二阶电路冲击响应
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二阶电路经典篇
1. 二阶电路的零输入响应 + - C i uc
已知： 已知：
R L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程： 列电路方程：
Ri + uL − uC = 0
di uL = L dt
duC i = −C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt 2 di di LC + RC + i = 0 dt dt
求通解的特征方程为； 求通解的特征方程为；
LCP2 + RCP +1 = 0
uc = u + u
' c
" c
特解: 特解 特解
u =E
" c
通解
uc解答形式为： 解答形式为：
uc = E + A e 1
uc = E + A e 1
p1t
−δ t
+ A2e
p2t
−δ t
( p1 ≠ p2 )
( P = P = −δ ) 1 2
2
U0 di = dt t =0+ L
d uC duC 电路方程： 电路方程： LC + RC + uC = 0 dt dt
特征方程： 特征方程：
LCP2 + RCP + 1 = 0
R R 2 1 − R ± R2 − 4L/ C 特征根： 特征根： P = =− ± ( ) − 2L 2L LC 2L
uc
U0
设|P2|>|P1|
已知： 已知：
R L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程： 列电路方程：
Ri + uL − uC = 0
di uL = L dt
duC i = −C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt 2 di di LC + RC + i = 0 dt dt
求通解的特征方程为； 求通解的特征方程为；
LCP2 + RCP +1 = 0
uc = u + u
' c
" c
特解: 特解 特解
u =E
" c
通解
uc解答形式为： 解答形式为：
uc = E + A e 1
uc = E + A e 1
p1t
−δ t
+ A2e
p2t
−δ t
( p1 ≠ p2 )
( P = P = −δ ) 1 2
2
U0 di = dt t =0+ L
d uC duC 电路方程： 电路方程： LC + RC + uC = 0 dt dt
特征方程： 特征方程：
LCP2 + RCP + 1 = 0
R R 2 1 − R ± R2 − 4L/ C 特征根： 特征根： P = =− ± ( ) − 2L 2L LC 2L
uc
U0
设|P2|>|P1|
二阶电路阶跃响应和冲激响应讲解
50 W
50 V
R iR
0.5H L C
100 μF
iL
iC
(5)求iR
iR iL iC
iL
LC
d2iL dt 2
或设解答形式为： iR 1 Ae100t sin(100t )
50W
定常数
R iR
50 V
2A
iC
i
R
(0
)
diR dt
(0
)
1
iC ?
(0
)
1
iR
50 R
uc
5Ω 解 （1） uc(0－)=25V iL(0－)=5A
（2）开关打开为RLC串 联电路，方程为：
LC
d 2uc dt
RC
duc dt
uc
0
特征方程为： 50P2+2500P+106=0
P 25 j139
uc Ae25t sin(139t )
uc Ae25t sin(139t )
0
A U0 ， arctg
sin
ω，ω０，δ间的关系:
ω0
ω
sin
0
A
0
U
0
δ
uc
0
U0e
t
sin(t
)
uc
0
U0e
t
sin(t
)
uc是其振幅以
0
U0为包线依指数衰减的正弦函数。
t=0时 uc=U0
uc U0
0
U0
e
t
uc零点：t = -，2- ... n- uc极值点：t =0， ，2 ... n
L
di dt
二阶电路的冲激响应
0
i(t)
0 Ld
e t cos
cos d t
sin
sindt ε(t)
0 Ld
e
t
cosd t
ε(t)
α称为衰减常数(attenuation constant) ，或阻尼常数
(damping constant)
角频率 d称为阻尼振荡角频率(angular frequency of
the damped oscillation)
阻尼振荡角频率不仅决定于电感L和电容C，也和电
阻R有关。
在R = 0的极限情况下， = 0，d 0
1 LC
θ = 0，在R = 0情况下的响应uC(t)、i (t) 均变为等幅振 荡(unattenuated oscillation)，或称为无阻尼振荡 (undamped oscillation)。其函数表达式为
uC
(
t
)
0
sin
0
t
ε(
t
)
i(t)
1 L
cos
0
t
ε(t)
2. s1和s2为相等的负实根
=0
即
R 2L
1 ，或R 2 LC
L C
电容电压的通解为
uC (t) A1 A2t e t
代入初始条件得
A1 0
A1
A2
1 LC
故
uC (t)
t LC
e tε(t )
i(t) C duc (t) 1 e t 1 t ε(t)
电容上的冲激响应电压为
uC (t)
1 LC(s1
(e s1t s2 )
es2t )ε(t )
冲激响应电流为
i(t)
0 Ld
e t cos
cos d t
sin
sindt ε(t)
0 Ld
e
t
cosd t
ε(t)
α称为衰减常数(attenuation constant) ，或阻尼常数
(damping constant)
角频率 d称为阻尼振荡角频率(angular frequency of
the damped oscillation)
阻尼振荡角频率不仅决定于电感L和电容C，也和电
阻R有关。
在R = 0的极限情况下， = 0，d 0
1 LC
θ = 0，在R = 0情况下的响应uC(t)、i (t) 均变为等幅振 荡(unattenuated oscillation)，或称为无阻尼振荡 (undamped oscillation)。其函数表达式为
