI l
例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，
并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI
2
U

l
l
1 W P vB 2
Pl 由 U W，得 v B 3EI
3
例：试求图示梁的变形能，并利用功能原 理求C截面的挠度。
解：
U

l
Pb Pa x1 x2 2 a b M ( x) l l dx dx1 dx 2 2E I 2E I 2E I 0 0
注意：上式中应看成广义位移，把单位力看成与广 义位移对应的广义力
P
例：试用莫尔定
A
l
x
B
理计算图(a)所示
悬臂梁自由端B
的挠度和转角。
A
1
B
x
1
A B
x
解： (1) 在B截面作用一单位力 , 如图 (b) 所示 M ( x ) Px ,
0
M ( x) x
0
3 Px 2 vB dx Pl EI l 3EI 0 (2) 在B截面作用一单位力偶 , 如图 (c) 所示
W1 U 1
[( M ( x ) M 0 ( x )]2 U 0 U 1 dx 2E I l

l
M ( x) M 0 ( x) M 2 ( x) [ M 0 ( x )]2 dx dx dx 2E I 2E I EI l l
M M x )MMx) ( x ) ( ( x) ( 1 E I dx dx EI l
0 l
0

l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 dx EI （莫尔积分）
M ( x) M 0 ( x) dx EI
0

对于组合变形： l

l
N ( x) N 0 ( x) T ( x) T 0 ( x) M ( x) M 0 ( x) dx dx dx EA GI p EI l l
为常量。
解： M ( ) PR sin
U

l
M 2 ( ) Rd 2E I
( PR sin ) P R 2 E I Rd 8 EI 0
2 2
2
3
1 W P BV 2
由U W，得：
BV
PR
4 EI
3
R
例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端
2 3 2 3
由U W，得：
AV 3 PR PR 2GI p 2 EI
3 3

R
§12-3 单位载荷法
P1
P2
C

P1
P2
C
M ( x)
U

l
M ( x) dx 2E I
2
P0 1
C
M ( x)
0
[ M ( x )] U0 dx 2E I l
0
2
P1 P2
P0
第十二章
能量法 述
§12-1 概
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发
生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，
简称变形能。
物体在外力作用下发生变形，物体的变
形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位
移上所做的功，即
U=W
§12-2 杆件变形能计算
一、轴向拉伸和压缩
1 Pl 1 U W P l 2 P EA 2
三、弯曲
2 2 1 ml m l M l 纯弯曲： W 1 m m U 2 EI 2E I 2E I 2
横力弯曲：U
M ( x) 2 E I ( x ) dx l
2
四、组合变形 截面上存在几种内力，各个内力及相应的 各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各 个内力只对其相应的位移做功。
N ( x) T ( x) M ( x) U dx dx dx l 2 E A( x ) l 2G I p ( x ) l 2 E I ( x)
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功 能原理求自由端B的挠度。
解：
M ( x) P x
2 3 ( Px ) 2 M ( x) P l dx dx 2E I 2E I 6 EI 0
P l N l 2 EA 2 EA
N ( x) U dx 2 EA( x ) l
2
P
2
2
P
l
l
二、扭转
m

m

2

2
ml 1 1 m l T l U W m m 2 G I p 2G I p 2G I p 2 2 T ( x) U dx 2G I p ( x ) l
C
M ( x) M 0 ( x)
[( M ( x ) M 0 ( x )]2 U1 dx 2E I l
P0 作功：
共做功 P1 、P2 作功： U W1 U 0 U 1 1 P0 在上又作功： P0 1 P1 P2
U0
C