二阶电路冲击响应

S1 S2 0
为非振荡情形
为临界阻尼情形 为相等的负实根
二、RLC并联电路的h(t) (分析方法同前)
求 uC (t) (t 0)
解：因为 uC (0 ) 0 iL (0 ) 0
所以 uL (0) 10 (t)v
iL
(0
)
iL
(0
)
1 L
u0
0 L
(0)dt
10A
uC (0 ) uC (0 ) 0
阻尼振荡周期(period of the damped oscillation)
< 0的情形称为(阻尼)振荡情形(oscillatory case)，
或欠阻尼情形(underdamped case)。
0
d t
2
2
d t
2
d t
2 dt
R2 L C
欠阻尼情形
S1 S2
d t
3
2
共轭复根(实部<0)
1 LC
A1
1 LC(s1
s2 )
s1 A1
s2 A2
1 LC
A2
1 LC(s1
s2 )
uC (t)
1 LC (s1
s2 )
( e s1t
es2t ) (t)
i(t) C duC (t) 1
dt
L(s1 s2 )
s1e s1t s2e s2t
(t)
uC (t)
[
1
LC (S1
L(S1 S2 )
负数 正数
负数 慢 正数 快
t=0+时，iL(0+)=1/L 0 t tm时，iL (t) 0
t=tm时，iL(tm)=0
t tm时， 正数 快 负数 慢
iL (t) 0 而iL () 0
因此,在t =tm到t的变化过程
中, iL(t)要出现负的极2值ln。s1
1 LC (s1
s2 )
(e s1t
es2t ) (t)
02 e e t jdt e te jdt (t) j2d
S1 S2 j2d
02
1 LC
02 d
et
sin dt
(t ) (衰减正弦函数)
uC
(t)
02 d
et
sin
d t
(t)
i(t) C duC (t) C02
dt
2LC
2L
R 2 1 2L LC
2 02
def
R
2L
de f
0
1 LC
当s1s2时，微分方程的通解为
uC (t) A1es1t A2es2t
duC dt
S1 A1eS1t
S2 A2eS2t
A1 A2 0
uC (0 ) uC (0 ) 0
duC dt
(0 )
i(0 ) C
0 Ld
e t
cosd t
(t)
1 L
c os0 t
(t)
振 荡
无 阻 尼 振
荡
R=0
S1 S2
(unattenuated oscillation)
无阻尼情形 共轭复根(实部=0) (undamped oscillation)
(3) 0
R2 L C
S1 S2
临界阻尼情形
uc (t) A1 A2t e t
令 diL 0 dt
tm
s2
s2 s1
2tm
在 >0的情形下,当t > 0时,电路的能量过程
0 < t < tm
tm < t < tm
t > tm
非振荡
(2)
0
即
R 2L
1 或R 2 LC
L C
欠阻尼情形
S1,2 2 02
令d 02 2
jd
j 1
S1 S2
uC (t)
2．t>0时电路
RC duC dt
L
d dt
[C
duC dt
]
uC
0
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
(t 0)
uCBaidu Nhomakorabea(0 ) 0
iL (0 )
1 L
LC d 2uC dt 2
RC duC dt
uC
0
LCs2 RCs 1 0
(t 0)
RC S1,2
(RC)2 4LC R
S2 )
e S1t
1 LC (S1
S2 )
e S2t ] (t)
正数 慢
负数 快
3．讨论 s1 2 02 s2 2 02
(1)
0
即
R 2L
1 或R 2 LC
L C
过阻尼情形
S1 S2 0 S1 S2
S1-S2>0
当t >0时,uC(t)>0 ,说明电容电压只改变大小,不改变方向 当t = 0+时，uC(0+)=0 当 t 时，uC() = 0
衰减快慢由 R 决定,叫
2L
衰减系数(attenuation constant) ， 或阻尼系数(damping constant)
振荡角频率 d
2 0
2
1 ( R )2 LC 2L
Td
2 d
叫阻尼振荡角频率(angular frequency of the damped oscillation)
d
d dt
e t sin d t (t)
C02 d
e t
sin d t
d
cosd t (t)
d 02 2
arctg d
0 sin d 0 cos
i(t)
0 L0d Ld
e t cos cosd t sin sin d t (t)
e t cosd t (t) (衰减余弦函数)
duC dt
A2et ( A1 A2t)et
uC (0 ) 0
duC dt
(0 )
iC (0 ) C
1 LC
A1 0
A2
A1
1 LC
uC (t)
1 tet (t)
LC
i(t) C duc (t) 1 e t 1 t (t) ( 1 et tet ) (t)
dt L
L
L
R2 L C
§4-5 二阶电路的冲击响应
一、RLC串联电路的h(t) 求 iL(t),uL(t)
解：1. 因为 uC(0-)=0,iL(0-)=0
所以 uL (0) (t)V
iL (0
)
iL (0
)
1 L
0 0
uL
(0)dt
1 L
uC (0 ) 0
iL (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 ) 0
在t =0+到t的变化过程中,uC(t)要出现正的极值。
uC(t)的曲线为
令 duC 0 dt
ln s1
tm
s2
s2 s1
为
R2 L C
S1 S2 0
非 振
荡
为过阻尼情形 为不等的负实根
情
形
iL
(t)
iC
(t)
C
duC dt
[ S1
e S1t
L(S1 S2 )
S2
eS2t ] (t)
阻尼振荡(衰减振荡)
阻尼振荡角频率
d
2 0
2
1 ( R )2 LC 2L
阻尼振荡角频率不仅决定于电感L
和电容C，也和电阻 R有关。
在R = 0时
R 0
2L
arctg 0 d
d 0
1 LC
无阻尼振荡角频率
uC (t)
02 d
e t
sin dt (t)
0
sin 0t
(t)
等 幅
i(t)