uC
(
t
)
0
sin
0
t
ε(
t
)
i(t)
1 L
cos
0
t
ε(t)
2. s1和s2为相等的负实根
=0
即
R 2L
1 ，或R 2 LC
L C
电容电压的通解为
uC (t) A1 A2t e t
代入初始条件得
A1 0
A1
A2
1 LC
故
uC (t)
t LC
e tε(t )
i(t) C duc (t) 1 e t 1 t ε(t)
电容上的冲激响应电压为
uC (t)
1 LC(s1
(e s1t s2 )
es2t )ε(t )
冲激响应电流为
§12-3 二阶电路的阶跃响应和冲激响应
δ (t)V
s(t ) = (1 + K1e p1t + K 2 e p2t ) ε (t )
代入零初始条件：
1 + K 1 + K 2 = 0 K 1 p1 + K 2 p 2 = 0
p2 K1 = p p 2 1 p1 K 2 = p 2 p1
西南交通大学
p2 p1 p1t e p2t )ε (t ) s (t ) = (1 + e + p 2 p1 p 2 p1
ds(t ) p2 p1 p1t uc (t ) = h(t ) = = (e e p2t )ε (t ) dt p2 p1
而
1 p1 p 2 = LC
1 LC (e p1t e p2t )ε (t ) u c (t ) = h(t ) = p 2 p1
∴
西南交通大学
du c LC dt du c t =0+ dt t = 0 + RC [u c ( 0 + ) u c (0 )] +
∫
0+
0
u c dt = 1
∫
0+
0
uc dt :
uc不可能为冲激函数
∴
∫
0+
0
u c dt = 0
u c (0 + ) : uc也不可能在t=0时跳变（阶跃）
du c dt 1 t =0+ = LC
西南交通大学
LCp 2 + RCp + 1 = 0
以特征根为不等实根为例
p1 ≠ p 2
u c = K 1e
p1t
+ K 2e
p2t
du c = K 1 p1e p1t + K 2 p 2 e p2t dt
电路理论第11章二阶电路
R2
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
16第十六讲 二阶电路的零状态响应和全响应阶跃和冲激响应
等幅振荡 π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 无阻尼 2
δ = cos β ω0 ω = sin β ω0 ω β = arctg δ
ω0 uC = U 0 e −δ t sin(ω t + β ) ω
duC U 0 −δ t i = −C = e sin ω t ωL dt di ω0 u L = L = − U 0 e −δ t sin(ω t − β ) ω dt
(2)求通解 自由分量） 求通解(自由分量 求通解 自由分量）
特征方程
特征根
P 2 + 200 P + 20000 = 0
P= -100 ± j100
通解 i L (t ) = Ke−100t sin(100t + β )
(3)求特解（强制分量，稳态解） 求特解（强制分量，稳态解） 求特解
" iL = 1A
U0 uc uC 0
β
π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 2
等幅振荡 无阻尼
ω0 U 0 e − δt ω
t
i
β π π+β 2π-β πβ 2π π
π-β β
t
uL
ω0 − U 0 e −δt ω
L ４ 、R = 2 临 情 界 况 C
R P = P = P2 = − = −δ 1 2L
uC = e −δ t ( A1 + A2 t )
由初始条件 uC (0 + ) = U 0 → A1 = U 0 解出
du C ( 0 + ) = 0 → A1 ( −δ ) + A2 = 0 dt
A1 = U 0 A2 = δU 0
二阶电路的冲激响应
04 二阶电路冲激响应的应用
在控制系统中的应用
控制系统稳定性分
析
通过分析二阶电路的冲激响应， 可以判断控制系统的稳定性，从 而优化系统设计。
控制器设计
利用二阶电路的冲激响应特性， 可以设计出性能更优的控制器， 提高系统的动态性能和稳态性能。
系统故障诊断
通过分析二阶电路的冲激响应， 可以检测出系统中的故障或异常， 及时进行维修和保护。
二阶电路的冲激响应
目录
CONTENTS
• 二阶电路的简介 • 二阶电路的冲激响应 • 二阶电路冲激响应的实例分析 • 二阶电路冲激响应的应用 • 二阶电路冲激响应的展望
01 二阶电路的简介
二阶电路的定义
二阶电路
由两个动态元件（通常是电阻、电容或电感）和 电源组成的电路。
动态元件
具有储能能力的元件，能够存储和释放能量。
在通信系统中的应用
调制解调
在通信系统中，可以利用二阶电路的冲激响应特性进行调制和解 调，实现信号的传输和处理。
信号检测
通过分析二阶电路的冲激响应，可以对通信系统中的信号进行检 测，提取出有用的信息。
信道均衡
在通信系统中，可以利用二阶电路的冲激响应特性进行信道均衡， 消除信号传输过程中的失真和畸变。
输出响应
输出响应是指电路在输入信号的作 用下，产生的输出电压或电流。
冲激响应的求解方法
解析法
通过建立电路的微分方程，并利用初始条件和边界条件求解。
数值法
利用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，对方程进行离散 化并求解。
符号法
利用符号计算软件，如MATLAB等，对方程进行符号化求解。
冲激响应的特性
发展高精度、高稳定性的测量技 术，以获取更准确的二阶电路冲
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
电路原理课件-二阶电路的冲激响应
( t 0 )
uC ( t ) e 3t [ K 1 cos 4t K 2 sin(4t ) ]
(t 0 )
带入初值： C(0+)= uC(0-)= 3V u
uC (0 ) K1 duC (t ) dt
t 0
