[截距法]解线性规划问题

[截距法]解线性规划问题

杨萍

由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+，则z b 为直线y a

x z =-

+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： 例1. 设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥⎧⎨⎪⎩

⎪10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。

解：如图1作出可行域，目标函数z x y =+2表示直线y x z =-+2在y 轴上的截距，可见当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =⨯+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小z min =0。

图1

例2. 设x y ,满足约束条件x x y x y ≥≤+≤⎧⎨⎪⎩

⎪021,,,求z x y =-32的最大值和最小值。

解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B 时纵截距最大，z x y =-32取得最小

值，所以z min =⨯-⨯=-30212；过点A 时纵截距最小，z 在A （1313

,）处取最大值，z max =⨯-⨯=31321313

。

图2