题型二新定义阅读理解题

题型二

新定义阅读理解题

1. (2019重庆江北区模拟)材料：解形如(x ＋a)4＋(x ＋b)4＝c 的一元四次方程时，可以先求常数

a 和

b 的

均值a ＋b 2

，然后设

y ＝x ＋a ＋b

2

，再把原方程换元求解．用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使

方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法”．

例：解方程：(x －2)4＋(x －3)4＝1

解：∵－2和－3的均值为－52，∴设y ＝x －52，原方程可化为(y ＋12)4＋(y －12)4

＝1.

去括号得(y 2＋y ＋14)2＋(y 2－y ＋1

4

)2＝1.

y 4

＋y 2

＋116＋2y 3＋12y 2＋12y ＋y 4＋y 2＋116－2y 3

＋12y 2－12

y ＝1.

整理得2y 4

＋3y 2

－7

8

＝0.(成功地消去了未知数的奇次项

)

解得y 2

＝14或y 2

＝－74

(舍去)．

∴y ＝±12，即x －52＝±1

2.∴x ＝3或x ＝2.

(1)用阅读材料中这种方法解关于

x 的方程(x ＋3)4＋(x ＋5)4＝1130时，先求两个常数的均值为

________．设y ＝x ＋________．原方程转化为：

(y －________)4＋(y ＋________)4＝1130；

(2)用这种方法，求解方程

(x ＋1)4＋(x ＋3)4

＝706.

2.(2019重庆中考说明样卷)求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章

算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法

——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，

副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公

约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数

与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．

例如：求91与56的最大公约数

解：91－56＝35，

56－35＝21，

35－21＝14，

21－14＝7，

14－7＝7，

所以，91与56的最大公约数是7.

请用以上方法解决下列问题：

(1)求108与45的最大公约数；

(2)求三个数78、104、143的最大公约数．

3.材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．

材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差(高位数字减去低位数字)均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k(k≠0)时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321

是四位一阶数．

(1)证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；

(2)一个四位k阶数的两倍与两位数m2的差能被11整除(1≤m≤6)，且这个四位k阶数和两位数m2对3同余，求这个四位k阶数．

4. (2019重庆八中模拟)我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．

(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：a＝2n＋1，b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数；

(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提

到：当a＝1

2

(m2－n2)，b＝mn，c＝

1

2

(m2＋n2)(m、n为正整数，m＞n)时，a、b、c构成一组勾股数；利用上

述结论

．．，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．

5. (2019重庆A卷)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在

数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶

数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．

定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．

(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

(2)求出不大于100的“纯数”的个数．

6.(2019重庆南岸区模拟)大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家．化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的

规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．

如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算：

∴26445÷123＝215. ∴(x3＋2x2－3)÷（

x－1)＝x2＋3x＋3.

请用以上方法解决下列问题：

x－2)；

(1)计算：(x3＋2x2－3x－10)÷（

(2)若关于x的多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值及相应的商．