iL(0+)= iL(0-)= 0.28A K1=3
iL (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
I 0 t uC ( t ) e sin( d t ) ( t ) C d duC I 0 0 t i(t ) C e cos( d t ) ( t ) dt d
振荡放电（欠阻尼放电）
I
II u、I随时间变化的曲线 I II III IV III
I 0 t uC ( t ) e sin( d t ) ( t ) C d duC I 0 0 t i(t ) C e cos( d t ) ( t ) dt d
2
R 1 R s2 LC 2L 2L
2
s1,2
R 1 R LC 2L 2L
R α 2L
def
2
令
ω0
def
1 LC
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
电容上的冲激响应电压为
I0 uC ( t ) (e s1t e s2 t )ε( t ) C ( s1 s2 )
冲激响应电流为
duC ( t ) I0 i(t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) dt s1 s2
2 s1 α α 2 ω0 2 s2 α α 2 ω0
二阶电路
第七章 二阶电路 §7-1 二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个 一、方程及特征根（RLC 串联）022=++C CC u dt du RC dtu d LC特征根为：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛--=零输入响应为：t t P P C e A e A u 2121+= 1．电路的初始条件有三种情况，分别为：①0)0(0)0(≠≠++L C i u ②0)0(0)0(=≠++L C i u ③0)0(0)0(≠=++L C i u我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(====-+-+L L C C i i u u u2．特征根p 1、p 2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。
二、CLR 2>（1P 、2P 有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程 1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：)(2112120t t P P C e P e P P P U u --=LCp p 121=)()()(2121120112210t t t t P P P P C e e P P L U e P e P P P P CU dt du Ci ---=---=-=)(2121120t t P P L e P e P P P U dt di Lu ---==2．响应曲线2112)/ln(P P P P T m -=此时电感电压过0，电流取得最大值m t t 2= 此时电感电压有极值三、CLR 2<（1P 、2P 有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程1．电容上的电压和电流及电感上的电压为： )(2112120t t P P C e P e P P P U u --=[])2)(0)(00t j i t j j e e e e j U ωδβωδβωωω---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+-j e e eU t j t t j t2)()(00βωβωδωω)sin(00βωωωδ+=-t e U t)sin(0t e LU i tωωδ-=)sin(00βωωωδ--=-t e U u t其中：2RLδ=0ω=ω= arctg ωβδ= 2．波形图如下：ttπδ3．理想情况下，,2,1,0,00πβωωδ=====LCR 则：)2sin(00πω+=t U u Ct CLUt L U i 00000sin sin ωωω==C L u t U t U u =+=--=)2sin()2sin(0000πωπω 即等幅振荡放电过程。
二阶电路的冲激响应
冲激响应电流为
duC (t ) 1 s1t s2t i(t ) = C s1e − s2e ε(t ) = dt L(s1 − s2 )
(
)
1. s1和s2为不相等的根
（一）
R 1 L α > ω0 即 > 或R > 2 2L C LC
1 s1t s2t uC (t ) = (e − e )ε(t ) LC(s1 − s2 )
总是一个正值， 当 t > 0时，冲激响应 uC (t)总是一个正值，说 时 总是一个正值 明电容电压只改变大小，不改变方向。当t = 0+ 时， 明电容电压只改变大小，不改变方向。 )=0； →∞时 uC(0+)=0；当t→∞时，uC(∞) = 0。因此，在t = 0+ 到 ∞ 。因此， t→∞ 的变化过程中，uC(t)要出现极值，uC(t)的曲线 要出现极值， →∞ 的变化过程中， 要出现极值 的曲线 为
阻尼振荡角频率不仅决定于电感L和电容 ， 阻尼振荡角频率不仅决定于电感 和电容C，也和电 和电容 有关。 阻R有关。 有关
1 ω 的极限情况下， 在R = 0的极限情况下，α = 0， d = ω0 = 的极限情况下 ， LC
θ = 0，在R = 0情况下的响应 C(t)、i (t) 均变为等幅振 情况下的响应u 、 ， 情况下的响应 荡(unattenuated oscillation)，或称为无阻尼振荡 ， (undamped oscillation)。其函数表达式为 。
α < ω0的情形称为振荡情形 的情形称为振荡情形(oscillatory case)，或欠阻 ，
尼情形(underdamped case)。其波形如下： 尼情形 。其波形如下：
duC (t ) 1 s1t s2t i(t ) = C s1e − s2e ε(t ) = dt L(s1 − s2 )
(
)
1. s1和s2为不相等的根
（一）
R 1 L α > ω0 即 > 或R > 2 2L C LC
1 s1t s2t uC (t ) = (e − e )ε(t ) LC(s1 − s2 )
总是一个正值， 当 t > 0时，冲激响应 uC (t)总是一个正值，说 时 总是一个正值 明电容电压只改变大小，不改变方向。当t = 0+ 时， 明电容电压只改变大小，不改变方向。 )=0； →∞时 uC(0+)=0；当t→∞时，uC(∞) = 0。因此，在t = 0+ 到 ∞ 。因此， t→∞ 的变化过程中，uC(t)要出现极值，uC(t)的曲线 要出现极值， →∞ 的变化过程中， 要出现极值 的曲线 为
阻尼振荡角频率不仅决定于电感L和电容 ， 阻尼振荡角频率不仅决定于电感 和电容C，也和电 和电容 有关。 阻R有关。 有关
1 ω 的极限情况下， 在R = 0的极限情况下，α = 0， d = ω0 = 的极限情况下 ， LC
θ = 0，在R = 0情况下的响应 C(t)、i (t) 均变为等幅振 情况下的响应u 、 ， 情况下的响应 荡(unattenuated oscillation)，或称为无阻尼振荡 ， (undamped oscillation)。其函数表达式为 。
α < ω0的情形称为振荡情形 的情形称为振荡情形(oscillatory case)，或欠阻 ，
尼情形(underdamped case)。其波形如下： 尼情形 。其波形如下：
二阶电路的冲击响应
代入 有：
+ uR(t) - + uL(t) + uC(t) -
R , ω0 = 令α = 2L
C
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 LC
2
du ( t ) i(t ) = C c （t ≥ 0+ 时的等效电路） dt d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = 0 …… 输入输出方程 dt 2 dt
s1 = −α + − ( −α 2 + ω 0 ) = −α + jω d
2
iC ( t ) = C
2009-11-4
duc ( t ) 1 = ( s1e s1t − s2 e s2 t )ε ( t ) dt L( s1 − s2 )
5 2009-11-4
s2 = −α − − ( −α 2 + ω 0 ) = −α − jω d
§4.5-4.6
§4.5二阶电路的冲击响应
§4.5二阶电路的冲击响应
一、 RLC串联电路冲击响应
R L R L
§4-5 二阶电路的冲击响应
二阶电路—以2阶微分方程描述的电路. 主要内容： RLC串联电路冲击响应的求解方法 二阶电路的初始条件的确定 性质——过阻尼、欠阻尼、临界阻尼
+ + u (t) - + uL(t) R + δ(t) u (t)
2009-11-4 3 2009-11-4
§4.5二阶电路的冲击响应
⎧ uc ( 0 + ) = A1e s1 0 + + A2 e s2 0 + = 0 ⎪ 即⎨ 1 s1 0 + s2 0 + ′ = A1 s1 + A2 s 2 = ⎪ uc ( 0 + ) = A1 s1e A2 s 2 e LC ⎩
+ uR(t) - + uL(t) + uC(t) -
R , ω0 = 令α = 2L
C
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 LC
2
du ( t ) i(t ) = C c （t ≥ 0+ 时的等效电路） dt d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = 0 …… 输入输出方程 dt 2 dt
s1 = −α + − ( −α 2 + ω 0 ) = −α + jω d
2
iC ( t ) = C
2009-11-4
duc ( t ) 1 = ( s1e s1t − s2 e s2 t )ε ( t ) dt L( s1 − s2 )
5 2009-11-4
s2 = −α − − ( −α 2 + ω 0 ) = −α − jω d
§4.5-4.6
§4.5二阶电路的冲击响应
§4.5二阶电路的冲击响应
一、 RLC串联电路冲击响应
R L R L
§4-5 二阶电路的冲击响应
二阶电路—以2阶微分方程描述的电路. 主要内容： RLC串联电路冲击响应的求解方法 二阶电路的初始条件的确定 性质——过阻尼、欠阻尼、临界阻尼
+ + u (t) - + uL(t) R + δ(t) u (t)
2009-11-4 3 2009-11-4
§4.5二阶电路的冲击响应
⎧ uc ( 0 + ) = A1e s1 0 + + A2 e s2 0 + = 0 ⎪ 即⎨ 1 s1 0 + s2 0 + ′ = A1 s1 + A2 s 2 = ⎪ uc ( 0 + ) = A1 s1e A2 s 2 e LC ⎩
二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点教学教材
二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、 实验目的1.了解二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点。
2掌握二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点的测试方法。
二、 实验原理二阶电路是含有立个独立储能元件的电路，描述电路行为的方程是二阶线性常系数微分方程。
应用经典定量分析开关闭合后U C 、i 等零输入响应的变化规律0=++-L R C u u u将如下R 、L 、C 元件的电压电流表达式dtdu C i C C -= dtdu RC Ri u C R == dtu d LC dt di L u C L 2-== 代入KVL 方程，可得022=++C C C u dtdu RC dt u d LC 由数学分析可知，要确定二阶微分方程的解，除应知道函数的初始值外，还应知道函数的一阶导数初始值，它可根据下列关系求得由于ci dt du C -= 所以"+'=u u u C C C 所示二阶微分方程的解可设为st C C Ae u u ="=012=++RCs LCs特征根为LC L R L R S 1222-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-= 因此 t t C e A e A u 21s 2s 1+=由初始条件Uc(0+)=Uo,可得 A1+A2=Uo 又t t C e A e A dtdu 21s 2s 1+= 可求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=1201212021s s U s A s s U s A（1） CL R 2>，S1和S2为不相等的负实数，暂态属非振荡类型，称电路是过阻尼的。
（2） CL R 2=， S1和S2为两相等的负实数，电路处于临界阻尼，暂态是非振荡的。
（3） CL R 2< ，S1和S2为一对共轭复数，暂态属振荡类型，称电路是欠阻尼的。
一二阶电路阶跃、冲激响应
稳态时，电感相当于短路，因 此电路中的电压为零，电流等 于输入电压除以电阻。
时间常数概念及计算方法
时间常数是一阶电路的重 要参数，它表示了电路过 渡过程的快慢程度。
时间常数越大，电路过渡过 程越缓慢；时间常数越小， 电路过渡过程越迅速。
ABCD
时间常数τ的计算方法根据电路 类型不同而有所不同。对于RC 电路，τ=RC；对于RL电路， τ=L/R。
阶跃信号与冲激信号介绍
阶跃信号
阶跃信号是一种特殊的信号，其值在某一时刻突然发生变化 ，并保持不变。在电路中，阶跃信号常用于测试系统的瞬态 响应。
冲激信号
冲激信号是一种具有突变性质的信号，其值在极短时间内发 生巨大变化。在电路中，冲激信号常用于模拟雷电、开关操 作等瞬间过程。
响应类型及分析方法
响应类型
一二阶电路阶跃、冲激响应
目录
• 电路基本概念与分类 • 一阶电路阶跃响应分析 • 二阶电路阶跃响应分析 • 冲激响应概念及分析方法 • 实际应用场景举例与仿真实验 • 总结与展望
01 电路基本概念与分类
电路定义及组成要素
电路定义
电路是由电气元件（如电阻、电容、 电感等）按照一定方式连接而成，用 于传输和转换电能的系统。
同，但同样受到阻尼比和自然频率等参数的影响。
阻尼比、自然频率等参数影响
阻尼比
阻尼比决定了电路的振荡性质，不同阻尼比下电路的响应形态不 同。
自然频率
自然频率决定了电路振荡的频率，与电路元件的参数有关。
参数变化对响应的影响
当电路元件的参数发生变化时，阻尼比和自然频率等参数也会随之 变化，从而影响电路的响应。
二阶电路冲激响应求解方法
1 2
经典法
通过求解二阶微分方程得到冲激响应表达式。
时间常数概念及计算方法
时间常数是一阶电路的重 要参数，它表示了电路过 渡过程的快慢程度。
时间常数越大，电路过渡过 程越缓慢；时间常数越小， 电路过渡过程越迅速。
ABCD
时间常数τ的计算方法根据电路 类型不同而有所不同。对于RC 电路，τ=RC；对于RL电路， τ=L/R。
阶跃信号与冲激信号介绍
阶跃信号
阶跃信号是一种特殊的信号，其值在某一时刻突然发生变化 ，并保持不变。在电路中，阶跃信号常用于测试系统的瞬态 响应。
冲激信号
冲激信号是一种具有突变性质的信号，其值在极短时间内发 生巨大变化。在电路中，冲激信号常用于模拟雷电、开关操 作等瞬间过程。
响应类型及分析方法
响应类型
一二阶电路阶跃、冲激响应
目录
• 电路基本概念与分类 • 一阶电路阶跃响应分析 • 二阶电路阶跃响应分析 • 冲激响应概念及分析方法 • 实际应用场景举例与仿真实验 • 总结与展望
01 电路基本概念与分类
电路定义及组成要素
电路定义
电路是由电气元件（如电阻、电容、 电感等）按照一定方式连接而成，用 于传输和转换电能的系统。
同，但同样受到阻尼比和自然频率等参数的影响。
阻尼比、自然频率等参数影响
阻尼比
阻尼比决定了电路的振荡性质，不同阻尼比下电路的响应形态不 同。
自然频率
自然频率决定了电路振荡的频率，与电路元件的参数有关。
参数变化对响应的影响
当电路元件的参数发生变化时，阻尼比和自然频率等参数也会随之 变化，从而影响电路的响应。
二阶电路冲激响应求解方法
1 2
经典法
通过求解二阶微分方程得到冲激响应表达式。
第17讲 一阶电路与二阶电路-一阶冲激响应、二阶电路
1 式中 2 RC
0
1 LC
§5-6 二阶电路的冲激响应
将电路中发生的过程分为两个阶段 (1)t=0- ～ t=0+期间,由于电流源的作用,使储能元件获得能 量.由于零状态电容元件相当于短路元件，电流is全部流 过电容，使电容电压发生跳变。 1 当t＝0+时，有： uc(0 ) icdt c 1 0 1 0 1 于是：uC (0 ) uC (0 ) iC dt 0 (t )dt C 0 C 0 C
Rt L
Rt L
Rt L
R
iL uL
iL的变化曲线 i L
uL的变化曲线
uL
1 L iL 0 t
0 R L
(t)
t uL
§5-5 一阶电路的冲激响应
4.为什么研究冲激响应？
由于实际中的电信号十分复杂，我们需要知道电路对任意 输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反映出电路的 特性，而且在知道任何线性非时变电路的冲激响应后，可 以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的零状态 响应，从而求出电路的全响应。 对任一线性时不变电路，若已知其(t)的响应为h(t)，
t
0
h( )d
§5-5 一阶电路的冲激响应
5.冲激响应和阶跃响应间的关系（续）
证明如下: 前面已经指出: 单位冲激函数δ(t)是单位脉冲的合成
(t )
1
(t )
(t )
=
t
1
+
t
0
t
0
0
1
1 d (t ) lim [ (t ) (t )] (t ) 0 dt 1 d h(t ) lim [ g (t ) g (t )] g (t ) 0 dt 由此证明了: 冲激响应等于阶跃响应的导数.
一阶电路和二阶电路的阶跃响应、冲击响应解读
RC
t RC
(t )
1 1 RC iC (t ) (t ) 2 e (t ) R RC
1 iC R 1 2 RC
t
0
t
14
0
t
例2 已知iL(0-)=0，求RL电路的单位冲激响应. R 解 1）0 ≤t ≤0 ：i (0 )=0
– + L -
电感充电，零状态响应
+
(t ) diL L Ri L (t ) dt 0 0 di 0 0 L 0 L dt dt 0 RiLdt 0 (t )dt
f( t)
f ( t)( t t0 )
U S (t )
O
t0
t
O
t0
t
2
4）用单位阶跃函数表示复杂信号
f (t) 1 0 t0 t 1 t0 - (t- t0) 0 t
(t)
f (t ) (t ) (t t0 )
f (t) 2 1
1
1 2 3 t
f( t) 1
t (t )
LiL (0 ) iL (0 ) 1
1 发生突变 iL (0 ) L
+ uL -
iL
L
注意：iL不是冲激函数，否则KVL不成立。
15
1 2）t ≥0+： iL (0 ) L 电感放电，零输入响应
1 L iL (t ) e t 0 L R
1 iL (t ) e (t ) L i 1 L
0 1
t ≤0 t ≥0
d (t ) (t ) (t ) dt (t ) dt (t)等于 (t)的积分 (t)等于 (t)的导数
t RC
(t )
1 1 RC iC (t ) (t ) 2 e (t ) R RC
1 iC R 1 2 RC
t
0
t
14
0
t
例2 已知iL(0-)=0，求RL电路的单位冲激响应. R 解 1）0 ≤t ≤0 ：i (0 )=0
– + L -
电感充电，零状态响应
+
(t ) diL L Ri L (t ) dt 0 0 di 0 0 L 0 L dt dt 0 RiLdt 0 (t )dt
f( t)
f ( t)( t t0 )
U S (t )
O
t0
t
O
t0
t
2
4）用单位阶跃函数表示复杂信号
f (t) 1 0 t0 t 1 t0 - (t- t0) 0 t
(t)
f (t ) (t ) (t t0 )
f (t) 2 1
1
1 2 3 t
f( t) 1
t (t )
LiL (0 ) iL (0 ) 1
1 发生突变 iL (0 ) L
+ uL -
iL
L
注意：iL不是冲激函数，否则KVL不成立。
15
1 2）t ≥0+： iL (0 ) L 电感放电，零输入响应
1 L iL (t ) e t 0 L R
1 iL (t ) e (t ) L i 1 L
0 1
t ≤0 t ≥0
d (t ) (t ) (t ) dt (t ) dt (t)等于 (t)的积分 (t)等于 (t)的导数
8-10 二阶电路的冲激响应
uL1(0+)= US =12V uL2(0+)= - 12V
di1 u1 (0+ ) = 12 ( A / s ) (0+ ) = dt L1
di2 u2 (0+ ) = −12 ( A / s ) (0+ ) = dt L2
di1 L1 + ( R1 + R3 ) i1 − R3i2 = U S dt d 2 i1 di1 di2 L1 2 + ( R1 + R3 ) − R3 =0 dt dt dt d 2 i1 di1 di2 L1 2 (0+ ) + ( R1 + R3 ) (0+ ) − R3 (0+ ) = 0 dt dt dt d 2 i1 2 (0 + ) = − 48 ( A / s ) 2 dt
t>0
duC 1 t R C + ∫ uC dt + uC = e(t ) = 0 L 0+ dt d 2 uC duC +8 + 12uC = 0 2 dt dt uC (t ) = uCp (t ) + uCh (t ) = A1e −2 t + A2 e −6t duC (t ) iC (t ) = C = −2 A1e −2 t − 6 A2 e −6 t dt A1 + A2 = 8 A1 = −4 − 2 A − 8 A = − 64 1 2 A2 = 12
i
R iL
iC
画出 t=0 时刻的等效电路 iL(0-)=0 uC(0-)=0
e (t) δ (t)
L
C
iC (0) =
1 uC (0+ ) = uC (0− ) + C
di1 u1 (0+ ) = 12 ( A / s ) (0+ ) = dt L1
di2 u2 (0+ ) = −12 ( A / s ) (0+ ) = dt L2
di1 L1 + ( R1 + R3 ) i1 − R3i2 = U S dt d 2 i1 di1 di2 L1 2 + ( R1 + R3 ) − R3 =0 dt dt dt d 2 i1 di1 di2 L1 2 (0+ ) + ( R1 + R3 ) (0+ ) − R3 (0+ ) = 0 dt dt dt d 2 i1 2 (0 + ) = − 48 ( A / s ) 2 dt
t>0
duC 1 t R C + ∫ uC dt + uC = e(t ) = 0 L 0+ dt d 2 uC duC +8 + 12uC = 0 2 dt dt uC (t ) = uCp (t ) + uCh (t ) = A1e −2 t + A2 e −6t duC (t ) iC (t ) = C = −2 A1e −2 t − 6 A2 e −6 t dt A1 + A2 = 8 A1 = −4 − 2 A − 8 A = − 64 1 2 A2 = 12
i
R iL
iC
画出 t=0 时刻的等效电路 iL(0-)=0 uC(0-)=0
e (t) δ (t)
L
C
iC (0) =
1 uC (0+ ) = uC (0− ) + C
电路原理第8章 二阶电路
31
图8.10 R，L，C电路的冲激响应
图8.11 ｔ＞0时图8.10的等效电路
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
8.4 卷积积分
前面分析研究了线性电路的零状态响应，其外加电源激励都是一 些规则的波形。如果外加电源激励是一些不规则的波形，即它们是一 些任意波形，则可以用卷积积分来计算它的零状态响应。 8.4.1 卷积积分的定义
30
8.3 二阶电路的冲激响应 当冲激电源作用于零状态电路，其响应称为冲激响应。要计算二 阶电路的冲激响应，可以采用与计算一阶电路的冲激响应相同的方法， 即从冲激电源的定义出发，直接计算冲激响应；也可以利用已经学习过 的一阶电路的冲激响应与阶跃响应的关系，即一阶线性电路的单位阶 跃响应对时间ｔ的微分就是该电路的单位冲激响应。对于二阶电路，这 个结论仍然适用。在此以计算图8.10所示电路的冲激响应uC为例。
图8.16 8.3 确定图8.17所示电路中电容电压、电感电流，其初始值分别 为uC(0＋)，iL(0＋)，设电路激励分别为
①iS＝ε(ｔ)Ａ，uS＝10ε(ｔ)V；
②iS＝δ(ｔ)Ａ，uS＝10δ(ｔ)V。
51
图8.17
52
8.4 图8.18所示电路已知ＵS＝δ(ｔ)V，R＝1Ω，L＝1Ｈ，C＝1Ｆ， 试求电路的冲激响应uC，iL。
设有两个时间函数：f1(t)和f2(t)［在t<0时，f1(t)=f2(t)=0］，则
42
43
8.4.2 用卷积积分计算任意激励的零状态响应 图8.13所示激励函数ｅ(ｔ)作用于一个线性电路，假定此电路的 单位冲激响应ｈ(ｔ)已知，则可按下述方法计算电路在ｅ(ｔ)作
二阶电路的冲击响应
为不等的负实根
为过阻尼情形
为 非 振 荡 情 形
duC S1 S2 S1t iL (t ) iC (t ) C [ e e S2t ] (t ) dt L( S1 S 2 ) L( S1 S2 )
负数 正数
t=0+时，iL(0+)=1/L
负数
慢
正数
快
t=tm时，iL(tm)=0
1 1 S1t uC (t ) [ e e S2t ] (t ) LC ( S1 S 2 ) LC ( S1 S 2 )
正数 3．讨论
慢
2 2 0
负数
快
2 2 0
s1
s2
R 1 L (1) 0 即 2 L LC 或R 2 C 过阻尼情形 S1-S2>0 S1 S2 S1 S2 0
i L (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 ) 0
2．t>0时电路 duC duC d RC L [C ] uC 0 dt dt dt
LC d 2uC dt
2
uC (0 ) 0
duC RC uC 0 dt
(t 0)
1 i L (0 ) L
§4-5 二阶电路的冲击响应
一、RLC串联电路的h(t) 求 iL(t),uL(t) 解：1. 因为 uC(0-)=0,iL(0-)=0 所以 u L (0) (t )V
1 0 1 iL (0 ) iL (0 ) u L (0)dt L 0 L
u C (0 ) 0
当t >0时,uC(t)>0 ,说明电容电压只改变大小,不改变方向 当t = 0+时，uC(0+)=0 当 t 时，uC() = 0 在t =0+到t的变化过程中,uC(t)要出现正的极值。
为过阻尼情形
为 非 振 荡 情 形
duC S1 S2 S1t iL (t ) iC (t ) C [ e e S2t ] (t ) dt L( S1 S 2 ) L( S1 S2 )
负数 正数
t=0+时，iL(0+)=1/L
负数
慢
正数
快
t=tm时，iL(tm)=0
1 1 S1t uC (t ) [ e e S2t ] (t ) LC ( S1 S 2 ) LC ( S1 S 2 )
正数 3．讨论
慢
2 2 0
负数
快
2 2 0
s1
s2
R 1 L (1) 0 即 2 L LC 或R 2 C 过阻尼情形 S1-S2>0 S1 S2 S1 S2 0
i L (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 ) 0
2．t>0时电路 duC duC d RC L [C ] uC 0 dt dt dt
LC d 2uC dt
2
uC (0 ) 0
duC RC uC 0 dt
(t 0)
1 i L (0 ) L
§4-5 二阶电路的冲击响应
一、RLC串联电路的h(t) 求 iL(t),uL(t) 解：1. 因为 uC(0-)=0,iL(0-)=0 所以 u L (0) (t )V
1 0 1 iL (0 ) iL (0 ) u L (0)dt L 0 L
u C (0 ) 0
当t >0时,uC(t)>0 ,说明电容电压只改变大小,不改变方向 当t = 0+时，uC(0+)=0 当 t 时，uC() = 0 在t =0+到t的变化过程中,uC(t)要出现正的极值。
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2LC
2L
R 2 1 2L LC
2 02
def
R
2L
de f
0
1 LC
当s1s2时，微分方程的通解为
uC (t) A1es1t A2es2t
duC dt
S1 A1eS1t
S2 A2eS2t
A1 A2 0
uC (0 ) uC (0 ) 0
duC dt
(0 )
i(0 ) C
§4-5 二阶电路的冲击响应
一、RLC串联电路的h(t) 求 iL(t),uL(t)
解：1. 因为 uC(0-)=0,iL(0-)=0
所以 uL (0) (t)V
iL (0
)
iL (0
)
1 L
0 0
uL
(0)dt
1 L
uC (0 ) 0
iL (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 ) 0
S2 )
e S1t
1 LC (S1
S2 )
e S2t ] (t)
正数 慢
负数 快
3．讨论 s1 2 02 s2 2 02
(1)
0
即
R 2L
1 或R 2 LC
L C
过阻尼情形
S1 S2 0 S1 S2
S1-S2>0
当t >0时,uC(t)>0 ,说明电容电压只改变大小,不改变方向 当t = 0+时，uC(0+)=0 当 t 时，uC() = 0
duC dt
A2et ( A1 A2t)et
uC (0 ) 0
duC dt
(0 )
iC (0 ) C
1 LC
A1 0
A2
A1
1 LC
uC (t)
1 tet (t)
LC
i(t) C duc (t) 1 e t 1 t (t) ( 1 et tet ) (t)
dt L
L
L
R2 L C
L(S1 S2 )
负数 正数
负数 慢 正数 快
t=0+时，iL(0+)=1/L 0 t tm时，iL (t) 0
t=tm时，iL(tm)=0
t tm时， 正数 快 负数 慢
iL (t) 0 而iL () 0
因此,在t =tm到t的变化过程
中, iL(t)要出现负的极2值ln。s1
在t =0+到t的变化过程中,uC(t)要出现正的极值。
uC(t)的曲线为
令 duC 0 dt
ln s1
tm
s2
s2 s1
为
R2 L C
S1 S2 0
非 振
荡
为过阻尼情形 为不等的负实根
情
形
iL
(t)
iC
(t)
C
duC dt
[ S1
e S1t
L(S1 S2 )
S2
eS2t ] (t)
阻尼振荡周期(period of the damped oscillation)
< 0的情形称为(阻尼)振荡情形(oscillatory case)，
或欠阻尼情形(underdamped case)。
0
d t
2
2
d t
2
d t
2 dt
R2 L C
欠阻尼情形
S1 S2
d t
3
2
ห้องสมุดไป่ตู้
共轭复根(实部<0)
1 LC (s1
s2 )
(e s1t
es2t ) (t)
02 e e t jdt e te jdt (t) j2d
S1 S2 j2d
02
1 LC
02 d
et
sin dt
(t ) (衰减正弦函数)
uC
(t)
02 d
et
sin
d t
(t)
i(t) C duC (t) C02
dt
1 LC
A1
1 LC(s1
s2 )
s1 A1
s2 A2
1 LC
A2
1 LC(s1
s2 )
uC (t)
1 LC (s1
s2 )
( e s1t
es2t ) (t)
i(t) C duC (t) 1
dt
L(s1 s2 )
s1e s1t s2e s2t
(t)
uC (t)
[
1
LC (S1
d
d dt
e t sin d t (t)
C02 d
e t
sin d t
d
cosd t (t)
d 02 2
arctg d
0 sin d 0 cos
i(t)
0 L0d Ld
e t cos cosd t sin sin d t (t)
e t cosd t (t) (衰减余弦函数)
0 Ld
e t
cosd t
(t)
1 L
c os0 t
(t)
振 荡
无 阻 尼 振
荡
R=0
S1 S2
(unattenuated oscillation)
无阻尼情形 共轭复根(实部=0) (undamped oscillation)
(3) 0
R2 L C
S1 S2
临界阻尼情形
uc (t) A1 A2t e t
2．t>0时电路
RC duC dt
L
d dt
[C
duC dt
]
uC
0
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
(t 0)
uC (0 ) 0
iL (0 )
1 L
LC d 2uC dt 2
RC duC dt
uC
0
LCs2 RCs 1 0
(t 0)
RC S1,2
(RC)2 4LC R
令 diL 0 dt
tm
s2
s2 s1
2tm
在 >0的情形下,当t > 0时,电路的能量过程
0 < t < tm
tm < t < tm
t > tm
非振荡
(2)
0
即
R 2L
1 或R 2 LC
L C
欠阻尼情形
S1,2 2 02
令d 02 2
jd
j 1
S1 S2
uC (t)
衰减快慢由 R 决定,叫
2L
衰减系数(attenuation constant) ， 或阻尼系数(damping constant)
振荡角频率 d
2 0
2
1 ( R )2 LC 2L
Td
2 d
叫阻尼振荡角频率(angular frequency of the damped oscillation)
S1 S2 0
为非振荡情形
为临界阻尼情形 为相等的负实根
二、RLC并联电路的h(t) (分析方法同前)
求 uC (t) (t 0)
解：因为 uC (0 ) 0 iL (0 ) 0
所以 uL (0) 10 (t)v
iL
(0
)
iL
(0
)
1 L
u0
0 L
(0)dt
10A
uC (0 ) uC (0 ) 0
阻尼振荡(衰减振荡)
阻尼振荡角频率
d
2 0
2
1 ( R )2 LC 2L
阻尼振荡角频率不仅决定于电感L
和电容C，也和电阻 R有关。
在R = 0时
R 0
2L
arctg 0 d
d 0
1 LC
无阻尼振荡角频率
uC (t)
02 d
e t
sin dt (t)
0
sin 0t
(t)
等 幅
i(t)